第一专题量化误差
第一专题 量化误差
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（3）量化方式：舍入或截尾
定点制的乘法，浮点制的加法和乘法在运算结束后，都会使字长
增加，因而都需要对尾数进行截尾或舍入处理。
由此引入的误差取决于： ① 二进制数的位数b； ② 数的运算方式：浮点制或定点制； ③ 负数的表示方法：原码、补码、反码； ④ 对尾数的处理方法：截尾或舍入；
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4. 分析基础
• 二进制算法基础（定点制，浮点制，码制（原，反，补码），截尾与 舍入量化方式）
4.1 三种算术运算法 (1) 定点二进制数
在整个运算中，二进制小数点在数码中的位置是固定不变的称为定点制。 其中：小数点右边各位表示数的分数部分，左边各位表示数的整数部分。 例：二进制数：10.1001
例如：0.375——0.011。
定点制在整个运算中的绝对值均不超过1。 当数很大时，需要一个比例因子。
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定点制的加法运算不会增加字长，但若没有选择合适的比例因子，加法会
产生溢出。如：0.1001+0.1101=1.0110 定点制的乘法运算不会产生溢出。因为是绝对值小于1的数相乘。 但是相乘后字长会增加一倍。 如(b+1)位的定点数，其中，b位为字长，1位为符号位。 相乘后，字长变为2b位。 乘法运算后，需字长处理，保留b位字长。两种处理方法： （1）截尾：去掉超过字长b的各位尾数。
x(n) Axa (nT )
xa (t )
理想A/D变换器
ˆ ( n) x
量化噪声
( n ) x ( n) e( n ) x
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x2 x2 2b 2 12 2 x e2 22b /12
量化与量化误差第二节
02 量化误差的影响
量化误差对测量结果的影响
01
02
03
测量精度降低
量化误差会导致测量 结果 的精度降低，使得测量结 果与真实值存在偏差。
测量范围受限
在某些情况下，量化误差 可能导致测量结果超出预 期范围，从而影响测量结 果的可用性。
测量可靠性下降
由于量化误差的存在，相 同的输入数据可能会产生 不同的输出结果，从而影 响测量的可靠性。
对测量设备进行校准减小量 化误差。
详细描述
定期对测量设备进行校准， 确保其性能稳定并符合精度 要求，从而减小由于设备老 化或配置不当引起的误当导致测量结果偏离真实值。
详细描述
测量设备配置不当时，如量程选择不当或传感器灵敏度过低，可能导 致测量结果误差较大。
测量方法引起的量化误差案例
总结词
测量方法不完善或理论误差导致测量结果 偏离真实值。
总结词
测量方法操作不规范导致测量结果偏离真 实值。
详细描述
某些测量方法本身存在理论误差，如用欧 姆表测量电阻时，由于表内电池电压随时 间变化，导致测量结果存在误差。
根据测量需求和目标，选择合适的测量方法，确保能够准确反映 被测量对象的特性。
遵循标准操作程序
按照标准操作程序进行测量，避免因操作不当导致的误差。
多次测量求平均值
对同一被测量对象进行多次测量，取平均值作为最终结果，能够 减小随机误差的影响。
加强测量过程的控制
制定详细的测量计划
01
在测量前制定详细的计划，明确测量步骤、要求和注意事项，
详细描述
在实施测量方法时，操作不规范或忽略某 些细节，如未进行校准、读数不准确等， 可能引入较大的误差。
测量过程控制不当引起的量化误差案例
【VIP专享】第五章：量化与量化误差 第二节
实际数值不一定都是纯整数或纯小数，运算前可选择比例因子，使 所有原始数据化成纯小数或纯整数，运算后再用比例因子恢复成实际值。
数求反加1，即 2b）
b
x 0 i 2i i 1
例： x 0.75
正数表示：0.110 取反：1.001
x的补码：1.010
原码加减法运算要考虑符号位； 补码加法运算规律：
正负数可直接加减，符号位同样 参加运算，结果仍是补码。
若结果没有超出字长范围，则符号位 丢弃不影响结果的正确性。 若超出字长范围，如符号位发生双进 位，可以自然丢弃，若是单进位，丢 掉则发生溢出；
• 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，
称ห้องสมุดไป่ตู้定点制；
• 定点制总是把数限制在±1之间；
• 最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在 符号位后；
• 数的本身只有小数部分，称为“尾数”；
•定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为 “溢出”；
•乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。 为保证字长不变，乘法后，一般要对增加
5.2.3 A/D变换的量化效应 A/D变换器分为两部分：
采样：时间离散，幅度连续； 量化：数字编码，对采样序列作舍入或截尾处理
，得有限字长数字信号xˆ(n) 。
本节讨论这一过程中的量化效应。
以补码为例
对一个采样数据 x(n)作截尾和舍入处理，则
截尾量化误差：eT
第五章：量化与量化误差 第二节
浮点制运算:
相加 对阶 相加 归一化,并作尾数处理 相乘 : 尾数相乘, 阶码相加, 再作截尾或舍入
。优点: 动态范围大,一般不溢出.
