物理信道与信道容量
信道容量(Channel Capacity)
信道容量（Channel Capacity）无线传输环境中，如果发端和收端均采用单天线发送和接收信号，接收信号y的数学模型可以表示为y=hx+n \tag{1} ,其中h为无线信道, x为发送信号，n为高斯加性白噪声服从正太分布 \mathcal{C}(0,\sigma^2) 。
通信相关专业的学生应该知道香农公式：公式(1)表示的无线信道容量（Channel Capacity）为C=B\log_2\left(1+\frac{P_t|h|^2}{\sigma^2} \right),\tag{2}其中B为信号带宽， P_t 为信号发射功率。
相信很多人知道结论(2)，但是不明白它是怎么得到的。
下面将简单的阐述其推导过程。
阅读该过程之前，建议阅读“ 徐光宁：信息论（1）——熵、互信息、相对熵”中关于熵和互信息的定义。
对于接收端，发送信息x是一个随机变量，例如以概率p(x=a)发送x=a。
如果发送信息x对于接收端为一个确定值，那发送本身就没有任何意义。
因为发送信号x和噪声n 都是随机变量，接收信号y也是随机的。
可以引入熵来描述随机变量y所含的信息量，即H(y)=\int_y p(y)\log \frac{1}{p(y)}dy,\\其中p(y)为y的概率密度函数。
当某一时刻发送某一x后(x 此时是确定的), 收到的y的信息量为H(y|x)=\int_y p(y|x)\log \frac{1}{p(y|x)}dy,\\其中p(y|x)为y在给定x下的条件概率。
注意y因为是随机变量x和n的和，且x和n相互独立，其信息量为传输信号x和噪声n的信息量之和。
而y|x的随机性仅仅与噪声n有关，其信息量为噪声n的信息量。
互信息定义为I(x,y)=H(y)-H(y|x)\\ 。
其物理意义为随机变量y的信息量减去噪声n的信息量，等于x的信息量。
信道容量C指信道所实际传输信息量的最大值C=\max\limits_{p(x)} I(x,y) \tag{3}数学证明当x服从高斯分布 \mathcal{C}(0,P_t) 时，C in (3)取得最大值。
信息论名词解释
信息论部分基本概念和名词术语消息(或称为符号)：信息的数学表达层，它虽不是一个物理量，但是可以定量地加以描述，它是具体物理信号的进一步数学抽象，可将具体物理信号抽象为两大类型：自信息量：一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量成为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。
平均互信息：表达平均互信息量的熵I(X;Y), 是确定通过信道的信息量的多少，因此称它为信道传输率或传信率。
I(X;Y)就是接收到符号Y后平均每个符号获得的关于后平均每个符号获得的关于X的信息量——平均意义上每传送一个符号流经信道的平均信息量。
离散平稳无记忆信源：假定随机变量欲裂的长度是有限的，如果信源输出地信息序列中，符号之间的无相互依赖关系，则称这类信源为离散平稳无记忆信源。
信源冗余度：信源熵的相对率为信源实际的信息熵与同样符号数的最大熵的比值：η=H无穷/H0，定义信源的冗余度为1减去信源熵的相对率η，即ξ=1-η。
信道容量：信道在单位时间上能够传输的最大信息量。
平稳信源：概率分布函数与时间起点无关，平稳信源是有记忆的，记忆的长度有限。
香农信息：信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。
无记忆信道：在某一时刻信道的输出消息仅与当时的信道输入消息有关，而与前面时刻的信道输入或输出消息无关。
有记忆信道：在任意时刻信道的输出消息不仅与当时信道的输入消息有关，而且还与以前时刻的信道输入消息和（或）输出消息有关。
信道疑义度(含糊度) H(X|Y)：表示在输出端接收到Y后，发送端X尚存的平均不确定性。
这个对X尚存的不确定性是由于干扰引起的。
