3矩阵特征值与特征向量的计算讲解
数值分析第3章矩阵特征值与特征向量的计算
工程实践中有许多问题，如桥梁或建筑物的振动，机械
机件、飞机机翼的振动， 及一些稳定性分析和相关分析可 转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
设A (aij )nn是n阶方阵, 如果数 和 n 维非零向量x满足 Ax x，则称 为 A 的一个特征值， x称为矩阵A对应 于的特征向量。
（2）在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。设A (aij )nn ,
n
n
U为正交矩阵，记B U T AU (bij )nn ,则
ai2j
bi2j
i, j1
i, j1
Jacobi方法的基本思路：通过一次正交变换,将A中一对非
零的非对角元素化成零,并且使得非对角元素的平方和减少。
反复进行上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和
2a pq
(
/
4)则有a
(1) pq
a(1) qp
1
0 1 0.93
1 0 0 0.93 1
0
0
1
0
0
0.93
1
0 1/ 0.93 1 0
0 0.93 1/ 0.93
按算法迭代3次， 3.0000954,与准确值3的误差小于10－4，u
(1, 0.9992431, 0.9991478)T 与准确值(1, -1,1)T比较，残差 r 0.001.
空间中的二维坐标旋转矩阵。
坐标旋转矩阵U pq ( )是正交矩阵.
设A为实对称矩阵，且apq aqp 0,若记
A(1)
U
T pq
AU
pq
(ai(j1) )
aaq((p1q1p))
a pp a pp
cos2 aqq sin2 sin2 aqq cos2
3矩阵的特征值和特征向量
3矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念之一，它们在许多应用中具有重要的意义。
本文将详细介绍矩阵的特征值和特征向量，并说明它们的性质和应用。
一、矩阵的特征值和特征向量定义对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么k称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的特征向量。
我们可以用以下的形式表示矩阵的特征方程：det(A-λI)=0其中，det(A-λI)是矩阵A-λI的行列式，λ是一个常数，I是单位矩阵。
根据特征方程，我们可以求解出矩阵A的特征值λ。
然后，将每个特征值代入特征方程，可以求解出对应的特征向量x。
二、特征值和特征向量的性质1.特征值的性质：-一个矩阵的特征值可以是实数，也可以是复数。
-一个n×n的矩阵最多有n个不同的特征值。
- 特征值与矩阵的行列式有关，它们的乘积等于矩阵的行列式：det(A)=λ1*λ2*…*λn。
2.特征向量的性质：- 特征向量具有标量倍数的自由度，即如果x是矩阵A的特征向量，则kx也是矩阵A的特征向量，其中k是任意非零标量。
-特征向量可以用于表示矩阵的一组基，这意味着可以用特征向量表示矩阵的任意向量。
三、特征值和特征向量的计算对于一个给定的n×n矩阵A，我们可以通过以下步骤计算其特征值和特征向量：1. 解特征方程det(A-λI)=0，求得特征值λ1, λ2, ..., λn。
2. 将每个特征值代入特征方程，解出对应的特征向量x1, x2, ..., xn。
对于一些矩阵，特征值和特征向量可以通过简单的计算得到。
例如，对于对角矩阵，其特征值就是其主对角线上的元素，而对应的特征向量可以是单位向量。
对于一些特殊的矩阵，如上三角矩阵和下三角矩阵，其特征值也可以很容易地得到。
四、特征值和特征向量的应用1.线性系统的稳定性分析特征值和特征向量在控制论中经常用于分析线性系统的稳定性。
对于一个线性系统，通过求解其特征值，可以判断系统是否稳定。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
在矩阵的运算中，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，具有很多重要的性质和应用。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法及其应用。
