广东省广州市天河中学高考数学一轮复习同角三角函数的基本关系式和诱导公式基础知识检测文
广东专用2024版高考数学总复习：同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
课程标准 有的放矢
必备知识 温故知新
自主评价 牛刀小试
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
1.理解同角三角函数的基本关系式： ， .
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（ 的正弦、余弦、正切）.
【教材梳理】
解：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 .故选D.
√
（2） 已知 ，且 ，则 ( )
A. 或 B. 或 C. D. 或3
√
解：因为 ，所以 .令 ，所以 ，解得 或 .当 时， ,此时 ，不合题意，舍去.当 时， ，此时 ,得 或 , 或 ,所以 或 .故选A.
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 若 ， 为锐角，则 . ( )
×
（2） 若 ，则 恒成立. ( )
×
（3） 成立的条件是 为锐角. ( )
×
（4） 若 ，则 ， . ( )
√
（5） . ( )
√
2.（教材改编题）已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
√
解：由 可得 ,则 ，故 ，而 ，故 .
故选C.
考点二 诱导公式的应用
例4 （1） 【多选题】（教材题改编）在 中，下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
命题角度1 , , 三者知一求二问题
例1 （1） 已知 中， ，则 ( )
A. B. C. D.
解：因为 ，所以 ，则 ，且 ，又 ，解得 .故选B.
√
（2） 若点 在直线 上，则 ( )
A. B. C. D.
2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
【例3】 （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos
论正确的是（
A.
π
θ∈（ ，π）
2
C. tan
3
θ＝－
4
）
B. cos
3
θ＝－
5
D. sin θ－ cos
7
θ＝－
＋2＝
＋2＝
＋2
1
2
2
2
2
+1
si ＋
（2） +1
si2
13
＝ .
5
2
诱导公式的应用
【例4】 （1）已知α为锐角，且 cos
3π
）＝（
4
A.
1
－
2
C. －
3
2
）
1
B.
2
D.
3
2
π
1
（α＋ ）＝－ ，则
4
2
cos （α＋
π
π
3π
解析：由α为锐角得 ＜α＋ ＜ ，所以
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋ cos α， sin α cos α，
sin α－ cos α这三个式子，利用（ sin α±cos α）2＝1±2 sin α cos α，
可以知一求二.
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
5
A.
6
17
B.
18
8
C.
9
2
D.
3
同角三角函数的基本关系与诱导公式+课件-2025届高三数学一轮复习
可求另外两个.
= ± ,
+ −
=
− −
.因此在解题中已知其中一个
1.已知 =
√
A.
−
，则
B.
解析：选A.因为 =
故选A.
=(
)
C.2
= − ，因为 ∈
,
，
所以 > ， < ，
所以 − > ，所以原式= − ，D正确.
− − −+
2.
−− −−
A.−
=(
B.−
又 − = − = − × = ，
所以 − = − .
< ,
+
+
{−，}
2.已知 =
+
∈ ，则的值构成的集合是_________.
2.三角函数的诱导公式
角
+ (
+
−
−
− ��
+
∈ )
正弦 − ⑤_____− ④______
⑥______
③______
⑦______
余弦
⑫______
− ⑨______
±
= ± .
（2） = ≠ + ,
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
高考数学一轮复习同角三角函数的基本关系及诱导公式
________
－sin α
tan α
tan α
________
________
－tan α
________
tan α
________
－tan α
[常用结论]
1．同角三角函数关系式的常用变形
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α；
π
sin α＝tan αcos α α ≠ + kπ，k
2
2
cos α
1
2
cos α＝ 2
＝ 2
.
2
sin α+cos α tan α+1
∈
2α
2α
sin
tan
；sin2α＝ 2
＝ 2
；
2
sin α+cos α tan α+1
2．诱导公式的记忆口诀
π
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数
3
2
α，cos α.
题后师说
本例属于同角三角函数关系中的基础题，关键是掌握“先开方，后
作商”的原则，先求与sin α(或cos α)的平方关系相联系的cos α(或sin
α)，再由公式求tan α.
巩固训练2
3π
(1)[2023·广东惠州模拟]已知tan α＝2，π<α< ，则cos α－sin α＝
3
.
2
8
4
α－sin α的值为
关键能力·题型突破
题型一 诱导公式
π
3
π
例 1(1)[2023·广东深圳高三检测]已知sin (α＋ )＝－ ，则cos (α－ )
高考数学一轮复习专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点讲解含解析
在使用开平方关系 sinα＝± 1－cos2α和 cosα＝± 1－sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负
号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负
号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
高频考点二 sinα cosα与 sinαcosα的关系及应用
【典例 3】（2019·山东高三期末（理））已知
，
，则
（）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】B 【解析】 由题意知，
，①
，即
，
， 为钝角，， ，
，
，②
由①②解得
，
，故选 B.