缺点: 相乘、相加，都要对尾数作量化处理。 一般，浮点数都用较长的字长，精度较高，所 以我们讨论误差影响主要针对定点制。
对于任意一个二进制数n，可用N=S×2P表示，其中S为尾数，P为阶
m 0
h
2
(m)
由Parseval定理,
e2 2 2 1 dz e h (m) cH ( z) H ( z ) z 2j m 0
H(z)全部极点在单位圆内， 表示沿单位圆逆时针方
向的圆周积分。由留数定理：
H ( z ) H ( z 1 ) 2 2 f e Res , zk z k
i b 1
0 ET q
补码（ 0 1）
x 1 i 2
i 1
b1
i
xT
1 i 2
i 1 b i b1
b
i
ET i 2 i 2
i 1 i 1
i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因 b1 b, 所以 q ET 0
补码的截尾误差全是负值，原码和反码的截尾误差与数的正负 有关，正数时为负，负数时为正，并且都以正负q为界
b i 1
例：
x 0.75
正数表示：0.110 取反：1.001
x的补码：1.010
原码加减法运算要考虑符号位； 补码加法运算规律： 正负数可直接加减，符号位同样 参加运算，结果仍是补码。 若结果没有超出字长范围，则符号位 丢弃不影响结果的正确性。 若超出字长范围，如符号位发生双进 位，可以自然丢弃，若是单进位，丢 掉则发生溢出；
量化误差产生的原因
量化误差是指在将连续信号转换为离散信号时，由于采样频率和量化位数的限制而产生的误差。
这种误差会导致信号失真，降低系统的性能。
量化误差产生的原因主要有以下几点：1.采样定理：根据奈奎斯特采样定理，为了恢复原始信号，采样频率必须大于等于信号最高频率的两倍。
如果采样频率低于信号最高频率的两倍，就会导致混叠现象，从而产生量化误差。
2.量化位数：量化位数是指用于表示信号幅值的二进制位数。
量化位数越多，表示的信号幅值越精细，但同时也会增加系统的复杂性和成本。
如果量化位数过少，就会导致信号的动态范围受限，无法准确表示信号的幅值变化，从而产生量化误差。
3.量化策略：量化策略是指将连续信号的幅值映射到离散信号的幅值的方法。
常见的量化策略有均匀量化、非均匀量化等。
不同的量化策略对量化误差的影响不同。
例如，均匀量化可能会导致较大的量化误差，而非均匀量化可以减小量化误差。
4.信噪比：信噪比是指信号的有效信息与噪声之比。
信噪比越高，信号的质量越好，量化误差越小。
在实际应用中，信噪比受到很多因素的影响，如信号源的质量、传输过程中的干扰等。
当信噪比较低时，量化误差会增大。
5.编码方法：编码方法是指将离散信号转换为数字信号的方法。
不同的编码方法对量化误差的影响不同。
例如，无损编码可以减小量化误差，而有损编码可能会导致较大的量化误差。
总之，量化误差产生的原因是多方面的，包括采样定理、量化位数、量化策略、信噪比和编码方法等因素。
在实际应用中，需要根据具体的需求和条件选择合适的采样频率、量化位数和量化策略，以减小量化误差，提高系统的性能。
第一专题 量化误差2
x1 x2
x1 x2
将
x2的阶码变成与 x1 一样： x2 2010 0.001001
两数相加可得：2010 0.111001
将两浮点数的阶码相加，小数部分相乘即可。 结果为
2
010
0.011011
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
最常见的浮点数格式为IEEE 754标准。IEEE 754标准有：32 位单精度浮点数、4位双精度浮点数及80位扩展双精度浮点数。
A/D变换器的统计模型
实际采样时要精确地知道所有的量化误差e(n)是很困难的， 一般情况下只要计算它的平均效应就可以了，所以用统计分析 方法来分析量化误差的效应。
输入信号经A/D变换产生的量化误差
A/D变换器的统计模型
xa (t )
x(n) xa (m) x ( n) 抽样 量化器
ˆ ( n) x
bias 2
E 1
1
E 1 E 1 (2 1) ~ 2 指数表示移位数： 浮点数字长的代数表达式为：
x (1) s 1.m 2ebias
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示 例：此处以32位单精度浮点数（1，8，23）为例：
符号位 计算结果
x (1) s 1.m 2ebias (1)1 1.100100101101 2(133127) =(-1100100.101101) 2 =(100.703125)10
数字运算中的有效字长效应
小结
综上所述，在数字运算中，数据的二进制数无论是由 定点表示还是由浮点表示，由于硬件的资源及计算速率的 要求，计算结果中均有截尾误差或舍入误差，即存在有效 字长效应。除非我们以资源或速率换取高精度，否则截尾 误差及舍入误差是难免的。
参数量化重构误差度量
参数量化重构误差度量一、引言参数数量化是深度学习领域的一个重要研究方向，其目的是通过对模型参数进行量化，以减小模型大小、降低存储成本和提高模型推理速度。
