最新北京市2018-2019年高考模拟试卷 数学(理)
北京工业大学附属中学2018-2019学年度第一学期摸底考试高三数学(理)(解析版)
2018-2019学年度第一学期摸底考试高三年级数学学科试卷（理）第Ⅰ卷（共70分）一、选择题（共10小题，每题5分，共70分）1.已知命题，，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】考查全称命题和特称命题的否定，方法是：把全称（存在）量词改为存在（全称）量词，把结论否定。
所以为：，所以选B；2.下列命题中正确的是（）A. 若为真命题，则为真命题B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 命题“若，则”的否命题为“若，则”【答案】B【解析】试题分析：容易验证,则,反之若,则或,因此答案B正确的,故应选B.考点：命题、命题的真假、复合命题及充分必要条件的判定．3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接运用诱导公式，转化为特殊角的三角函数值求解。
【详解】===【点睛】本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值，关键要牢记公式及特殊角的三角函数值，属于基础题。
4.已知集合,且,则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由得：当时，满足题意；当时，（１）满足题意，（２），综上，，故选D.考点：集合间的关系．5.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【详解】由题意可得，解得，故实数的取值范围是，故选:C．【点睛】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．6.已知则的最小值是（）A. B. 4 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】把条件化为，=，展开后运用基本不等式，即可求出最小值。
【详解】由得，于是==由于，所以由基本不等式知=。
答案选C。
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“一正”（条件要求式子中的字母为正数），“二定”（不等式两端中，有一端为定值），“三相等”（等号成立的条件可以达到），否则会出现错误。
数学理卷·2019届北京市人大附中高三第二次模拟考试
2018届高三第二次模拟考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·菏泽期末]已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．[2018·武邑中学]设为锐角，，，若与共线，则角（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．[2018·吕梁期末]函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（）A．B．C．D．4．[2018·渭南质检]如图，执行所示的算法框图，则输出的值是（）A．B．C．D．5．[2018·吉林实验中学]函数的部分图像如下图，且，则图中的值为（）A．1 B．C．2 D．或26．[2018·赣中联考]李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步，50步B．20步，60步C．30步，70步D．40步，80步7．[2018·常德期末]一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为（）A．B． C．D．8．[2018·濮阳一模]设点是表示的区域内任一点，点是区域关于直线的对称区域内的任一点，则的最大值为（）A． B．C．D．9．[2018·赣州模拟]如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．40海里10．[2018·衡水金卷]若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”．若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（）A．0 B．2 C．4 D．611．[2018·渭南质检]已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．[2018·江西联考]已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·淮安一模]已知集合，，则________．14．[2018·孝感八校]将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若最小正周期为，则__________．15．[2018·华大联盟]已知圆，点的坐标为，其中，若过点有且只有一条直线被圆截得的弦长为，则直线的一般式方程是____________________．16．[2018·吉林实验中学]在四面体中，底面，，，为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·晋城一模]已知数列中，，其前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和，并证明．18．[2018·江西联考]交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，．某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．19．[2018·郴州期末]已知三棱锥中，垂直平分，垂足为，是面积为的等边三角形，，，平面，垂足为，为线段的中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成的角的正弦值．20．[2018·乌鲁木齐一模]已知椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．21．[2018·郴州一中]设函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·武邑中学]选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．23．[2018·佛山质检]已知函数，．（1）若，求的取值范围；（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由题意，，对应点为，在第四象限，故选D．2．【答案】B【解析】由题意，，又为锐角，∴．故选B．3．【答案】D【解析】函数图像是由图像向左平移2个单位后得到，故关于轴对称，且在上递减．故等价于，解得．4．【答案】D【解析】按照图示得到循环一次如下：，；，；，；，；，；，；，；，；，．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D．5．【答案】B【解析】由题意可得，，又，∴，又，∴或，，由周期，得，∴，故选：B．6．【答案】B【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B．7．【答案】D【解析】几何体为如图，所以外接球的半径R满足，，体积为，选D．8．【答案】D【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点与点关于直线的对称点间的距离最大，最大距离就是点到直线距离的2倍，联立，解得：，点到直线的距离，那么，故选D．9．【答案】A【解析】在中，，，所以，由正弦定理可得：，解得，在中，，所以，在中，由余弦定理可得：，解得．10．【答案】A【解析】当时，，故函数在区间，上递减，在上递增，故在处取得极小值．根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当时，函数图像与的图像有两个交点，即，．11．【答案】A【解析】∵，不妨令，，，∵，∴，又由双曲线的定义得：，，∴，∴．∴，∴．在中，，又，∴，∴，∴双曲线的离心率．故选：A．12．【答案】B【解析】由题可知，故，∵函数恰有4个零点，∴方程有4个不同的实数根，即函数与函数的图象恰有4个不同的交点．又，在坐标系内画出函数函数的图象，其中点，的坐标分别为，．由图象可得，当时，函数与函数的图象恰有4个不同的交点，故实数b的取值范围是．选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】，所以．14．【答案】【解析】，向右平移个单位后得到函数，函数的最小正周期是，那么，故填：．15．【答案】【解析】整理可得圆，由弦长知，圆心到直线的距离为，即点到直线的距离恒为5，故这样的直线是圆：的切线，若点在圆外，这样的直线必有两条，由直线的唯一性知，点在圆上，于是，解之得或，又，故，则点坐标为，于是直线的斜率，而，故直线的方程为，即．故答案为：．16．【答案】2【解析】，，设的外心为，则在上，设，则，即，解得，四面体的外接球的半径，，解得，则．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1）（2），见解析【解析】（1）解：由，得，后式减去前式，得，得．···········3分因为，可得，所以，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以．·········6分（2）证明：因为，···········7分所以，···········8分所以，···········10分因为，所以．···········12分18．【答案】（1）见解析；（2），50万元．【解析】（1）由题意可知X的可能取值为．······1分由统计数据可知：，．···········4分所以的分布列为：∴．·······6分（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为：．···········9分②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，则的可能取值为－4000，8000．所以的分布列为：···········11分∴所以．所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．···········12分19．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：∵垂直平分，垂足为，∴．∵，∴是等边三角形．又是等边三角形．∴是中点，，．···········3分∵，，平面，∴平面．···········5分（2）解：由（1）知，平面平面．因为平面与平面的交线为．∵平面．∴．又等边面积为，∴又，∴是中点．如图建立空间直角坐标系，，，，，···········7分所以，···········8分，，设平面的法向量为，则，取，则，．即平面的一个法向量为．·········11分所以与平面所成角的正弦值为．···········12分20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，有，···········3分∴椭圆方程．···········4分（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，由得，···········5分∴，得，···········6分设，，，则，由得，···········7分代入椭圆方程得，···········8分由得，···········9分∴，···········10分令，则，∴．···········12分21．【答案】（1）当，取得极小值；当时，取得极大值；（2）见解析．【解析】（1）当时，，，···········1分当时，，在上单调递减；···········2分当时，，在上单调递增；···········3分当时，，在上单调递减．·········4分所以，当，取得极小值；当时，取得极大值．···········5分（2）证明：当时，，，所以不等式可变为．要证明上述不等式成立，即证明．设，则，令，得，···········7分在上，，是减函数；在上，，是增函数．所以．···········9分令，则，在上，，是增函数；在上，，是减函数，所以，所以，即，即，由此可知．···········12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，故直线的普通方程为，···········2分由，得，所以，即，故曲线的普通方程为；···········5分（2）据题意设点，则，···········8分所以的取值范围是．···········10分23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），···········1分若，则，得，即时恒成立，···········2分若，则，得，即，···········3分若，则，得，即不等式无解，···········4分综上所述，的取值范围是．···········5分（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，，······7分因为，所以当时，，·····9分即，解得，结合，所以的取值范围是．·····10分。
2018年北京市海淀区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，则a可以是（）A．﹣1B．0C．l D．22．（5分）已知向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则+2＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．8D．104．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P（x，y）为M中任意一点，则y﹣x的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A．1B．C．D．7．（5分）下列函数f（x）中，其图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝ln（x+1）8．（5分）已知点M在圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）2＝1上，则下列说法错误的是（）A．的取值范围为B．取值范围为C．的取值范围为D．若，则实数λ的取值范围为二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数＝．10．（5分）已知点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则C的离心率为．11．（5分）直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．12．（5分）在△ABC中，若c＝2，，，则sin C＝，cos2C＝．13．（5分）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有种不同的站队方法．14．（5分）设函数．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是；②若a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＞﹣3的x的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知．（I ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．16．（13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J＝﹣些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度（I）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）若a+b＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（I）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点M在棱PC上，满足，，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）＝．（I）当a＝0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的最大值为，求a的值．19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．20．（13分）设A＝（a i，j）n×n＝是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N*．既是第i行中的最大值，也是第j列中的最若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i，j小值，则称数表A为一个“N﹣数表”a i为数表A的一个“N﹣值”，，j对任意给定的n，所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn．（1）判断下列数表是否是“N﹣（2）数表”．若是，写出它的一个“N﹣（3）值”；，；（Ⅱ）求证：若数表A是“N﹣数表”，则A的“N﹣值”是唯一的；（Ⅲ）在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N﹣值”为X，求X的数学期望E（X）．2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，则a可以是（）A．﹣1B．0C．l D．2【解答】解：∵集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，∴﹣1＜a＜2，∴a可以是1．故选：C．2．（5分）已知向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则+2＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）【解答】解：根据题意，向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则2＝（﹣2，0）则+2＝（﹣1，2）；故选：A．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．8D．10【解答】解：当k＝0时，满足继续循环的条件，则S＝0，k＝1；当k＝1时，满足继续循环的条件，则S＝2，k＝2；当k＝2时，满足继续循环的条件，则S＝10，k＝3；当k＝3时，不满足继续循环的条件，故输出的S＝10，故选：D．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P（x，y）为M中任意一点，则y﹣x的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（4，2），D（0，2）；设z＝y﹣x；平移目标函数z＝y﹣x，当目标函数过点D时，y﹣x取得最大值为2﹣0＝2．故选：B．5．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由lga+lgb＞0得lgab＞0，即ab＞1，当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，当a＝4，b＝，满足ab＞1，但b＞1不成立，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A．1B．C．D．【解答】解：由题意知，棱长为1的正方体在竖直墙面上的投影面积S的最小值为正方形，且边长为1，其面积为1；最大值为矩形，且相邻的两边长为1和，其面积为1×＝；∴S的取值范围是[1，]；又＜，∴不可能的是选项D．故选：D．7．（5分）下列函数f（x）中，其图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝ln（x+1）【解答】解：函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数的图象位于下图中的①、②或④的区域，在A中，f（x）＝x3的图象位于③，④的部分区域，故A错误；在B中，f（x）＝的图象位于②③的部分区域，故B错误；在C中，f（x）＝e x﹣1的图象位于①②③④的部分区域，故C错误；在D中，f（x）＝ln（x+1）的图象位于②的区域，故D正确．故选：D．8．（5分）已知点M在圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）2＝1上，则下列说法错误的是（）A．的取值范围为B．取值范围为C．的取值范围为D．若，则实数λ的取值范围为【解答】解：∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM＝+1，ON＝+1时，取得最小值（+1）2cosπ＝﹣3﹣2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴||2＝2cosαcosβ+2sinαsinβ+2＝2cos（α﹣β）+2，∴0≤||≤2，故B错误；∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|＝2，∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤||≤2+2，故C正确；∵﹣1≤|OM|≤+1，≤|ON|≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数＝1+i．【解答】解：＝＝i+1．故答案为：1+i．10．（5分）已知点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则C的离心率为．【解答】解：根据题意，点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则a＝2，双曲线的方程为，则b＝1，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝；故答案为：．11．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得x﹣2y＝0，曲线（θ为参数）消去参数，得（x﹣2）2+y2＝1，联立，得或．∴直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．故答案为：2．12．（5分）在△ABC中，若c＝2，，，则sin C＝，cos2C＝．【解答】解：△ABC中，若c＝2，，，利用正弦定理：，则：，所以：cos2C＝1﹣2sin2C＝1﹣＝．故答案为：．13．（5分）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有48种不同的站队方法．【解答】解：有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，先安排A学校和C学校的三位老师，有中排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有＝24种排法，由乘法原理得不同的排列方法有：＝48种，故答案为：48．14．（5分）设函数．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是（﹣，]；②若a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＞﹣3的x的取值范围是（﹣1，+∞）．【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝，由f（x）＝0，可得x＝0，x＝﹣，符合题意；若a＜0，x＝0符合题意；若x＝﹣符合题意，则a＞﹣，即为﹣＜a＜0；若a＞0，则x＝0和x＝﹣符合题意，可得a≤，综上可得，a的范围是（﹣，]；②若x＜a≤﹣2，则x﹣1＜a﹣1≤﹣3，f（x）的导数为3x2﹣3＞0，可得f（x）＜f（﹣2）＝﹣2，f（x﹣1）＜﹣27+9＝﹣18，即有f（x）+f（x﹣1）＜﹣30，不符题意；则x≥a，若x﹣1≥a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，即为x+x﹣1＞﹣3，解得x＞﹣1；若a﹣1≤x﹣1＜a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，即为x+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）＞﹣3，化为x3﹣3x2+x+5＞0，由于a≤﹣2，且a≤x＜a+1，可得g（x）＝x3﹣3x2+x+5的导数g′（x）＝3x2﹣6x+1＞0，即g（x）在[a，a+1）递增，g（a）取得最小值，且为a3﹣3a2+a+5，且a3﹣3a2+a+5，而在a≤﹣2时，a3﹣3a2+a+5递增，且为负值，不符题意．