行程问题之多次相遇与追及问题 非常完整版题型训练+答案解析
奥数——行程、多次相遇和追及问题
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求知识框架多次相遇与追及问题数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？例题精讲【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
小学数学 行程问题之相遇与追及(三)完整版题型训练 +答案详解
相遇与追及问题（三）【例题1】甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A 地?【解析】由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程．相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A，B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。
因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行 70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米．行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．【巩固1】甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，A、B两地相距多少米？【解析】相遇时甲走了AB距离减去60×3=180(米)，乙走了AB距离加上180米，乙比甲多走了360米，这个路程差需要360÷(90-60)=12(分钟)才能达到，这12分钟两人一共行走了12×(90+60) =1800米．所以AB距离为1800÷2=900(米)．【例题2】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。
若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。
小红和小强的家相距多远?【解析】因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。
由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．【巩固2】小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇．有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），所以小明比平时早出门900÷60=15（分）．【例题3】小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？【解析】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4(米/秒)；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24(米)，也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6(米/秒)，小红的速度为：6+4=10(米/秒)【巩固3】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？【解析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2(米/秒)；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8(米)，也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．综合列式计算如下：乙的速度为：10÷5×4÷2=4(米/秒)，甲的速度为：10÷5+4=6(米/秒)【例题4】刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？【解析】这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．【巩固4】王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走50米，就要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？【解析】设从教室去图书馆闭馆时所用时间是x分钟70（x-2）=50(x+2)X=1270×(12-2)=700(米)答：教室到图书馆的路程有700米．【例题5】甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。
【精品】小学数学 基本的相遇与追及问题 非常完整版题型训练+详细答案
基本的相遇与追及问题（1）根据学习的“路程和＝速度和 时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题（2）研究行程中复杂的相遇与追及问题（3）通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的一、相遇和追及（1）相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间.（2）追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.⨯⎧⎪÷⎨⎪÷⎩÷⎧⎪⨯⎨⎪÷⎩总路程=速度和相遇时间相遇问题速度和=总路程相遇时间相遇时间=总路程速度和追及时间=追及路程速度差追及问题追及路程=速度差追及时间速度差=追及路程追及时间二、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。
例题讲解： 教学目标：相遇与追及问题例题讲解：例题1、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。
3.5小时两车相遇。
甲、乙两个城市的路程是多少千米？解答：相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．举一反三：两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。
甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？解答：相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）.例题2、大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？解答：大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60(米/分钟)，小头爸爸的速度：（60+24）÷2=42(米/分钟)，大头儿子的速度：60-42=18(米/分钟)．举一反三：聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？解答：直接利用公式：（20+62）×20=1640(米)．例题3、A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米？解答：包子的速度90÷30=3(米／秒)，菠萝的速度：90÷15=6(米／秒)，相遇的时间：90÷（3+6）=10(秒)，包子距B地的距离：90-3×10=60(米)．举一反三：甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？解答：要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是360÷4=90（千米／时），乙车的速度是360÷12=30（千米／时），则相遇时间是360÷（90+30）=3（小时）．例题4、甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．解答：这题不同的是两车不“同时”．求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．48×（1+5）=288（千米），50×5=250（千米），288+250=538（千米）．举一反三：（1）甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？解答：甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：41×2=82(千米)，甲、乙两车同时相对而行路程：770-82=688(千米)，甲、乙两车速度和：45+41=86(千米／时)，甲车行的时间：688÷86=8(小时)．（2）甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每小时行22千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？解答：甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：22×2=44(千米)，甲、乙两车同时相对而行路：144-44=100(千米)，甲、乙两车速度和：28+22=50(千米)，与乙车相遇时甲车行的时间为：100÷50=2(小时)．（3）妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米．妈妈走了3分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走60米．再经过20分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？解答：妈妈先走了3分钟，就是先走了75×3=225（米）．20分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了20分钟，这一段的路程为：（75+60）×20=2700（米），这样妈妈先走的那一段路程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离．即（75×3）+（75+60）×20=2925（米）．（4）甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行50千米，客车每小时行70千米．客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？解答：因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时．如果从总路程中把货车单独行驶1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间：（530-50）÷（50+70）=4（小时）相遇时客车行驶的路程:70×4=280(千米)相遇时货车行驶的路程：50×（5+1）=250（千米）．（5）甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？解答：（366-37×2）÷（37+36）=4(小时)．例题5、甲、乙两辆汽车分别从A B两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．求A B两地间相距多少千米？解答：题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况。
通用版小学五年级奥数《多次相遇和追及问题》讲义(含答案)
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求知识框架多次相遇与追及问题数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。
问：甲、乙二人的速度各是多少？例题精讲【例 2】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D 点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【例 3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【例 4】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。
奥数行程,多次相遇和追及问答
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………， ………………； 第N 次相遇，共走2N 个全程；知识框架多次相遇与追及问题3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
行程问题之多次相遇问题奥数较难
“多次相遇问题”剖析一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。
现在分开向大家一一介绍：(一)两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。
题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，(为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出)则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。
之后的每次相遇都多走了2个全程。
所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S，S为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。
即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。