特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个n维非零向量X，使得AX=λX，其中λ为一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的计算方法求解矩阵的特征值与特征向量的计算方法主要有两种：特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，记为I_n。
（2）定义特征多项式为f(λ)=|A-λI_n|，其中|A-λI_n|表示A-λI_n的行列式。
（3）求解f(λ)=0的根，即为矩阵A的特征值。
（4）将特征值代入方程(A-λI_n)X=0，求解Ax=λX，即可得到矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
2. 迭代法迭代法是求解特征值与特征向量的一种数值方法。
它通过不断迭代矩阵的幂，逐渐逼近特征值与特征向量。
具体步骤如下：（1）选择一个任意的非零向量X_0作为初始向量。
（2）计算矩阵A与初始向量X_0的乘积AX_0。
（3）根据公式X_1=AX_0/|AX_0|，其中|AX_0|表示AX_0的模长。
（4）重复上述步骤，计算X_2=AX_1/|AX_1|，X_3=AX_2/|AX_2|，直到收敛。
（5）当向量X_k满足|AX_k-AX_{k-1}|<ε时，停止迭代，其中ε为预先设定的误差限。
特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的价值，下面将介绍其在不同领域的应用。
1. 物理学中的应用在量子力学和固体物理学中，特征值和特征向量描述了问题的能量和波函数。
通过求解薛定谔方程，可以得到物质的特征值与特征向量，从而研究其电子能级和波函数分布。
特征值与特征向量的计算方法
特征值与特征向量的计算方法特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，用于解决矩阵特征与变换特性的相关问题。
在本文中，将介绍特征值与特征向量的定义和计算方法，以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx（k为标量），那么k称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值k的特征向量。
特征向量可以理解为在矩阵变换下保持方向不变的向量，而特征值则表示特征向量在变换中的伸缩比例。
二、要计算特征值和特征向量，可以使用以下步骤：1. 首先，由于特征值和特征向量的定义基于方阵，所以需要确保矩阵A是方阵，即行数等于列数。
2. 接下来，根据特征值和特征向量的定义方程Ax=kx，将其改写为(A-kI)x=0（I为单位矩阵）。
3. 为了求解此方程组的非零解，需要求出(A-kI)的零空间（核）。
4. 将(A-kI)的零空间表示为Ax=0的齐次线性方程组，采用高斯消元法或其它线性方程组求解方法，求得方程的基础解系，即特征向量。
5. 特征向量已找到，接下来通过将每个特征向量代入原方程式Ax=kx中，计算出对应的特征值。
值得注意的是，特征值是一个多重属性，即一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量。
此外，方阵A的特征值计算方法存在多种，如幂迭代法、QR迭代法等。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
1. 物理学中，特征值与特征向量可用于解析力学、量子力学等领域中的问题，如研究振动系统的固有频率、粒子的角动量等。
2. 工程学中，特征值与特征向量可用于电力系统的稳定性分析、机械系统的振动模态分析等。
3. 经济学中，特征值与特征向量可用于描述经济模型中的平衡点、稳定性等重要特征。
此外，特征值与特征向量在图像识别、数据降维、网络分析等领域也有重要的应用。
总结：特征值和特征向量在矩阵理论中有着重要的地位和应用价值。
通过计算特征值和特征向量，可以揭示矩阵在变换中的性质和特点，并应用于各个学科领域，为问题求解提供了有效的工具和方法。
矩阵特征值与特征向量计算
矩阵特征值与特征向量计算在数学中，矩阵是一种非常基础而且重要的概念，它可以被看做是一种线性变换的表示。
在矩阵中，特征值和特征向量是两个非常重要的概念，它们在运用矩阵进行计算、测量和定量分析时扮演着至关重要的角色。