信道散布度H(Y|X)：表示在已知X后，对于输出Y尚存的平均不确定性；平均失真度：定义平均失真度为失真函数的数学期望，及d（xi,yi）在X和Y 得联合概率空间P(XY)中的统计平均值：D=E[D（xi,yi）] ，起是在平均的意义上，从总体上对整个系统失真情况的描述。
失真函数d(xi,yj)：是人为规定的，给出规定时应该考虑解决问题的需要以及失真可能引起的损失、风险和主观上感觉的差别等因素。
信道容量的定义和物理意义
信道容量：定义、物理意义及实际应用一、信道容量的定义及相关概念信道容量，或者称为通道容量，是通信领域中的一个重要概念。
它表示在给定的信道条件下，信道所能承受的最大信息传输速率。
换句话说，信道容量描述了信道在单位时间内传输信息的最大能力。
这个概念与信道增益和信号畸变等概念密切相关。
信道增益是指信号在传输过程中的增强效应，而信号畸变则描述了信号在传输过程中发生的形状、幅度等特性的改变。
这些因素都会影响信道的容量，进而影响信息传输的速度和质量。
二、信道容量与信息传输速度、信号精度之间的联系和区别信道容量与信息传输速度有着直接的关系。
在大多数情况下，信道容量越大，信息传输速度就越快。
然而，这并不意味着信息传输速度越快，信道容量就一定大。
信号精度也会影响信道容量，高精度的信号可以承载更多的信息，从而有可能提高信道容量。
然而，需要注意的是，信道容量并不是一个固定的值，它可以根据不同的传输条件和环境变化。
例如，在噪声较大的环境中，信道容量可能会降低。
此外，如果信号的幅度或频率范围过大，可能会导致信号畸变，从而降低信道容量。
三、不同类型信道上信道容量的区别及其影响因素不同类型的信道，如无线、光纤等，其信道容量会有所区别。
无线信道的容量受到很多因素的影响，如大气条件、电磁干扰等。
而光纤信道则由于其传输的是光信号，因此其容量主要受到光源的限制。
对于无线信道，其信道容量通常会受到无线电波的多径传播、衰减、噪声等因素的影响。
而对于光纤信道，其信道容量通常会受到光源的限制以及光信号在光纤中的散射和吸收等效应的影响。
四、实际应用场景中信道容量的应用价值及其对系统性能指标的影响在实际应用场景中，如互联网和移动通信等，信道容量的应用价值非常显著。
在这些系统中，信息的传输速度和精度都会直接影响到用户的使用体验。
因此，理解并优化信道容量对于提高这些系统的性能指标至关重要。
例如，在互联网中，网络拥堵是经常遇到的问题。
这种拥堵往往是由于网络中的信息流量过大，超过了网络的信道容量所致。
信道、信道容量、数据传输速率
信道、信道容量、数据传输速率简介：信道、信道容量、数据传输速率（比特率）、电脑装置带宽列表一、信道的概念信道，是信号在通信系统中传输的通道，是信号从发射端传输到接收端所经过的传输媒质，这是狭义信道的定义。
广义信道的定义除了包括传输媒质，还包括信号传输的相关设备。
信道容量是在通信信道上可靠地传输信息时能够达到的最大速率。
根据有噪信道编码定理，给定信道的信道容量是其以任意小的差错概率传输信息的极限速率。
信道容量的单位为比特每秒、奈特每秒等等。
香农在第二次世界大战期间发展出信息论，并给出了信道容量的定义和计算信道容量的数学模型。
他指出，信道容量是信道的输入与输出的互信息量的最大值，这一最大取值由输入信号的概率分布决定。
二、信道的分类（一）狭义信道的分类狭义信道，按照传输媒质来划分，可以分为有线信道、无线信道和存储信道三类。
1. 有线信道有线信道以导线为传输媒质，信号沿导线进行传输，信号的能量集中在导线附近，因此传输效率高，但是部署不够灵活。
这一类信道使用的传输媒质包括用电线传输电信号的架空明线、电话线、双绞线、对称电缆和同轴电缆等等，还有传输经过调制的光脉冲信号的光导纤维。
2. 无线信道无线信道主要有以辐射无线电波为传输方式的无线电信道和在水下传播声波的水声信道等。
无线电信号由发射机的天线辐射到整个自由空间上进行传播。
不同频段的无线电波有不同的传播方式，主要有：地波传输：地球和电离层构成波导，中长波、长波和甚长波可以在这天然波导内沿着地面传播并绕过地面的障碍物。