相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2………n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。
则第一次背面追及相遇在a 处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。
我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。
同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。
依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)S。
(二)单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。
1、迎面碰头相遇：如下图，假设甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为2ns。
小学数学四年级 两人多次的追及问题 PPT+作业+答案
（1）路程差：80×2=160（米） 追及时间：160÷（4－2）=80（秒）
（2）路程差：80×2=160（米） 追及时间：160 ÷ ( 4 − 2) = 80 （秒）
（3）路程差：80×2=160（米） 追及时间：160 ÷ ( 4 − 2 ) = 80 （秒）
练习2
甲、 乙两车同时从一条长为 35 千米的公路的同一端出发， 在这条 公路上往返行驶，甲车的速度是 75 千米 / 时，乙车的速度是 40 千 米 / 时。请问： （1）经过多长时间甲车第一次从后面追上乙车？ （2）再经过多长时间甲车第二次从后面追上乙车？
甲车比乙车多走了： 120 × 3=360 （千米） 速度差： 85 − 40 = 45（千米） 时间： 360 ÷ 45 = 8 （小时） 甲车的路程： 8 × 85 = 680 （千米） 680 ÷ 240 = 2（次）……200 （千米） 240-200=40（米）
例5
旭旭和沫沫老师分别从一段马路的两端同时相向出发，在这段马路上做往 返运动。已知这段马路长 200 米，旭旭的速度是每分钟 40 米，沫沫老师 的速度是每分钟 60 米。20 分钟后，两人停止运动。请问： （1）在这期间旭旭和沫沫老师迎面相遇过几次？ （2）在这期间沫沫老师从后面追上过旭旭几次？ （3）在这期间沫沫老师和旭旭迎面相遇和追及相遇一共多少次？
所以甲车是 4 ÷ 2 = 2 次追上乙车。
例4
启智精灵和曼曼分别从相距 200 米的 A、B 两站同时出发，相向而行， 启智精灵的速度是每分钟 80 米，曼曼的速度是每分钟 55 米，各自到 达对方的出发点后立即返回。如果两人在 A、B 两站之间不断往返， 那么启智精灵第二次从后面追上曼曼时，两人距离 A站有多远？
多人多次相遇与追及
多人多次相遇与追及教师：__________ 科目; __________ 学生：________ 上课时间：________【专题知识点概述】本讲包含两个知识点，一是多次相遇追及问题，即两个对象在固定的长度上不断地往返运动，他们之间相遇追及问题；二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
【授课批注】多人多次是行程中重点，而画图是多人多次的重点，划出一个好的示意图，就等于问题已经解决三分之二了，剩下的三分之一才是解题技巧。
所以如何画图，如何画好图是行程问题的关键，需要反复练习，熟能生巧，做题才能得心应手，发挥自如。
一、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；。
，。
；第N次相遇，共走2N-1个全程；【授课批注】除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；。
，。
；第N次相遇，共走2N个全程；二、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差【重点难点解析】1.多人多次相遇追及的画图2.多次多次相遇追及的解题关键【竞赛考点挖掘】1．近两年来杯赛的热门考点2．常常与数论结合出题【习题精讲】【例1】〔难度级别※※〕甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【例2】〔难度级别※※〕A，B两地相距540千米。
甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。
设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。
那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？【例3】〔难度级别※※〕甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【例4】〔难度级别※※〕小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【例5】〔难度级别※※※〕甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【例6】〔难度级别※※※〕小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走〔到达另一村后就马上返回〕，他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远〔相遇指迎面相遇〕？【例7】〔难度级别※※※〕快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、9分、12分追上骑车人。
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行程问题之多次相遇与追及问题非常完
整版题型训练+答案解析
本文介绍了行程体系中多次相遇和追及的问题。
其中，对于两地相向出发的情况，第N次相遇共走2N-1个全程；对于
同地同向出发的情况，第N次相遇共走2N个全程。
在多人多
次相遇追及的解题过程中，需要注意路程差和几个全程的关键。
例1中，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，第一次
在离A地95千米处相遇，第二次在离B地25千米处相遇。
根据题意可知，A、B两地间的距离为260千米。
例2中，甲和乙两人在一圆形场地上按相反的方向绕圆形路线运动，第一次相遇时甲乙共走完0.5圈的路程，第二次相
遇时甲乙共走完1.5圈的路程。
根据题意可得，此圆形场地的
周长为480米。
例3中，甲、乙两人从环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后第五次相遇。
已知甲比乙每秒钟多走0.1米，求第五
次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程。
根据题意可得，
第五次相遇时共合走5个全程，相遇点与点A沿跑道上的最
短路程为2000米。