专题 5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【考纲解读与核心素养】 1. 理解同角三角函数的基本关系. 2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.
3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测： （1）公式的应用.
（2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主． 5.备考重点： （1）掌握诱导公式，注意灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系；
解得： sin
6 3
故选 ：B
2.（2020·山西平城�
大同一中高一月考）已知 tan
3 ，则
3sin cos 5cos sin
（
）
A． 2
B． 4
C． 6
D． 8
【答案】B
【解析】
3sin cos
由已知
5cos sin
3tan 1 5 tan
33 5
高考数学一轮复习考点知识专题讲解27---同角三角函数基本关系式及诱导公式
高考数学一轮复习考点知识专题讲解 同角三角函数基本关系式及诱导公式考点要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式公式一 二三四五 六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α 正弦sin α－sin α－sin αsin α cos α cos α余弦cos α－cos α cos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.(×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．(×) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(×) (4)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.(√)教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝55，则cos α的值为． 答案－255解析∵sin α＝55，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为．答案－2316解析由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.3．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系 例1(1)已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝. 答案0解析∵cos α＝－513<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125.此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋5×125＝0.综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝12，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.答案－53135解析已知tan α＝12，所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝. 答案－125解析由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169， 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125. 教师备选1．(2022·平顶山联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin2α等于()A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35. 2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝23，则sin α－cos α的值为() A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 答案C解析由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝23， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝29，则2sin αcos α＝－79<0，因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以cos α<0，所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，所以sin α－cos α＝43.思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.跟踪训练1(1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ等于()A ．－65B ．－25 C.25 D.65答案C解析方法一因为tan θ＝－2， 所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25. 方法二(弦化切法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案－105解析由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0， 所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 题型二 诱导公式例2(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为()A.223 B ．－223 C.13 D ．－13答案D解析cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 延伸探究本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝. 答案34解析∵θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴θ＋π4为第二象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－35，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝34.(2)tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos(－α－π)sin(－π－α)的值为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析原式＝－tanα·cosα·(－cosα)cos(π＋α)·[－sin(π＋α)]＝tanα·cos2α－cosα·sinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.教师备选1．已知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)等于()A.23B．－23C.32D．－32答案B解析易知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，故tanα＝3 2，则cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α ＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－1tan α＝－23. 2．若sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2等于() A.310 B ．－310 C.34 D ．－34答案A解析易知sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－3cos x ， 所以tan x ＝－3，所以cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝－tan x tan 2x ＋1＝310. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数―――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数．跟踪训练2(1)已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝. 答案0解析因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13， sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝13. 所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0. (2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝. 答案3解析由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝sin (π＋α)＋cos (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3. 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值； (3)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，求f (α)的值． 解(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α＝－cos α.(2)若α＝－31π3， 则f (α)＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos π3＝－12. (3)由cos ⎝⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15， 可得sin α＝－15， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， 所以cos α＝－265， 所以f (α)＝－cos α＝265. 教师备选设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)． (1)化简f (α)；(2)若α＝－23π6，求f (α)的值． 解(1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α＝1tan α. (2)当α＝－23π6时，f (α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝133＝ 3. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是()A.355B.377C.31010D.13答案C解析由已知得⎩⎨⎧ 3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1， 化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)． (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x＝. 答案－24175解析由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， 由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75. ∴sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175. 课时精练1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3等于()A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案C解析cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3＝cos 19π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝cos π3＝12.2．若cos165°＝a ，则tan195°等于()A.1－a 2B.1－a 2a C ．－1－a 2a D ．－a 1－a 2答案C解析若cos165°＝a ，则cos15°＝cos(180°－165°)＝－cos165°＝－a ，sin15°＝1－a 2，所以tan195°＝tan(180°＋15°)＝tan15°＝sin15°cos15°＝－1－a 2a .3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α等于()A ．－513 B ．－1213 C.1213 D.513 答案D解析因为7π10－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝π2，所以7π10－α＝π2－⎝⎛⎭⎪⎫α－π5， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝513. 