长波可以应用于海事通信，中波调幅广播也利用了地波传输。
天波传输：短波、超短波可以通过电离层形成的反射信道和对流层形成的散射信道进行传播。
短波电台就利用了天波传输方式。
天波传输的距离最大可以达到400千米左右。
电离层和对流层的反射与散射，形成了从发射机到接收机的多条随时间变化的传播路径，电波信号经过这些路径在接收端形成相长或相消的叠加，使得接收信号的幅度和相位呈随机变化，这就是多径信道的衰落，这种信道被称作衰落信道。
第三章 信道和信道容量
I（X；Y）：接收到Y前、后关于的平均不确定性 的消除 ；或发送X前、后关于Y的平
均不确定性的消除。
可见：熵只是平均不确定性的描述，而不确定性 的消除（两熵之差）才等于接收端所获得的信息 量。获得的信息量不能和不确定性混为一谈。
第三章 信道和信道容量
关于信道容量： 研究：信道中平均每个符号所能传送的信息量，
有损失，是无噪有损信 道，也称确定信道，即： 损失熵：H(X/Y) ≠ 0； 噪声熵：H(Y/X) ＝ 0， I(X;Y)＝H(Y)＝H(X)－H(X/Y) ＜H(X)
第三章 信道和信道容量
信道容量仍是最大熵问题（最大H(Y)）：
C＝max H(Y)＝log s bit/符号
P(X)
（设Y有s个符号）
不相交的子集mk，由mk组成的矩阵[P]k是对称矩阵 （具有可排列的性质），则称此信道为准对称信道， 其信道容量：
r为输入符号集个数 即信道矩阵行数 准对称信道中的 行元素 第k个子矩阵 中行元素之和
第k个子矩阵 中列元素之和
第三章 信道和信道容量
例3－1：二元对称删除 信道如图，计算信道容量。
例3－2：准对称信道的信道矩阵为： P(y/x)＝ 0.5 0.3 0.2 0.3 0.5 0.2 当输入概率分布为p(x1)＝ɑ，p(x2)＝1－ɑ
且：p＝0时，信道无干扰； P＝1/2时，信道干扰最为严重。
第三章 信道和信道容量
二、二元删除信道
难以区分原发送信号时，不硬性
判断0或1，而作删除处理。 删除信道中，p＝q时，则为 对称删除信道。 三、Z信道 信道特性：0错成1的概率为0， 1错成0有一定可能。
1
0 1 0
p
1－p
1
第三章 信道和信道容量
计算机网络的通信子网.
3.2.1 信道容量和信道复用
一、信道容量： 信道容量是指物理信道能够传送的最大数据 率。
带宽：指物理信道的频带宽度，即允许的最高 频率和最低频率之差 数据传输率：在有效的带宽上单位时间内可靠 传输的二进制位数
实际应用中数据传输率要小于信道容量。
信道容量
带宽和数据传输率的关系
1924年，奈魁斯特（H. Nyquist）推导出无噪声 有限带宽信道的最大数据传输率公式：
数据
A B
监视信号
二、信道的带宽
• 带宽：信道两端的发送接收设备能够改变比 特信号的最大速率。用Hz（赫兹）表示。 • 例如，某信道的带宽是3000Hz，则表示该 信道最多可以以每秒3000次的速率发送信号。
比特率和波特率
(1)比特率：即数据传输率，指每秒传输多少二进制代 码位数，故又称数据率，单位用：位 / 秒或记作 b/s 或 bps。 (2)波特率：又称调制速率或波形速率。 是指线路上每秒传送的波形个数。 通常用于表示调制解调器之间传输信号的速率。 波特率与比特率的关系取决于信号值与比特位的关系。 S=Blog2N 例：每个信号值可表示３位，则比特率是波特率的３倍； 每个信号值可表示１位，则比特率和波特率相同。
1、异步传输方式
• 异步传输方式的特点
– 各个位以串行方式发送，并附有起止位识别 符 – 字符之间通过“空号”来间隔，效率低、速 度慢
1 0 1 1 0 1 1
字符编码 起始位 终止位
奇偶校验
6、同步传输方式
• 同步传输方式的特点：
– 在同步方式中，信息不是以字符而是以数据块方式传 输 – 在位流中采用同步字符来保证定时 – 同步信号的位数较异步方式少，效率较高
此式是利用信息论得出的，具有普遍意义； 与信号电平级数、采样速度无关； 此式仅是上限，难以达到。
数据通信系统的主要技术指标
