5.三元一次方程组
三元一次方程组课件ppt
5x-4y-29z=0
5．已知
并且Z≠0，求x：y的值．
X-3y+3z=0
解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为 5x－4y=29z x－3y=－3z
x=9z 解这个方程组，得
y=4z
∴x：y=9：4
6．己知：
3x - 4y - 5z x + 2y -15z
= =
0 0
(x , y , z?0)
②
x＋y＋z=17
③
x－y=2
①
y－z=3
②
x＋y＋z=17
③
②＋③，得
x＋2y=20 ④
①与④组成方程组
x－y=2
x＋2y=20
解这个方程组，得
x=8 y=6
x=8
∴ y=6
z=3
把y=6代入②，得 6－z=3
所以z=3
解三元一次方程组的步骤：
①利用代入法或加减法，消去一个未知数， 得出一个二元一次方程组；
x + y + z = 33 x - y = 2 2x + z - y = 24
三元一次方程组 消元
二元一次方程组
消元 一元一次方程
代入消元法和加减消元法
x + y + z = 33 ①
x - y = 2
②
2x &#y 2 ④
把④代入①得： y 2 y z 33
x + y + z = 30 化简，得 x = 5z
y = 4z
解这个方程组，得
x = 15 y = 12 z = 3
答：甲种零件生产15天，乙种零件生产 12天，丙种零件生产3天．
x(x + y + z) = 9
三元一次方程组的解法举例
5.4 三元一次方程组的解法举例第二课时一、素质教育目标（一）知识教学点1．会解三个方程都含三元的三元一次方程组．2．掌握解三元一次方程组的思路．（二）能力训练点1．培养学生的分析能力和计算能力．2．训练学生的解题技巧．（三）德育渗透点渗透消元的思想，培养学生的学习兴趣．（四）美充渗透点通过本节课的学习，渗透方程组的解的奇异美．二、学法引导1．教学方法：观察法、讲练结合法、尝试指导法．2．学生学法：应选择方程组中未知数前的系数最简的先消元，而解三元一次方程组消元的办法仍是代入法和加减法两种．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点三元一次方程组的解法．（二）难点选择简捷的解法．（三）疑点如何消元，判断先消哪个元．四、课时安排一课时．五、教具学具准备微机或投影仪，自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过复习，回顾如何通过消元解较简单的三元一次方程组，让学生在不知不觉中理解并熟练掌握解题的思想与方法．2．通过教师的提问，师生共同探索解较复杂三元一次方程组的解题方法及一般解题步骤．3．通过变题的综合训练，培养学生综合解题的能力．七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习解三个方程中都含三元的三元一次方程组．（二）整体感知解三元一次方程组的基本思想仍是消元，重点应掌握先消哪个未知数及采用哪一种方法解，当然应优先选择消去系数最简单的元．（三）教学过程1．复习导入，明确目标（1）解三元一次方程组的基本思想是化______________元为_____________元或___________元，基本方法有____________法和______________法．（2）观察下列方程组中每个未知数的系数，若用加减法解三元一次方程组，先消哪个元比较简单？为什么，如何消元？①⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++182126z y x y x z y x ②⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++115536443z y z y x z y x③⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=-12212625z x z y y x ④⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=+13347525x z z y y x解三元一次方程组的关键在于消元，这就要求我们认真观察各方程中未知数的系数，选取比较简单的进行消元，这节课，我们接着学习三元一次方程组的解法举例．【教法说明】这组习题不是让学生解方程组，而是通过观察、分析，确定消元的对象，明确解法．这样做，既节省时间，又能突出检查上节课的重点，并且其分析方法对本节课的教学仍然适用．2．探索新知，讲授新课例2 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++)3(1222)2(72)1(1323z y x z y x z y x 分析：（1）比较此三元一次方程组与以前学过的有什么不同？（三个方程都含三元）（2）三个方程中哪个未知数的系数最简单？（z ）（3）考虑用加减法消z ，消z 的方案有哪几种？（方案：①＋③；②＋③×2；①×2－②）我们选择最简单的两种方案①＋③和②＋③×2，消同一个未知数z ，就可以得到关于x 、y 的二元一次方程组．学生活动：独立解例2，一个学生板演．教师巡视进行纠正、指导．