《公式法》-课件(共张PPT)
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《公式法》PPT课件(人教版)
相等的实数根.
例（ 2 4）x2 17 8x
解：原方程可化为x2 8x 17 0
a 1,b 8,c 17
这里的a、 b、c的值 分别是什
么？
△ b2 4ac (8)2 4117 4＜0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程 无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
a 5, b 4, c 1
这里的a、b、 c的值分别是
什么？
△ b2 4ac (4)2 4 5 (1) 36＞0
则：方程有两个不相等的实数根
b b2 4ac (4) 36 4 6
x
2a
25
10
即结：论x1：当4106△1b, x2 24a4c1＞060 时 ，15一元二次方程有两个不
4
3 3x2 6x 2 0; 4 4x2 6x 0; 5 x2 4x 8 4x 11 ; 6 x2x 4 5 8x.
解：（1）
2 x2 3x 1 0
4
解：
3 3x2 6x 2 0
解：
4 4x2 6x 0
解：
5 x2 4x 8 4x 11
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
例（ 2 4）x2 17 8x
解：原方程可化为x2 8x 17 0
a 1,b 8,c 17
这里的a、 b、c的值 分别是什
么？
△ b2 4ac (8)2 4117 4＜0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程 无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
a 5, b 4, c 1
这里的a、b、 c的值分别是
什么？
△ b2 4ac (4)2 4 5 (1) 36＞0
则：方程有两个不相等的实数根
b b2 4ac (4) 36 4 6
x
2a
25
10
即结：论x1：当4106△1b, x2 24a4c1＞060 时 ，15一元二次方程有两个不
4
3 3x2 6x 2 0; 4 4x2 6x 0; 5 x2 4x 8 4x 11 ; 6 x2x 4 5 8x.
解：（1）
2 x2 3x 1 0
4
解：
3 3x2 6x 2 0
解：
4 4x2 6x 0
解：
5 x2 4x 8 4x 11
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
公式法ppt课件
=36y - x
2
2
=(6y+ x)(6y- x).
(3)(2a-3b)2-16b2
=(2a-3b+4b)(2a-3b-4b)
=(2a+b)(2a-7b).
2
2
(3)(2a-3b) -16b .
提公因式法与平方差公式因式分解的综合应用
[例2-1] 把下列各式因式分解:
(1)a3-9a;
2
2
A.x +2x-1
B.x -x
2
C.x +xy+y
2
2
D.64+x -16x
2.若9x2+2mx+4是完全平方式,则m的值为( C )
A.6 B.±3
C.±6 D.12
3.已知正方形的面积是(x 2 -8x+16) cm 2 (x<4 cm),则正方形的边长是
(4-x) cm.
4.若2a-3b=6,ab=7,则代数式4a3b-12a2b2+9ab3的值为 252 .
3
第1课时
公式法
用平方差公式因式分解
用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b),利用公
2
2
式 a -b =(a+b)(a-b) 可以把a2-b2因式分解.
[例1-1] 把下列各式因式分解:
(1)4a2-9b2;
解:(1)4a2-9b2
B.b(a-b)2
C.(ab+b)(a-b)
D.b(a+b)(a-b)
《公式法》优质ppt课件
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 （1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
《公式法》优质实用课件（PPT优秀课 件）
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例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（1） 3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 = 3 （a x 2 + 2 x y + y 2） = 3 （a x y）2；
a 2 2 a b + b 2 = （ a b ） 2
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理解完全平方式
我们把 a2+2ab+b和2 a2-2ab这+b样2 的式子叫做完 全平方式．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
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理解完全平方式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
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例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（1） 3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 = 3 （a x 2 + 2 x y + y 2） = 3 （a x y）2；
a 2 2 a b + b 2 = （ a b ） 2
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理解完全平方式
我们把 a2+2ab+b和2 a2-2ab这+b样2 的式子叫做完 全平方式．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
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理解完全平方式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
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解一元二次方程(公式法)(ppt课件)
这时
b
2
4ac 4a 2
＞0，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不 相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0， 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相 等实数根
探究新知
解：方程化为 2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.
方程有两个不等的实数根
x＝－b±
b2－4ac＝5±
2a
4
97，
即
x1＝5＋4
97，x2＝5－4
97 .
