《组合数学》第五版 第6章答案.pdf
组合数学第五版答案
组合数学第五版答案简介《组合数学第五版答案》是对组合数学第五版的习题答案进行整理和解答的参考资料。
组合数学是一门研究集合之间的组合方式和规律的数学科学。
它广泛应用于计算机科学、统计学、运筹学等领域，在算法设计、图论分析等方面有着重要的应用价值。
本文档包含了《组合数学第五版》中各章节的习题答案，主要内容涵盖了排列组合、图论、生成函数、递推关系、容斥原理等多个重要主题。
通过对这些习题的解答，可以帮助读者更好地理解组合数学的基本概念、方法和应用。
目录•第一章：基本概念和方法•第二章：排列组合•第三章：图论•第四章：生成函数•第五章：递推关系•第六章：容斥原理第一章：基本概念和方法1.习题1：证明排列的总数为n! (阶乘)。
2.习题2：计算组合数C(n, m)的值。
3.习题3：探究组合数的性质并给出证明。
第二章：排列组合1.习题1：计算排列数P(n, m)的值。
2.习题2：解决带有限制条件的排列问题。
第三章：图论1.习题1：证明图论中的握手定理。
2.习题2：解决图的着色问题。
第四章：生成函数1.习题1：利用生成函数求解递推关系。
2.习题2：应用生成函数解决组合数学问题。
第五章：递推关系1.习题1：求解递推关系的通项公式。
2.习题2：应用递推关系解决实际问题。
第六章：容斥原理1.习题1：理解容斥原理的基本思想并给出证明。
2.习题2：应用容斥原理解决计数问题。
结论通过对《组合数学第五版答案》中的习题进行解答，读者可以更好地掌握组合数学的基本概念和方法。
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域具有广泛的应用，通过学习和理解组合数学，读者可以提高解决实际问题的能力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。
注：本文档中的习题答案仅供参考，请读者在独立思考和解答问题时加以思考和验证，以深入理解组合数学的核心概念和方法。
(完整word版)组合数学课后答案
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。
证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。
现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。
证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。
由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。
又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。
因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。
因此只需找以上2个情况相同的点。
而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。
证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。
一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。
（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学 第6章
观察规律
固定k, 令S={1,…, k}.
circ(n) : S的长为n的圆排列个数.
per(d) : S的周期为d的线排列数.
line(n) : S的长为n的线排列数(=kn, circ(n)n).
周期1: 1111, 2222,
per(1)=2
固定k, 令S={1,…, k}. circ(n) : S的长为n的圆排列个数. per(d) : S的周期为d的线排列数. line(n) : S的长为n的线排列数(=kn, circ(n)n).
kn line(n) per(d ) -------(1)
d|n
circ(n) 1 per(d ) -------(2) d|n d 先由(1)解出per(n), 再带入(2)解出circ(n)
1
k
推论(C102,E165)
定理: 设A1, A2,…, An是有限集合, 则
n
|A1A2…An| = | Ai | | Ai Aj |
i 1
1i jn
| Ai Aj Ak |
1i jkn
+(-1)n-1|A1A2…An|
欧拉函数(n) (ex32,C122,E196)
(n)是1~n中与n互素的数的个数.
n! 3!
n! n!
n!
1
1 1!
1 2!
1 3!
n1!
错排的递推关系(C109,E176)
定理: Dn = (n-1) Dn-2 + (n-1) Dn-1. 证明: 对错排i1…in, (1) i1有n-1种取值, 设i1 = k; (2) 或(2a) ik=1; 或(2b) ik1. 将i1,ik互换则有
组合数学 课后答案 PDF 版
循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意a, b G, G是循环群，有a * b b * a成立，因为循环群中的元素可写成a=xm 形式 所以等式左边xm × x n x m n , 等式右边x n xm＝x m n， a b b a，即所有 的循环群都是ABEL群。
因为 H 是 G 的子群， 所以在 H 中的一个 (b m ) r 一定在 G 中对应一个 a m 使得
(b m ) r a m ，
所以有 b rm a m ，则 rm 一定是 m 的倍数，所以则 H 的阶必除尽 G 的阶。 4．9 G 是有限群，x 是 G 的元素，则 x 的阶必除尽 G 的阶。
N-1 N-2
N
1
2 3
……
……
图N! C N!