波特率 一个数字信号（码元）可以包含几位二 进制数，例如：可以用一个信号表示一位 二进制数“0”，采用较为复杂的调制技术时， 可以在一个信号上携带“01”两位二进制数， 甚至更多。 波特率指每秒传输的有效码元个数。
比特率和波特率之间用下列关系： 其中，n为一个脉冲信号所表示的有效二进制 数的位数。对于多相调制来说，n表示相的数目。 在二相调制中，n=2，故S=B，即比特率与波特 率相等。四相调制中，n等于4，
通信系统的主要技术指标
通信特率）和波形调制速率（波 特率） 比特率（S） 单位时间内所传送的二进制代码的有效位 （bit）数。 例如：在0.001ms内传输了“1010001011”这样 一段有效数据。那么该传输的比特率为： 10/（0.001ms）=10M/s
比特率和波特率之间的关系对照表 波特率B 1200 1200 1200 1200
多相调制 二相调制 四相调制 八相调制 十六相调制 (n=2) (n=4) (n=8) (n=16) 相数 1200 比特率 S(bit/s) 2400 3600 4800
波特率（调制速率）和比特速率（数据传输速率） 是两个最容易混淆的概念，但它们在数据通信中 确很重要。两者的区别与联系，如图 ：
二、带宽 带宽是指物理信道的频带宽度，即信道 内最高频率和最低频率之差。 单位：赫兹（HZ），还常用千赫 （kHZ）、兆赫（MHZ）。
三、信道容量 信道容量一般是指物理信道上能够传输 数据的最大能力。
四、带宽、数据传输速率和信道容量的关系 一般来讲：信道所处的频带越高，所包 围的频率范围越大，则该信道的容量越大， 传输速率越高！
五、误码率 误码率是指二进制比特在数据传输系统中被 传错的概率，又称为出错率，其定义式如 下： 式中，N为传输的二进制位的总数，Ne 表示被传错的比特数。
信道、信道容量、数据传输速率
二、信道的分类
（一）狭义信道的分类
狭义信道，按照传输媒质来划分，可以分为有线信道、无线信道和存储信道三类。
1. 有线信道
有线信道以导线为传输媒质，信号沿导线进行传输，信号的能量集中在导线附用电线传输电信号的架空明线、电话线、双绞线、对称电缆和同轴电缆等等，还有传输经过调制的光脉冲信号的光导纤维。
天波传输：短波、超短波可以通过电离层形成的反射信道和对流层形成的散射信道进行传播。短波电台就利用了天波传输方式。天波传输的距离最大可以达到400千米左右。电离层和对流层的反射与散射，形成了从发射机到接收机的多条随时间变化的传播路径，电波信号经过这些路径在接收端形成相长或相消的叠加，使得接收信号的幅度和相位呈随机变化，这就是多径信道的衰落，这种信道被称作衰落信道。
调制信道的数学模型为：
y(t) = x(t) * h(t;τ) + n(t)
其中x(t)是调制信道在时刻t的输入信号，即已调信号。y(t)是调制信道在时刻t的输出信号。h(t;τ)是信道的冲激响应，τ代表时延，h(t;τ)表示在时刻t、延时为τ时信道对冲激函数δ(t)的响应，描述了信道对输入信号的畸变和延时。*为卷积算子。n(t) 是调制信道上存在的加性噪声，与输入信号x(t)无关，又被称为"加性干扰"。由于信道的线性性质，并且考虑信道噪声，x(t) * h(t;τ) + n(t)就是x(t)通过由信道响应h(t;τ)描述的调制信道的输出。调制信道可以同时有多个输入信号和多个输出信号，这时的x(t)和y(t)是矢量信号。
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i
j
p(bj | ai)logp(bj | ai)
j
[plogp plogp] H(p)
I(X ;Y ) H (Y ) H (Y |X ) H (p p ) H (p )
1 H (p )
BSC信道容量 • BSC信道容量
C1H(p)
I(X ;Y)H (Y)H (Y|X )H (p p)H (p)
• 则存在
L
p(X) p(Xl ) l1
L
I(Χ;Υ) I(Xl;Yl) l1
• 若信源与信道都是无记忆的
离散序列信道及容量
L
