线性定常系统的结构分解.ppt
合集下载
现代控制系统课件第5章
*
n1
n1
1*
* 0
i1
式中 i* (i 1, 2, n) 为期望的闭环极点（实数极点或共
轭复数极点）。
2021/1/4
20
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
x Tc1x
能将∑0化成能控标准I型： x Ax bu yc x
式中
0 1 0
A
T 1 c1
ATc1
0 0
0
0
a0 a1 a2
2021/1/4
16
5.1.5 闭环系统的能控性与能观性
定理5.1.1 状态反馈不改变受控系统 o (A, B,C)
的能控性。但不保证系统的能观性不变。
实际上，受控系统 o (A, B,C, D) 的传递函数为：
Wo (s) c[sI A]1b d
将∑0的能控标准I型代入上式，可知，引入状态反馈后 传递函数的分子多项式不变，即零点保持不变。但分母
馈来实现闭环系统极点的任意配置。
证明 对单输入一单输出反馈系统
h ((Abhc),b,c)
闭环传递函数为：
2021/1/4
27
式中 Wo (s) c(sI A)1b
为受控系统的传递函数。 由闭环系统特征方程可得闭环根轨迹方程：
hWo (s) 1
当 Wo (s) 已知时，以 h(0 ) 为参变量，可求
2021/1/4
29
5.2.3 采用从输出到 x 反馈
定理5.2.4 对系统 o (A,b,c) 采用从输出
到 x的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件
是∑0完全能观。
证明 根据对偶原理，如果 o (A,b,c) 能观。
~
则 0 (AT , cT ,bT )必能控，因而可以任意配置
《自动控制原理》线性定常系统的线性变换及结构分解 (2)
y = 0
2
1
xc x
c
3．系统按可观测性得结构分解
系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可控性
结构分解的结果。设不可观测系统的动态方程为
•
x = Ax + Bu, y = Cx
（9－201）
其中，x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维输出向量。系统
得可观测性矩阵为
C
V
=
CA
xcTo
xT co
xT co
xT co
，相应地使原动态方程中的A, B,C 矩阵变换成某种标
准构造的形式。
结构分解的过程或方法可先从整个系统的可控性分解开始，将可控
与不可控的状态变量分离开，继而分别对可控和不可控子系统进行
可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。当然，
结构分解的过程也可以从系统的可观测性分解开始。下面着重介绍
整个系统的输出响应
y(t)
均与不可控子系统的状态
x c
有关。
3)由于选取非奇异变换阵 P−1 的列向量s1, s2 ,, sr 及sr+1,, sn的非惟 一性，虽然系统可控性规范分解的形式不变，但诸系数阵不相同， 故可控性规范分解不是惟一的。 设一个可控性规范分解系统为（ A, B,C ），（书Ver6没有）
xco
可控
可观
x
co 可控 不可观
x co
不可控
可观
x co
不可控
不可观
由对应状态变量构成的子空间也分为四类，因而系统也对应分成了四
类子系统，称为系统的结构分解，也有的参考文献称此为系统的规范分解。
研究结构分解可以更明显地揭示系统的内部结构特性和传递特性。
《自动控制理论教学课件》第4章 线性定常系统的线性变换
第4章 线性定常系统的线性变换
第四章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输系统的可控规范型 和可观规范型
4.2 线性定常系统的结构分解 4.3 最小实现（补充）
1
第4章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输出系统的可控规范形 和可观规范形
一 可控规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间
式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维
输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系
统可控性矩阵的秩为
rankS rank B AB
An1B r n
则可构造n×n非奇异变换矩阵P-1：
P1 s1 s2
sr sr1
sn
16
第4章 线性定常系统的线性变换
8
第4章 线性定常系统的线性变换
三 可观测规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状
态空间描述具有如下形式
xˆ Aoxˆ bou, y coxˆ
0 0
Ao
1
0
1
,
cc
0
0
1
1
n -1
则称此状态空间描述为可观测规范形。 9
Cc
Cc
sI
Ac 0
A12 Ac
1
Bc 0
Cc
Cc
sI
r
0
Ac
sI
A12 nr
Ac
1
第四章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输系统的可控规范型 和可观规范型
4.2 线性定常系统的结构分解 4.3 最小实现（补充）
1
第4章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输出系统的可控规范形 和可观规范形
一 可控规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间
式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维
输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系
统可控性矩阵的秩为
rankS rank B AB
An1B r n
则可构造n×n非奇异变换矩阵P-1：
P1 s1 s2
sr sr1
sn
16
第4章 线性定常系统的线性变换
8
第4章 线性定常系统的线性变换
三 可观测规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状
态空间描述具有如下形式
xˆ Aoxˆ bou, y coxˆ
0 0
Ao
1
0
1
,
cc
0
0
1
1
n -1
则称此状态空间描述为可观测规范形。 9
Cc
Cc
sI
Ac 0
A12 Ac
1
Bc 0
Cc
Cc
sI
r
0
Ac
sI
A12 nr
Ac
1
§44 线性系统的结构分解