综上可得a的范围是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣，]，（﹣1，+∞）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知．（I ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）直接将x ＝带入，可得：＝＝2．（Ⅱ）由＝因为函数y＝sin x 的单调递增区间为（k∈Z），令（k∈Z），解得（k∈Z），故f（x ）的单调递增区间为（k∈Z）．16．（13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J＝﹣些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度（I ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求X 的分布列； （Ⅲ）若a +b ＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求M 的最大值和最小值．（只需写出结论） 【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月， 该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播． 用A i 表示事件抽取的月份为第i 月，则Ω＝{A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，A 9，A 10，A 11，A 12}共12个基本事件， A ＝{A 2，A 6，A 8，A 9，A 10，A 11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．（4分）（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2．，，随机变量X的分布列为：（Ⅲ）a+b＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．（13分）17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（I）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点M在棱PC上，满足，，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求的取值范围．【解答】（本题满分14分）证明：（Ⅰ）证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1因为在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，所以PO⊥OB因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为P A＝PB＝PC，PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO所以△POA≌△POB≌△POC所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°所以PO⊥OB因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△P AC中，P A＝PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为在△OAB中，OA＝OB，Q为AB的中点所以OQ⊥AB．因为在△P AB中，P A＝PB，Q为AB的中点所以PQ⊥AB．因为PQ∩OQ＝Q，PQ，OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP⊂平面OPQ所以OP⊥AB因为AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC解：（Ⅱ）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1）由OB⊥平面APC，故平面APC的法向量为由，设平面PBC的法向量为，则由得：令x＝1，得y＝1，z＝1，即由二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为（9分）（Ⅲ）设，0≤μ≤1，，，令得（1﹣λ）•1+（﹣1）•（1﹣μ）+λ•μ＝0即，μ是关于λ的单调递增函数，当时，，所以．（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝．（I）当a＝0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的最大值为，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，，故，令f'（x）＞0，得0＜x＜e；故f（x）的单调递增区间为（0，e）（4分）（Ⅱ）方法1：令则由，故存在，g（x0）＝0故当x∈（0，x0）时，g（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0故故，解得（13分）故a的值为e2．（Ⅱ）方法2：f（x）的最大值为的充要条件为：对任意的x∈（0，+∞），且存在x0∈（0，+∞），使得，等价于对任意的x∈（0，+∞），a≥e2lnx﹣x且存在x0∈（0，+∞），使得a≥e2lnx0﹣x0，等价于g（x）＝e2lnx﹣x的最大值为a．∵，令g'（x）＝0，得x＝e2．x，g′（x），g（x）的变化如下：故g（x）的最大值为g（e2）＝e2lne2﹣e2＝e2，即a＝e2．（13分）19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：，，故椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）根据题意，假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为（2，﹣1），直线l的方程为，即．联立方程，得x2﹣4x+4＝0，此时，直线l与椭圆C相切，不合题意．故直线TP和TQ的斜率存在．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线，直线故，由直线，设直线（t≠0）联立方程，当△＞0时，x1+x2＝﹣2t，，|OM|+|ON|＝＝＝＝＝4．20．（13分）设A＝（a i，j）n×n＝是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N*．若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i，j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N﹣数表”a i，j为数表A的一个“N﹣值”，对任意给定的n，所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn．（1）判断下列数表是否是“N﹣（2）数表”．若是，写出它的一个“N﹣（3）值”；，；（Ⅱ）求证：若数表A是“N﹣数表”，则A的“N﹣值”是唯一的；（Ⅲ）在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N﹣值”为X，求X的数学期望E（X）．【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）A是“N﹣数表”，其“N﹣值”为3，B不是“N﹣数表”．（3分）证明：（Ⅱ）假设a i，j 和a i'，j'均是数表A的“N﹣值”，①若i＝i'，则a i，j＝max{a i，1，a i，2，…，a i，n}＝max{a i'，1，a i'，2，…，a i'，n}＝a i'，j'；②若j＝j'，则a i，j＝min{a1，j，a2，j，…，a n，j}＝min{a1，j'，a2，j'，…，a n，j'}＝a i'，j'；③若i≠i'，j≠j'，则一方面a i，j＝max{a i，1，a i，2，…，a i，n}＞a i，j'＞min{a1，j'，a2，j'，…，a n，j'}＝a i'，j'，另一方面a i'，j'＝max{a i'，1，a i'，2，…，a i'，n}＞a i'，j＞min{a1，j，a2，j，…，a n，j}＝a i，j；矛盾．即若数表A是“N﹣数表”，则其“N﹣值”是唯一的．（8分）解：（Ⅲ）解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A＝（a i，j ）19×19．定义数表B＝（b j，i ）19×19如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表B的第j行，第i列，即b j，i ＝a i，j（其中1≤i≤19，1≤j≤19）由题意，得：①数表B是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②数表B的第j行的元素，即为数表A的第j列的元素③数表B的第i列的元素，即为数表A的第i行的元素④若数表A中，a i，j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表B中，b j，i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值．定义数表C＝（c j，i ）19×19如下，其与数表B对应位置的元素的和为362，即c j，i ＝362﹣b j，i（其中1≤i≤19，1≤j≤19）由题意得：①数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B中，b j，i是第i列中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，c j，i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A＝（a i，j ）19×19①数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A中，a i，j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，c j，i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值即对任意的A∈Ω19，其“N﹣值”为a i，j（其中1≤i≤19，1≤j≤19），则C∈Ω19，且其“N﹣值”为c j，i ＝362﹣b j，i＝362﹣a i，j．记C＝T（A），则T（C）＝A，即数表A与数表C＝T（A）的“N﹣值”之和为362，故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N﹣值”之和为362，故X的数学期望E（X）＝181．（13分）解法2：X所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X＝k的数表A的个数记作n k，k＝19，20，21，…，341，342，343，则．则，则，故，E（X）＝181．（13分）。
2018年北京专家高考模拟试卷(三)理科数学参考答案
n(
3 4
)n
，则
cn1
cn
(n
1)( 3)n1 4
n( 3)n 4
( 3)n 4来自3n 4∴ n 3 时， cn1 cn ； n 4 时， cn1 cn
∴ c1 c2 c3 c4 c5 c6
∴
n(
3 4
)n
max
c3
为 a ，则其直观图面积为 1 a ( 3 a 1 2 ) 6 ，a 4 .由正视图可知,该几何体的侧视图是边
2
2 22
长为 2 3 和 4 的矩形,所以该几何体的侧视图的面积是 8 3 .故选 D.