I(Χ;Υ) I(Xl;Yl) l1
• L次扩展信道的信道容量
L
L
C Lm P X I(a ; x)m P X l a 1I(x X l;Y l)l 1C (l)
串联信道
• 求得:
X0
Y 1-p
1-p
0Z
I(X;Y)1H(p) I(X;Z)1H[2p(1p)] 1
p p
1-p
1 1-p
• 在实际通信系统中,信号往往要通过几个环节的传输,或多步的处理,这些传输或处理都可看成是信 道,它们串接成一个串联信道。
• 由信息不增原理
串联信道
H ( X ) I ( X ;Y ) I ( X ;Z ) I ( X ;W ) C (1 ,2)mIa (X x ;Z) C (1 ,2 ,3 )mI(a X ;W x)
a2
: : :
p11 p12
p21
p22
an
pnm
i1,2, n
b1 b2
: : :
bm
3.2 离散单个符号信道及其容量
信道容量
• 平均互信息I (X;Y)： – 接收到符号Y后平均每个符号获得的关于X的信息量。
I(X;Y)
i
j p(xi)p(yj |xi)logp(py(jy|jx)i)
n
p(yj) p(xi)p(yj |xi) i1
R trs[H (X )H (X|Y )]
• 进入信道输入端的信息速率
Dinrs H(X)
例BSC信道如图, rs=1000符号/秒, 错误传递概率 p=0.1 求:信道容量
输入符号等概时有最大信息传输速率
X
0.9
Y
¼0
0.1
Ct rs[1H(p)]
¾1
100[10(0.1lo0g.10.9lo0g.9)]
• 当 p = 0, C =1－0 = 1bit = H ( X )
信道无噪声 C
• 当 p = 1/2 ,
信道强噪声
11
C1H( , )0 22
p
信道容量
• 定理： • 给定转移概率矩阵P后,平均互信息I (X;Y)是输入信源的概率分布p(ai)的 型上凸函数。
• 定理： • 平均互信息I (X;Y)是信道传递概率p(bj|ai)的 型凸函数。
– 描述输入/输出的统计依赖关系,反映信道统计关系
p(Y|X) X
Y 信道
无干扰(无噪声)信道 • 无干扰(无噪声)信道
– 信道的输出信号Y与输入信号X之间有确定的关系Y= f (X), 已知X后就确知Y – 转移概率:
1, Yf(X) p(Y|X)0, Yf(X)
有干扰无记忆信道 • 有干扰无记忆信道
串联信道 • 例3-3 设有两个离散BSC信道,串接如图,两个BSC信道的转移矩阵为:
1p p
P1 P2
p
1p
• 串联信道的转移矩阵为:
X0
1-p Y
p
p
1 1-p
1-p 1-p
0Z 1
1 pp 1 pp (1 p )2 p 2 2 p (1 p ) P P 1 P 2 p1 p p1 p 2 p (1 p ) (1 p )2 p 2
1 1 1 1 P 3 3 6 6
1 1 1 1 6 6 3 3
1 1 1
2 3 6
P
1 6
1 2
1 3
1 1 1
3 6 2
满足对称性,所对 应的信道是对称 离散信道。
• 信道矩阵
对称DMC信道
1 1 1 1 P3 3 6 6
1 1 1 1 6 3 6 3
P00..27
0.1 0.1
0.2 0.7
– 仅与当前输入输出有关。若信道是平稳的
l 1
p(Y|X)pL(y|x)
• 定理：若信道的输入和输出分别是L长序列X和Y, 且信道是无记忆的, 亦即信道传递概率为
• 则存在
L
p(Y| X) p(Yl | Xl) l1
L
I(Χ;Υ) I(Xl;Yl) l1
• 定理：若信道的输入和输出分别是L长序列X和Y, 且信源是无记忆的, 亦即
1H (p)
• 当 p 固定时, I (X,Y) 是ω的U型上凸函数。
I(XY)
• I ( X ,Y ) 对ω存在一个极大值。
1-H(p)
ω
BSC信道容量 • BSC信道容量
I(X;Y) H(Y)H(Y | X)
H(pp)H(p)
1 H( p)
C1H(p)
• 当固定信源的概率分布ω时, I ( X, Y ) 是 p 的 型 下凸函数。