然而，参数数量化会引起一定的量化误差，这些误差可能对模型的性能产生影响。
因此，度量量化误差并对其进行评估成为了该领域的一个关键问题。
本文将对参数量化重构误差度量进行详细探讨，首先介绍参数量化的基本原理，然后阐述参数量化重构误差度量的评估指标和方法，接着通过实验对比不同量化方法的性能，最后总结结论并提出未来研究方向。
二、参数量化原理参数量化主要包括标量量化、向量化以及矩阵/张量量化等几种方法。
标量量化将浮点数参数替换为具有更少精度的整数，例如8位整数（INT8）或16位整数（INT16）。
向量量化则将多个浮点数参数组合成一个向量，并对向量进行量化。
矩阵/张量量化适用于模型中的大尺寸参数，例如卷积层的权重矩阵。
参数量化可以减小模型的存储需求和提高推理速度，同时减小计算资源的消耗。
然而，量化过程会引入误差，这些误差可能导致模型性能的下降。
因此，对参数量化重构误差度量进行评估至关重要。
三、量化重构误差度量方法为了评估参数量化的性能，需要采用合适的评估指标和方法来度量量化重构误差。
以下是常用的参数量化重构误差度量的评估指标和方法：1.均方误差（MSE）：MSE是一种常用的误差度量方法，用于衡量预测值与真实值之间的平均平方误差。
在参数量化中，MSE用于衡量量化值与原始浮点数之间的平均平方误差。
2.峰值信噪比（PSNR）：PSNR常用于图像处理领域的误差度量，衡量的是图像经过处理后相对于原始图像的失真程度。
在参数量化中，PSNR可以用于衡量量化值与原始浮点数之间的峰值信噪比。
3.结构相似性指数（SSIM）：SSIM用于衡量两个图像之间的结构相似性。
在参数量化中，SSIM可以用于衡量量化值与原始浮点数之间的结构相似性。
4.L1/L2范数：L1和L2范数可以用于衡量预测值与真实值之间的绝对或相对误差。
数值计算方法matlab 第一章 误差分析
1 第一章作业1.对一个数求和100000次。
对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。
问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。
程序编写如下：运行结果：实验结果分析：不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。
这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。
双精度的情况下，该误差小得多。
当x=0.1时，从1x -开始，然后每次加入一项来分别计算。
在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。
问题分析：本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：256s (0.510)%510--ε=⨯=⨯近似百分比误差为： -100%a ε=⨯当前近似值前一近似值当前近似值真误差为：-100%ε=⨯真值近似值真值跳出循环的标准为：a |s |ε<ε程序编写如下：运行结果如下：3实验结果分析：实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。
随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。
我们可以通过改的值来调节所需要的计算精度。
变s。
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数字运算中的有效字长效应
小结
综上所述，在数字运算中，数据的二进制数无论是由 定点表示还是由浮点表示，由于硬件的资源及计算速率的 要求，计算结果中均有截尾误差或舍入误差，即存在有效 字长效应。除非我们以资源或速率换取高精度，否则截尾 误差及舍入误差是难免的。
[1] 程佩青.数字信号处理教程(第三版).清华大学出版社.2007 [2] 陈后金.数字信号处理(第二版).高等教育出版社.2004
差。
0.001111
数字运算中的有效字长效应
浮点数的表示
数码中小数点的位置是浮动的，b位二进制数分成指数部分 和尾数部分。浮点数F可表示为:
F M 2c
Ｍ:尾数，决定浮点的精
度。0.5 M 1
……
2C:指数，决定浮点 数的动态范围 Ｃ：阶码
……
符号位
bm
bc
符号位，正数小数点
往右移，负数往左移
式中， 为s符号位； 为B整数宽度，表示长度为 位B； 表示C 小
数宽度。
十进制计算公式为
B
C
x (1)s ( ai 2i bi 2 j )
i 1
j 1
数字运算中的有效字长效应
定点数在FPGA IP 核中表示
数字运算中的有效字长字运算中的有效字长效应
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
最高位为符号位,O表示正数,1表示负数。其后是用原码表
示的指数e,若指数为E位,则表示范围为: 0 ~ 2,指E 数1的偏移量