10.D【解析】∵
an1
=
3(n
1)an n
(n N* ) an1 3 an n1 n
KA
CK
IC
IA
1 4
IA
1 2
IA
IA
7
.故
最大值为
7
.
IA
IA
IA
4
4
12.C【解析】 f x 1 x2 mx m n ln x (x 0) ， f (x) x m m n 2x2 2mx m n ，
当 P 在 HC 直线上时，由 CI 1 ,故 CA 3 , IA 2 IA 2
3， 2
当 P 在 KE 直线上时（ E 为切点）， 最大.
2
CK EH ,计算可得 EH 1 , HF CG 1 , CK EH 1 ,
2019届北京市高三数学理模拟试卷
数学(理科） 2018。
5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是 (A ）A B =∅ (B)A B =R （C ）A B ⊆（D)B A ⊆2．若复数z 满足(1i)1z -⋅=,则z = （A ）1i 22+ （B)1i 22-+（C ）1i22--(D)1i 22- 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C)||2x y = (D ）cos y x =4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧面积是 (A)12(B ）（C ）（D ）5．向量,,a b c 在正方形格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1(D)26．已知点(0,0)A ，(2,0)B ．若椭圆22:12x y W m +=上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形,则椭圆W 的离心率是(A)12 （ （C （D7．函数()f x a =．则“0a ≥”是“0[1,1]x ∃∈-，使0()0f x ≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C)充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线． 则四个函数12(0)y x x =>，22(0)y x x =>,3e (0)x y x =>， 4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线(如图)依次是 （A)②，③，①，④ (B ）③，②，④，① (C ）②,③，④，① （D ）③，②，①,④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分．9．已知圆C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C 的面积为____；圆心C 到直线:340l x y -=的距离为____．10．241()x x +的展开式中2x 的系数是____．11．在△ABC 中，3a =，2b =,π3A ∠=,则cos2B =____．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =,23S S >，则数列{}n a 的通项公式可以是____．13．设不等式组 1,3,25x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤ 表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是____．14．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下:则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅． （Ⅰ）求()f x 的定义域；(Ⅱ）若(0,π)α∈，且()2f α=，求α的值．16．（本小题满分14分）如图,梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====,4AB =．（Ⅰ）求证://DF 平面BCE ; （Ⅱ）求二面角C BF A --的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF?请说明理由．17．(本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8。
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北京市朝阳区2018-2019学年度高三数学理科试卷含答案北京市朝阳区 2018-2019 学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）2019．1 （考试时间 120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 3}， B ? {2,3, 4,5} ，则 A A. {2} B. {2, 3} C. {2,3, 4,5}B?开始输入 SD. {1, 2,3, 4,5}2.设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ，则 | z | = A. 1 B. 2 C.2 D. 2 23.执行如图所示的程序框图，若输入的 S ? 12 ，则输出的 S = A. ?8 B. ?18 C.5 D.6 4.在平面直角坐标系 xOy 中，过 A(4, 4), B(4,0), C (0, 4) 三点的圆被 x 轴截得的弦长为 A. 4 B. 4 2 C. 2 D. 2 2n ?1S ? S ? 2nS=S-2nn ? n ?15.将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位后，图象经过S ? n ? 0?是否? 3 点( , ) ，则 ? 的最小值为 3 2A.输出 S 结束 C.? 12B.? 6? 3D.?? 6“x ? 0” 6. 设 x 为实数，则是“x?A.充分而不必要条件 C.充分必要条件1 ? ?2 ”的 xB.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.对任意实数 x ，都有 loga (ex ? 3) ? 1 （ a ? 0 且 a ? 1 ），则实数 a 的取值范围是 A. (0, )1 3B. ?1,3?C. (1,3)D. [3, ?? )18.以棱长为 1 的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为 A.2 2B.3 3C.1 3D.1 4第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上． 9.已知数列 ?an ? 为等差数列， Sn 为其前 n 项的和.若 a1 ? a3 ? 6 ， a4 ? 7 ，则 S5 ? _______. 10. 已知四边形的顶点 A ， B ， C ， D 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则AC ? DB ? ____________.B AC D11.如图，在边长为 1 的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．12.过抛物线 y 2 =4 x 焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，分别过 A, B 作准线 l 的垂线，垂足分别为 C , D .若 AF ? 4 BF ，则 CD ? __________________.13. 2018 年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着 3× 2 格或 2× 3 格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在 8 ? 8=64 格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标 1 的方格内出发，依次经过标 2,3,4,5,6, ??? , 到达标 64 的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标 64 的方格内直接走回到标 1 的方格内.如果骑士的出发点在左下角标 50 的方格内，按照上述走法，或“不能”）走回到标 50 的方格内. 若骑士限制在图（二）中的 3× 4=12 格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标 1 的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6, ??? ,到达右下角标2（填“能”12 的方格内，分析图（二）中 A 处所标的数应为____.35 26 37 14 63 24 11 5038 15 34 25 12 51 62 2327 36 13 40 21 64 49 1016 39 28 33 52 9 22 6129 54 41 20 1 60 7 4842 17 32 53 8 45 4 5955 30 19 44 57 2 47 618 43 56 31 46 5 58 3图（一） 1 A 3 图（二） 14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为 1 的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是 . 123三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分 13 分）在△ ABC 中，已知 A ? （Ⅰ）求 AB 的长；（Ⅱ）求 BC 边上的中线 AD 的长.3? 12 , cos C ? ， BC ? 13. 4 1316.（本小题满分 13 分）某日 A,B,C 三个城市 18 个销售点的小麦价格如下表：销售点序号所属城市小麦价格（元/吨）销售点序号所属城市小麦价格（元/吨）1 2 3 4 5 6 7 8 9A C C C A C AB A2420 2580 2470 2540 2430 2400 2440 2500 244010 11 12 13 14 15 16 17 18B A A A B B B A A2500 2460 2460 2500 2500 2450 2460 2460 2540（Ⅰ）甲以 B 市 5 个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从 C 市 4 个销售点中随机挑选 2 个了解小麦价格.