随堂练习
3．用公式法解方程：x2－3x＋4＝0. 解：a＝1，b＝－3，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7<0. 方程无实数根．
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
,
x2
1．
（2） x2 4x 7 0 ，
a 1， b 4 ， c 7 ，
b2 4ac (4)2 417 44 0 ，
公式法ppt课件
度。
数值稳定
在推导和求解公式时，要注意 数值的稳定性，防止计算过程
中的误差积累。
自适应算法
根据问题的特性，设计自适应 的算法，以更好地求解问题。
03
公式法的实际应用
公式法在科学计算中的应用
数学建模
公式法在科学计算中常用于建立 数学模型，通过公式表达自然规 律和现象，为科学研究提供基础
。
物理定律表达
衍生品定价涉及复杂的数学模型 ，公式法为衍生品定价提供了有
效的解决方案。
风险管理
风险管理需要利用公式法进行量 化分析和预测，以识别和降低潜
在风险。
04
公式法的优缺点分析
公式法的优点
明确性
公式法通过明确的数学公式和符号， 能够精确地表达复杂的概念和关系， 避免歧义和误解。
简洁性
公式法通常以简洁的形式呈现，能够 快速传达核心信息，提高信息传递效 率。
控制系统设计涉及数学模型的建立和 优化，公式法在此过程中发挥了重要 作用。
流体动力学计算
在航空、航海和流体机械等领域，公 式法用于计算流体动力学参数，如压 力、速度和阻力等。
公式法在金融分析中的应用
投资组合优化
金融分析中，投资组合优化需要 利用公式法进行风险评估和资产
配置，以实现收益最大化。
衍生品定价
可复制性
公式法具有高度的可复制性，方便在 不同场合和情境下重复使用，提高工 作效率。
科学性
公式法基于数学原理和逻辑推理，具 有高度的科学性和严谨性，能够客观 地反映事物的本质和规律。
公式法的缺点
技术门槛高
适用范围有限
公式法需要使用者具备一定的数学基础和 公式推导能力，技术门槛较高，不易被广 泛掌握。
数值稳定
在推导和求解公式时，要注意 数值的稳定性，防止计算过程
中的误差积累。
自适应算法
根据问题的特性，设计自适应 的算法，以更好地求解问题。
03
公式法的实际应用
公式法在科学计算中的应用
数学建模
公式法在科学计算中常用于建立 数学模型，通过公式表达自然规 律和现象，为科学研究提供基础
。
物理定律表达
衍生品定价涉及复杂的数学模型 ，公式法为衍生品定价提供了有
效的解决方案。
风险管理
风险管理需要利用公式法进行量 化分析和预测，以识别和降低潜
在风险。
04
公式法的优缺点分析
公式法的优点
明确性
公式法通过明确的数学公式和符号， 能够精确地表达复杂的概念和关系， 避免歧义和误解。
简洁性
公式法通常以简洁的形式呈现，能够 快速传达核心信息，提高信息传递效 率。
控制系统设计涉及数学模型的建立和 优化，公式法在此过程中发挥了重要 作用。
流体动力学计算
在航空、航海和流体机械等领域，公 式法用于计算流体动力学参数，如压 力、速度和阻力等。
公式法在金融分析中的应用
投资组合优化
金融分析中，投资组合优化需要 利用公式法进行风险评估和资产
配置，以实现收益最大化。
衍生品定价
可复制性
公式法具有高度的可复制性，方便在 不同场合和情境下重复使用，提高工 作效率。
科学性
公式法基于数学原理和逻辑推理，具 有高度的科学性和严谨性，能够客观 地反映事物的本质和规律。
公式法的缺点
技术门槛高
适用范围有限
公式法需要使用者具备一定的数学基础和 公式推导能力，技术门槛较高，不易被广 泛掌握。
14.3.2公式法 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
13.在括号内填上适当的数，使之能用完全平方公式进行因式分解.