如图： N 个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共 N!个。
……
…
6
…………………………
… …
……
… …
…
…
旋转 360/i，i={n,n-1,n-2,……1}； 得到 n 种置换 当且仅当 i=1 的置换（即顺时针旋转 360/1 度：P1=(c1)(c2)……(cn!);） 时有 1 阶循环存在 （因为只要圆桌转动，所有圆排列中元素的绝对位置都发生了 变化，所以不可能有 1 阶循环存在） 。 不同的等价类个数就是不同的圆排列个数，根据 Burnside 引理，
4.18 若以给两个 r 色球，量个 b 色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多 少种不同的方案。 解：单位元素（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） ，格式为（1）8. 绕中轴旋转 90。的置换非别为（1234） （5678） ， （4321） （8765） 2 格式为（4） ，同格式的共轭类有 6 个。
组合数学第五版答案
组合数学第五版答案【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|?5；解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a和b之间正好有3个女生的排列是多少？所以总的排列数为上述6种情况之和。
1.3题 m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。
解：(a) 可以考虑插空的方法。
n个女生先排成一排，形成n+1个空。
因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。
则男生不相邻的排列个数为ppnnn?1m(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。
因此，共有n!?(m?1)!种可能。
(c)男生a和女生b排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能，a、b组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！ (这里实际上是m+n-2个学生和ab的组合形成的)种可能。
计算机应用数学-(组合数学)-答案哈工大
1，证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1整数，那么总存在两个整数，它们之间相差为1.2，用鸽巢原理证明，有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
例如，34 478/99 900=0.345 125 125 125 125 12...3，一间屋内有10个人，他们当中没有人超过60岁（年龄只能以整数给出）但又至少不低于1岁。
证明，总能够找出两组人（两组不含相同人），各组人的年龄和是相同的。
题中的数10能换成更小的数吗？4，一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里了出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？5，i）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1/2。
ii）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离至多为1/3。
iii）确定一个整数m小n，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择的m小n个点，则存在2个点，其间距离至多为1/n.6，下列各数各有多少互异正因子？i）3的4次方X 5的2次方X 7的6次方X 11ii）620iii）10的10次方7，确定下列类型的一手牌（5张牌）的数目。
i）full houses （3张一样大小的牌及2张相同点数的另外大小的牌）。
ii）顺牌（5张点数相连的牌）。
iii）同花（5张一样花色的牌）。
iv）同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）。
v）恰好两个对（一对同样大小，另一对另外点数同样大小，再有一张另外大小的5张牌）。
vi）恰好一个对（一对同样大小，另外三张另外大小且互异点数的牌）。
8，从拥有10名男会员和12名女会员的一个俱乐部选出一个5人委员会。
如果至少要包含2位女士，能够有多少种方法形成这个委员会？此外，如果俱乐部还有一位特定的男士和一们特定的女士拒绝进入该委员会一起工作，形成委员会的方式又有多少？9，学校有100名学生和3个宿舍A，B和C，它们分别容纳25，35和40人。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
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set size
justification
S
13 4
13 = 14 − 5 + 5 − 1
Ai
8 4
13 − 5 = 8
Ai ∩ Aj 0 13 − 5 − 5 = 3 < 4
By inclusion/exclusion
13
8
|A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5| =
4
− 5 = 365. 4
set size
justification
S
17 3
17 = 14 + 4 − 1
Ai
8 3
17 − 9 = 8
Ai ∩ Aj 0 17 − 9 − 9 = −1 < 3
By inclusion/exclusion
17
8
|A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4| =
3
− 4 = 456. 3
8. Let S denote the set of positive integral solutions for x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 14. For 1 ≤ i ≤ 5 let Ai denote the set of elements in S with xi ≥ 6. We seek |A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4 ∩A5|. We have
X∩Y ∩Z
0
15 − 5 − 4 − 5 = 1 < 3
X∩Y ∩W 0
15 − 5 − 4 − 6 = 0 < 3
X ∩Z ∩W
0 15 − 5 − 5 − 6 = −1 < 3
Y ∩Z∩W
0
15 − 4 − 5 − 6 = 0 < 3
X ∩ Y ∩ Z ∩ W 0 15 − 5 − 4 − 5 − 6 = −5 < 3
set size
justification
S 104
A 100
1002 = 104
B 21 213 = 9261 and 223 = 10648
A ∩ B 4 46 = 4096 and 56 = 15625
By inclusion/exclusion |A ∩ B| = 104 − 100 − 21 + 4 = 9883.
Let S denote the set of nonnegative integral solutions to x + y + z + w = 10. Let Y (resp. Z) (resp. W ) denote the set of elements in S such that y ≥ 5 (resp. z ≥ 6) (resp. w ≥ 8). We seek |Y ∩ Z ∩ W |. We have
set
S A B C D A∩B A∩C A∩D B∩C B∩D C ∩D A∩B∩C A∩B∩D A∩C ∩D B ∩C ∩D A∩B ∩C ∩D
size 104 2500 1666 1428 1000 833 357 500 238 333 142 119 166 71 47 23
justification
Y ∩ Z ∩ W 0 13 − 5 − 6 − 8 = −6 < 3
By inclusion/exclusion
13
8
7
5
|Y ∩ Z ∩ W | =
− − − = 185.
