向量空间的同构
801《高等代数》考试大纲
801 《高等代数》考试大纲一、考试要求1．掌握基本的代数运算方法，包括：行列式的计算，矩阵运算（乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量），线性方程组解的判定及求解，多项式运算（带余除法，辗转相除法，综合除法）等.2．掌握基本的代数分析技巧，包括：向量的线性相关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的结构, 线性变换和矩阵的关系，方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型，一元多项式的整除性及因式分解.3．掌握代数的基本几何背景，理解代数与几何的关系，包括：欧氏空间和酉空间，正交变换与正交矩阵, 对称变换与对称矩阵, 主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.二、考试内容第一部分多项式1.一元多项式的定义和基本运算；2.多项式的带余除法与综合除法，多项式整除性的常用性质；3.多项式的最大公因式概念及性质，辗转相除法；4.不可约多项式的概念及性质，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式；5.多项式函数与多项式的根的概念及性质；6.代数基本定理，复数域和实数域上多项式的因式分解定理，Vieta定理；7.整系数多项式的有理根，Eisenstein判别法；8.多元多项式概念及字典排列法，对称多项式.第二部分行列式1. 线性方程组和行列式的关系，排列、n阶行列式及其子式和代数余子式；2. 行列式的性质及行列式的基本计算方法；3. 克拉默法则.第三部分线性方程组1.线性方程组求解的消元法；2.矩阵的秩的概念，用矩阵的初等变换求秩；3.线性方程组可解的判别法；4.两个多项式的结式和多项式的判别式.第四部分矩阵1. 矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算法则；2.逆矩阵概念，矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质，求可逆矩阵的逆矩阵的方法；3.矩阵的分块法，分块矩阵的运算法则.第五部分向量空间1. 向量空间及子空间的定义；2.向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关性的判定条件和性质，向量组的极大无关组；3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标变换式；4.向量空间的同构及其性质；5.齐次线性方程组的解空间与基础解系；线性方程组的结构式通解.第六部分线性变换1. 向量空间线性映射概念及其相关性质；2.线性变换的运算和矩阵的相似关系；3.不变子空间及其性质；4.方阵的特征值和特征向量；5.可以对角化的矩阵.第七部分欧氏空间和酉空间1. 向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt正交化方法；2. 正交变换与正交矩阵的定义和性质；3. 对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化；4.酉空间的定义及其基本性质，酉变换和酉矩阵.第八部分二次型1. 二次型与对称矩阵，矩阵的合同关系；2.复数域和实数域上的二次型，用正交变换化实二次型为标准形的方法；3.正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的判定条件和性质；4.主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.参考文献1.张禾瑞，郝鈵新《高等代数》（第四版）高等教育出版社 19992.北京大学数学系《高等代数》（第三版）高等教育出版社 20033.丘维声《高等代数》（第二版）高等教育出版社 2003。
线性代数电子教案
线性代数电子教案一、引言1.1 课程介绍线性代数的定义和意义课程目标和学习内容1.2 电子教案的特点互动性和趣味性自主学习和协作学习1.3 软件使用说明软件安装和运行功能介绍和操作指南二、行列式2.1 行列式的定义和性质行列式的概念行列式的计算规则2.2 行列式的计算方法按行(列)展开拉普拉斯展开2.3 克莱姆法则克莱姆法则的原理克莱姆法则的应用三、矩阵3.1 矩阵的定义和运算矩阵的概念和表示矩阵的加法和数乘3.2 矩阵的逆矩阵的逆的定义和性质矩阵的逆的计算方法3.3 矩阵的特殊类型单位矩阵对角矩阵零矩阵四、向量空间4.1 向量空间的概念向量空间的基本性质向量空间的子空间4.2 向量的线性相关性线性相关的定义和判定线性无关的性质和应用4.3 基底和坐标基底的概念和选择向量的坐标表示和转换五、线性方程组5.1 线性方程组的解法高斯消元法克莱姆法则5.2 齐次线性方程组齐次线性方程组的解集自由变量和特解5.