人教A版(文科数学) 数学归纳法 单元测试

2019届人教A 版（文科数学） 数学归纳法 单元测试

1．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72

，由此推算：当n ≥2时，有( )

A ．f (2n )>2n ＋12

(n ∈N *) B ．f (2n )>2(n ＋1)＋12

(n ∈N *) C ．f (2n )>2n ＋12

(n ∈N *) D ．f (2n )>n ＋22

(n ∈N *) 考点 利用数学归纳法证明不等式

题点 不等式中的归纳、猜想、证明

答案 D

解析 f (4)>2改写成f (22

)>2＋22；f (8)>52改写成f (23)>3＋22；f (16)>3改写成f (24)>4＋22；f (32)>72改写成f (25)>5＋22，由此可归纳得出：当n ≥2时，f (2n )>n ＋22

(n ∈N *)． 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a

2n ＋1＝1－a 2n ＋

21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( )

A ．1＋a

B ．1＋a ＋a 2

C ．1＋a ＋a 2＋a 3

D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4 考点 数学归纳法定义及原理

题点 数学归纳法第一步：归纳奠基

答案 C

解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C.

3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时成立，则有( )

A ．命题对所有正整数都成立

B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立

C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立

D ．以上说法都不正确

考点 数学归纳法定义及原理

题点 数学归纳法第二步：归纳递推

答案 C

解析 由已知，得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则n ＝n 0＋1时命题成立，

在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得，n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，

依此类推，可知选C.

4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －

1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －

1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k

＝1－2k ＋1

1－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．

上述证明，错误是________．

考点 数学归纳法定义及原理

题点 数学归纳法第二步：归纳递推

答案 未用归纳假设

解析 本题在由n ＝k 成立证明n ＝k ＋1成立时，

应用了等比数列的求和公式，

而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．

5．用数学归纳法证明：

121×3＋223×5＋…＋n 2

(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)

(n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式

题点 利用数学归纳法证明等式

证明 ①当n ＝1时，左边＝121×3＝13

， 右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝13

， 左边＝右边，等式成立．

②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立．

即121×3＋223×5＋…＋k 2

(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)

， 当n ＝k ＋1时，

左边＝121×3＋223×5＋…＋k 2

(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)

＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3)

＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)2

2(2k ＋1)(2k ＋3)

＝(k ＋1)(2k 2＋5k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)

＝

(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)， 右边＝(k ＋1)(k ＋1＋1)2[2(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)

， 左边＝右边，等式成立．

即对所有n ∈N *，原式都成立．

在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：

(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.

(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；

(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.

一、选择题

1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12

n (n －3)条时，第一步应验证n 等于( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

考点 数学归纳法定义及原理

题点 数学归纳法第一步：归纳奠基

答案 C

解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选C.

2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )

A ．当n ＝6时命题不成立

B ．当n ＝6时命题成立

C ．当n ＝4时命题不成立

D ．当n ＝4时命题成立

考点 数学归纳法定义及原理

题点 数学归纳第二步：归纳递推

答案 B

3．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3

＋…＋12k ，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋12k ＋2

B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2

C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2

D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1 考点 数学归纳法定义及原理

题点 数学归纳法第二步：归纳递推

答案 C

解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数，

则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋12k ，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)

.② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝

12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1 ＝

12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)

. 4．一个与正整数n 有关的命题中，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立，可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )