确定主应力大小和方向问题分析
三向应力状态最大主应力方向计算
在以三向应力状态最大主应力方向计算为主题的文章中，我们需要首先了解三向应力状态及其计算方法，然后深入讨论最大主应力方向的计算方式和重要性。
接下来，我们可以探讨该主题对工程、地质或其他领域的影响，以及我们个人对这一主题的看法和理解。
三向应力状态是指一个材料或结构受到的三个方向上的应力作用。
在工程和地质领域中，我们常常需要对材料或地质构造的三向应力状态进行分析和计算，以确保其稳定性和安全性。
三向应力状态的计算可以通过各种方法和公式进行，其中最常用的包括Mohr圆和三向应力变形方程等。
通过这些计算，我们可以得到材料或地质构造中的最大主应力方向，这对于预测和防范可能的破坏或变形具有重要意义。
让我们深入探讨最大主应力方向的计算方式。
最大主应力方向通常是材料或地质构造中应力最大的方向，它决定了材料或结构的破坏模式和破坏时机。
最大主应力方向的计算需要通过三向应力状态的分解和转换来实现，其中包括求解Mohr圆上的最大主应力角度和大小等步骤。
计算最大主应力方向不仅可以帮助我们预测材料或结构可能出现的破坏情况，还可以指导我们优化设计和改进工程实践。
在文章的后半部分，我们可以探讨三向应力状态最大主应力方向计算在工程、地质或其他领域的应用和意义。
工程中的材料强度设计和地质构造的稳定性分析都离不开对最大主应力方向的计算和预测。
我们也可以共享一些具体的案例或实践经验，来展示这一主题对实际工作的影响。
我们可以结合个人经历和观点，对这一主题进行全面、深刻和灵活的理解和总结，以提高读者对该主题的认识和理解。
通过对三向应力状态最大主应力方向计算的深度和广度的探讨，我们可以更全面地理解这一主题的重要性和应用价值。
在文章中，我们通过介绍基本概念、计算方法和应用意义，为读者提供了一份有价值的信息。
通过共享个人观点和理解，我们也希望能够激发读者对这一主题的兴趣，并促进更深入的讨论和探索。
三向应力状态最大主应力方向的计算在工程、地质和其他领域中具有重要的应用价值。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
利用数学方法和平衡剖面判断最大主应力方向——以渤海湾盆地为例
０ ． １ Ｋ ｍ／ ｈ ， 最大为 ９ ９ ９ ． ９ Ｋ ｍ／ ｈ 。 本系统的显示里程为单次里程 ，
的测量。然后打开 中断 （ Ｅ Ａ ＝ Ｉ ） ， 显示车速 、 里程及电池电压， 根据 单位 时间的脉冲数计算速度和里程 ， 如此循环 。
—
—
主 应 力 轴 等 。但 是 以上 方法 需要 良好 的 地 层 露 头 ，而 且 其 只
Ｚ＝ｘ ’ ｃ ｏｓ Ｂ ＋ｙ ’ ｓ ｉ ｎ Ｂ
能分析微观应力变化，无法反应宏观的地质应力情况 。当然
也有结合平衡剖面， 利 用 电阻 应 变花 来求 不 同方 向线 应 变 ， 进 而 求 出最 大 应 变 方 向。但 是 应 用 此 类 公 式 需 要 同 时有 地 质 学
容 易明确 古构造 的分布趋势 。 关键词 ： 最大主应力方 向 平衡剖面 中图分类号 ： Ｐ ５ ６ 伸展 率 渤海湾盆地 中新生代 文章编号： １ ０ ０ ７ ． ３ ９ ７ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ０ ４ ． １ ０ ９ ． ０ ３ 文献标识码 ： Ａ
ｌ前言
动的演化过程 。
（ ５ ） ： ２ １ ． ２ ４ ．
［ ２ 】 马淑华． 单片机原理 与接 口技术［ Ｍ 】 ． 北京： 北京邮电大学 出
版 社， ２ ０ ０ ７ ．
［ ３ 】 秦 曾煌， 姜三勇． 电工学［ Ｍ】 ． 北京： 高等教育 出版社， ２ ０ ０ ９ ．
图 ５ 程序 流程 图 科协论坛 ・２ ０ １ ３年第 ４期（ 下 ）——
应力状态与应变状态例题
B.（1）不正确、（2）正确；
C.（1）、（2）都正确；
D.（1）、（2）都不正确。
若构件内危险点的应力状态为二向等拉，则除 （ B ）强度理论以外，利用其他三个强度理论得到 的相当应力是相等的。
A.第一； B.第二； C.第三； D.第四；
r1
r2
r3 1 3
第二强度理论
3
＝
1＋
1－（2＋3）
对于铸铁: 0.25
1 3 2
2
（1＋）
0.8
0.5
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
3
0.6
基本习题结束
铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀而被胀裂， 而管内的冰却不会破坏。这是因为（ B ）。
第一强度理论
1 ＋
23 11
x 10， y 23， xy 11
max
min
x y
2
x
2
y
2
2 x
10
29.8MPa
3.72MPa
(单位 MPa)
1 29.28MPa，2 3.72MPa，3 0
1 29.28MPa< 30MPa
故满足强度要求。
某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中σ＝ 116.7MPa，τ＝46.3MPa。材料为钢，许用应力［σ］＝ 160MPa。试用第三、第四强度理论校核此结构是否安全。
xy
cos 2
0
故所给45度方向是主应力方向。
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa,ν=0.3。现测得圆轴表面上与轴线成450 方向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩。
材料力学-7-应力状态分析
7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。 主应力（principal stress）：主平面上的正应力。 主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力：危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力，或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件
材料力学之应力与应变分析
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
②单元体各个面上的应力已知或可求； ③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
s A s=P/A
B t=Me/Wn
Байду номын сангаасa) 一对横截面，两对纵截面 P
⑥
ss"'
a0 *
ttxyxy a0 *
ss"'
4.极值切应力：
应力与应变分析
①令：
，可求出两个相差90o 的
a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
②极值切应力：
③
(极值切应力平面与主平面成45o)
例一 图示单元体，试求：①a=30o斜
截面上的应力； ②主应力并画出主单元
体；③极值切应力。
s" 40
txy
ssxtxxy
sα
a
a
dA
tα
x
tyx sy
sy tyx
得
符号规定：
应力与应变分析
a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
s拉为正，压为负
t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
①由主平面定义，令t =0，得：
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
第二节 平面应力状态下的 应力研究、应力圆
一、平面应力分析的解析法
1.平面应力状态图示：
应力分析
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析 强度理论
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析--解析法 二向应力状态分析--图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态的变形比能 强度理论概述 四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例 如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响
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确定主应力大小和方向问题分析
基础部秦定龙
一问题的提出
在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失，经常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题，以便于分析结构破坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正确布置结构内的受力钢筋等。
图一(a)所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏?图一(b)所示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成的斜面上发生破坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。
在图二(a)中，钢筋混凝土简支梁的两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的，而图二(b)中梁内的弯起钢筋和纵向受力钢筋则是根据图二(a)中梁的主应力轨迹线布置的。
图一
（a）
q
(a)
图二
(b)
上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大小的计算和确定主应力方向的问题。
一般情况下，主应力的大小可按特定的公式算出来，而在确定应力的方向时，人们往往不容易正确确定出来。
本文就怎样快速准确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。