记乙挑选的 2 个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望；（Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对 A,B,C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.417.（本小题满分 14 分）如图，三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 的侧面 BCC1B 1 是平行四边形， BC1 ? C1C ，平面AC 1 ，且 E , F 分别是 BC , A 1B 1 的中点. 1 1CA ? 平面 BCC1B（Ⅰ）求证： EF // 平面 AC 1 1CA ；（Ⅱ）当侧面 AC 1 1CA 是正方形，且BC1 ? C1C 时，（ⅰ）求二面角 F ? BC1 ? E 的大小；（ⅱ）在线段 EF 上是否存在点 P ，使得 AP ? EF ？若存在，指出点 P 的位置；若不存在，请说明理由.B1 BC1A1 A FEC18.（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x) ? xe ?xm ( x ? 1) 2 ( m ? 0) . 2（Ⅰ）当 m ? 0 时，求函数 f ( x ) 的极小值；（Ⅱ）当 m ? 0 时，讨论 f ( x ) 的单调性；（Ⅲ）若函数 f ( x ) 在区间 ? ??,1? 上有且只有一个零点，求 m 的取值范围.519.（本小题满分 14 分）过椭圆 W:x2 ? y 2 ? 1的左焦点 F1 作直线 l1 交椭圆于 A, B 两点，其中 A (0,1) ，另一条 2过F （不与 A, B 重合），且 D 点不与点 ? 0， ? 1? 重合. 过 F1 作 x 1 的直线 l 2 交椭圆于 C , D 两点轴的垂线分别交直线 AD ， BC 于 E , G . （Ⅰ）求 B 点坐标和直线 l1 的方程；（Ⅱ）求证： EF . 1 ? FG 120.（本小题满分 13 分）已知 a1 , a2 , ???, an , ??? 是由正整数组成的无穷数列，对任意 n ? N ， an 满足如下两个条件：① an 是 n 的倍数；②an ? an?1 ? 5 . （Ⅰ）若 a1 ? 30 ， a2 ? 32 ，写出满足条件的所有 a3 的值；（Ⅱ）求证：当 n ? 11 时， an ? 5n ；（Ⅲ）求 a1 所有可能取值中的最大值.?6北京市朝阳区 2018-2019 学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类）一、选择题（40 分） 1 题号答案 D2019.12 B3 A4 A5 B6 C7 B8 C二、填空题（30 分）题号答案三、解答题（80 分） 15. （本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由 cos C ? 9 10 11 12 13 能 142578 3582?2 212 ? 5 ， 0 ? C ? ，所以 sin C ? . 13 2 135 AB BC sin C ? 由正弦定理得，，即 AB ? BC ? =13 ? 13 ? 5 2 . .………6 分 sin C sin A sin A 2 23? 2 2 17 2 . ? C) ? cos C ? sin C ? 4 2 2 262（Ⅱ）在△ ABD 中， cos B ? cos(? ?2 2由余弦定理得， AD ? AB +BD ? 2 AB ? BD cos B , 所以 AD ? (5 2) +22169 13 17 2 29 . ? 2?5 2 ? ? ? 4 2 26 4……………… 13 分所以 AD ?29 . 216. （本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）B 市共有 5 个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为 2500，所以甲的购买价格为 2500. C 市共有 4 个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故 X 的可能取值为 0，1，2.7P( X ? 0) ?2 0 1 1 0 2 C2 C2 1 C2 C2 4 2 C2 C2 1 ，， ? P ( X ? 1) ? ? ? P ( X ?2) ? ? . 2 2 2 C4 6 C4 6 3 C4 6所以分布列为X12P1 62 31 62 3 1 ?1. 6……… 10 分……… 13 分所以数学期望 E( X ) ? 0 ? P( X ? 0) ? 1? P( X ? 1) ? 2 ? P( X ? 2) ? 1? ?2 ?（Ⅱ）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B 17. （本小题满分 14 分）证明：（Ⅰ）取 AC 1 1 中点 G ，连 FG ，连 GC . 在△ A1B1C1 中，因为 F , G 分别是 A 1B 1 , AC 1 1 中点，所以 FG//B1C1 ，且 FG =A1 A F G1 B1C1 . 2B1在平行四边形 BCC1B1 中，因为 E 是 BC 的中点，C1z1 所以 EC //B1C1 ，且 EC = B1C1 . 2所以 EC //FG ，且 EC =FG . 所以四边形 FECG 是平行四边形. 所以 FE //GC .又因为 FE ? 平面 AC 1 1CA ， GC ? 平面 AC 1 1CA ，所以 EF // 平面 AC 1 1CA . （Ⅱ）因为侧面 AC 1 1CA 是正方形，所以 AC 1 1 ? C1C . 又因为平面AC 1 ，且平面 AC 1 1CA 1 1CA ? 平面 BCC1B 所以 A1C1 ? 平面 BCC1B1 .所以 AC 1 1 ? C1B .BEA1CAFB1xC1BECy…………………4 分平面 BCC1B1 ? C1C ，又因为 BC1 ? C1C ，以 C1 为原点建立空间直角坐标系 C1 ? xyz ，如图所示. 设 C1C ? a ，则 A(0, a, a), B(a,0,0), C(0, a,0), A 1 (0,0, a), B 1 (a, ?a,0) ，8a a a a a E ( , , 0), F ( , ? , ) . 2 2 2 2 2（ⅰ）设平面 FBC1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) .ax ? 0, ? ? ? x ? 0, ?n ? C1 B ? 0, ? 由? 得 ?a 即? 令 y ? 1 ，所以 n ? (0,1,1) . a a x ? y ? z ? 0. ? y ? z. ? ? n ? C1 F ? 0 ? ?2 2 2又因为 A1C1 ? 平面 BC1E ，所以 C1 A 1 ? (0,0, a) 是平面 BC1E 的一个法向量. 所以 cos C1 A1 , n ?C1 A1 ? n C1 A1 ? n?a 2 . ? 2 a? 23? . 4由图可知，二面角 F ? BC1 ? E 为钝角，所以二面角 F ? BC1 ? E 的大小为……………10 分（ⅱ）假设在线段 EF 上存在点 P ，使得 AP ? EF . 设EP ? ? , ? ? [0,1] ，则 EP ? ? EF . EF因为a a a a a a AP ? AE ? EP ? AE ? ? EF ? ( , ? , ?a ) ? ? (0, ?a, ) ? ( , ? ? a? , ?a ? ? ) ， 2 2 2 2 2 2又 AP ? EF ，所以 AP ? EF ?a a a a 1 ? 0 ? (? ? a? )(?a) ? (? a ? ? ) ? a 2 ( ? ? ? ) ? 0 . 2 2 22 4所以 ? ? 0 ? [0,1] . 故点 P 在点 E 处时，有 AP ? EF 18. （本小题满分 13 分）x 解：(Ⅰ) 当 m ? 0 时： f ?( x) ? ( x ? 1)e ，令 f ?( x) ? 0 解得 x ? ?1 ，.…………14 分又因为当 x ? ? ??, ?1? ， f ?( x) ? 0 ，函数 f ( x ) 为减函数；当x ? ? ?1, ?? ? ， f ?( x) ? 0 ，函数 f ( x ) 为增函数. 所以， f ( x ) 的极小值为 f ( ?1) ? ? （Ⅱ） f ?( x) ? ( x ? 1)(e ? m) .x1 . e.…………3 分9当 m ? 0 时，由 f ?( x) ? 0 ，得 x ? ?1 或 x ? ln m .1 1 x ，则 f ?( x) ? ( x ? 1)(e ? ) ? 0 .故 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上单调递增； e e 1 （ⅱ）若 m ? ，则 ln m ? ?1 .故当 f ?( x) ? 0 时， x ? ?1或x ? ln m ； e(ⅰ)若 m ? 当 f ?( x) ? 0 时， ?1 ? x ? ln m . 所以 f ( x ) 在 ? ??, ?1? ， ? ln m, ??? 单调递增，在 ? ?1,ln m? 单调递减. (ⅲ)若 0 ? m ?1 ，则 ln m ? ?1 .故当 f ?( x) ? 0 时， x ? ln m 或 x ? ?1； e当 f ?( x) ? 0 时， ln m ? x ? ?1 . 所以 f ( x ) 在 ? ??,ln m? ， ? ?1, ?? ? 单调递增，在 ? ln m, ?1? 单调递减. .…………8 分（Ⅲ）(1)当 m ? 0 时，f ( x) ? xe x ，令 f ( x) ? 0 ，得 x ? 0 .因为当 x ? 0 时， f ( x) ? 0 ，当 x ? 0 时， f ( x) ? 0 ，所以此时 f ( x ) 在区间 ? ??,1? 上有且只有一个零点. (2)当 m ? 0 时：1 1 时，由（Ⅱ）可知 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上单调递增，且 f ( ?1) ? ? ?0 ， e e 2 f (1) ? e ? ? 0 ，此时 f ( x) 在区间 ? ??,1? 上有且只有一个零点. e 1 （ⅱ）当 m ? 时，由（Ⅱ）的单调性结合 f (?1) ? 0 ，又 f (ln m) ?f (?1) ? 0 ， e（ⅰ）当 m ? 只需讨论 f (1) ? e ? 2m 的符号：1 e ? m ? 时， f (1) ? 0 ， f ( x) 在区间 ? ??， 1? 