（1）x2 （ ）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
（1）x2 （ ）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
《公式法》课件.ppt
所以x (4) 0 1 24 2
即x1
x2
1 2
用公式法解下列方程：3x(x 3) 2(x 1)(x 1)
解：化为一般式为： x2 9x 2 0
因为b2 4ac 28
所以x (9) 28 9 2 7
2
2
即x1
9
2 2
解：因为 b2 4ac 256
所以x (4) 256 4 16
2510即Fra bibliotek12，x2
6 5
x b b2 4ac 2a
例 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化简为一般式：4x2 +12x 9 0 这里 a 4、 b 12、 c 9
7
,
x2
92 2
7
归纳小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
要成为德智体兼优的劳动者，锻炼身 体极为重要。身体健康是求学和将来工作 之本。运动能治百病，能使人身体健康， 头脑敏捷，对学习有促进作用。
b2 4ac 0
x 12 0 3
8
2
即：
3 x1 x2 2
x b b2 4ac 2a
例 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
1
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
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用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根：
什么？
△ b 2 4 a ( c 4 ) 2 4 5 ( 1 ) 3 ＞ 0 6
则：方程有两个不相等的实数根
x b b 2 4 a c ( 4 )3 64 6
2 a
2 5
10
即 结论x1 ： ： 当4 1 6 △ 0 1 b ,x 22 4a4 1 ＞ c6 00 时 ，1 5 一元二次方程有两个不
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 没有实数根．
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。通 常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac。
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时， 方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
解一元二次方程
-
回顾旧知
利用配方法解一元二次方程 x2 x 7 0。 4
解： 移项，得 x 2 x 7 4
配方 x2 x122 74122
x
1 2
2
2
由此可得
x1 2
2
x1
1 2
2，
x2
1 2
2
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x＋px＋q = 0 的形式。
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q。
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
x2＋px＋ ( p )2 = －q＋ ( p )2
方程右边
开方：根据平方根的2 意义，方程两边2 开平方。是非负数
( x+ p )2 =－q＋ ( p )2
2
2
求解：解一元一次方程。
定解：写出原方程的解。
新课导入
一元二次方程的 一般形式是什么？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
c的值分别 是什么？
△ b 2 4 a c ( 22 )2 4 2 1 0
则：方程有两个相等的实数根：
x1x22ba222222
结论：当 △ b24ac 0时，一元二次方程有两个 相等的实数根.
例 （ 23 ） 5x23xx 1
解：原方程可化为： 5x2 4x10
a5 ,b 4 ,c 1
这里的a、b、 c的值分别是
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解a 1,b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
方程有两个不相等的实数根：
1.变形:化已知方 程为一般形式;
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
x b b2 4ac 2a
4 44 4 2 11 .
相等的实数根.
例 （ 24 ） x21 78x
解 ： 原 方 程 可 化 为 x 2 8 x 1 7 0
a1,b8,c17
这里的a、 b、c的值 分别是什
么？
△ b 2 4 a c ( 8 )2 4 1 1 7 4 ＜ 0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b24a＜ c0时，一元二次方程没有 实数根.
x1 = x2 = ______ 。
(b)当∆<0时，方程实数根。
b x1 x2 2a
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程
x22x40
解这个方程，得
x 2 2 2 4 1 4 2 2 0 1 5 ,
2 1
2
x11 5,x2 1 5(x不能为负数，舍
精确到0.001，x1≈ 1.236，
2 1
2
3.计算: △=b24ac的值;
4.代入:把有关数 值代入公式计算;
2 – 11
5.定根:写出原方
x 2 11; x 2 11 结论：当 △ b24a＞ c0 时，一元二程次的方根程. 有两个不
1
相等的实2 数根.
例 2(2)2x222x10 这里的a、b、
解：a2,b22,c1
如果使用配方法解 出一元二次方程一般形 式的根，那么这个根是 不是可以普遍适用呢？
任何一元二次方程都可以写成一般形式
ax2 bx c 0 （a 0）. ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得
ax2 bx c.
二次项系数化为1，得 x2 b x c .
a
a
配方
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
②
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
x1 b2 b a 24ac,x2 b2 b a 24ac;
（2）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
解： a 3,b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15 3 15 x1 3 , x2 3 .
b2 4ac 12 416 25.
x 1 25 1 5 ,
21
2
x1 ２, x2 －3.
2 x2 3x10
4
解： a 1,b 3, c 1 . 4
b2 4ac
3
2
4
Байду номын сангаас
1 4
4.
x 3 4 32,
21
2
x1
2 2
3 , x2
32. 2
3 3x2 6x20
虽然方程有两个根，但是其中只有x1≈1.236符合问题的实 际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m．
练习
（1）解下列方程：
1 x2x60; 2 x2 3x10;
4
3 3x26x20; 4 4x26x0;
5 x24x84x11 ; 6 x2x458x.
解：（1） a 1, b 1, c 6.