大学物理《普通物理学简明教程》10-6 二维谐振子的合成剖析
大学物理简谐振动的能量、合成
§3-3简谐振动的能量下面以弹簧振子为例来说明简谐振动的能量。
某一时刻 t ：位移 ()0c o s x A t ωϕ=+ 速度 ()0s i n v A t ωωϕ=-+振动动能 ()2222011sin 22k E mv m A t ωωϕ==+ ()2201sin 2kA t ωϕ=+振动势能 ()222011cos 22p E kx kA t ωϕ==+ 总能量 22221122k p E E E kA m A A ω=+==∝ 振幅反映了振动的强度 简谐振动系统机械能守恒！动能和势能相互转化。
简谐振动的系统都是保守系统。
动能和势能在一个周期内的平均值为()2220001111()sin 24T T k k E E t dt kA t dt kA T T ωϕ==+=⎰⎰ ()2220001111()cos 24T T p p E E t d t kA t dt kA T T ωϕ==+=⎰⎰21142k p E E kA E ===动能和势能在一个周期内的平均值相等，都等于总能量的一半。
例3.4：见第一册教材第113页。
（不讲）例：光滑水平面上的弹簧振子由质量为 M 的木块和劲度系数为 k 的轻弹簧构成。
现有一个质量为 m ，速度为 0u 的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态。
（不讲） （1）试写出谐振子的振动方程；Ox（2）求出2Ax =-处系统的动能和势能。
解：（1）射入过程，水平方向动量守恒。
设射入后子弹和木块的共同速度为 0V ()00mu M m V =+00mV u M m=+ 建立坐标系如图，初始条件为00x =， 00v V = 谐振系统的圆频率为ω=初相位 032ϕπ=振幅v A ω===振动方程3o 2x π⎫=+⎪⎪⎭（2）势能 ()22220112228p m u A E kx k M m ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭O动能 ()22222031132888k p m u E E E kA kA kA M m =-=-==+Ex ：质量为kg 10103-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI ()328cos(1.0ππ+=t x 的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初相位及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的相位差； 解：(1) 0.1m,8A ωπ== rad/s ， 214T πω∴==秒， 02/3ϕπ= πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅ 2.632==A a m ω2s m -⋅ (2) 0.63N m m F ma ==J 1016.32122-⨯==m mv E J 1058.1212-⨯===E E E k p当p k E E =时，有p E E 2=，即 )21(212122kA kx ⋅=∴ m 20222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t§3-4简谐振动的合成一、两个同向同频简谐振动的合成设质点同时参与两个同方向同频率的谐振动 ()1110c o s x A t ωϕ=+()2220c o s x A t ωϕ=+质点的合位移()()12110220c o sc o sx x x A t A t ωϕωϕ=+=+++下面我们用旋转矢量法求合位移：0t = 时刻，两分振动与 x 轴正方向的夹角分别为 10ϕ 和 20ϕ，以相同的角速度 ω 逆时针转动。
大学物理(简谐振动篇)ppt课件
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光 干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度 、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简 谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动 形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹 性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关 ，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基 本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构 对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏 度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程 领域。
大学物理第五版下册 简谐运动的合成课件
简谐运动能量守 恒，振幅不变
6
第九章
振 动
物理学
第五版
（3） 熟记平均动能和平均势能 ）
E
k
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
E
P
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
第九章
振 动
7
物理学
第五版
在实际问题中，经常要遇到一个质点同时参与几种 在实际问题中， 振动的问题。根据运动的叠加原理， 振动的问题。根据运动的叠加原理，此时质点所做的运动 实际上是几种振动的合成。 实际上是几种振动的合成。 的合成问题。 我们仅研究两个同方向的振动的合成问题。
π
点P的相位为 的相位为
ΦP = ω( tP −t0 ) +ϕ = 0
