【原创讲义】圆与方程(全面详细)

同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质.1.圆的要素：在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.2.圆的定义：描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O 为定点（圆心），P 为动点()r b y a x =-+-⇒22)(根据点到点距离公式我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.3.圆的标准方程： ()().11)0,0(),()0(22222称为单位圆的圆半径单位圆：我们把圆心为，半径圆心＞=+==-+-y x r rb a r r b y a x理解：所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点),(b a .现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.※圆与方程4.圆的一般方程：24-2204-0222222F E D r ED FE DF Ey Dx y x +=--+=++++），圆心（＞圆的判别式：一般方程：.022项，也没有的系数相同且与理解：xy y x ≠图像不存在＜③表示点②表示圆＞①一般方程：配方⇒+--⇒=+⇒++=+++−−→−=++++04-)2,2(04-04-44-)2()2(022*********2F E D ED FE DF E D FE D E y D xF Ey Dx y x圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.5.圆的参数方程：（一般用于求最值）()()[)πθθθθθθ2.0(sin cos sin cos 1)()()0(222222∈⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒=-+-−−−−−−→−=-+-为参数，圆的参数方程＞等号左右两边同除以b r y a r x rb y r a x rb y r a x r r b y a x r圆成立的条件很重要:0422＞F E D -+例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.[)()⎩⎨⎧∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x2)1()2)(3(22=-++y x 31)33()4(22=++y x2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 052422=+-++ .例3：写出下列圆的方程.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x类型一：点与圆位置关系()()())(0)()3()(0)()2()(0)()1(),(002020********020********0202202000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-⇒++++-+-⇒==++++=-+-⇒.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:22=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？：例4若点),15(a a M +在圆26)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？1：图形表示与判断方法关系 相交 相切 相离图 像几 何 法r d ＜r d =r d ＞联立方程方程组两个解方程组一个解方程组无解直线与圆交点个数两个公共点一个公共点没有公共点判别式法0＞∆0=∆0＜∆：例1直线2+=kx y 与圆122=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是？：例3若圆4)1(22=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？关系 外离外切相交内切内含图 像几 何 法d 为圆心距21r r d +＞21r r d +=2121r r d r r +-＜＜21r r d -=210r r d -≤＜公切线 四条三条两条一条无位置 关系几个结论(1)经过圆()()222r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.(掌握)(2)已知圆222r y x =+的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y .（了解） (3)切点弦方程：过圆()()222r b y a x =-+-外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别为B A 、，则过B A 、的直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--(掌握)(4)圆与圆公共弦方程：()0)(00212121222222111221=-+-+-=++++=++++F F y E E x D D F y E x D y x O F y E x D y x O ：公共弦，该直线方程为若两圆相交，则有一条：与圆：圆(5)弦长公式ak d r AB ∆⋅+=-=22212 )(为平方项的系数为斜率，其中a k（6）半圆、直线、射线、点29x y -= 0)2(22=-+y y x x ()042222=-++y x x241y x -=- ()04122=-+-+y x y x 22x y --=类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1.已知圆1)1(22=+-y x O ：，求过点)2,2(P 与圆O 相切的切线方程．2.两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．3.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：1.求过点(3,1)M ，且与圆5)1(22=+-y x 相切的直线l 的方程2.过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为3.已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 .※ 题 型总 结类型二：弦长、弧长1.求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长2.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为3.求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型三：直线与圆的位置关系1.若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围2.圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有 个3.直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是4.若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .5.圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有 ．6.过点()43--，P 作直线l ，直线l 与圆()()42122=++-y x C ：有公共点,求直线的斜率取值范围.类型四：圆与圆的位置关系1.圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系2.圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条.类型五：圆中的对称问题1.圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是2.圆222690x y x y +--+=关于)1,1(P 对称的圆的方程是类型六：圆中的最值问题1.圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是2.已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．3.已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．4.已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .练习：1.已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.类型七：轨迹问题1.已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.（定义法）2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.（中线坐标公式——相关点法）练习：1.由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是类型八：圆的综合应用1.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．2.已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．1．求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程 . 2．求过点(2,4)A 向圆422=+y x 所引的切线方程 .3．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 .4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为 .5．若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为 .6．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 .7．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于F E 、两点，则EOF ∆（O 是原点）的面积为 .※ 过 手 训 练8.求圆心在直线03=-y x 上，与x 轴相切，且被直线 0=-y x 截得的弦长为27的圆的方程.9．方程0)4(0)4(222222=-++=-+y x x y x x 与表示的曲线是（ ） .A 都表示一条直线和一个圆 .B 前者是一条直线或一个圆，后者是两个点.C 都表示两个点 .D 前者是两个点，后者是一直线和一个圆10.方程-=y ( )A .一条射线 .B 一个圆 .C 两条射线 .D 半个圆11．方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是 （ ） A ．一条直线及一个圆 .B 两个点 .C 一条射线及一个圆 .D 两条射线及一个圆12.若直线b x y += 与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 .13.点),(y x P 在圆422=+y x 上，则44y x --的最大值是14.已知042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值为____________15.设点),(00y x M 为圆222r y x =+上一点，如何求过点M 的圆的切线方程.16.设点),(00y x M 为圆222)()(r b y a x =-+-上一点，如何求过点M 的圆的切线方程.17.已知动点M 到点)0,2(A 的距离是它到点)0,8(B 的距离的一半，求:（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．18．点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.19．如图，圆：．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知，圆与x轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点A,B．问：是否存在实数a，使得=？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．20．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交与两点，是的中点，直线与直线相交于点。