函数图象的平移与对称变换.doc
高中趣味课——函数图象的变换
f(x)→-f(x)：两函数图象关于x轴对称.
f(x)→f(|x|)：两函数图象在x正半轴相同，f(|x|)为偶函数.
f(x)→|f(x)|：将f(x)中x轴下方的图象对称折向x轴上方，既得|f(x)|图象
就是要钻“牛角尖”，就是这么任性！！！
THANK YOU
所以，只需将y=x2的图象向左平移3个单位，再向下平移4
个单位即可！ 方法二：向量
二、伸缩变换
y=f(ωx)(ω>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点的
1 横坐标变为原来的 ,纵坐标不变得到. w
y=kf(x)(k>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点 的纵坐标变为原来的 k 倍，横坐标不变而得到.
三、对称变换
y=f(x)与y=f(-x)的图象关于Leabharlann y轴 对称； x轴 对称；
y=f(x)与y=-f(x)的图象关于
y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于
原点 对称；
y=|f(x)|的图象可将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分以
x轴 为对称轴翻折到 x轴 上方,其余部分不变；
一句话：左加右减，上加下减！
下面我们以f(x)=x2为例来说明平移变换：
例：函数y=x2+6x+5 的图象可由函数y=x2 的图象如何平移得到 ？
方法一：逆向思维--待定系数法：
令y=(x+k)2+b展开得：y=x2+2kx+k2+b，易得k=3，b=-4;
所以：y=x2+6x+5=(x+3)2-4
函数图像的变换
高中数学
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
函数图象的四大变换
你会利用图象的直观性来解决问题吗？
函数图象的四大变换
平移
翻折
对称 伸缩
一、知识点及基本方法
1、画函数图象的依据：⑴解析式及定义域；⑵图象变换
2、图象变换类型：常用变换方法有四种，即平移变换、 伸缩变换、对称变换 和翻折变换
(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移
y=f(x)
x
x－h ( h > 0 )
练习2：
已知 f(x)=log2|x|, g(x)=－x2+2，则f(x)g(x)的图象
只能是下图中的( )
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D，
当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
(3)伸缩变换：
y=f(x)
x
ωx (ω>1)
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍 ω
y=f(x)
x
ωx ( 0 < ω < 1)
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1倍 ω
y=f(x)
纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1) 到原来的A倍，横坐标不变
y=f(ω x) y=f(ω x)
y= A f( x)
y
y
y
O
1x -1
-1 O
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数图象的三种变换
(2)如图数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例1设fx)=X2，在同一坐标系中画出：(1)y=fx),y=fx+1)和y=f(x-1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)y=fx),y=fx)+1和y=f(x)-1的图象，并观察三个函数图象的关系.解(1)如图点评观察图象得：y二fx+1)的图象可由y二fx)的图象向左平移1个单位长度得到；y二fx-1)的图象可由y二fx)的图象向右平移1个单位长度得到；y二fx)+1的图象可由y二fx)的图象向上平移1个单位长度得到；y二fx)-1的图象可由y二fx)的图象向下平移1个单位长度得到.二、对称变换_例2设fx)=x+1,在同一坐标系中画出y=fx)和y=f(—x)的图象，并观察两个函数图象的关系.解画出y二fx)二x+1与y二f(-x)二-x+1的图象如图所示.由图象可得函数y二x+1与y二-x+1的图象关于y轴对称.小点评函数y二fx)的图象与y二f(-x)的图象关于y轴对称;函数y二fx)的图象与y二-fx)的图象关于x轴对称；函数y二fx)的图象与y二-f(-x)的图象关于原点对称.三、翻折变换例3设fx )=x +l ,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =|fx )1的图象，并观察两个函数图象的关系.解y 二fx )的图象如图1所示，y 二|fx )l 的图象如图2所示.点评要得到y 二fx )l 的图象,把y 二fx )的图象中x 轴下方图象翻折到x 轴上方，其余部分不变.例4设fx )=x +1,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =f(\x\)的图象，并观察两个函数图象的关系.解如下图所示.点评要得到y 二f (\x \)的图象，先把y 二fx )图象在y 轴左方的部分去掉，然后把y 轴右边的对称图象补到左方即可.小结：y €f(x)——,y =f x )\将x 轴下方图象翻折上去y €f(x)——留y 轴右侧图象,y =f (\x \).并作其关于y 轴对称的图象—如图:y+y=f(x)四函数图象自身的对称性 1•函数y =f(x)的图象关于直x =a 2b对称…f (a +x )€f (b -x )…f (a +b -x)=f(x)2•函数y =f(x)的图象关于点(a,b)对称…2b -f(x)=f(2a -x)…f (x )€2b —f (2a —x )…f(a +x)+f(a -x)=2b3.若f(x)€-f (-x),则f(x)的图象关于原点对称，若f(x)=f(-x),则f(x)的图象关于y 轴对称。
图像平移与的对称
(1) (3)
f ( x) | x 2 | | x 5 |
2 g ( x) x 4 x 3
(2)
h( x )
3x 1 2x 2
(4)
1 x2 y( ) 2
二.图象的平移变换 ①y=f(x-a)( a>0 )的图象可由y=f(x)的图象沿x轴 向右平移a个单位得到； y=f(x+a)(a>0 )的图象可由y=f(x)的图象沿 x轴 向左平移a个单位得到. ②y=f(x)+h(h>0)的图象可由y=f(x)的图象沿y轴向 上平移h个单位得到; y=f(x)-h(h>0)的图象可由y=f(x)的图象沿y轴向 下平移h个单位得到; 注意:(1)平移变换口诀：左加右减，上加下减； (2)谁向谁变换：是 y f ( x) y f ( x a) 还是 y f ( x a) y f ( x)
思 考
答案： ① ③ ④
三.图象的对称变换
①y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称: ( x, y ) ( x, y )
②y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称:
( x, y) ( x, y)
, y ) ( x, y )
图象的对称变换图象的对称变换图象是保留yfx的图象中位于上半平面内的部分及与x轴的交点将yfx的图象中位于下半平面内的部分以x轴为对称翻折到上半面中去而得到
一.用描点法作函数的图象的基本步骤：
①确定函数的定义域; ②简化函数的解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等); ④画出函数的图象.