t =0
t =tP
x/m
第九章
振 动
5
物理学
第五版
(3): 根据
ΦP = ω(t P −t0 ) +ϕ = 0
π /3 ω(t P −t 0 ) = ( tP −t0 ) = 3 ω 4. 简谐运动的能量
π
∴ t P =1.6S
（1） 动能 ） （2） 势能 ）
1 2 kA 2 1 1 2 E k = mv = m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 2 1 E p = kx = m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 1 2 2 2 E = E k + E p = m ω A = kA 2 2
x = Acos(ωt +ϕ)
9.8 k g = = =10rad / s 式中 ω = ∆l m 0.098
(优质)大学物理(振动学)PPT课件
)
速度 振幅
m
A
加速度 振幅
a m
2 A
5
三条特征
简 谐
F kx
简简
振
谐谐
动
振
的 普 遍
(
d2 dt
x
2
2
x
0
)
动 三 条
振 动 的 定
定
判义
义
据式
式 x Acos(t )
6
二点说明
(1）特征方程成立的条件: 坐标原点取在平衡位置 （2）证明一种振动是简谐振动的一般步骤
a）确定研究对象，找平衡位置 b）建立以平衡位置为原点的坐标系 c）进行受力分析
d）利用牛顿定律或转动定律写出物体在任一位置 的动力学方程
e）根据判据判断该振动是否为简谐振动
7
二 描述简谐振动的物理量 x Acos(t )
1、振幅：表示物体离开平衡位置的最大距离——A
2 周期 频率 圆频率 回到原来的运动状态 r,,a T :完成一次全振动所用时间 x( t T ) x( t )
（优质）大学物理(振动学)PPT 课件
1
弹簧振子的振动
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
2
7.1 简谐振动的描述
一、简谐振动的特征方程
弹
k km F m
簧
振
子
ox
物体所受合外 力为零的位置
平衡位置
k
x
x 0o x
m F
m
1 回复力 F kx
x
竖 直
F
mg
k(x
x 0
)
kx
斜放
3
大学物理课件---简谐振动的合成.-..李培官..2013.8.3
x(t ) A cos( 1t ) A cos( 2t )
( 2 1 )t ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
随t变化缓慢
随t变化较快
14
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
(2 1 )t | 当 1与 2 都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos 2 视为振幅变化部分，合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率
3
1)当
2 1 2k
时,
( k 0,1,2,) 0,1,2,)
A2
2)当 2 1 （2k 1） 时, ( k
A A1 A2
合振动振幅最大.
A | A1 A2 | 合振动振幅最小.
3). 一般情况
A1 A2 A A1 A2 x x
20
x2 y2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
1）
2 1 0, π合振动为线振动。
π 2 1 合振动为正椭圆。 2
2）
且当 A1=A2 时,即为圆。 3） 一般情况下，合振动为斜椭圆。
H= A1.Sin(φ1)+A2.Sin(φ2)+...+An.Sin(φn) H= ASin(π/2)+A.Sin(7π/6)+A.Sin(11π/6)=0 L= A1Cos(φ1)+A2.Cos(φ2)+...+An.Cos(φn) = ACos(π/2)+A.Cos(7π/6)+A.Cos(11π/6)=0
• A合=(H2+L2)1/2 =0 • 合振动： X=A合Cos(ωt+φ)=0
大学物理教程3.2 简谐振动的合成
Ay tg = A x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
3. 两种特殊情况
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 - 1 )
(1)若两分振动同相
2- 1=0（2k，k=0,1,2,…）
x =A cos( t+ )
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
x =A cos( t+ )
由图知：
Ax = A1cos1 + A2cos2 Ay = A1sin1 + A2sin2 由： A2 = Ax2 + Ay2
y Ay
A A2
o
1
A1 A
x
2
x
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 - 1 )
x1 4 cos 3t cm x2 2 cos(3t π) cm
求合成振动的振幅、初相位和振动表达式。
解 这两个谐振动的频率相同 3rad s ，振动方向相 同。所以它们的合成振动仍然是在x方向的、具有相同频 率的简谐振动。
-1
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
由于这两个振动反相，因此在旋转矢量图上，振幅矢 量 A1 和 A2 的方向始终相反，而合矢量 A 沿 A1 方向。
A 的模，即合成振动振幅为
A (4 - 2) 2
合振动的初相
1 0
x 2cos 3t cm
合振动的表达式为
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
二 同方向不同频率的简谐振动的合成 拍
6.2 谐振动的合成
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2 cm
2 1 2 2