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的解法常数变易法和待定系数法六、特征值和特征向量6.1 特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量的概念特征多项式的定义和求解6.2 特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的求解方法矩阵的对角化6.3 特征值和特征向量的应用矩阵的相似对角化实对称矩阵和正交矩阵七、二次型7.1 二次型的定义和标准形二次型的概念二次型的标准形7.2 配方法和正定性配方法的应用二次型的正定性判定7.3 惯性定理和二次型的几何意义惯性定理的表述和证明二次型在几何上的意义八、向量空间的同构8.1 向量空间的同构概念同构的定义和性质同构的判定条件8.2 线性变换和矩阵线性变换的概念和性质线性变换与矩阵的关系8.3 线性变换的图像和核线性变换的图像线性变换的核（值域）九、特征空间和最小二乘法9.1 特征空间的概念特征空间的定义和性质特征空间的维数9.2 最小二乘法原理最小二乘法的定义和目标最小二乘法的应用9.3 最小二乘法在线性回归中的应用线性回归问题的最小二乘解回归直线的性质和分析十、线性代数在实际应用中的案例分析10.1 线性代数在工程中的应用结构力学中的矩阵方法电路分析中的节点电压和回路电流10.2 线性代数在计算机科学中的应用计算机图形学中的矩阵变换机器学习中的线性模型10.3 线性代数在其他学科中的应用物理学中的旋转和变换经济学中的线性规划十一、矩阵分解11.1 矩阵分解的概念矩阵分解的意义和目的矩阵分解的类型11.2 LU分解LU分解的定义和算法LU分解的应用和优点11.3 QR分解QR分解的定义和算法QR分解的应用和优点十二、稀疏矩阵12.1 稀疏矩阵的定义和性质稀疏矩阵的概念稀疏矩阵的存储和运算12.2 稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在科学计算中的应用稀疏矩阵在数据挖掘中的应用12.3 稀疏矩阵的优化算法稀疏矩阵的压缩技术稀疏矩阵的快速运算算法十三、线性代数在图像处理中的应用13.1 图像处理中的线性代数概念图像的矩阵表示图像变换和滤波13.2 图像增强和复原图像增强的线性方法图像复原的线性模型13.3 图像压缩和特征提取图像压缩的线性算法图像特征提取的线性方法十四、线性代数在信号处理中的应用14.1 信号处理中的线性代数概念信号的矩阵表示和运算信号处理的基本算法14.2 信号滤波和降噪信号滤波的线性方法信号降噪的线性模型14.3 信号的时频分析信号的傅里叶变换信号的小波变换十五、线性代数的现代观点15.1 向量空间和线性变换的公理化向量空间和线性变换的公理体系向量空间和线性变换的分类15.2 内积空间和谱理论内积空间的概念和性质谱理论的基本原理15.3 线性代数在数学物理中的作用线性代数在微分方程中的应用线性代数在量子力学中的应用重点和难点解析本文档详细地介绍了线性代数的主要知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基础理论知识和应用能力。
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
高等代数课件北大三版 第六章 向量空间
惠州学院数学系
9
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给f(x),g(x),h(x) ? F[x].
(a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) (ab) f(x)= a(bf(x)).
(m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x). (m3) (a ? b) f(x)= a f(x)+ b f(x).
加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
1. A+B=B+A 2. (A+B)+C= A+( B+C) 3. O＋A=A 4. A+(-A)=O
5. a(A+B)= aA+Ab 6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A ＝A
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5
(m4) 1 ? f(x)= f(x).
注1：刚开始，步骤要完整.
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10
例5 C[a,b] 表示区间[a,b] 上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域 R的向量空间，称为函数空间 . 证明： 比照例3，给出完整步骤. 例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量
空间，R是否为C上的向量空间？
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12
例8 在 R2 上定义加法和数乘：
(a, b) ? (c, d) ? (a ? c, b ? d ? ac) k (a,b) ? (ka, kb? k(k ? 1) a 2 )
2
证明 R2 关于给定运算构成R上的向量空间.
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
同构
a1
a2
an
任取 , V , 设
a11 a2 2 an n , b11 b2 2
a1 b1
则 ,
的坐标分别为
a2
，
b2
，
an bn
1() 1( ) ( 1()) ( 1( )) ( 1() 1( ))
再由 是单射，有 1( ) 1() 1( )
同理，有 1(k) k 1(), V ,k P
线性相关（线性无关）.
V
V
1 2
（1） （2）
r
相
（r）
相
关
关
4） dimV dimV .