答案：（1）C （2）2
x 2
).
思 考
1.由直线y=2x如何得到直线y=2x+4? 2.函数y=f(x)图象进行平移变换得到曲线C,这时 y=f(x)图象上一点A(2,1)变为曲线C上点B(3,3)， 则曲线的函数解析式为（ ） A. y f ( x 1) 2 B. y f ( x 1) 2 C. y f ( x 1) 2 D. y f ( x 1) 2 答案（2）：A
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
二次函数图象的平移和对称变换
二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。
所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。
利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。
下面由具体的例子进行说明。
一、平移。
例1、把抛物线y=x2-4x+6向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到三个新点（-3，2），（-2，-1），（-1，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。
例2、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。
法（二）先利用配方法把二次函数化成2()=-+的形式，确定其顶点（2，-3），然y a x h k后把顶点（2，-3）向上平移4个单位，再向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点为（5，1），因为是抛物线的平移，因此平移前后a的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2，且顶点为（5，1），就可以求出其解析式了。
【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】.法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为“左右平移即把解析式中自变量x改为x加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。
”例3、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题：函数图象的平移与对称变换
一．知识结构
1．利用描点法作函数的图象的基本步骤：
①确定函数的定义域 ②简化函数的解析式
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等) ④画出函数的图象
2．图象的平移变换
①)(a x f y -=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)(a x f y +=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到 ②h x f y ±=)()0(>h 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到
注意：
（1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减
（2）谁向谁变换是)()(a x f y x f y -=→=还是)()(x f y a x f y =→-=
3．图象的对称变换
①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称
②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称
③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将的)(x f y =图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。
⑤)(x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。
⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形
二．题型选编
题组一：利用描点法作函数的图象
1．作出函数|5||2|)(--+=x x x f 的图象；
2．作出函数2
213)(-+=x x x f 的图象； 3．作出函数34)(2+-=x x x f 的图象；
题组二：利用图象的变换解决相应的问题
1．设函数)(x f y =图象进行平移变换得到曲线C ，这时)(x f y =图象上一点)1,2(-A 变
为曲线C 上点)3,3('-A ，则曲线C 的函数解析式为（ ）
A. 2)1(+-=x f y
B. 2)1(++=x f y
C. 2)1(--=x f y
D. 2)1(-+=x f y 2．对于定义在R 上的函数)(x f 有下列命题，其中正确的序号为
①若函数)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点)0,1(A 对称；
②若对R x ∈，有)1()1(-=+x f x f ，)(x f y =的图象关于直线1=x 对称； ③若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则函数)(x f 是偶函数；
④函数)1(+=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称；
3．若函数y = f (x ) (x ∈R )满足f (x + 2) = f (x )，且x ∈(–1, 1]时，f (x ) = |x |，则函数y = f (x )的图象与函数y = log 3| x |的图象的交点的个数是 ．
题组三：有关图象问题的综合应用
1．若函数)10(1≠>-+=a a b a y x 且的图象经过第二、三、四象限，则一定有 ．
2．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A ．0,1<>b a
B ．0,1>>b a
C ．0,10><<b a
D ．0,10<<<b a
3．关于x 的方程x a x x =-+-342有三个不相等的实数根，则实数a 的值是多少？
题组四:温故知新,可以为师
1．画出下列函数的图象
①2)21
(-=x y ②322-+=x x y
2．如图，在函数x y lg =的图象上有C B A ,,三点，它们的横坐标分别为m ，m +2，m +4(m >1)． ①若△ABC 面积为S ，求S =f (m )；
②判断S =f (m )的增减性．
1 m 2+m 4+m
x
y A
B C。