大学物理 第三次修订本
7
第6章 机械振动基础
合成谐振动的初相
A1 sin 1 A2 sin 2 arctan 0 A1 cos 1 A2 cos 2
合成谐振动的振动方程为
x 2 cos 3t cm
旋转矢量法也可得到同样的结果。
大学物理 第三次修订本
8
第6章 机械振动基础
二、同方向不同频率谐振动的合成、拍
x1 A1 cosω1 t
合振动 x x1 x2 合振幅 A
2 1
x2 A2 cosω2t
2 2
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )t
2
2
（1） = 2 1=2k 时
A2 y x A1
（2） = (2k+1) 时
轨迹为直线。
A2 y x 轨迹为直线。 A1
大学物理 第三次修订本
14
第6章 机械振动基础
（3） = k + /2 时
x y 1 轨迹为正椭圆。 2 2 A1 A2
（4）其他 轨迹为倾斜椭圆，倾斜程度随而 不同。
大学物理 第三次修订本
1
第6章 机械振动基础
令
A1 cos1 A2 cos2 A cos A1 sin 1 A2 sin 2 A2 sin
x A cos cost A sin sin t
x A cos(t )
其中 A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
振幅部分
频率部分
当 2 1 时 , 2 1 2 + 1。
简谐振动、振动合成ppt课件
x0
A0
-A 0
A
0
0 -A 0
A 0
;
9
5、振幅与初相的确定
初始条件：x t0 x0 , V t0 V0
x A cos(t ) v A sin( t )
x0 A cos ① v0 A sin ②
①2+(②/)2
有
x
2 0
(v0
/ )2
A2
A
x02
v0
2
②/①有
tg v0 / A v0
A M
A v t M 0
2. M 点的运动速度
ox P x
v A
在 x 轴上投影速度
v A sin( t )
;
31
3. M 点的加速度
a A2
在x轴上投影加速度
a A2 cos(t )
y
aM
A M A2 t 0
ox P x
结论：
M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。
M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。
x
14
建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。
F弹 x
3.振动位移
ox
振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力： 一维振动
F弹 k x F弹 kx ma
a d 2x F弹 k x
dt 2 m;
m
15
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
2
1 mA 2 2 sin 2 (t )
2
;
25
Ek
1 m 2 A 2 sin
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两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式
x A1 cos(t 10 ) y A2 cos(t 20 )
消时间参数，得
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
cos(20
10 ) sin2 (20
10 )
合运动一般是在 2(Ax1向)、 2(Ay2向)范围内的一个
椭圆。
椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋 )在 A1 、A2
确定之后,主要决定于 20 10 。
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讨论：
x2 A12
y2 A22
2x Leabharlann 1y A2cos(20 10 ) sin2 (20
y
10 )
（1） 20 10 0或 2π y A2 x A1
（2） 20 10 π A
0
4 2 3 4
.P· Q
5 4 3 2 7 4
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方向垂直的不同频率的简谐
振动的合成
• 两分振动频率相差很小
(2 1)t
可看作两频率相等而 随t 缓慢变化，合运动轨
迹将按上页图依次缓慢变化
y A1
• 两振动的频率成整数比
轨迹称为李萨如图形
y 2 x A
1
A2 A1
ox
y
A2
o A1 x
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（3） 20 10 π 2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A
cost
cos(t
π
)
2
2
y
A2
o A1 x
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用旋转矢量描绘振动合成图
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两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图
20 10
x :y 3: 2
-A2
O
A2 x
20 4, 10 0
- A1
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几幅典型的利萨如图形
1:2
1:3
2:3
0
2
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思考题和习题
10-1, 10-2, 10-3。
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