§4.4 线性系统的结构分解1. 按能控性结构分解 设(4.21)()()(), ()(),xt Ax t Bu t y t Cx t =+⎧⎨=⎩ 若, 则在中c rank(Q )r n =<1[...]n c Q B AB A B -=选r 个无关列向量 ,{}12,,r q q q 补个无关列向量,n r -{}12,,,r r n q q q ++ 得,111r r n Tq q q q -+=⎡⎤⎣⎦故 . 1112110000r r r n n r p Aq p Aq A p Aq p Aq ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (ii) B 可由表示{}12,,r q q q 0,1,,j p B j r n ==+ 所以, 记, 则20B = 1c B B =. 110r c r n p B p B B B TB p B p B +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦例4.11 设(4.23) []0011()103()1(),0130()012(),xt x t u t y t x t -⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=- 验证能控性, 并分解. 解,101113012c Q -⎡⎤=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因, 故系统不完全能控.()23c rank Q =<选前两列, 补,c Q 3q , ,1110q ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2011q ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦300,1q ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦使11123100100110110011111T q q q --⎡⎤⎡⎤===-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 1100001100110103110011013011A--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦在中选r 个行向量, 1o n C CA Q CA -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦{}12,,r p p p 补个无关行向量, 得非异阵n r -{}12,,,r r n p p p ++ 得非奇异阵 , (4.25)11r r n p p T p p +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对例4.11, 验证能观性且按能观结构分解. 解,2012123234o C Q CA CA ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦因, 故不完全能观. ()23o rank Q =<选前两行:, , []1012p =-[]2123p =-补, 则[]3001p =, .123012123001p T p p ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1211102001T -⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦反映系统中能控且能观的那一部分. 因为直接计算得. 11()()()()co co co coG s C sI A B C sI A B G s --=-=-= 这表明: 增或减不能控、不能观的状态不影响传递函数的值, 即传递函数不完全反映系统内部状态. 关于这个问题将在实现问题中作进一步的讨论.。
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
线性系统理论全PPT课件
复频率域描述即传递函数描述
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
自动控制原理线性定常系统的反馈结构及状态观测器教学PPT
现代控制理论：利用状态反馈、输出反馈来配置极点，需要解决 两个问题：（1）极点可配置的条件；（2）确定极点配置时的反 馈矩阵。
状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦 控制等方面具有很多的应用。
１、极点可配置的条件 １）利用状态反馈的极点可配置条件
定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控 证明： （1）充分性
u v Kx
通过反馈构成的闭环系统
x (A- BK)x Bv
是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均有负实部，则称系统 实现了状态反馈镇定。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
vu
B
_
xI x S
A
F
y
C
x (A- BK)x Bv
如果 FC K 输出反馈等价于状态反馈
2、反馈结构对系统性能的影响
x (A- BK)x Bv
x (A- HC)x Bu
x (A- BFC)x Bv
状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可 控性、可观测性、稳定性、响应特性等。
0 0 1 P 0 1 12
1 18 144
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0u
0 72 18 1
0 0 0 1
x 1 6
0
x
0u
0 1 -12 0
系统的特征多项式 det[sI A] s3 18s2 72 s
希望特征多项式 a *(s) (s 1)(s 2 )(s 3 ) s3 4s2 6s 4
状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦 控制等方面具有很多的应用。
１、极点可配置的条件 １）利用状态反馈的极点可配置条件
定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控 证明： （1）充分性
u v Kx
通过反馈构成的闭环系统
x (A- BK)x Bv
是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均有负实部，则称系统 实现了状态反馈镇定。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
vu
B
_
xI x S
A
F
y
C
x (A- BK)x Bv
如果 FC K 输出反馈等价于状态反馈
2、反馈结构对系统性能的影响
x (A- BK)x Bv
x (A- HC)x Bu
x (A- BFC)x Bv
状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可 控性、可观测性、稳定性、响应特性等。
0 0 1 P 0 1 12
1 18 144
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0u
0 72 18 1
0 0 0 1
x 1 6
0
x
0u
0 1 -12 0
系统的特征多项式 det[sI A] s3 18s2 72 s
希望特征多项式 a *(s) (s 1)(s 2 )(s 3 ) s3 4s2 6s 4
第三章线性定常系统的结构分解110PPT课件
