《公式法(2)》课件
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人教版数学八年级上册+因式分解(2)——公式法(平方差公式)课件
－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
2
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
人教版九年级数学上册第21章第2节《公式法》课件
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数 根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解： 移项，得 x2+4x-2=0
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数 根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解： 移项，得 x2+4x-2=0
教学课件：七下湘教公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 .
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
最新部编人教版九年级上学期数学《公式法(2)》课件
重点、难点知识★▲
练习2. 用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
解：整理，得 4x2+12x+9=0 因为b2-4ac=0
所以
x 12 0 8
利用公式法解一元二次方程
活动2 用求根公式解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例3. 用公式法解方程： 2x2﹣5x 2 0
x5
5x 3
1
5x 3
知识梳理
求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确 定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式 也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元 二次方程的万能求根公式．
重难点归纳
（1）用求根公式解方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值． 2、求出b2-4ac的值． 3、代入求根公式 : x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0)
重点、难点知识★▲
练习5. 已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值．
（2）求
x4 2x2 1 x5
的值．
解：（1）x2-x-1=0， b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，
x 1 5 21
x1
1 2
5,
x2
1 2
5
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习5. 已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值．
x 2 5 12 2 10 2 6 10 6
22
4
2
10 6
10 6
x1
2
, x2
2
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例4. 解关于x的一元二次方程 x2+kx-3=0．
人教版八年级数学上册14.《公式法》第2课时教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
观察思考
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积 吗？
a a²
ab a
a
b
同学们拼出的图形为：
ab a b
b² b b
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
观察思考 这个大正方形的面积可以怎么求？
b ab
做一做
分解因式： (1) 3a²x²24a²x48a²
(2)412(xy)+9(xy)²
解：(1)原式 3a²(x²8x16) 3a²(x4)²
有公因式要先提公因式.
(2)原式=2²2×2×3(xy)+3(xy)² 23xy² 23x3y²
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个 数的和(或差)的平方.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
完全平方式：a²2abb²
完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
1.计算 ： (1)100²21009999²
解：(1)原式(10099)² =1
(2)原式(3416)² 2500
(2)34²+3432+16²
利用完全平方公式分解因式， 可以简化计算
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
2.如果x²6x+N是一个完全平方式，那么N是( B )
14.3.2公式法 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
13.在括号内填上适当的数，使之能用完全平方公式进行因式分解.
（1）x2 （ ）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
（1）x2 （ ）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
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2a
25
10
即：x1
6 5
,
x2 2
3
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例2. 用公式法解一元二次方程 x2+4x=2
解: 将方程化为一般形式，得 x2+4x-2=0 因为 b2-4ac=24 所以 x 4 24 2 6
2
即： x1 2 6, x2 2 6
4
探究：利用公式法解一元二次方程
21.2.2 公式法 第二课时
1
（1）用求根公式解方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值．
2、求出b2-4ac的值．
3、代入求根公式 : x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0)
2a
4、写出方程的解： x1 b
b2 4ac 2a
， x2
b
b2 4ac 2a
（2）求
x4 2x2 1 x5
的值．
解：
（2）x2-x-1=0， x2=x+1，
x4=（x2）2=（x+1）2=x2+2x+1=x+1+2x+1=3x+2，
x5=x（3x+2）=3x2+2x=3（x+1）+2x=5x+3，
2x2=2（x+1）=2x+2，
x4 2x2 1 3x 2 2x 2 1 5x 3
2
10
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例5. 那么
如果a、b都是正实数，且
a b
（
C
）
1 a
1 b
1 ab
0
，
A. 1 5
2
B. 1 2
2
C. 1 5
2
1 2
D. 2
【思路点拔】整理原式后得到a2+ab-b2=0，把b当作 已知数，先求出a的值，再代入求出即可．
11
探究：利用公式法解一元二次方程
a 2 3 1
∴原式=
1 a2
a 1
| a 1|
a a 1
1 a
=a-1
2 3 1
即
1 2a a2
a 1
a2 2a 1 1
a2 a
1 a
3
15
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习6. 已知a，b，c均为实数，且 a 2 b 1 (c 3)2 0，
求关于x的方程ax2+bx+c=0的根．
重点、难点知识★▲
练习2. 用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
解：整理，得 4x2+12x+9=0 因为b2-4ac=0
所以
x 12 0 8
即：
x1
x2
3 2
5
探究：利用公式法解一元二次方程
活动2 用求根公式解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例3. 用公式法解方程： 2x2﹣5x 2 0
（2） 一元二次方程ax2 bx c 0根的判别式，通常用希腊字母 表示，即 b2 4ac .
2
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习1. 5x2-4x-12=0.
解：因为 a=5，b=-4，c=-12
b2-4ac=256
所以 x b b2 4ac (4) 256 4 16
解： a 2，b 5，c 2 Δ=b2-4ac=25-8=17
x 5 17 5 2 34
22
4
x1 5
2 4
34 , x2 5
2 4
34
6
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习3. 用公式法解方程： 2x2﹣2 5x 2 0
解： a 2，b 2 5，c 2 Δ=b2-4ac=20-8=12
14
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
解：①∵ a是一元二次方程x2-4x+1=0的根，
∴ a2-4a+1=0，
∴ a2-4a=-1；
∴ a2-4a+2012=-1+2012=2011；
②原方程的解是：x 4 2 3 2 3
2
∵a一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根中的较小根，
0
，
A. 1 5
2
B. 1 2
2
C. 1 5
2
1 2
D. 2
解： 1 1 1 0 , 即 a b 1
a b ab
ab a b
去分母后整理得：a2+ab-b2=0，
∵a、b都是正实数
a b b2 41 (b)2 b 5b
21
2
a b 5b
a b+ 5b 1+ 5
2
b 2b
x5
5x 3
1
5x 3
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探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例6. 已知a是一元二次方程 x2-4x+1=0 的两个实数根
中较小的根，
①求a2-4a+2012的值；
②化简求值 1 2a a2 a2 2a 1 1 .
a 1
a2 a
a
【思路点拨】 ①根据一元二次方程解的定义，将x=a代入原方程，即可求得a24a的值；然后将a2-4a整体代入所求的代数式并求值即可； ②先利用公式法求得原方程的解，根据已知条件可知a值；然后将 其代入化简后的代数式求值即可．
,
x2
k
k 2 12 2
【思路点拨】先由根的判别式 Δ=b2-4ac≥0 判断是否有解， 再用求根公式求出方程的解.
8
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习4. 解关于x的一元二次方程 3x2+6x+k=0．
解：由题意得： 36 12k
若 0, 即k 3
x 6 36 12k 6
解：∵ a 2 b 1 (c 3)2 0
∴ a-2=0，b+1=0，c+3=0，
∴ a=2，b=-1，c=-3．
x 2 5 12 2 10 2 6 10 6
22
4
2
10 6
10 6
x1
2
, x2
2
7
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例4. 解关于x的一元二次方程 x2+kx-3=0．
解：由题意得： k2 12 0
k k 2 12 x
2
x1 k
k2 2
12
x1 3
9 3k , 3
x2 3
9 3k 3
若 0, 即k 3, 则 x1 x2 1
若 0, 即k 3, 则原方程无解
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探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
活动3
公式法解一元二次方程的综合运用
例5. 那么
如果a、b都是正实数，且
a b
（
C
）
1 a
1 b
1 ab
重点、难点知识★▲
练习5. 已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值．
（2）求
x4 2x2 1 x5
的值．
解：（1）x2-x-1=0， b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，
x 1 5 21
x1
1 2
5,
x2
1 2
5
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探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习5. 已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值．