不定积分-定积分复习题及答案
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）仅供参考积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x) 是函数f(x) 的一个原函数,我们把函数f(x) 的所有原函数F(x)+C （C 为任意常数）叫做函数f(x) 的不定积分. 记作∫f(x)dx其. 中∫叫做积分号, f(x) 叫做被积函数, x 叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x) 的不定积分,就是要求出f(x) 的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x) 的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x) 的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x) 的导数是f(x), 那么F(x)+C （C 是常数）的导数也是f(x), 也就是说,把f(x) 积分,不一定能得到F(x), 因为F(x)+C 的导数也是f(x),C 是无穷无尽的常数,所以f(x) 积分的结果有无数个, 是不确定的,我们一律用F(x)+C 代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx 上(限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面).之所以称其为定积分, 是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b] 上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b] 的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论, 可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx(上限 a 下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此, 它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
定积分期末考试题及答案
定积分期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx的值：A. 总是存在B. 可能不存在C. 总是不存在D. 无法确定答案：A2. 计算定积分∫<sub>0</sub><sup>1</sup>x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上的定积分值为：A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A4. 若∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx =∫<sub>a</sub><sup>b</sup>g(x)dx，则f(x)和g(x)在区间[a, b]上的关系是：A. 相等B. 相等或相反C. 相等或相等的常数倍D. 无法确定答案：C5. 定积分∫<sub>0</sub><sup>π/2</s up>cos(x)dx的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定积分∫<sub>0</sub><sup>1</sup>(2x+1)dx的值为______。
答案：3/22. 函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的定积分值是______。
答案：8/33. 计算定积分∫<sub>0</sub><sup>π</sup>sin(x)dx的值是______。
答案：24. 定积分∫<sub>-1</sub><sup>1</sup>|x|dx的值为______。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。
2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。
3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx ２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dxxxx32532 ６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x32(⎰+ ８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos ６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰ ８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx 12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin 14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211 ２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx ６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdxxs⎰ ２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2 ６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln ８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx （Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分,定积分复习题及答案
姓名: 上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷学号: 班级: 成绩: 、选择题：(每小格3分，共30分) 竺仝为f(x)的一个原函数，且 a = 0，贝U x sinax sin ax 3 C ； (B ) 2 C ； ( C ) a x a x e x在(」：， ：：)上不定积分是F(x) C , 1、设(A ) 2、若 (A ) F(xH x_0 ；-e^+oxcO (B ) F(x)二(C ) < xe, xAO . F(x) x [-e +2,x v0 (D ) 3、设 (A ) (B ) (C ) (D ) 匸^dx 应等于( ) a 竺坐C ； ax sin ax (D) — x 则 F(x)二( ■ xe c,_xI e c 2,x ： 0 F (V 0 j —e , x < 01, x 0 f(x)二 0, x =0,F(x) f(t)dt ，则( -1,x ：：0 F(x)在x = 0点不连续; F(x)在内连续，在x = 0点不可导; F(x)在(_：：「：)内可导，且满足 F (x) = f (x)； F(x)在(-：：, =)内可导，但不一定满足 F (x)二f(x)。
4、极限啊 x tsin tdt 」 =( x 2 t 2dt(A)- 1； (D ) 2 b 5、设在区间[a,b]上 f (x) 0, f (x) :: 0, f (x) 0。
令 s 二 f (x)dx , s 2 二 ' a(B ) 0； (C ) 1 ； f(b)(b-a)& =2【f (a ) f (b)](b-a)，则((A ) 3 ：：： s 2::: S 3 ； (B ) s :::3 ：：： S 3；(C )sj::: S 1：：： S 2 ；(D) S 2：：：、填空题：(每小格3分，共30分)1、计算Md X2、计算 xta n 2 xdxX3、设 x _1，求,1 -t)dt1 + x ， x 04、设 f (x )、「x 01设f(x)的一个原函数是e-x ，则它的一个导函数是 ______________________2 1 2、 设］f (x)dx =1, f (2) =2，贝V ［xf (2x)dx = _______________ 。
第五章 不定积分与定积分习题解答
Φ′( x) = xe − x ，令 Φ′( x) = 0 ，得驻点 x = 0
x < 0 时， Φ′( x) < 0 ； x > 0 时， Φ′( x) > 0
x = 0 取极小值， Φ (0) = 0 .