二主应力大小及方向的确定方法
图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。
假定在一对竖向平面上的正应力为,切应力为；在一对水平面上的正应力为y，切应力为
y，它们的大小和方向已经求出。
现要求出这个单元体的最大正应力、最小正应力即主应力的大小和方向。
对应力、和角度的正负号规定如下：正应力(或主应力)以拉应力为正，压
应力为负；切应力对单元体内的任一点以顺时针转为正，以反时针转时为负；
角度以从x轴的正向出发量到截面的外法成n是反时针转为正，是顺时针转为负。
按照上述的规定，可以判断出，、、及是正值；是正值，是正值，
角是负值。
（a）
主应力的确定方法有两种：一种是解析法，一种是应力圆法。
下面分别讨论之。
1．确定主应力大小和主平面位置的解析法
(b)
图三
根据对主应力的定义，进行严格的数学推导，得出计算平面应力状态下单元的主应力公式如下：
tg 2 (1)
由式(1)可以看出， α有两个根。
因为
tg
说明
α和
都能满足公式(1)，这就是说，处于平面应力状态下的单元体
上有两个主平面，并且这两个主平面应是互相垂直的。
(单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力即为主应力。
) 两个主平面上的主应力大小的计算公式为
……（2） 利用公式(1)和(2)，在已知σ、
y
和
τ的情况下，就可以很容易的求出两个主
应力
σ>的大小和相应主应力的方向，并且
σ与
分别作用在两个互相垂直的
平面上。
如图中所示的单元体，只要确定了主平面ef 的位置，另一个主平面gf 的位置也就随之确定了。
现在的问题是：在e f 平面上，究竟作用的是主应力
呢?还是主应力。
这就
需要我们认真加以研究对待了。
我们已可以根据公式(2)计算出在平面应力状态下的两个主应力的数值和根据公式(1)算得x 轴与某一个主平面外法线之间的夹角(也
就是
与某一个主应力的夹角)，从而确定两个主平面的位置。
但是除了这些之外，
我们还必须进一步判断出究竟是
与哪一个主应力的夹角，才能确定每一个主应
力的方向。
由式(1)可以看出，的极值是无穷大(当时的情况)，即总是
小于或等于
，因此
总是小于或等于的锐角，也就是说由确定方向的那
个主应力总是偏向于x 轴的。
根据实践经验和理论分析知道，较大的主应力总是偏向
σ和
中的较大者，较小的主应力则总是偏向于
σ和
中的较小者。
因此，可
以归纳出确定主应力方向的规则如下： 当>时，α是σ与两个主应力中代数值较大者的夹角； 当σ<时，是
与两个主应力中代数值较小者的夹角；
当
=时，
α，主应力的方向可以从单元体上的应力情况直观判断出
来。
为了便于记忆，可把上述的规则通俗的叙述为： “小偏小来大偏大，夹角不比
o 大”。
2．确定主应力大小和主平面位置的应力圆法
关于用应力圆确定主应力大小和主平面位置的方法，现以图四(a)所示的单元体为例介绍如下：首先根据单元体上的已知应力σ、
τ
、
σ、
τy
作出应力圆如图四
(b)昕
示，然后从图上量得
，。
现证明如下： 因为：
合起来就是：
它与由解析法求得的主应力计算公式(2)相同．
此外，主应力的方向也可以由图四(b)求得。
因为为与所夹角的二倍
(即)，而由转至是按顺时针转向，所以应该是负值。
据此，就可以在单元体上，自的方向，按顺时针转向量一角就得到主应力的方向,的方向则与的方向垂直，如图四(a)中所示。
三 主应力分析实例
例：图五(a)所示的单元体，是从某受力构件K 点处截取出来的。
已知σx =25Mpa ，
x τ=，
y σ。
试用应力圆法和解析法求出该单元体的主应力
大小和方向。
解：
(一) 用应力圆法求解 1． 作应力圆
建立直角坐标系o ，按选定的比例尺，由
σ和
τ的值定出与x 面相对应的D 点；再由
σ和
τy
的值定出与y 面相对应的
D 点，连接
D 直线并交
σ轴于点，以C
为圆心，
D D
为半径作一圆，即为该单元体的应力圆，见图五(b)所示。
(a)图五
(b)
2．求主应力的大小
应力圆上A和B点分别为单元体上两个主平面所对应的点，主应力的大小按所选用的比例尺直接从图上量取得
该单元体上有一拉一压两个主应力。
由于主应力是按代数值顺序排列，为拉应力的是，为零是，为压应力的是。
因此，平面应力状态下的两个主应力若为一拉一压，则主拉应力为，主压应力为(因为)。
3．求主应力的方向
从应力圆上量得圆心角。
，且是由反时针方向旋转而得，所以为正。
的主平面角，即在单元体上，由x轴开始反时针方向旋转就可以得到作用的主平面的外法线n，从而确定的方向及其主平
面的位置；至于σ的方向则必定与σ 的方向垂直。
由两个主平面组成的单元体也
画在图五(a)中。
(二)由解析法求解
将
x σ=代入(2)和(1)式便可求出主应力的大小，方向，即
1σ 既
σ=
解得： α。
=30ﹾ α。
+90ﹾ=1 2 0ﹾ 由于，故
应为
与
之间的夹角，
为
与
轴之间的
夹角，
与
均由x 轴反时针方向旋转即可得出
与
的主应力方向，如图
五(a)所示。
上述介绍的确定主应力大小和方向的方法，读者可以参照例题细心领会，反复练习即可掌握。
(责任编辑：张 健)。