一、矩阵特征值的计算方法特征值是一个矩阵的固有属性，它表示在进行线性变换时，各个方向上对应的比例因子，具有很重要的几何意义。
计算一个矩阵的特征值需要使用到线性代数的基础知识和运算。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，而x是对应的特征向量。
在实际计算中，我们首先需要求解方程det(A-λI)=0，其中I是指n阶单位矩阵。
这个方程的解即为矩阵A的特征值，它们可以是实数或复数。
当然，在计算特征值时，使用一些优化的方法可以更快地得出结果，例如使用特征值分析法或雅可比方法。
二、矩阵特征向量的计算方法在获得了矩阵的特征值之后，我们可以通过简单的代数运算来计算它们对应的特征向量。
设λ为矩阵A的一个特征值，x为一个对应的特征向量，我们有以下等式：(A-λI)x=0这可以被看做是一个齐次线性方程组，将它转化成矩阵形式，我们得到以下方程：(A-λI)X=0其中X=[x1,x2,...,xn]为特征向量的矩阵形式。
对于特征向量矩阵X，我们需要求解出它的非零解。
这需要使用到线性代数的基本技巧，例如高斯消元法或LU分解等。
三、矩阵特征值和特征向量的应用矩阵特征值和特征向量的应用非常广泛，从计算机科学到物理学、化学、经济学、金融学等各个领域都有它们的应用。
以下是几个主要的应用领域：1. 机器学习和人工智能在机器学习和人工智能中，特征值和特征向量经常用于降维和数据分析。
通过分析一个数据矩阵的特征值和特征向量，我们可以找到它们对应的主要特征，从而对大型数据进行有效的分析和处理。
2. 物理学和化学在物理学和化学中，特征值和特征向量可以用于计算量子力学、分析分子结构、电子轨道等问题。
矩阵特征值与特征向量的计算方法
矩阵特征值与特征向量的计算方法矩阵是一个广泛应用于线性代数、微积分和物理学等领域的数学对象。
在许多问题中，矩阵和线性变换起着重要作用，并且特征值与特征向量是矩阵理论中的两个核心概念。
本文将介绍矩阵特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得A与x的线性组合仍然是x的倍数，即有Ax = λx其中λ为常数，称λ为A的特征值，x为对应于λ的特征向量。
从几何意义上理解，特征向量是不被矩阵变换影响方向，只被影响长度的向量。
特征值则是描述了矩阵变换对于特定方向上的伸缩倍数。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量构成的向量空间没有零向量。
证明：设x为A的特征向量，有Ax=λx，则A(cx) =cAx=cλx=λ(cx),即A的任意常数倍(cx)仍是x的倍数，因此cx也是A的特征向量。
特别地，对于λ≠0时，x/λ也是A的特征向量。
2. A的特征值的个数不超过n个。
证明：考虑特征值λ1, λ2,…,λt，对应于各自的特征向量x1,x2,…,xt。
利用向量线性无关性可得，至少存在一个向量y不属于x1,x2,…,xt的张成空间内，此时Ay不能被表示成λ1x1,λ2x2,…,λtxt的线性组合，因此Ay与y方向没有重合部分，由此可得λ1, λ2,…,λt最多就是n个。
3. 如果特征向量x1,x2,…,xt彼此不共线，则它们就可以作为Rn空间的一组基。
证明：设x1,x2,…,xt是不共线的特征向量，考虑它们张成的向量空间V，在此空间中，A的作用就是对向量做伸缩变换，且Λ(xj) = λj。
对于每个向量y ∈ V，y可以表示成如下形式：y = c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt由于x1,x2,…,xt构成V的基，因此c1,c2,…,ct唯一确定了向量y。
因此，对于任意的向量y，可以得到:Ay = A(c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt)= c1Ax1 + c2Ax2 + ··· + ctAxt= λ1c1x1 + λ2c2x2 + ··· + λtctxt由于{x1,x2,…,xt}是V的一组基，c1,c2,…,ct是唯一确定的，因此Ay也被唯一确定了。
矩阵的特征值与特征向量的简易求法
矩阵的特征值与特征向量的简易求法特征值与特征向量对于矩阵的性质和变换有着重要的意义。
矩阵的特征值可以帮助我们判断矩阵的相似性、可逆性以及矩阵的对角化等；而特征向量可以帮助我们理解矩阵的线性变换、寻找矩阵的基矢量等。
求解矩阵的特征值与特征向量可以采用多种方法。