2. 求下列极限：
∫ (1) lim
x →0
x 0
cos t 2 dt x
；
∫ (2) lim
2 0
0
π
∫
π
0
sin n x dx = 2 ∫ 2 sin n x dx
0
π
4．计算下列定积分：
(1) ∫
解
4
1
1 dx ； 1+ x x = t ，则 x = t 2
2 2t 2 1 3 dx = ∫ dt = 2 ⎡ t − ln (1 + t ) ⎤ = 2 − 2 ln ⎣ ⎦ 1 1 1 1+ t 2 1+ x 3 dx 4
1 dx ； x 1 1 1 1 1 解 ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d = cos + C x x x x x dx (8) ∫ x − x ； e +e (7)
∫x
1
2
sin
解
e x dx dx x = ∫ e x + e− x ∫ e2 x + 1 = arctan e + C dx (9) ∫ ； (2 − x) 1 − x
1
2
当 1 < x < 2 时， 0 < ln x < ln 2 < 1 ，
ln x > ( ln x )
2
∫
2
1
积分习题答案
积分习题答案积分习题答案积分作为微积分的重要概念之一，是解决各种数学问题的基础工具之一。
在学习积分的过程中，习题是不可或缺的一环。
通过积分习题的练习，可以帮助我们巩固知识，提高解题能力。
本文将为大家提供一些积分习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、定积分定积分是积分的一种形式，用来计算曲线与坐标轴所围成的面积。
下面是一些常见的定积分习题及其答案：1. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
答案：∫(0,1) x^2 dx = [x^3/3] (0,1) = 1/3。
2. 计算定积分∫(1,2) (2x-1) dx。
答案：∫(1,2) (2x-1) dx = [x^2-x] (1,2) = 3。
3. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
答案：∫(0,π) sin(x) dx = [-cos(x)] (0,π) = 2。
二、不定积分不定积分是积分的另一种形式，用来求函数的原函数。
下面是一些常见的不定积分习题及其答案：1. 计算不定积分∫x^2 dx。
答案：∫x^2 dx = x^3/3 + C，其中C为常数。
2. 计算不定积分∫(2x-1) dx。
答案：∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，其中C为常数。
3. 计算不定积分∫sin(x) dx。
答案：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
三、应用题积分在实际问题中的应用非常广泛，下面是一些与应用题相关的习题及其答案：1. 已知物体的速度函数v(t) = 2t，求物体在时间区间[0,2]上的位移。
答案：位移是速度的积分，即∫(0,2) 2t dt = t^2 |(0,2) = 4。
2. 已知曲线的边界方程为y = x^2，求曲线与x轴所围成的面积。
答案：面积是曲线的定积分，即∫(0,1) x^2 dx = 1/3。
3. 已知物体的加速度函数a(t) = 2，初速度v(0) = 1，求物体在时间区间[0,3]上的位移。
不定积分、定积分及其几何应用(部分含答案)
不定积分、定积分及其几何应用1、⎰+.d )ln (ln 123x x x x求Cx x +--21)ln (22、.sin 1d ⎰+xx求⎰-dx x x2cos sin 1=-+tan cos .x xc 13、求⎰-dxe x114、.d csc 4⎰x x 求.cot cot 313c x x +--5、⎰.d cos 3x x 求.sin 31sin 3c x x +-6、.d )(ln 112x x x⎰-求.)arcsin(ln c x +7、求⎰+.d )1(35x x xc x x ++++323)1(123138、.d 1323x xx ⎰+⋅求9、⎰-.4d 2xx x求10、⎰-dxxx24求 11、.4d 22⎰-x xx求12、⎰xx x d 2sin cos 2求x x x d cos sin 23⎰⋅.cos 214c x +-=13、.1d 23⎰-x xx求.211arccos 2122c x x x+-+14、.d cos 23x x x ⎰⋅求().cos sin 21222c x x x ++15、 .d 2432x xx x ⎰-求 c x x +-12174517245416、⎰'=t t f t f t t t f d )()(,cos )(ln 求设ct t t +-⋅sin cos17、 ．求⎰+202sin 8sin πdx xx2ln 6118、 ．求⎰+1012dx ex )13(3-e 19、 ．求⎰-+121x x dx4π20、．⎰+401dx xx3ln 221、 ⎰-1224．求dx x x 233-π22、．求⎰-eex x x dx)ln 1(ln 23、求⎰π02sin xdxx 24、．求⎰π02cos xdx x 25、求⎰-+21 2121sin 1－dxxx26、⎰+2232)sin (cos ππ－dxx x 27、如果.,612ln 2x e dtxt求π=-⎰28、求．