5）：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
V
V
-1
V
V
V
是V到V 的同构映射。
6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集
bn n
又 + (a1 b1 )1 (a2 b2 ) 2 (an bn ) n ,
k ka11 ka2 2 kan n ,
又 + (a1 b1 )1 (a2 b2 ) 2 (an bn ) n , k ka11 ka2 2 kan n ,
若 ( ) ( ), 即 aiei biei , 则 ai bi ,
i 1
i 1
i 1,2, ,n, 从而， . 所以 是单射.
向量空间的同构知识点总结
向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。
同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。
在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。
二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。
2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。
3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。
5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。
6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。
7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。
8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。
9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。
在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。
内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。
三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。
具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。
此时，我们将T称为从V到W的同构映射。
同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。
四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。
向量空间的同构与直和分解
向量空间的同构与直和分解向量空间是线性代数的重要概念之一，它是由一组向量所张成的集合。
这组向量的线性组合可以表示该空间中的任意向量。
对于一个向量空间，我们可以通过同构和直和分解两种方式来进一步研究其结构。
一、向量空间的同构同构是指两个向量空间在结构上完全一致。
具体地说，如果存在一个双射线性变换将一个向量空间映射成另一个向量空间，并且这个映射保持原来向量空间的所有结构，那么这两个向量空间就是同构的。
同构可以帮助我们揭示向量空间之间的一些重要性质，例如维数、基等等。
对于同构的向量空间来说，它们的维数相等，因为同构意味着它们具有完全相同的结构。
同时，同构的向量空间也具有相同的基。
因此，我们可以使用同构来方便地研究向量空间。
二、向量空间的直和分解直和分解是指将一个向量空间分解成若干个子空间的直和。
具体地说，如果一个向量空间V可以写成两个子空间W和U的直和，即V=W⊕U，那么我们称V是由W和U直和分解而来的。
直和分解可以帮助我们更好地理解向量空间中的子空间之间的关系。
对于直和分解的向量空间来说，它们可以通过组合子空间中的向量来表示其它任意向量。
同时，直和分解使我们得以对子空间进行独立地研究，从而更深入地理解向量空间中的结构。
三、同构与直和分解的联系同构和直和分解在研究向量空间时经常使用。
它们之间的联系在于，同构的向量空间可以用相应的基进行直和分解。
具体地说，如果V和U是同构的向量空间，那么它们的基可以一一对应。
我们可以使用这些基将V和U分别表示成它们的子空间的直和，然后通过同构将它们重新映射成同一个向量空间。
同构与直和分解的联系有助于我们更加深入地理解向量空间结构之间的联系。
它们相互依存，可以互相印证，帮助我们更全面地研究向量空间的性质。
结语向量空间的同构与直和分解是线性代数中重要的概念。
同构可以帮助我们揭示向量空间的性质，直和分解可以帮助我们理解向量空间中的子空间之间的关系。
它们之间有着密切的联系，相互印证，共同构成了向量空间的完整结构。
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5.6向量空间的同构
授课题目： 向量空间的同构 教学目标
1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义.
2.掌握有限维向量空间同构的充要条件. 授课时数：2学时
教学重点：向量空间同构的概念. 教学难点：同构的判别. 教学过程：
一、线性空间同构的定义 定义1：
设()V, F 、()W, F
是两个向量空间。
V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射，如果 （i ）f 是V 到W 的双射； （ii ）()()(), V f
f f αβαβαβ∀∈⇒+=+；
（iii ） ()()F, V a f a af ααα∀∈∈⇒=
如果V 到'
V 的同构映射存在，则称V 与'
V 同构，记为'
.V V ≅ 二、 同构映射的性质
1. 设f 是V 到W 的同构映射，则1
f -是W 到V 的同构映射。
2. 设f 是V 到W 的同构映射，则 （i ）()00f =
（ii ）()()V f f
ααα∀∈⇒-=-
（iii ）()()(), F, , V a b f a b af bf αβαβαβ∀∈∈⇒+=+
（iv ）12, ,
, n ααα 线性相关12(),( ),
, ()n f f f ααα⇔ 线性相关.