3
3
3
3
6. We seek the number of integral solutions for
x + y + z = 12, 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 6, 0 ≤ z ≤ 3.
set
size
justification
S
13 3
13 = 10 + 4 − 1
Y
8 3
13 − 5 = 8
Z
7 3
13 − 6 = 7
W
5 3
13 − 8 = 5
Y ∩Z
0
13 − 5 − 6 = 2 < 3
Y ∩W
0
13 − 5 − 8 = 0 < 3
Z ∩W
0 13 − 6 − 8 = −1 < 3
set
size
justification
S
15 3
15 = 12 + 4 − 1
X
10 3
Y
11 3
Z
10 3
W
9 3
15 − 5 = 10 15 − 4 = 11 15 − 5 = 10 15 − 6 = 9
X ∩Y
6 3
X ∩Z
5 3
X ∩W
4 3
Y ∩Z
6 3
Y ∩W
5 3
Z ∩W
4 3
15 − 5 − 4 = 6 15 − 5 − 5 = 5 15 − 5 − 6 = 4 15 − 4 − 5 = 6 15 − 4 − 6 = 5 15 − 5 − 6 = 4
1
By inclusion/exclusion
|A ∩ B ∩ C ∩ D| = 104 − 2500 − 1666 − 1428 − 1000 + 833 + 357 + 500 + 238 + 333 + 142 − 119 − 166 − 71 − 47 + 23
= 5429.
3. Define a set S = {1, 2, . . . , 104}. Let A (resp. B) denote the set of integers in S that are perfect squares (resp. perfect cubes). We seek |A ∩ B|. We have
set
S A B C A∩B B∩C A∩C A∩B∩C
size 104 2500 2000 1666 500 333 833 166
justification
104 = 2500 × 4 104 = 2000 × 5 104 = 1666 × 6 + 4 104 = 500 × 20 104 = 333 × 30 + 10 104 = 833 × 12 + 4 104 = 166 × 60 + 40setsຫໍສະໝຸດ zejustification
S
14 2
14 = 12 + 3 − 1
X
7 2
14 − 7 = 7
Y
7 2
14 − 7 = 7
Z
10 2
14 − 4 = 10
X ∩Y
0
14 − 7 − 7 = 0 < 2
X ∩Z
3 2
Y ∩Z
3 2
14 − 7 − 4 = 3 14 − 7 − 4 = 3
X ∩ Y ∩ Z 0 14 − 7 − 7 − 4 = −4 < 2
5 3
A2 ∩ A3
3 3
A2 ∩ A4
3 3
A3 ∩ A4
6 3
16 − 6 − 5 = 5 16 − 6 − 5 = 5 16 − 8 − 5 = 3 16 − 8 − 5 = 3 16 − 5 − 5 = 6
9. We make a change of variables
y1 = x1 − 1, y2 = x2, y3 = x3 − 4, We seek the number of integral solutions to
y4 = x4 − 2.
y1 + y2 + y3 + y4 = 13, 0 ≤ y1 ≤ 5, 0 ≤ y2 ≤ 7, 0 ≤ y3 ≤ 4, 0 ≤ y4 ≤ 4.
By inclusion/exclusion
|A ∩ B ∩ C| = 104 − 2500 − 2000 − 1666 + 500 + 333 + 833 − 166 = 5334.
2. Define the set S = {1, 2, . . . , 104}. Let A (resp. B) (resp. C) (resp. D) denote the set of integers in S that are divisible by 4 (resp. 6) (resp. 7) (resp. 10). We seek |A ∩ B ∩ C ∩ D|. We have
4
set
size
justification
S
16 3
16 = 13 + 4 − 1
A1
10 3
16 − 6 = 10
A2
8 3
16 − 8 = 8
A3
11 3
16 − 5 = 11
A4
11 3
16 − 5 = 11
A1 ∩ A2
0 16 − 6 − 8 = 2 < 3
A1 ∩ A3
5 3
A1 ∩ A4
Let S denote the set of nonnegative integral solutions to x + y + z = 12. Let X (resp. Y ) (resp. Z) denote the set of elements in S such that x ≥ 7 (resp. y ≥ 7) (resp. z ≥ 4). We seek |X ∩ Y ∩ Z|. We have
3
By inclusion/exclusion
14