⎰403cos sin πdx xxx 214-π29、 ．求⎰-3232)4(x dx)12(33-29、．，计算：dx e x⎰∞+-0)21min(⎰⎰+∞-+2ln 2ln 021dx e dx x =+1221(ln )30、 ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1010)(dx x f x x x xe x f x 1243--e π31、 ．求⎰∞++122)1(x x dx41π-32、 ．求dx x x x ⎰∞+++1222)1(21⎰∞+++122)111(dxx x =+14π33、设，求⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=-01011)(x e e x xx f xx⎰∞--2)1( dx x f 34、设，求⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=011)(22x e x x x f x ⎰∞-1)(dx x f 35、()⎰∞+-+311x x dx求42π36、设为连续函数，满足，求)(x f C 98)()(1816120+++=⎰⎰x x dt t f t dt t f x x)(x f 37、设有连续的二阶导数，且，求)(x f a b f b a f ='=')()(，⎰'''ba dxx f x f )()(38、． 计算设⎰⎰==-11 )()(22dt t tf I dx e t f t x 39、⎰⎰++++1021021)]1ln(1[大小与不计算积分，试比较dx x dx x x x 40、⎰⎰+-10102)1ln()2(大小与不计算积分，试比较dx x dx x x 41、若间有什么关系？与问的原函数为xe xf x e x f xx )(,)(⎰'dxx f x )(并求42、若间有什么关系？与问的原函数为xxx f x x x f sin )(,sin )(⎰'dx x f x )(并求 、．为自然数，、求)()1(4310n dx xx n⎰-,sin 2t x =令 原式=+⎰22102cos n tdtπ=+2221()!!()!!n n 44、nn nx n a n n dx e x f a x x x x x f 220lim )2()21()()1(21210)(∞→-==⎩⎨⎧≤≤-≤≤=⎰ ，， 求：，，设函数()()()1202112 a f x edx xedx x e dx n nxnxnx ==+----⎰⎰⎰=-+--11222ne e n n ()=1()lim lim()21222 n n n n n n a e e →∞→∞--=-+45、设，为偶函数，且[]上连续 ，在，)0()()(>-a a a x x f ϕ)(x ϕ（常数），证明：k x f x f =-+)()(⎰⎰=-aaadxx k dx x x f 0)()()(ϕϕ⎰⎰+=-aa dx x x f dx x x f 00)()()()(ϕϕ左边⎰⎰+-=aadxx x f dx x x f 0)()()()(ϕϕ=⎰c x dxaϕ()046、)()0()()()()(1x F x dt t f xx F x f x ''≠=∞+-∞⎰，求 可导，且，在设113xf x '()47、设，求dt ttx f x ⎰=21sin )(⎰10)(dx x xf 原式=)11(cos 21)(21102-=⎰dx x f 48、为偶函数．证明：函数⎰++=xdt t t x F 02)1ln()()()1ln()()(02u t dt t t x F x x-=++=-∞+-∞∈∀⎰- ， =-+-⎰ln()12u u du x=++⎰ln()u u dux120 =F x ()∴ 为偶函数F x ()49、为偶函数．证明：设)( , )cos 21ln()(02x F dt x t x x F ⎰+-=πF x x t x dt()ln(cos )-=++⎰1220πt u x u x du =--+-⎰ππln(cos )()1220=-+⎰ln(cos )1220x u x du π=F x ()221d d 0d )(502=+-⎰=-=t tx u txu et t x x 所确定的，求是由方程、若22e具有连续导数．，求及，、已知)(,)2(1)(0)2(21)2(5110220x f dx x f x dx x f f f ⎰⎰''=='=（0）52、试求抛物线和抛物线相切于纵坐标y=3处的切线及x 轴所围成的平面1)2(2-=-x y 图形面积。