证明: (i) 由定义的条件(3), 取0α=, 那么(0)(0)0()0f f f αα===. (i i) 由定义的条件(2), ()()(())(0)0f f f f αααα+-=+-==. 所以有()()f f αα-=-.
(i i i) 利用条件(2)和(3)可直接得到. (iv) 如果12,,
,n ααα线性相关, 那么存在不全为零的数12,,
,n a a a F ∈, 使得
11220
n n a a a ααα+++=.由(i)和(iii)得到
1122()()()n n a f a f a f ααα++
+1122()(0)0n n f a a a f ααα=+++==.
于是12(),(),
,()n f f f ααα线性相关.
反之, 如果12(),(),,()n f f f ααα线性相关, 那么存在不全为零的数
12,,,n a a a F ∈,使得1122()()()0n n a f a f a f ααα++
+=
3. 设()V, F 、()W, F 是两个向量空间，12, ,, n ααα是V 的基，f 是V 到W 的同构
映射，则12(),( ),
, ()n f f f ααα是W 的基.
证明思路: 1、12(),(),,()n f f f ααα线性无关.
2、每个都能由12(),(),
,()n f f f ααα线性表出.
三、 线性空间的同构
如果两个线性空间 ()V, F 与 ()W, F 之间可以建立一个同构映射,那么就说 ()V , F 与()W, F 同构,记作()()V, F W, F ≅ 定理5.6.1
设 ()V , F , d i m V n =，则 V F n
≅.
证明: 由V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一个基12{,,,}n ααα, 对任意关于
基12{,,
,}n ααα的坐标为12(,,
,)n a a a .
令12:(,,
,).n f a a a α→
显然f 是V 到n
F 的一个双射.
如果对于任意,,V αβ∈ 并且12()(,,,)n f a a a α=, 12()(,,,)n f b b b β=. 由定理5.5.1
得11221122()(,,
,)(,,,)n n n n f f a b a b a b a b a b a b αβ+=+++=+++
1122(,,,)n n a b a b a b =+++
1212(,,
,)(,,
,)n n a a a b b b =+
()()f f αβ=+
对于12,(,,)()n a F f a a a af αααα∈=, 从而f 是V 到n F 的同构映射, 故n V F ≅.
定理5.6.2
向量空间的同构是一个等价关系.
证明: 反身性和传递性显然, 下面主要证明对称性.
设V W ≅, f 是线性空间V 到W 的同构映射, 由于f 是V 到W 的双射, 所以是1
f
-是W 到V 的双射, 且1ff -是W 到W 的恒等映射,是1f f -是V 到V 的恒等映射. 设
,W αβ∈, 由于f 是V 到W 的同构映射
111(())(())(())f f f f f f αβαβαβ---+=+=+ 11(()())f f f αβ--=+.
因为f 是单射, 所以1
11()()()f
f f αβαβ---+=+.
同理可证, 对任意,,a F W α∈∈1
1()()f a af αα--=, 故有1f -是W 到V 的同构映射.
定理5.6.3
()()V, F, dimV W, F, dimW n m n m =≅=⇔=
证明: ""⇒如果V W ≅, 设f 是V 到W 的同构映射, 12{,,,}n ααα是V 的基, 则由定理
有12(),(),
,()n f f f ααα是W 的一个基, 因而m n =.
""⇐设m n =, 则,n n V F W F ≅≅, 于是V W ≅.
定理表明: 数域F 上具有相同维数的线性空间本质上是一致的.
例：设n ααα,,,21 是n 维空间的V 的一个基，A 是n ⨯s 矩阵
A n s ),,,(),,,(2121αααβββ = 证明：),,,(21s L βββ 的维数等于A 的秩。
证明: 设k A 为A 的第k 列，则k n k A ),,,(21αααβ =，设jt j j βββ,,,21 是s βββ,,,21 中的任意t 个向量，则
),,,(),,,(1
1
211
211
=⇔=⇔=⇔=∑∑∑∑====t
i ji ji t
i ji ji n t i ji n ji t
i ji ji A x A x A x x
αααθαααθβ
于是知，jt j j βββ,,,21 与其所对应的t 个列向量jt j j A A A ,,,21 有完全相同的线性关系，
故s βββ,,,21 与r A A A ,,,21 有相同的秩，即),,,(21s L βββ 的维数等于A 的秩。