解：①＋③，得 2555=+y x ④②＋③×2，得 3175=+y x ⑤④与⑤组成⎩⎨⎧=+=+31752555y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==32y x把2=x ，3=y 代入①，得133223=+⨯+⨯z∴1=z∴⎪⎩⎪⎨⎧===132z y x此题用代入法消元，如何进行？学生活动：思考、说出思想，选择系数最简单的方程③变形后代入①和②．此题用加减法比用代入法简单，我们在解三元一次方程组时，要认真观察题目特点，选取恰当的方法进行消元，而且一定要选准消元对象．【教法说明】以提问的形式分析例题，能让学生充分展开思维活动，既突出了本节课的重点，又对难点有所突破，培养了学生分析问题、解决问题的能力，体会到解方程组时“消元”思想的重要性．3．尝试反馈，巩固知识练习：P30（2）．分析：第二个方程组中哪个未知数的系数最简单？（y ）为什么？（y 的系数绝对值成倍数关系），最佳消元方案是什么？（①＋②×2，②×3－③）学生活动：回答问题后，解方程组，把两个学生的解题过程在投影仪上显示，解完后同桌相互检查．教师说明：练习前提出问题，可使学生思维走向正轨，少走弯路；同时，这个问题给学生指明了解三元一次方程组的思路，把复杂的问题转化成简单的问题，能引起学生浓厚的兴趣．4．变式训练，培养能力（1）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+)3(1(2)5(1)11y x z x z y z y x （2）一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的7倍比个位、十位上的数的和大2，个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数．【教法说明】①第（1）题的技巧性较强，把其中每两个方程相加，就可以求出一个未知数的值．这道题能增强学生的学习兴趣，培养学生善于发现规律、总结规律的能力．②第（2）题能培养学生分析问题的能力和运用所学知识解决实际问题的能力，能使学生体会到数学知识的实用性．（四）总结、扩展1．学生自由发言，这节课我们应该掌握哪些知识？2．教师归纳总结：①解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，其中加减法比较常用．②解三元一次方程组的基本思想是消元，关键也是消元，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对象，定好消元方案．③解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验．3．考点剖析：中考命题中，单纯考查解三元一次方程组的题目非常少，但将解三元一次方程组融入求二次函数解析式的综合性命题中则比较常见，尤其是代入消元法和加减消元法的应用在很多问题中都有所体现，同学们必须熟练掌握，并能灵活运用．八、布置作业（一）必做题：P31 A 组2．（二）选做题：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-++=+++4226u z y x u z y xu z y x u z y x（三）思考题：自己想一个两位数或三位数，编一道应用题，列出方程组解答．（四）预习：下节课内容．【教法说明】必做题巩固了这节课所学的知识；选做题和思考题供学有余力的学生选做，可以培养学生的兴趣和能力，使之认识到学习是永无止境的．。
三元一次方程组
三元一次方程组定义：我们把含有三个未知数，并且含未知数的想的次数都是1的方程，叫做三元一次方程。
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。
三元一次方程组中各方程的公共解叫做这个三元一次方程组的解。
方法：提示：可以比较二元一次方程组的解法X+y+z=5 1x-y-5z=1 22x-3y+z=14 3解法：将1×5+2，再用3-1，消去未知数z，得到一个二元一次方程组，再求解。
解析：解三元一次方程组的关键是把三元一次方程组转化为二元一次方程组，在求解，所以，必须消去一个未知数，而本题是一个例子，将含有相同未知数的项的次数转化为一样的，再通过加减消去一个未知数。
x-z=4 1x-y+z=1 22x+3y+2z=17 3解法：由1得出z=x-4，再将z代入另外两个方程，得出一个含有z,y的二元一次方程组，求出z,y的值后将z,y代入，求出x。
解析：第二种消去一个未知数的方法就是将一个未知数用另外的未知数表示，然后再代入，从而得出一个二元一次方程组。
还有要注意，不能代入得出结论的方程，要代入另外两个方程。
三元一次方程组的应用若│3a+4b-c│+1/4（c-2b）²=0，则a:b:c=？答案：-2:3:6解析：绝对值和平方都有一个特性，就是非负数，而他们的和为0，所以说明了他们里面的数的和为0.根据此，由（c-2b）²得出c=2b。
已知c=2b，将c代入│3a+4b-c│中，得出│3a+2b│=0,又可以得出3a=2b,则a=2/3b.这三个未知数都表示成了b，所以比的时候可以吧b消去，再去分母，得出答案。
已知方程组2x+3y=n ,的解x,y的和为12，求n的值。
3x+5y=n+2答案：14解析：这个方程看似解不出来，但是，根据题意可以再得出一个方程：x+y=12，再联系题中方程组，得出一个简单的三元一次方程组，再解出来就可以了。
第一章完。
三元一次方程组的解法
实例三：应用题中的方程组解决
总结词