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（A ） F ( x ) = ⎨ ；（B ） F ( x ) = ⎨ ⎩ -e - x + c , x < 0 ⎩ -e - x + c + 2, x < 03、设 f ( x ) = ⎨0, x = 0 , F ( x ) = ⎰ f (t )dt ，则（）⎪ -1, x < 0 ⎰ t sin tdt⎰ t2dt2上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分）1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ⎰x adx 应等于（ ）（A ） sin ax sin ax sin ax sin ax+ C ； （B ） + C ； （C ） + C ； （D ） + Ca 3 x a 2 x ax x2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （）⎧e x + c , x ≥ 0 ⎧e x + c , x ≥ 01 2⎧e x , x ≥ 0 ⎧e x , x ≥ 0（C ） F ( x ) = ⎨ ；（D ） F ( x ) = ⎨⎩ -e - x + 2, x < 0 ⎩ -e - x , x < 0⎧1, x > 0 ⎪ x；⎩（A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续；（B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导；（C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ；（D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。
4、极限 lim x →0x 0x＝（ ）（A ）－1；（B ）0； （C ）1；（D ）25、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。
令 s = ⎰ 1baf ( x )dx ， s = f (b )(b - a )21s = [ f (a ) + f (b )](b - a ) ，则（ ）3（A ） s < s < s ； （B ） s < s < s ； （C ） s < s < s ； （D ） s < s < s1 23213312231二、填空题：（每小格 3 分，共 30 分）4、函数F(x)=⎰3、设x≥1，求⎰(1-t)dt，求⎰f(x-2)dx,0⎰6、计算⎰ϕ（（设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明：不等式⎰2⎰f(x)dx。
1、设f(x)的一个原函数是e-2x，则它的一个导函数是___________。
2、设⎰2f(x)dx=1,f(2)=2，则⎰1xf'(2x)dx=_____________。
003、已知f'(e x)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=_________________。
x 1(2-1)dt(x>0)的单调减少区间为________________。
t5、由曲线y=x2与y=x所围平面图形的面积为___________。
三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）(1+x)21、计算⎰dxx(1+x2)x-12、计算⎰x tan2xdx⎧1+x2x≤4、设f(x)=⎨⎩e-x,x>0315、10ln(1+x)(2-x)2dx+∞11x x-1dx7、已知曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l,l分别是曲线C在点12(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。
设函数f(x)具有三队连续导数，计算定积分⎰3(x2+x)f'''(x)dx。
四、解答题（本题10分）设f(x)连续，(x)=⎰10f(x t)dt，且limx→0f(x)x=A（A为常数），求ϕ'(x)，并讨论ϕ'(x)在x=0处的连续性。
五、应用题（本题6分）设曲线方程为y=e-x(x≥0)，把曲线y=e-x,x轴、y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体。
1）旋转体体积V(ξ)；2）求满足V(a)=的a值。
六、证明题（6分）1lim V(ξ) 2ξ→+∞b a xf(x)dx≥a+b ba1、一个导函数是f'(x)=4e-2x。
2、⎰3、f(x)=1(ln x)2。
1、解：⎰dx=⎰(+当-1≤x<0时，原式=⎰(1+t)dt=当x≥0时，原式=⎰(1+t)dt+⎰(1-t)dt=1-(1-x)2。
4、解：⎰f(x-2)dx===⎰1f(t)dt=⎰0(1+t2)dt+⎰1e-t d t=5、解：⎰dx=⎰1l n(1+x)d()=ln(1+x)0(2-x)2-x2-x01-⎰0(1+x)(2-x)=ln2-⎰(1+1)dx=1ln2。
不定积分、定积分测验卷答案一．选择题：（每小格3分，共30分）1、（A）sin axa3x+C；⎧e x,x≥02、（C）F(x)=⎨⎩-e-x+2,x<0；3、（B）F(x)在(-∞,+∞)内连续，在x=0点不可导；4、（C）1；5、（B）s<s<s。
213二、填空题：（每小格3分，共30分）1 0xf'(2x)dx=34。
124、单调减少区间为(0,4)。
5、13。