上有且只有一个零点；e 2 e 当 m ? 时，f (1) ? 0 ，函数 f ( x ) 在区间 ? ??， 1? 上无零点. 21 ( ⅲ ) 当 0 ? m ? 时，由（Ⅱ）的单调性结合 f (? 1) ? 0， f (1) ? e ? 2m ? 0 ， e m m f (ln m) ? ? ln2 m ? ? 0 ，此时 f ( x ) 在区间 ? ??,1? 上有且只有一个零 2 2当点. 综上所述， 0 ? m ?e . 2.…………13 分19. （本小题满分 14 分）10? y ? x ?1 ? 解：（Ⅰ）由题意可得直线 l1 的方程为 y ? x ? 1 .与椭圆方程联立,由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2可求 B (?4 1 ,? ) . 3 3……………4 分（Ⅱ）当 l2 与 x 轴垂直时， C , D 两点与 E , G 两点重合，由椭圆的对称性， EF . 1 ? FG 1 当 l2 不与 x 轴垂直时，设 C ? x1, y1 ? ， D ? x2 , y2 ? ， l2 的方程为 y ? k ( x ? 1) （ k ? 1 ）.? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y ，整理得 ? 2k ? 1? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2则 x1 +x2 ??4k 2 2k 2 ? 2 x x ? ， . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1由已知， x2 ? 0 ，则直线 AD 的方程为 y ? 1 ?y2 ? 1 x ，令 x ? ?1 ，得点 E 的纵坐标 x2yE ?? x2 ? 1? (1 ? k ) . x2 ? y2 ? 1 .把 y2 ? k ? x2 ? 1? 代入得 yE ? x2 x2 1 3 ( x ? 4 ) ,令 x ? ?1 ，得点 G 4 3 x1 ? 3 y1 ?4 1 由已知，x1 ? ? ，则直线 BC 的方程为 y ? ? 3 3的纵坐标 yG ?? x1 ? 1? (k ? 1) . y1 ? x1 ? 1 .把 y1 ? k ? x1 ? 1? 代入得 yG ? 4 3x1 ?4 3( x1 ? ) 3x2 3x1 ? 4yE ? yG ?? x2 ? 1? (1 ? k ) ? ? x1 ? 1? (k ?1)(1 ? k ) ? ?? x2 ? 1? (3x1 ? 4) ? x2 ? x1 ? 1? ? ? x2 ? (3x1 ? 4)x2 ? (3x1 ? 4)??(1 ? k ) ? 2 x1 x 2? 3( x 1 ? x )2? 4?11把 x1 +x2 ??4k 2 2k 2 ? 2 x x ? ，代入到 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 中， 1 2 2k 2 ?1 2k2 ? 1 2k 2 ? 2 ?4k 2 ?3 ? ( )?4?0. 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 .…………14 分2x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 = 2 ?即 yE ? yG ? 0 ，即 EF . 1 ? FG 1 20. （本小题满分 13 分）（Ⅰ） a3 的值可取 27,30,33,36 ..…………3 分（Ⅱ）由 an?1 ? an ? 5 ? n ? 1,2, ???? ，对于任意的 n ，有 an ? 5(n ? 1) ? a1 . 当 n ? a1 ? 4 时， an ? 5(n ? 1) ? a1 ，即 an ? 5(n ?1) ? n ? 4 ，即 an ? 6n ? 1 . 则 an ? 6n 成立. 因为 an 是 n 的倍数，所以当 n ? a1 ?4 时，有 an ? 5n 成立. 若存在 n 使 an ? 5n ，依以上所证，这样的 n 的个数是有限的，设其中最大的为 N . 则 aN ? 5N , aN ?1 ? 5( N ? 1) 成立，因为 aN 是 N 的倍数，故 aN ? 6 N . 由5 ? aN ? aN +1 ? 6N ? 5( N ? 1) ? N ?5 ,得 N ? 10 . 因此当 n ? 11 时， an ? 5n . （Ⅲ）由上问知 a11 ? 55 ，因为 an ? an +1 ? 5 且 an 是 n 的倍数，所以 a10 , a9 , ???, a1 满足下面的不等式：…………8 分a10 ? 60，a9 ? 63，a8 ? 64， a7 ? 63， a6 ? 66，a5 ? 70，a4 ? 72，a3 ? 75，a2 ? 80 ， a1 ? 85 .则 a1 =85 , a2 =80 , a3 =75 , a4 ? 72 , a5 ? 70 , a6 ? 66 , a7 ? 63 , a8 ?64 ,a9 ? 63 , a10 ? 60 ,当 n ? 11 时， an ? 5n 这个数列符合条件.故所求 a1 的最大值为 85. ………13 分12。
2018-2019北京市西城区一模数学理科试题及答案
北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =ð（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4 （B ）5（C ）7 （D ）94．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A）7-（B）-（C ）7，-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为 （A（B ）3（C ）（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图 正(主)视图俯视图2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若1m =-，b =4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，AB（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得 平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求 出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）DABCE F18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W : 2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t（s t ¹），都有0st p =，则称数表A 为完美数表.（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n --10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=，20β= 14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， (3)分得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于 3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC中，由正弦定理sin sina bA B=， (11)分得sinsin14a BAb===. (13)分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，知//AB CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以//AB平面CDE. ………………2分同理//AF平面CDE，又因为AB AF A=，所以平面//ABF平面CDE. ………………3分又因为BF⊂平面ABF，所以//BF平面CDE. ………………4分（Ⅱ）连接BD,因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD AD=，D E AD⊥，所以DE⊥平面ABCD. 则D E D B⊥.又因为D E AD⊥，AD BE⊥，DE BE E=，所以AD⊥平面BDE，则AD BD⊥.故,,DA DB DE两两垂直，所以以,,DA DB DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，………………6分则(0,0,0)D，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C-，(0,0,2)E，(1,0,1)F，所以(0,1,2)BE=-,(1,0,1)EF=-，(0,1,0)=n为平面DEF的一个法向量.设平面BEF的一个法向量为(,,)x y z=m，由0BE⋅=m，0EF⋅=m，得20,0,y zx z-+=⎧⎨-=⎩令1z=，得(1,2,1)=m. ………………8分所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩ (12)分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， (13)分解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. …… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. (2)分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. ……………… 4分（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. (5)分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. …… 8分所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ……………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分 此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分X对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e em -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()e x x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. ……………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分 当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B . 