在解决实际应用问题时，通常需要建立 相应的数学模型，并通过解方程组得到 问题的解。
VS
详细描述
以追及问题为例，可以通过建立两个方程 组来表示两个人行走的距离和时间的关系 ，然后通过解方程组得到两个人的相遇地 点和时间；再比如解决利润问题时，可以 通过建立方程组来表示商品的进价、售价 和利润之间的关系，进而求得商品的进货 量。
电磁学
在电磁学中，三元一次方程组被用来描述电流、电场和磁场之间的 关系。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，三元一次方程组可以用来描述商品的供应、需求和价格之间的关系。例如，在垄断市场分析中，三元一次方程组可以用来描述企业的利润、市场 的供应和需求以及商品价格之间的关系。
投资组合优化
在投资组合理论中，三元一次方程组可以用来确定最优的投资组合，即在给定风险水平下获得最大收益或在给定收益水平下风险最小。
重要性
三元一次方程组是数学中一个重要的概念，它在实际生活中 有着广泛的应用，如求解空间几何中的点坐标、解决物理问 题中等。掌握三元一次方程组的解法对于理解和应用数学知 识具有重要意义。
三元一次方程组的特点
三个未知数
三元一次方程组包含三个未知数，通常用x、y、z表示。
三个方程式
每个未知数都由一个方程式来描述，因此总共有三个方程式。每个方程式都是 一次方程，形式为Ax+By+Cz=D，其中A、B、C和D是常数。
02
解三元一次方程组的步骤
整理方程组
整理三元一次方程组，将其转化为标准形式，即每个方程都包含未知数的最高次 数为一次。
将三元一次方程组的系数矩阵用数学公式表示，并确定方程组的未知数个数。
三元一次方程组含答案
三元一次方程组含答案三元一次方程组1．解方程组：�2xx +yy +3zz =113xx +2yy −2zz =114xx −3yy −2zz =4．2．解方程组：�aa +bb +cc =0aa −bb +cc =−44aa +2bb +cc =5．3．解方程组：�xx +yy +zz =26xx −yy =12xx −yy +zz =18．4．解方程组：�4xx +yy −3zz =135xx −yy +zz =7xx −2zz =4．5．解方程组：�xx +yy =3xx −3yy +zz =−2−3xx +yy +zz =−6．6．解方程组：�3xx +2yy +5zz =2xx −2yy −zz =64xx +2yy −7zz =30.．7．解方程组：�xx −2yy +zz =02xx +yy −zz =13xx +2yy −zz =4.．8．解方程组：�2xx +3yy =42xx −yy +2zz =−4xx +2yy −2zz =3．三元一次方程组含答案9．解方程组：�xx +yy +zz =23xx −yy =12xx +yy −zz =20．10．解方程组：�3xx −yy +zz =42xx +3yy −zz =12xx +yy +zz =6．11．解方程组：�xx +2yy +zz =13xx +yy +zz =−3xx −2zz =3．12．解方程组：�3xx +2yy +zz =13xx +yy +2zz =72xx +3yy −zz =12．13．解方程组：�xx +2yy =42xx +5yy −2zz =113xx −5yy +2zz =−1．14．解方程组：�3xx −yy +zz =42xx +3yy −zz =12xx +yy +zz =615．解方程组：�3xx +4yy +zz =14xx +5yy +2zz =172xx +2yy −zz =3．16．解方程组：�2xx −3yy +4zz =12xx −yy +3zz =44xx +yy −3zz =−2．17．解方程组：�xx −yy +zz =04xx +2yy +zz =325xx +5yy +zz =60．三元一次方程组含答案18．解方程组：�xx +yy +zz =102xx +3yy +zz =173xx +2yy −zz =8．19．解方程组：�−2xx +3yy =−63yy +2zz =04xx −3zz =5．20．解方程组：�aa −bb +cc =0aa +bb +cc =−49aa +3bb +cc =0．21．解方程组：�3xx +2yy −zz =11xx +yy +zz =62xx −yy +zz =2．22．解方程组：⎩⎨⎧xx +yy =−2xx +zz =32xx +13yy +2zz =123．解方程组：�4xx +3yy +2zz =76xx −4yy −zz =62xx −yy +zz =1．24．解方程组：�3aa −bb +cc =72aa +3bb =−2aa +bb +cc =−1．25．解方程组�xx −4yy +zz =−32xx +yy −zz =18xx −yy −zz =7．三元一次方程组含答案26．解方程组：�3xx −2yy =82yy +3zz =1xx +5yy −zz =−4．27．解方程组：�xx +yy −zz =02xx −3yy +2zz =5xx +2yy −zz =3．28．解方程组：�xx +yy +zz =26xx −yy =12xx +zz −yy =18．29．解方程组：�xx +yy +zz =62xx +yy −zz =1yy =xx +1．30．解方程组：�2xx +yy +3zz =113xx +2yy −2zz =114xx −3yy −2zz =4．