• 对称DMC信道的容量：
对称DMC信道
ClogmH(p1, p2pm)
m
logm pijlogpij j1
• 上式是对称离散信道能够传输的最大的平均信息量,它只与对称信道矩阵中行矢量{p1, p2,…pm } 和输出符号集的个数m有关。
• 强对称信道的信道容量：
Clo2ng H (1p,np 1, ,np 1)
• 信道输入是n元符号X∈{a1, a2, …, an} • 信道输出是m元符号Y∈{b1, b2, …, bm} • 转移矩阵
– 已知X, 输出Y统计特性
b1 b2 bm
p11 p12 p1m a1
P
p21
p22
p2m
a2
pn1
pn2
pnm
an
m
p(bj |ai)1
j1
a1
I (ai;Y) = C 对于所有ai其p(ai)＞0 I (ai;Y) ≤C 对于所有ai其p(ai) = 0
• 上式说明： – 当信道的平均互信息I(X;Y)达到信道容量时,输入符号概率集{p(ai)}中每一个符号ai对输出端 Y提供相同的互信息,只是概率为0的除外。
3.3 离散序列信道及容量
• 设二进制对称信道的输入概率空间 • 信道矩阵：
BSC信道容量
1p p p p
P
p
1pp p
X 0 1
P
1
p(b0) p(ai)p(b0 |ai)pp i0
1
p(b1) p(ai)p(b1|ai)pp i0
H(Y)(pp)logp 1p(pp)logp 1p
H(pp)
H(Y| X) p(ai) p(bj | ai)logp(bj | ai)
r
C lognH(p1, p2pm) Nk logMk k1 log2H(1, 1,1,1)(3log3 1log1) 2488 4 4 4 4 11.750.8110.06（1 比特/信道符号）
3.2.4 一般DMC信道 • 定理： • 一般离散信道的平均互信息I(X;Y)达到极大值的充分和必要条件是输入概率{p(ai)}必须满足:
• 可以看出,串接的信道越多,其信道容量可能会越小,当串接信道数无限大时,信道容量可能会趋于0
X
Y
Z
信道1
信道2
…
信道m
3.2.3 准对称DMC信道
• 准对称信道 – 转移概率矩阵P是输入对称而输出不对称
• 将信道矩阵P的列划分成若干个互不相交的子集mk,由mk为列组成的矩阵[P]k是对称矩阵。
1 1 1 1 1 1 1 1
• 信道的信息传输率就是平均互信息
• 信道容量C： – 最大的信息传输率
信道容量
CmaIx(X;Y) p(ai)
• 单位时间的信道容量：
1
Ct
maIx(X;Y) T p(ai)
信道容量的计算
• 对于一般信道,信道容量计算相当复杂,我们只讨论某些特殊类型的信道： • 离散信道可分成： • 无干扰(无噪)信道
离散序列信道及容量 • 设信道的输入X=(X1, X2 … Xi,… ), Xi ∈{a1 … an}
输出Y= (Y1, Y2 … Yj,…), Yj ∈{b1 … bm}
p(Y|X)
X
Y
信道
• 对于无记忆离散序列信道,其信道转移概率为
L
p (Y |X )p (Y 1 , Y L|X 1 , X L ) p (Y l|X l)
100[100.46]953b1i/ss
信道实际信息传输速率
R t r s [ H ( X ) H ( X |Y ) 1 ] [ 0 . 8 0 . 3 1 ] 0 4 9 1 b / 1 s 8 i D i n r s H ( X ) 10 0 .8 0 1 8 0 b 1 1 /s i1 t
• 当输入分布为等概率时：
准对称信道的信道容量
r
Clon gH (p1,p2 pm ) N kloM g k k1
– 其中n是输入符号集的个数,(p1, p2,…pm)为准对称信道矩阵中的行元素。 • 设矩阵可划分成r个互不相交的子集。
– Nk是第k个子矩阵Pk中行元素之和, – Mk是第k个子矩阵Pk中列元素之和。
P131
3 1
6 1
6113
16
13
16
6 3 6 3 6 3 3 6
• 它们满定对称性,所以P1所对应的信道为准对称信道。