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. …… 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得C ，(1,D ，易得CB 的方程为2)y x =-.则(4,M ,(6,AM =,(3,AD =, 所以2AM AD =，即,,A D M 三点共线. ……………… 7分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 联立方程22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. ……… 9分由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. …………… 10分 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ……………… 11分又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， …………… 12分 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+ 121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=， 所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ……………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如：……………… 3分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……………… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示），则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. ……………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和12222la a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =， 所以12k X X X l ====. (9)分又因为对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=. (11)分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ……………… 13分。
北京理工大学附属中学分校2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析
北京理工大学附属中学分校2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)＝x2－3x－4的零点是()A．(1，－4) B．(4，－1)C．1，－4 D．4，－1参考答案：D2. 设集合，，则A∩B=（）A. [1,3]B. [－3,6]C. [3,9]D. [6,9]参考答案：D【分析】分别解对数不等式，一元二次不等式求出集合A,B，直接进行交集运算.【详解】因为，或，所以.故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及对数不等式、一元二次不等式，属于基础题. 3. 设,则“且”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A4. 若函数的大致图象如下图，其中，为常数，则函数的大致图象是（）参考答案：B5. 设复数，则（）A．4 B．2 C．D．1参考答案：C6. S n是等差数列{a n}的前n项和，若a3+a6+a9=60，则S11=（）A．220 B．110 C．55 D．50参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质可得：a3+a6+a9=60=3a6，解得a6．再利用求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a3+a6+a9=60=3a6，解得a6=20．则S11==11a6=220．故选：A．7. 如果实数x，y满足条件，那么2x-y的最大值为( )(A)2 (B)l(C) -2 (D) -3参考答案：B8. 函数的零点所在的区间是A. B. C. D.参考答案：9. 已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1参考答案：C【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣a n﹣1，化为：==1+，由于数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：C．10. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量夹角为，且，则参考答案：试题分析：对两边平方得，即，解得.考点：向量运算.12. 若向量,,则的最大值为 . 参考答案：因为向量,,所以，所以，所以的最大值为16，因此的最大值为4.13. 定义：. 已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，若，且，则c的最小值为 .参考答案：14. 若,则等于 ;参考答案：15. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．参考答案：60【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．16. 如图在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是线段BC上的两点，且，则的取值范围是___________．参考答案：略17. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为 .参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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高三校际联合考试理科数学本试卷共6页，满分150分。
考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U 为实数集，集合{}(){}2230,ln 1A x x x B x y x =--<==-，则U A C B ⋂为 A ．{}13x x ≤<B ．{}3x x <C ．{}1x x ≤-D ．{}11x x -<<2．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?一其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出(所得结果四舍五入，保留整数) A ．17B ．28C ．30D ．323．已知15sin ,sin cos 6463x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则值为 A ．0B ．14C ．12D ．12-4．若抛物线()220y px p =>上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为A ．24y x =B ．26y x =C ．28y x =D ．210y x =5.已知向量()2,,3,,2a m b m R π⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭，则“()2a a b ⊥+”是“2m =”的 A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知函数()()()()2sin ,3,2,log 6,,,f x x x a f b f c f a b c =+===若则的大小关系是 A ．a <b<cB ．c<b< aC ．b< a <cD ．b<c< a7．如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积等于 A. 12π+B.5123π+ C. 4π+ D.543π+ 8．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λμ和，使得,=BM AB AC λμλμ=++则 A ．2B ．2-C ．12D ．12-9．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“13EAN -”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字(用1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示)组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码，其中a 13是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图(1)是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[m]表示不超过m 的最大整数(例如[]365.7365=．现有一条形码如图(2)所示()3977040119917a ，其中第3个数被污损，那么这个被污损数字a 3是 A ．6 B ．7 C ．8D ．910.设函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>,己知集合()()(){}0,A x f x x f x =为的极值点，()22,162x y B x y ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若存在实数ϕ，使得集合A B ⋂中恰好有5个元素，则ω的取值范围是A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. ⎫⎪⎪⎣⎭C. ⎫⎪⎪⎣⎭D. ⎫⎪⎪⎣⎭11．