31．解方程组：�xx +yy +zz =42xx −yy +zz =3−xx +2yy −zz =−1．32．解方程组：�xx −yy +zz =04xx +2yy +zz =325xx +5yy +zz =60．33．解方程组：�aa −2bb +4cc =123aa +2bb +cc =14aa −cc =7．34．解方程组：�aa +bb +cc =63aa −bb +cc =42aa +3bb −cc =12．三元一次方程组含答案35．解方程组：�3xx +4zz =72xx +3yy +zz =95xx −9yy +7zz =8．36．解方程组：�2aa +bb =4aa +bb +cc =−22aa +3bb −cc =13．37．解方程组：�xx −4yy +zz =−3，2xx +yy −zz =18，xx −yy −zz =7.38．解方程组：�2xx −yy +2zz =−34xx +5yy −zz =1xx +yy +zz =0．39．解方程组：�xx +2yy −zz =13xx −3yy +zz =22xx +3yy +zz =7．40．解方程组：�2xx −3yy +5zz =53xx +yy −2zz =95xx −2yy +zz =12．三元一次方程组含答案三元一次方程组参考答案一．解答题（共40小题） 1．�xx =3yy =2zz =1；2．�aa =1bb =2cc =−3； 3．�xx =10yy =9zz =7； 4．�xx =2yy =2zz =−1； 5．�xx =2yy =1zz =−1；6．�xx =4yy =0zz =−2；7．�xx =1yy =2zz =3；8．�xx =−1yy =2zz =0； 9．�xx =9yy =8zz =6．； 10．�xx =2yy =3zz =1；11．�xx =−1yy =2zz =−2； 12．�xx =2yy =3zz =1； 13．�xx =2yy =1zz =−1； 14．�xx =2yy =3zz =1．； 15．�xx =1yy =2zz =3；16．⎩⎪⎨⎪⎧xx =25yy =−9625zz =−225；17．�xx =3yy =−2zz =−518．�xx =3yy =2zz =5；19．�xx =2yy =−23zz =1； 20．�aa =1bb =−2cc =−3；21．�xx =2yy =3zz =1； 22．�xx =1yy =−3zz =12； 23．�xx =32yy =1zz =−1； 24．�aa =2bb =−2cc =−1； 25．�xx =7yy =2zz =−2； 26．�xx =2yy =−1zz =1； 27．�xx =2yy =3zz =5； 28．�xx =10yy =9zz =7； 29．�xx =1yy =2zz =3．； 30．�xx =3yy =2zz =1；31．�xx =1yy =1zz =2； 32．�xx =3yy =−2zz =−5； 33．�aa =2bb =−3cc =1； 34．�aa =2bb =3cc =1； 35．�xx =5yy =13zz =−2；36．�aa =1bb =2cc =−5； 37．�xx =7yy =2zz =−2； 38．�xx =−1yy =1zz =0； 39．�xx =1yy =1zz =2； 40．�xx =3yy =2zz =1；。
初中数学 三元一次方程组的解的表示方式有哪些
初中数学三元一次方程组的解的表示方式有哪些三元一次方程组是由三个未知数的一次项和常数项组成的方程组。
对于三元一次方程组，我们可以通过不同的方式来表示它的解。
下面我们将介绍三元一次方程组的解的表示方式。
1. 唯一解：如果三元一次方程组有且只有一个解，那么这个解被称为唯一解。
唯一解可以表示为一个有序三元组(x, y, z)。
2. 无解：如果三元一次方程组没有解，那么它被称为无解。
在数学上，我们用符号∅表示无解。
3. 无穷解：如果三元一次方程组有无限个解，那么它被称为无穷解。
无穷解可以表示为一个参数方程组，其中参数可以取任意实数。
例如，一个无穷解的表示方式可以为：x = ty = 2t + 1z = 3t - 2其中t 是任意实数。
4. 参数方程组：如果三元一次方程组有多个解，那么它们可以表示为一个参数方程组。
参数方程组是一个含有参数的方程组，其中参数可以取任意实数。
例如，一个参数方程组的表示方式可以为：x = 2t - 1y = 3t + 2z = t其中t 是任意实数。
5. 齐次方程组：如果三元一次方程组所有方程中的常数项都为零，那么它被称为齐次方程组。
齐次方程组的解有两种情况：- 只有零解，即(0, 0, 0)。
- 有非零解，且所有非零解都可以表示为一个参数方程组。
6. 非齐次方程组：如果三元一次方程组至少有一个方程中的常数项不为零，那么它被称为非齐次方程组。
非齐次方程组的解可以表示为一个特解加上齐次方程组的解。
特解是一个满足方程组所有方程的解，齐次方程组的解可以表示为一个参数方程组。
以上是三元一次方程组的解的常用表示方式。
根据具体的方程组和解的特点，选择适合的表示方式。
理解和掌握这些表示方式可以帮助我们更好地解决三元一次方程组的问题，并将其应用到实际生活中的数学问题中。
三元一次方程组解法
三元一次方程组解法
一、知识点
1.三元一次方程的概念：
三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程.