下式表示：
bias 2E1 1
指数表示移位数：(2E1 1) ~ 2E1 浮点数字长的代数表达式为：
x (1)s 1.m 2ebias
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示 例：此处以32位单精度浮点数（1，8，23）为例：
符号位 计算结果
x (1)s 1.m 2ebias (1)1 1.100100101101 2(133127) =(-1100100.101101)2 =(100.703125)10
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
数字运算中的有效字长效应
结论
定点数：数据的二进制数采用定点表示动态范围小，有溢出，尾数处 理会带来截尾或舍入误差。由此，在数字系统的计算中会发生有限字 长效应。
浮点数：浮点表示法尾数的字长决定浮点表示的精度，因此在硬件中 （如DSP、FPGA）实现计算时，由于硬件资源的限制及计算速率的 要求对尾数的处理也会带来截尾或舍入误差。由于浮点表示的阶码决 定浮点数的动态范围，因此与定点相比，浮点有更大的动态范围，且 不易溢出。
前言
数字信号处理的实质：一组数值运算 从设计的角度来讨论：认为数字是无限精度的 从实现的角度考虑：数字的精度就是有限的 从设计时的无限精度到实现时的有限精度，会产生 相对于原设计系统的误差，严重时会导致系统崩溃。
前言
有限字长的影响，主要表现在以下三方面
数字运算过程中的有效字长效应
数字运算过程中为限制位数而进行尾数处理、防止溢出而 产生的有效字长效应。
xa (t)
抽样x(nx)(n)x量a (m化)器
xˆ(n)
输入信号经A/D变换产生的量化误差
量化误差的来源
抽样 产生抽样序列x(n)＝x(t)|t=nT＝x(nT)， x(n)： 可看成是一个无限精度的数字信号 在满足抽样定理的前提下，模拟信号时间离散化的过程是可逆的。
量化 对抽样序列进行幅度上的离散化之后，用某种格式的数字代码来表示。 量化过程是不可逆的 必定要引入量化误差或量化噪声。 量化噪声的大小决定了A/D转换器的动态范围，是恒量A/D转换器性
主要内容
数字运算过程中的有效字长效应 输入信号经A/D变换产生的量化误差
滤波器的系数量化误差 总结
输入信号经A/D变换产生的量化误差
A/D变换的工作原理
A/D转换器是一种将输入的模拟信号x(t)转换为b位二进制数字信号的器 件。b的数值可以是8，12或高至20。它可以分为以下两部分： 采样：时间离散，幅度连续； 量化：数字编码，对采样序列作舍入或截尾处理，得有限字长数字信号 。 A/D变换器的功能原理图如下图所示。
输入信号经A/D变换产生的量化误差
即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散电平时产生的 量化误差。
滤波器的系数量化误差
即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误差。
主要内容
数字运算过程中的有效字长效应 输入信号经A/D变换产生的量化误差
滤波器的系数量化误差 总结
数字运算中的有效字长效应
定点数的表示
数字运算中的有效字长效应
浮点数的表示 例1：F=0.101×2010=0.625×4=2.5
符号位
符号位
01010010
数字运算中的有效字长效应
浮点数的表示
例2：若两个二进制浮点数
求 x1 及x2 x1 x2
x1 2010 0.1100, x2 2000 0.1001
x1 x2 x1 x2
定点数表示就是指小数点在数中的位置是固定不变的。 常用表达形式为：
0 • 12 b
其中，最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在符号 位后；数的本身只有小数部分，称为“尾数”； 十进制计算公式为：
b
x (1) 0 i 2i i 1
数字运算中的有效字长效应
定点数在FPGA IP核中表示
x sa1a2 L aBb1b2 L bC
将 x的2 阶码变成与 一x1样： x2 2010 0.001001
两数相加可得：2010 0.111001
将两浮点数的阶码相加，小数部分相乘即可。 结果为
2010 0.011011
数字运算中的有效字长效应
浮点数在FPGA IP核中的表示
最常见的浮点数格式为IEEE 754标准。IEEE 754标准有：32 位单精度浮点数、4位双精度浮点数及80位扩展双精度浮点数。 根据标准浮点数字长由一个符号位S、指数e和无符号(小数) 的规格化尾数 m构成。 其格式如下图所示。
定点数表示的缺点
结论
定点数作加减法时结果可能会 “溢出”
乘数法据运的算二不进溢制出数，采但用字定长点要表增示加动一态倍范。围小，有溢出，尾数处
理例会：带b=来3=×截>00.尾.0110或11 舍入误差。由此，在数字系统的计算中便会发
生有限字长效10应1 。 成为六位数，截尾变成0.001。产生误
101