甲和乙的速度分别为250米/分和122米/分，他们在周长
为300米的圆形跑道上背向而行。
甲每秒钟跑3.5米，乙每秒
钟跑4米。
他们第十次相遇时，甲还需跑100米才能回到出发点。
___和爸爸在上午8点8分开始在家门口的100米直线跑
道上跑步。
___的速度为6米/秒，爸爸的速度为4米/秒。
爸爸在8分钟后追上___，然后回家，再次追上___时离家12千米，此时是8点32分。
___和___在长100米的直线跑道上来回跑步，___的速度
为6米/秒，___的速度为4米/秒。
他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟。
在这段时间内，他们迎面相遇了5次。
甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行。
已知乙的
速度是甲的速度的2倍。
解答：由于甲、乙的速度比是1:2，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是1:2.
第一次相遇时，两人共走完了AB的长度，可以把AB的长度看作3份，甲、乙各走了1份和2份。
第100次相遇时，甲、乙共走了199个AB，甲走了1×199=199份。
一个全程是3份，所以甲共走了199÷3=66.1份。
第101次相遇时，甲在第100次相遇的地方往前走2份，此时第100次和第101次相遇的地点相距1份，所以一份距离为：
160÷1=160（米）。
那么AB两地距离为：3×160=480（米）。
例9】一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。
14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。
14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。
问：工人与学生将在何时相遇？
解答：火车和工人是追及问题，追及路程是火车的长度，追及时间是15秒，即1/4分钟，速度差：110÷1/4=440（米/分）。
火车的速度为30千米每小时=500米每分。
工人的速度：500-440=60（米/分）。
火车和学生是相遇问题，相遇路程是火车的长度，相遇时间是12秒，即1/5分钟，速度和：110÷1/5=550（米/分）。
学生的速度：550-500=50（米/分）。
在14:16时，学生和工人相距的路程：500×（16-10）-600×（16-10）=2640（米）。
接下来的相遇时间：2640÷（60+50）=24（分钟）。
工人和学生将在14时40分相遇。
巩固】甲、乙两人在铁路旁边以相同的速度沿着铁路方向相向而行，恰好有一列火车迎面开来，整个火车经过甲身边用了18秒，2分钟后又用15秒从乙身边开过。
1）火车的速度是甲的速度的几倍？
2）火车经过乙身边后，甲、乙两人还要多少时间才能够相遇？
解答：（1）火车和甲是追及问题，追及路程是火车的长度；火车和乙是相遇问题，相遇路程是火车的长度。
因为甲、乙的速度相同，都设为x，火车的速度设为y。
根据追及问题的公式，火车的速度是甲的速度的18秒/2分钟=9/60=3/20倍。
2）火车经过乙身边后，甲、乙两人还需要走完剩余的路程，即AB的长度。
由于甲、乙的速度相同，所以在相同的时
间内，两人所走的路程相等。
设他们相遇需要t分钟，则有：
x×t=AB，而y×（t+2分钟）=AB。
将AB代入上式，得到：x×t=y×（t+2分钟）。
化简得到：t=2分钟。
因此，甲、乙两人还需要2分钟才
能相遇。
题目中给出的信息可以用速度、时间、距离的关系来表达。
因此，我们可以先根据题目中的数据求出速度，再利用速度求出其他未知量。
例10】甲、乙两车的速度比为1:11，因此乙车比甲车快
11倍。
第一次相遇时，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇时，甲乙总共走了4个全程。
根据题目中给出的信息，可以画出如下的图：
image.png](/upload/image_hosting/s0d7y19e.png)
由于乙车比甲车快，所以第一次相遇时，乙车在P点的
位置比甲车更靠前。
因此，从第一次相遇到第二次相遇，乙车
从第一个P点到第二个P点的路程正好是第一次的路程。
假
设一个全程为3份，第一次相遇时，甲走了2份，乙走了4份。
第二次相遇时，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。
因此，乙车在第一次到第二次相遇的过程中共走了4份全程，即4×540=2160（千米）。
例11】___和___的速度比为2:3，___和___第一次相遇时，___和___刚好相距一圈，即600（米）。
从___第一次遇到___
到第二次遇到___一共用了5（分钟），说明合走600米用了5分钟的时间，速度和为：600÷5=120（米/分）。
___的速度为：120÷（2+3）×2=48（米/分），老张的速度为：120÷（2+3）
×3=72（米/分）。
___和___第一次相遇经过的时间为：1+5=6（分钟），___和老李的速度和为：600÷6=96（米/分）。
因此，___的速度为：96-72=24（米/分）。
例12】两条轮船的航速相同，因此两条轮船相对而言是
静止不动的。
每艘轮船航行七天七夜，因此两艘轮船之间的距离在七天七夜内不会发生变化。
因此，某条从___开出的轮船
在到达纽约前无法遇上从纽约开来的轮船。
甲、乙两人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行。
第一次相遇地点距离A地4千米。
相遇后，他们继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇。
求两次相遇地点之间的距离。
首先，假设甲、乙两人的速度分别为v1和v2.设两次相遇地点分别为C和D，AC=x，CD=y，DB=z，则有：
AC/CD = v1/v2 （相遇时，两人在相同的时间内走过的距离相等）
CD/DB = (v1+v2)/(v2-v1) （两人第二次相遇时，甲船向B 地走过的距离等于乙船向A地走过的距离）
根据题意，可得：
x+y+z = 2x = 2z+3y
化___：
x = 3y+z
代入第一个等式，可得：
3y+z)/y = v1/v2
化___：
v1 = 3v2/(3z+y)
代入第二个等式，可得：
y = 2z
代入原式，可得：
x = 7z
所以两次相遇地点之间的距离为：
AC+CD+DB = x+y+z+z = 7z+4z+2z = 13z = 2千米
11、铁路旁有一条小路，一列长140米的火车以每分钟720米的速度向南行驶。
在8点10分，它追上了向南走的一名军人，20秒后离开了他。
在8点15分，它又遇到了一个向北走的农民，10秒后离开了他。
问军人和农民何时相遇？
答案：8:20.
12、A、B两地相距1000米。
甲从A地出发，乙从B地出发，在A、B两地间往返锻炼。
乙每分钟跑步150米，甲每分钟步行60米。
在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇距离B 地最近（从后面追上也算作相遇）？最近距离是多少？。