下面介绍两种常见的简易求法：特征多项式法和幂迭代法。
特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量的一种常见方法。
其步骤如下：步骤1：对于n阶方阵A，求解其特征多项式，即特征方程det(A-λI)=0。
其中，I为单位矩阵，λ为未知数。
步骤2：将特征多项式化简，得到一个关于λ的方程，如λ^n+c1λ^(n-1)+c2λ^(n-2)+...+cn=0。
步骤3：解这个n次方程，得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
步骤4：将每个特征值λi带入原方程(A-λI)X=0，求解对应的特征向量。
特征多项式法适用于任意阶数的方阵，但是对于高阶矩阵，其计算过程可能比较复杂，需要借助数值计算工具。
幂迭代法是一种迭代求解特征值与特征向量的方法，适用于对于方阵的特征值为实数且相近的情况。
其步骤如下：步骤1：选取一个初始向量X(0)，通常是一个n维非零向量。
步骤2：迭代计算：X(k+1)=A*X(k)，其中k为迭代次数，A为待求特征值与特征向量的方阵。
步骤3：计算迭代步骤2中得到的向量序列X(k)的模长，即，X(k)。
步骤4：判断，X(k)-X(k-1)，是否满足预定的精度要求，如果满足，则作为矩阵A的近似特征向量；否则，返回步骤2继续进行迭代。
步骤5：将步骤4得到的近似特征向量作为初始向量继续迭代，直至满足精度要求。
幂迭代法的优点是求解简单、易于操作，但由于其迭代过程，只能得到一个特征值与特征向量的近似解，且只适用于特征值为实数的情况。
在实际应用中，根据具体问题的要求，可以选择适合的方法来求解矩阵的特征值与特征向量。
除了特征多项式法和幂迭代法，还有QR分解法、雅可比迭代法等其他方法。
矩阵特征值与特征向量的求法
矩阵特征值与特征向量的求法一、矩阵特征值与特征向量的定义矩阵特征值（eigenvalue）是指一个矩阵在某个非零向量上的线性变换结果等于该向量的常数倍，这个常数就是该矩阵的特征值。
而对应于每个特征值，都有一个非零向量与之对应，这个向量就是该矩阵的特征向量（eigenvector）。
二、求解矩阵特征值与特征向量的方法1. 特征多项式法通过求解矩阵A减去λI（其中λ为待求解的特征值，I为单位矩阵）的行列式det(A-λI)=0来求解其特征值。
然后将每个特征值代入到(A-λI)x=0中，即可求得对应的特征向量x。
2. 幂法幂法是一种迭代方法，通过不断地将A作用于一个初始向量x上，并将结果归一化，最终得到收敛到最大（或最小）特征值所对应的特征向量。
具体步骤如下：(1) 选取任意一个非零初始向量x；(2) 将Ax除以x中最大元素得到新的向量y=A*x/max(x)；(3) 将y归一化得到新的向量x=y/||y||；(4) 重复步骤2-3，直到收敛。
3. QR分解法QR分解是将矩阵A分解为Q和R两个矩阵的乘积，其中Q是正交矩阵（即Q^T*Q=I），R是上三角矩阵。
通过不断地对A进行QR分解，并将得到的Q和R相乘，最终得到一个上三角矩阵T。
T的对角线元素就是A的特征值，而对应于每个特征值，都可以通过反推出来QR分解中的Q所对应的特征向量。
4. Jacobi方法Jacobi方法也是一种迭代方法，通过不断地施加相似变换将A转化为对角矩阵D。
具体步骤如下：(1) 选取任意一个非零初始矩阵B=A；(2) 找到B中绝对值最大的非对角元素b(i,j)，记其位置为(i,j)；(3) 构造Givens旋转矩阵G(i,j,k)，使其作用于B上可以消去b(i,j)，即B=G^T*B*G；(4) 重复步骤2-3，直到所有非对角元素均趋近于0。
三、总结以上介绍了求解矩阵特征值与特征向量的四种方法：特征多项式法、幂法、QR分解法和Jacobi方法。
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的根确定。
2o 设为A的特征值，求齐次线性方程组 ( I A)x 0 的非零解, 便得到 A 的属于 的特征向量。
§3.1. 幂法和反幂法
§3.1.1 幂法
幂法用于求矩阵A的按模最大的特征值及相应的特征向量。
迭代算法3.3 使用 范数
hr( k
1)
max
1 jn
h(k 1) j
y(k1)
u( k 1) h(k 1)
r
u(
k
)
Ay(k 1)
h1(k ) , h2(k ) ,
k =sign
h(k 1) r
h(k ) r
k 1, 2,