三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）(1+x)212x(1+x2)x1+x2)dx=ln x+2arctan x+c2、解：⎰x tan2xdx=⎰x(sec2x-1)dx=⎰xd tan x-⎰xdx=x tan x-⎰tan xdx-x2=x tan x+ln cos x-+c2x2 2⎧1+t,-1≤t<0 3、解：被积函数f(t)=⎨⎩1-t,0≤t<+∞，x -112(1+x)2；0x1 -1023 1x-2=t-1-1071-。
3e1ln(1+x)11211302-x1+x3011dx⎰dx = ⎰ 2 dx + ⎰ +∞1dx ==== ⎰ 2 x x - 1 (t 2 + 1)t 2 1 x -1=t 2 2dx = ⎰ +∞= 2( - ) ；⎰⎰f ( x t )dt =⎰1f (u )所以 ϕ ( x ) = ⎨6、解：因为 lim f ( x ) = ∞ ，所以 x = 1 为瑕点，因此该广义积分为混合型的。
x →1++∞ 11 1 1 x x - 1 1 x x - 12 x x - 1dx = I + I12I = ⎰211 2tdt π= 2arctan x 1 =I = ⎰+∞21 2tdt x x - 1 1 (1+ t2 )t== 2arctan x +∞ 1 π π 2 4所以 +∞1 1 x x - 1dx = I + I = π 。
1 27、解：按题意，直接可知f (0) = 0, f (3) = 0, f ''(3) = 0 （拐点的必要条件）。
从图中还可求出 y = f ( x ) 在点 (0,0) 与 (3,2) 处的切线分别为 y = 2 x , y = -2 x + 8 。
于是f '(0) = 2, f '(3) = -2 。
所以⎰3 0( x 2 + x ) f '''( x )dx = ⎰ 3( x 2 + x )df ''( x ) = ( x 2 + x ) f ''( x ) 3 - ⎰ 3f ''( x )(2 x + 1)dx= -⎰ 3(2 x + 1)df '( x ) = -(2 x + 1) f '( x ) 3 + 2⎰ 3f '( x )dx = -7 f '(3) + f '(0) + 2 f ( x )= -7 ⋅ (-2) + 2 + 2 ⋅ (2 - 0) = 20 。
四、解答题（本题 10 分）3 0解：因为 lim x →0f ( x ) x= A ，故 lim f ( x ) = 0 ，而已知 f ( x ) 连续， lim f ( x ) = f (0) = 0 ；x →0 x →0由于 ϕ ( x ) =⎰1 0f ( x t )dt ，令 u = xt ，当 t : 0 → 1 时，有 u : 0 → x ， du = xdt ；当 x ≠ 0 时，有 ϕ ( x ) =当 x = 0 时，有 ϕ (0) =⎰1x1⎧ ⎰ x f (u )du⎪ 0 x⎪⎩0,, x ≠ 0 。
x = 0x →0 x →0 , x ≠ 0 ⎪ ⎪所以 ϕ '( x ) = ⎨ 。
⎪⎩ 2 , 解：（1）V (ξ ) = ⎰π y 2dx = ⎰π (e - x )2 dx = 2 ⎰ f (t )dt即⎰⎰ f ( x )dx ≥ 0 ，所以有 ⎰bxf ( x )dx ≥a + b⎰ bf ( x )dx 。
a a当 x ≠ 0 时，有ϕ '( x ) = xf ( x ) - ⎰ 0x f(u )dux 2；当 x = 0 时， lim x →0 ϕ( x ) - ϕ(0)x - 0 = limϕ( x ) x= lim x →0⎰ x0 f (u )dux 2 = limf ( x ) A = ；2 x 2⎧ xf ( x ) - ⎰ x f (u )du0 x 2 ⎪ Ax = 0又因为 lim ϕ'( x ) = limx →0 x →0xf ( x ) - ⎰ x f (u )du0 x 2f ( x ) ⎰x f (u )du= lim( -x →0 x x 2A A) = A - = ，2 2所以 lim ϕ'( x ) = ϕ'(0) =x →0A 2，即 ϕ '( x ) 在 x = 0 处连续。
五、应用题（本题 6 分）ξ ξπ 2(1- e -2ξ ) ；（2）V (a ) = π 2 (1- e -2a ) ，于是V (a ) = 1 1 π πlim V (ξ ) = ⋅ lim (1- e -2ξ ) = ；2 ξ →+∞ 2 ξ →+∞ 2 4π 1 π 1故 (1- e -2a ) = lim V (ξ ) = ⇒ a = ln 2 。
2 2 ξ →+∞ 4 2六、证明题（6 分）证：设 F ( x ) = ⎰ x tf (t )dt - a a + x xax ∈[a , b ]因为 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，所以F '( x ) = xf ( x ) -1⎰xf (t )dt -a + xf ( x ) = x + a f ( x ) - 1 ⎰ xf (t )dt = 1⎰ x [ f ( x ) - f (t )]dt 2a2 2 2 a 2 a因为 f ( x ) 在 [a , b ] 单调增加， 0 ≤ t ≤ x , f (t ) ≤ f ( x ) ⇒ f ( x ) - f (t ) ≥ 0 ，所以 F '( x ) ≥ 0 ；所以 F ( x ) 在 [a , b ] 单调增加；又 F (a ) = 0, 所以 F (b ) ≥ F (a ) = 0 ，baxf ( x )dx -a +b b2 2 a。