2.三元一次方程组的概念：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如，等都是三元一次方程组.
三元一次方程组的一般形式是：
3.三元一次方程组的解法
（1）解三元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.
（2）怎样解三元一次方程组？
二、经典例题
1.解方程组
2.解方程组
3.解方程组
4.解方程组
三、总结：解三元一次方程组的一般步骤：
1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知
数的二元一次方程组；
2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；
3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个
一元一次方程；
4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
5.将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起，即可.
练习：
1．解方程组
2．解方程组
3．已知方程组的解使代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值.。
三元一次方程组及实际问题知识讲解
三元一次方程组及实际问题三元一次方程组的解法1、三元一次方程的概念三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。
2、三元一次方程组的概念一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。
3、三元一次方程组的解法（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。
（2）三元一次方程组解题的基本步骤：①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
典例剖析：[例1]解方程组 [例2][例3][例4][例5]训练题：解下列方程组（1）275322344y xx y zx z=-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩（2）491232137544x yy zx z⎧⎪+=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩（3）3743225x yy zx z-=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩（4）491731518232x zx y zx y z-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（5）76710020320x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩（6）2439325115680x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩（7）3232443210x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩（8）26363127343411x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩（9）::1:2:32315x y zx y z=⎧⎨+-=⎩（10）123x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩实际问题与二元一次方程：1.利用二元一次方程组解决问题的基本过程：2.实际问题向数学问题的转化：3.设未知数有两种设元方法——直接设元、间接设元.当直接设元不易列出方程时，用间接设元.在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元4. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案.5.常见题型有以下几种情形：（1）和、差、倍、分问题。
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x 1, ∴ y 2, 是原方程组的解. z 7.
x y z 111 ① 典型例题举例：解方程组 y : x 3 : 2 ② y : z 5 : 4 ③
分析 1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由 例 3 的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得 x = ③得 z=
一、三元一次方程组之特殊型
① x y z 12 例 1：解方程组 x 2 y 5 z 22 ② x 4 y ③
分析：方程③是关于 x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方 程组，因此确定“消 x”的目标。 解法 1：代入法，消 x.
5 y z 12 ④ 把③分别代入①、②得 6 y 5 z 22 ⑤
③
x 1, ∴ y 2, 是原方程组的解. z 7.
分析 2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数 k ，因此由方程① x:y:z=1：2：7，可设为 x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通 过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。 解法 2：由①设 x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得 k=1. 把 k=1，代入 x=k，得 x=1； 把 k=1，代入 y=2k，得 y=2； 把 k=1，代入 z=7k，得 z=7.
③ x 4 y 由③、⑤得 4 x 3 y 38 ⑤
x 8, 解得 y 2.
把 x=8,y=2 代入①得 z=2.
x 8, ∴ y 2, z 2.