四种子系统
能 控 能 观 子 系 统
能 控 不 能 观
能 观 不 能 控
不 能 观 不 能 控
系统结构分解的方法——非奇异线性变换
2021/2/11
4
一、按照能控性分解
目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分，为实现做准备
定理1：如果线性定常系统：
x y
Ax Cx
B状u 态不完全能控，
即 rankQc k n ，则一定存在非奇异变换 x TC xˆ
方法：取Qc中线性无关的前两列为Tc中的前两列， 并保证其逆Tc-1存在，构造变换阵如下：
1 0 0
TC A1 A2 A3 1 1 0
0 1 1
易得 ：
1 0 0
TC1 1 1 0
1 1 1
2021/2/11
10
（3）能控性结构分解标准型为：
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Aˆ TC1ATC 1 1 0 1 0 3 1 1 0 1 2 2
0 1 3 0
y 0 1 2 x
请判断其能控性，若状态不完全能控，请按能控性分解。
[解]： 1）求能控性判别矩阵的秩
1 0 1
rankQc rank B AB A2B rank1 1 3 2
系统状态不完全能控
0 1 2
线性无关的列
2021/2/11
9
2）按能控性进行分解,先构造非奇异矩阵Tc
7
能控性分解示意图：
AC
BC xC
u
A12
xNC
ANC
能控部分
xC
C (AC , BC ,CC )
xNC
不能控部分
NC (AC , 0,CC )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 1 1 x1 x1 u 1 2 1
y 0 1 x1
第四章 线性系统的能控性与能观性
系统能观性分解结构图
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.4
能观子系统与原系统的传递函数矩
G1 (s) G(s)
阵相同
G(s) C(sI A)1 B C(sI A)1 B
2 To 1 0
1 0 0
1 2 1
第四章 线性系统的能控性与能观性
状态变换后的系统状态空间表达式
0 1 0 1 x 1 u x 1 2 0 1 0 1 0
y 1 0 0 x
二维能观子系统
1 o
C CTo C1
0
第四章 线性系统的能控性与能观性
在变换后的系统中，将前n2维部分提出来，得到
下式
x1 A11x1 B1u
这部分构成n2维能观子系统。 而后n-n2维子系统
y1 C1 x1
x2 A21x1 A22 x2 B2u
为不能观子系统。
第四章 线性系统的能控性与能观性
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.6
4.6.1
线性定常系统的结构分解
系统能控性分解
x Ax Bu y Cx
设系统的状态空间表达式为
假设系统的能控性矩阵的秩n1<n（n为状态向量 维数），即系统不完全能控。 关于系统的能控性分解，有如下结论。
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.1
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.3 变换 换成
存在非奇异矩阵To，对系统进行状态 ，可使系统的状态空间表达式变
x Ax Bu
y Cx
x To x
其中
A11 0 A T ATo A21 A22
1 o
B1 B T B B2
y 0 1 2 x
能控性矩阵的秩
1 0 1 1 1 3 2 3 2 rank b Ab A b rank 0 1 2 可知系统不完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。 为计算简单，选取其中的第1列和第2列。易知它们
中选择n1个线性无关的列向量；
● 将所得列向量作为矩阵Tc的前n1个列，其余列 可以在保证Tc为非奇异矩阵的条件下任意选择
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.6.1
对下列系统进行能控性分解。
0 0 1 1 x 1 u x 0 1 0 1 0 1 3 0
对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊 性。应由构造其逆做起，即先求 To1 。 方法如下: ● 从能观性矩阵中选择n2个线性无关的行向量。 ● 将所求行向量作为 To1 的前n2个行，其余的行 可以在保证
T
1 o
为非奇异矩阵的条件下任意选择。
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.6.2
系统同例4.6.1，进行能观性分解。
计算能观性矩阵的秩
C 0 1 2 rank 1 2 3 2 3 rank CA 2 CA 2 3 4
任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与 之线性无关的行向量，得
To1 0 1 0 1 2 0 2 3 1
0 1 1 1 x 0 u x 1 2 2 0 0 1 0
y [1 1 2]x
二维能控子系统
0 1 1 x1 x1 u 1 2 0
y 1 1 x1
第四章 线性系统的能控性与能观性
系统能控性分解结构图
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.2
能控子系统的传递函数矩阵与原系
统的传递函数矩阵相同，即
G1 (s) G(s)
因为
.
G(s) C(sI A)1 B C(sI A)1 B
C1 sI A11 C2 0
1
A12 B1 sI A22 0
C1
sI A11 0 A 21
1
0 B1 sI A22 B2
1
C1 sI A11 B1 G1 ( s )
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.6.2 系统能观性分解
设系统的状态空间表达式为
x Ax Bu y Cx
假设系统的能观性矩阵的秩 n2<n （ n 为状态 向量维数），即系统不完全能控。 关于系统的能观性分解，有如下结论。
是线性无关的。
再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。 变换矩阵
1 0 2 Tc 1 1 0 0 1 1
1 2 2 1 1 Tc 1 1 2 3 1 1 1
第四章 线性系统的能控性与能观性
状态变换后的系统状态空间表达式
第四章 线性系统的能控性与能观性
在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到
下式
x A11x1 A12 x2 B1u
这部分构成n1维能控子系统。 而后n-n1维子系统
x2 A22 x2
为不能控子系统。
第四章 线性系统的能控性与能观性
关键
变换矩阵Tc的构造
An1B]
求法如下：
● 在能控性矩阵 U C [B AB
存在非奇异矩阵Tc，对系统进行状态
变换 x Tc x ，可使系统的状态空间表达式变换 成
x Ax Bu
y Cx
其中
A11 A12 A T ATc 0 A22
1 c
B1 B T B 0
1 c
C CT