解：应用算法3.2的结果
k0
1
2
16
17
x1 1 0.2857143 0.3617725
0.0000024 0.0000010
x2 0 -1.0000000 -0.5878803
-0.4472155 -0.4472144
x3 0 -0.5714286 -0.7235450
-0.8944262 -0.8944268
u( k 1)
Au(k 2)
Ak u(0)
;
Ak 1u( 0 )
y(k ) u(k ) Ak u(0)
u(k )
Ak u(0)
1 1
k Leabharlann 1 x1 2
2 1
k
x2
k
1
x1
2
2 1
x2
n
11k
x1
k
22
x2
k
nn
xn
1k
1 x1
2
2 1
k
x2
n
n 1
k
xn
不妨设1 0,由 1 i (i 2, 3, , n) 得
lim k
i 1
k
i xi
当k充分大时，有
u(k )
1k
1 x1
n i2
i 1
k
i
xi
1k1 x1
因此，可把u( k )作为与1相应的特征向量的近似。
同样，我们还有u(k +1)
1k
+1 1
x1
1 u(k )。
u( k +1)与u( k )对应分量近似成比例，比例因子正好近似等
k
6.0000000 31.4081633
44.9999275 44.9999710
应用算法3.3的结果
k0
1
2
x1 1 0.2857143 0.5000000
x2 0 -1.0000000 -0.8125000
y(k1) T u(k ) 1 y(k1) T y(k1)，
y u (k1) T (k ) 1 y y (k1) T (k1)
迭代算法3.1
y(k1)
u( k 1) u( k 1)
u(k ) Ay(k1)
n 1
k
xn
k
n
n 1
xn
当k充分大时，有y ( k )
1 1
k
1 x1 1 x1
，即y ( k )可近似地作
为1对应的特征向量，且 y(k) =1
特征值的计算
方法1 由于u(k ) Ay(k1) 1 y(k1) ,从而有
于1,由于迭代公式(3.1)本质上是计算u(k) Ak u(0) , 因此称
这种迭代法为幂法。
归一化处理与实际计算方法
y ( k 1)
u( k 1) u( k 1)
u(k ) Ay(k1)
k 1, 2, ;u(0)任意选取。
分析：u(k ) Au(k1) A2u(k2)
产生的序列u( k ) 的收敛情况来构造计算1和它对应的特征
向量x1的计算方法。
设u(0) 1 x1 2 x2 n xn ,则
u(k ) Au(k1) A2u(k2) Ak u(0)
= 1 Ak x1 2 Ak x2 n Ak xn
y
(
k
1)
u( k 1)
u u (k1) T (k1)
u(
k
)
Ay ( k 1)
k =
y ( k 1)
u T (k )
k 1, 2, ; u(0)任意选取。
终止条件：k k1 。 k
最后 k 作为1的近似值，以y ( k 1)作为其对应的特征向量。
第三章 矩阵特征值和特征向量计算
工程实践中有许多问题，如桥梁或建筑物的振动，机械
机件、飞机机翼的振动， 及一些稳定性分析和相关分析可 转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
设A (aij )nn是n阶方阵, 如果数 和 n 维非零向量x满足 Ax x，则称 为 A 的一个特征值， x称为矩阵A对应 于的特征向量。
一、算法构造及收敛性分析
条件1 设n n阶实方阵A满足：
1o A有n个线性无关的特征向量x1, x2 , 2o A的n个线性无关的特征向量x1, x2 ,
足 1 2 n 。
, xn; , xn对应的特征值满
下面通过分析由迭代格式
u(k) Au(k1) , k 1, 2, ;初始值u0任意选取。(3.1)
k =
y u (k 1) T (k ) y y (k 1) T (k 1)
k 1, 2, ; u(0)任意选取。
终止条件：k k1 。 k
最后 k 作为1的近似值，以y ( k 1)作为其对应的特征向量。
迭代算法3.2 (使用 范数) 2
, hn(k ) T
; u(0)任意选取。
终止条件：k k1 。 k
最后 k 作为1的近似值，以y ( k 1)作为其对应的特征向量。
6 12 6 例1：用幂法求矩阵A 21 3 24的按模最大的特征
12 12 51
值和相应的特征向量。取x(0) (1, 0, 0)T , k k1 107. k