是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.
x 30, ∴ y 45, 是原方程组的解. z 36.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型
3x y z 4, 例 4：解方程组 x y z 6, 2 x 3 y z 12. ① ② ③
2
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消元的方法有两种： 代入消元法 三元一次方程 三元一次方程：含有三个未知数的一次方程 三元一次方程组：由几个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一 次方程组 三元一次方程组的解：利用消元思想使三元变二元，再变一元 方程是初等代数中的重要内容，方程的知识在生产实践中有广泛应用。 定义：方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是 1，并且一共有三个方程， 这样的方程组就是三元一次方程组． 解题思路：三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次 方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 加减消元法
2 x y z 15 例 2：解方程组 x 2 y z 16 x y 2 z 17 ① ② ③
分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数 之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方 程组” ，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
4 y .从而利用代入法求解。 5
6
2 y； 由 3
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解法 1：略. 分析 2：受例 3 解法 2 的启发，有的学生想使用设参数的方法求解，但如何 将②、③转化为 x:y:z 的形式呢？通过观察发现②、③中都有 y 项，所以把它作 为桥梁，先确定未知项 y 比值的最小公倍数为 15，由②×5 得 y:x=15:10 ，由③ ×3 得 y:z=15:12,于是得到 x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，学生 就会解决了。 解法 2：由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设 x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得 k=3. 把 k=3，代入 x=10k，得 x=30； 把 k=3，代入 y=15k，得 y=45； 把 k=3，代入 z=12k，得 z=36.
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移项时别忘记了要变号。 ４合并同类项 将原方程化为ＡＸ＝Ｂ［Ａ不等于０］的形式 ５系数化１ 方程两边同时除以未知数的系数，得出方程的解 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程 方程的同解原理：１方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方 程是同解方程 ２方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方程与原方程是同解方程 列一元一次方程解应用题的一般步骤：１认真审题 ２分析已知和未知的量 ３找一个等量关系 ４解方程 ５检验 ６写出答，解 二元一次方程 二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是１那么这个方 程就叫做二元一次方程，有无穷个解。 二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一 次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一 次方程的解 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解 消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想
（明确消 z，并在方程组中体现出来——画线） ①+③ 得 5x+2y=16， ②+③ 得 3x+4y=18， ④ ⑤ (体现第一次使用在①③后做记号√) (体现第二次使用在②③后做不同记号△)
5 x 2 y 16, 由④、⑤得 3x 4 y 18.
x 2, 解得 y 3.
④ ⑤
把 x=2 ，y=3 代人②，得 z=1.
x 2, ∴ y 3, 是原方程组的解. z 1.
2 x 4 y 3z 9, 典型例题举例：解方程组 3x 2 y 5 z 11, 5 x 6 y 7 z 13. ① ② ③
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解：由①+②+③得 4x+4y+4z=48， 即 x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3， ②-④得 y=4， ③-④得 z=5，
x 3, ∴ y 4, z 5.
分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消 元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎 么才能做到“目标明确，消元不乱” ，为此归纳出： （一） 消元的选择
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1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 （二） 方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。
3x y z 4 解： x y z 6 2 x 3 y z 12 ① ② ③
y 2, 解得 z 2.
把 y=2 代入③，得 x=8.
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x 8, ∴ y 2, z 2.
是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型. 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺 z,因此利用①、②消 z,也能达 到消元构成二元一次方程组的目的。 解法 2：消 z. ①×5 得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤
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专题：三元一次方程及其解法
序言：方程 含有未知数的等式叫方程等式的基本性质１：等式两边同时加［或减］同一个数或 同一个代数式，所得的结果仍是等式 用字母表示为：若Ａ＝Ｂ，Ｃ为一个数或一个代数式。则： ［１］Ａ+Ｃ＝Ｂ+Ｃ ［２］Ａ-Ｃ＝Ｂ-Ｃ 等式的基本性质２：等式的两边同时乘或除以同一个不为０的的数所得的结果仍是 等式 ３若 a=b,则 b=a（等式的对称性） ４若 a=b,b=c 则 a=c（等式的传导性） 方程：含有未知数的等式叫做方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 解方程：求方程的解的过程叫做解方程 移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移 项，根据是等式的基本性质１。 一元一次方程 一共只有一个未知数且次数是一的方程叫一元一次方程，通常形式是 ax+b=0(a，b 为常数，a 不等于零） １去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数 ２去括号 一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率 ３移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型.
x : y : z 1 : 2 : 7 例 3：解方程组 2 x y 3z 21
① ②
分析 1： 观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系， 根据以往的经验， 学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由 x:y=1:2 得 y=2x； 由 x:z=1:7 得 z=7x. 从 而 从 形 式 上 转 化 为 三 元 一 次 方 程 组 的 一 般 形 式 ， 即
是原方程组的解.
x y 20, 典型例题举例：解方程组 y z 19, x z 21.
① ② ③