己知直线0l y m ++=与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支交于M ，N 两点，点M在第一象限，若点Q 满足0OM OQ +=(其中O 为坐标原点)，且30MNQ ∠=，则双曲线C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．y =12．已知(){}(){}0,0P f Q g ααββ====，若存在,P Q αβ∈∈，使得n αβ-<，则称函数()()f x g x 与互为“n 度零点函数”．若()221x f x -=-与()2x g x x ae =-(e 为自然对数的底数)互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为 A ．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦B ．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．己知随机变量ζ服从正态分布()()()2,260.15N P P μσξξ<=>=，若，则()24P ξ<<=______________.14．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为____________．15．在1,27,0x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),m n ，则满足230m n -≥的概率是________．16．在平面四边形1,,2ABCD AB AC BD BC BD BC ==⊥=中，，则AD 的最小值为____________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．(12分)已知{}n a 是等比数列,{}n b 满足()1211222,5,2234nn n b b a b a b a b n =-=++⋅⋅⋅+=+-⋅且．(I)求{}n a 的通项公式和前n 项和最n S ； (II)求{}n b 的通项公式．18．(12分)如图，菱形ABCD 中，3BAD π∠=，其对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形OAEF 为矩形，平面OAEF ⊥平面ABCD ，AB=AE.(I)求证：平面DEF ⊥BDF ；(II)若点H 在线段时上，且BF=3HF ，求直线CH 与平面DEF 所成角的正弦值．19．(12分)《十九大报告》中指出：坚持人与自然和谐共生．建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．下表l 是《环境空气质量指标(AQI)技术规定(试行)》：表1：空气质量指标AQI 分组表(注：表中“m~n ”指包含端点m 和n)表2是从2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的海曲市的AQI 指数x 和海曲市甲景区的AQI 指数y 对应情况及其海曲市的AQI 指数x 另外10天的情况．表2：海曲市与甲景区AQI 指数(I)若海曲市AQI 指数x 与甲景区AQI 指数y 线性相关，根据前20组数据，经计算得20202020211111600,1400,154000,131500,ii i i i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑，求出y 关于x 的回归直线方程；(II)小李在海曲市甲景区开了一家便利店，经小李统计：当景区空气质量为优时，该店平均每天盈利约600元；当景区空气质量为良时，该店平均每天盈利约300元；当景区空气质量为轻度污染及以上时，该店平均每天亏损约180元(将频率看作概率)．①根据2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的甲景区的AQI 指数和海曲市的AQI 指数另外10天的情况，估计小李的便利店在当年3月份的这30天里每天盈利的数学期望； ②求小李在连续三天里便利店的总盈利不低于1500元的概率．附：线性回归方程系数公式()1221,ni ii nii x y nx yb a y bx xn x==-==--∑∑．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，定点()11,0A 和动点1B ，以线段11A B 为直径的圆内切于圆224x y +=． (I)求动点1B 轨迹曲线C 的方程；(II)若直线l ：240x y +-=与曲线C 的一个公共点为T ，与OT(O 为坐标原点)平行的直线l '，与曲线C 交于不同的两点A ，B ，直线l '与直线，交于点P ，试判断是否存在常数λ使2PA PB PT λ⋅=恒成立，若存在求出常数λ的值，若不存在请说明理由．21.（12分）已知,a b 为实数，函数()()()1ln 12bf xg x x x a =+=-+，函数. （I ）令()()()1,0F x f x g x a =++≤当时，试讨论函数()F x 在其定义域内的单调性；（II ）当()()()2a G x f x g x =-=⋅时，令，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x 均存在实数[)()2121,,x G x x ∈+∞≥有成立？若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标.已知曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），过点O 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，且直线l 的倾斜角为3π. （I ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（II ）求11OM ON+的值.23.（10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()()()223,12f x x a x g x x =-++=-+. （I ）解不等式：()g x <3；（II ）若对任意的1x R ∈都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.绝密★启用前试卷类型：A数学参考答案一、选择题：ADCCB DADBA BB1.答案A 解析：.故选A.2.答案D解析：因为甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，乙应付：钱．故选D．3.答案C解析：.故选C4.答案C解析: 因为抛物线上一点到其准线的距离为,所以抛物线故选C.5.答案解析: 由题得，等价于.所以“”是“”的必要非充分条件.故选.6.答案D解析: ，单调递增,又,,即.故选D.7.答案A解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其中上方是一个底面半径为1，高为1的圆锥，中间部分是一个半径为1的半球，下方是一个正四棱柱，且该正四棱柱的底面是边长为2的正方形，高为3，所以圆锥的体积，半球的体积，正四棱柱的体积，所以该几何体的体积.故选A.8.答案D解析:因为点在线段上，所以存在，使得.因为是线段的中点，所以又，所以，，所以. 故选D.9.答案B解析：当时，（舍去）；当时，.故选B10.答案A解析：考查三角函数的周期性及图象、椭圆、不等式相关知识，考查学生数形结合能力以及化归思想.集合表示的最大值和最小值对应的点，且两个相邻的最大值（或最小值）点之间长度为一个周期,的最大值或最小值一定在直线上，又在集合中，当时，得，若存在实数，即可将函数适当平移，依题意得.故选A11.答案B解析:设，，则.∴得，即.∵点满足，∴，∴，∵，∴，∴，即∵双曲线的渐近线方程为,∴双曲线的渐近线方程为.故选B.12.答案B解析：易知函数在上单调递增，且，所以函数只有一个零点2，故，由题意知，即.由题意知,函数在内存在零点，由，得，所以. 记则.所以当时，,函数单调递增；当时，,函数单调递减；所以，而，，，所以实数的取值范围为.故选B.二、填空题：13． 14. 216 15． 16.13．答案.解析：由题意可知，.故答案为14.答案216.解析：把的展开式看成是个因式的乘积形式，展开式中，含项的系数可以按如下步骤得到：第一步：从个因式中任选个因式，这个因式取，有种取法；第二步：从剩余的个因式中任选个因式取，有种取法；第三步：把剩余的个因式中都取，有种取法，根据分步乘法计数原理，得含项的系数是,故答案为216.解析：.画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，15.答案.由，解得，即，且，所以，作出直线，则所以表示区域为，即不等式所表示的区域为，其面积为,所以不等式对应的概率为.故答案为.16.答案.解析：设，则.在中，由余弦定理得,故，由正弦定理得,即，所以.在中，由余弦定理得,又,且，所以，其中，所以当，即时，取最小值，故答案为.三、解答题：17．答案：（Ⅰ）,；（Ⅱ）.解析:（Ⅰ）,,,是等比数列，，的通项公式为，………………………………………3分的前项和. ………………………………………6分（Ⅱ）由及得①时，②①②得，当时，，， . ……………………………………………10分又当时,，的通项公式为.……………………………………………12分18．答案：(I)见详解；(II)(I)证明：为菱形，.四边形为矩形，,，, …………………2分又,.又,平面平面.…………5分(II)平面平面，平面平面=，又，,,.以为原点，,,所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.不妨设,则,，,,,.,,,,.……………………………………………8分设平面的法向量为=，由,即，令得=，由.得直线与平面所成角的正弦值即为. ……12分19．答案（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②．解析：（Ⅰ），，所以，，……………………………………………3分所以关于的回归方程是.……………………………………………5分（Ⅱ）由得由得根据另10天海曲市的指数估计甲景区的指数，即海曲市的指数当在时，甲景区空气质量为优，在时，空气质量为良，以上，空气质量为轻度污染以及以上。