4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于()A ．2 B.12 C ．－2 D．－12答案A解析由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．在△ABC 中，下列结论不正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin B ＋C 2＝cos A 2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C答案D解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确． tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2，C 正确． cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，给出下列结论： ①π2<α<π； ②sin αcos α＝－1225； ③cos α＝35； ④cos α－sin α＝－75. 其中所有正确结论的序号是()A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①③④答案A解析∵sin α＋cos α＝15， 等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125， 解得sin αcos α＝－1225，故②正确； ∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α<0，故①正确，③错误；cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝4925， 解得cos α－sin α＝－75，故④正确． 7．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.答案44.5解析∵sin1°＝cos89°，sin2°＝cos88°，…，sin89°＝cos1°， ∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝44.5.8．设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2(2π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－32＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝. 答案－512解析∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2， 又cos 17π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π3 ＝cos π3＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512.9．(1)(2022·郑州模拟)已知sin θ＝45，求sin (π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值． 解∵sin θ＝45， ∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925， 则sin (π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ(－sin θ)(－cos θ)cos θ ＝sin 2θcos 2θ＝169. (2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值． 解∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)， ∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－713， 两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169， 即2sin x cos x ＝－120169，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169， 即sin x －cos x ＝1713， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213， ∴cos x －2sin x ＝－2213. 10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．(1)求sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值； (2)若α是第二象限角，求sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)·cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解(1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝－tan α－11＋2tan α. 又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，∴tan α＝－6m 3m＝－2，故sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝－tan α－11＋2tan α＝2－11＋2×(－2)＝－13. (2)∵α是第二象限角，∴m <0，则sin α＝－6m (3m )2＋(－6m )2 ＝－6m 35|m |＝255， cos α＝3m (3m )2＋(－6m )2＝3m 35|m |＝－55， ∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＋255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255 ＝－1＋255.11．已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin (α＋k π)sin α＋cos (α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值可能为()A ．－2或0B ．－1或1C ．2或－2D ．－2或2或0答案C解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2； 当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2. ∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)等于() A.35 B.53 C.45 D.54答案B解析方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35. 原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53. 13．曲线y ＝e x ＋x 2－23x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝. 答案45解析由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －23， 所以f ′(0)＝e 0－23＝13， 所以tan α＝13， 所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝310， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×910－1＝45. 14．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝.答案75解析由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝12， 所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝3×14＋2×121＋14＝75.15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin 12π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫tan 2π7，则() A ．a >b >c B ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a答案B解析根据题意，sin12π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－2π7 ＝－sin2π7， cos 5π7＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π7＝－cos 2π7， 又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π7， b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π7， 又由π4<2π7<π2， 则有0<cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， 又由函数在[0，＋∞)上单调递增，则有c >a >b .16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由已知得sin θ＋cos θ＝3＋12， 所以sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知得sin θcos θ＝m2， 因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122， 解得m ＝32. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.因为θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。
高考数学一轮复习-3-2-同角三角函数基本关系式与诱导公式课件-文
角.
×
•( )
• (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角√ .
•( )
基础诊断 考点突破
课堂总结
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中 的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
(√ ) (4)若 α≠kπ＋π2(k∈Z)，则 cos2α＝1＋t1an2α.
(√ )
所以 cosα－1112π＝－23.
a
基础诊断 考点突破
课堂总结
(2)因为 tan(π＋α)＝tan α＝－12，
所以 tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12.
答案
(1)－23
1 (2)2
基础诊断 考点突破
课堂总结
• [思想方法]
• 1. 同角三角函数基本关系可用于统一函数； 诱导公式主要用于统一角，其主要作用是 进行三角函数的求值、化简和证明，如已 知一个角的某一三角函数值，求这个角的 其它三角函数值时，要特别注意平方关系 的使用.
答案 (1)1 (2) 3
Hale Waihona Puke 基础诊断 考点突破课堂总结
• 规律方法 利用诱导公式化简三角函数的 基本思路和化简要求: (1)基本思路: ①分析
结构特点，选择恰当公式；②利用公式化 成单角三角函数；③整理得最简形式．(2) 化简要求: ①化简过程是恒等变形；②结果
要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构 尽可能简单，能求值的要求出值．
基础诊断 考点突破
课堂总结
解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050° ＝ － sin(3×360°＋ 120°)cos(3×360°＋ 210°) － cos(2×360°＋ 300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝ － sin(180°－ 60°)cos(180°＋ 30°) － cos(360°－ 60°)·sin(360°－ 30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝ 23× 23＋12×12＝1.
高三数学一轮复习 第3章第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 文 (广东专用)
易错辨析之六 忽视三角函数符号的判断致误 (2011·重庆高考)已知 sin α＝12＋cos α，且 α∈(0，π2)，求sicnoαs－2απ4
的值． 【错解】 由 sin α＝12＋cos α，得 sin α－cos α＝12，
故 sin x－cos x＝－75.
(2)sin12－x＋ta2nsxin2x＝2sin
xcos x＋sin
1－csoins
x x
x
＝2sin
xcos xcos x＋sin cos x－sin x
x＝－22457×15＝－12745.,
5
本例中若将条件改为“已知 α 是三角形中的角，且 sin α＋
D．－15
【解析】 sin(3π－α)＝－2sin(2π＋α)
⇒sin α＝－2cos α⇒tan α＝－2，
sin αcos α＝sisni2nαα＋cocsosα2α＝tanta2nα＋α 1＝－25.
【答案】 A
2．(2012·中山模拟)已知 A 为△ABC 的内角，且 sin 2A＝－34，则
D．±1123
【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－153，
∴cos α＝153，
又 α 是第四象限角，
∴sin α＜0，则 sin α＝－ 1－cos2α＝－1123.
【答案】 A
2．sin
4 3π·cos
56π·tan(－43π)的值是(
)
A．－3 4 3
33 B. 4
【思路点拨】 (1)利用商数关系与平方关系；(2)由条件可求cos
α，进而求sin α与tan α.
同角三角函数的基本关系与诱导公式 课件——2025届高三数学一轮复习
5
π
( x － )的最大值为(
6
A
)
1
5
sin
π
6
( x ＋ )，所以 f ( x )＝ sin
3
5
(x＋
(2)[北京高考]若函数 f ( x )＝ sin ( x ＋φ)＋ cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值
为
π
(答案不唯一)
2
.
[解析] 易知当 y ＝ sin ( x ＋φ)， y ＝ cos x 同时取得最大值1时，函数 f ( x )＝ sin ( x ＋
−cossin
2
·tan α＝
·tan2α＝－tan2α.解方程5 x
sincos
2－
3
5
3
5
7 x －6＝0，得 x 1＝－ ， x 2＝2.又α是第三象限角，∴ sin α＝－ ，∴ cos α＝
4
－ ，∴tan
5
3
9
2
α＝ .故原式＝－tan α＝－ .
4
16
命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
sin2 ＋cos2 ＋sincos
θ＝
＝
＝
1
sin2 ＋cos2
π
(2)[2023全国卷乙]若θ∈(0， )，tan
2
[解析] 由
－
5
.
5
sin
1
tan＝
＝ ，
cos
2
sin2 ＋cos 2 = 1，
1
θ＝ ，则
2
π
2
sin θ－ cos θ＝ －
且θ∈(0， )，解得
π
6
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同角三角函数的基本关系式与诱导公式
基础热身
1．cos(－2040°)＝( )
A.12 B ．－12 C.32 D ．－32
2．已知cos(α－π)＝－513
，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( ) A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.512
3.1－π＋π＋等于( )
A ．sin2－cos2
B ．cos2－sin2
C ．±(sin2－cos2)
D ．sin2＋cos2
4．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α
＝( ) A.53 B ．－134 C.135 D.134
能力提升
5．已知sin θ－cos θ＝13
，则sin2θ的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－89 D.89
6.⎝
⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x
C ．cos x D.1tan x
7．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θ
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－θ－π－θ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D.23
8．已知－π2<θ<π2
，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )
A ．－3
B ．3或13
C ．－13
D ．－3或－13
9．已知α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.
10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1
的值是________．
11．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ＝________.
12．(13分)已知f (α)＝
π－α
π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋32π
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α
. (1)化简f (α)；
(2)若α为第三象限角，且cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，求f (α)的值；
(3)若α＝－313
π，求f (α)的值．
难点突破
13．(6分)(1)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，
则1＋sin 2x cos x －sin2x ＝( )
A.19
5
B．－
19
5
C.
11
3
D．－
11
3
(6分)(2)在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C等于( ) A．30° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
答案解析
【基础热身】
1．B [解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝
cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12
. 2．A [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513
，而α为第四象限角， ∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213
. 3．A [解析] 1－2sin(π＋2)cos(π＋2)＝sin 22＋cos 22－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2，
又∵sin2－cos2>0，故选A.
4．D [解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝32tan α＋12tan α＝3＋14
＝134
，选择D. 【能力提升】
5．D [解析] 将sin θ－cos θ＝13两边平方得：1－2sin θcos θ＝19
，sin2θ＝2sin θcos θ＝89
. 6．D [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x
.
7．B [解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θ
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ－－cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2
＝－2. 8．C [解析] 因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，平方可得sin θcos θ＝a 2－12
<0，因为－π2<θ<π2，故－π2
<θ<0，且cos θ>－sin θ， ∴|cos θ|>|sin θ|，∴|tan θ|<1，
－1<tan θ<0，满足题意的值为－13
. 9．－55 [解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15
.又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x
＝－1， ∴cos x sin x －1＝12
. 11.13 [解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝13.
12．[解答] (1)f (α)＝sin αcos α－sin αsin α·sin α＝－cos α.
(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.
又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－26
5，
∴f (α)＝265.
(3)∵－31
3π＝－6×2π＋5
3π，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31
3π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31
3π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5
3π
＝－cos 53π＝－cos π3＝－1
2.
【难点突破】
13．(1)B (2)A [解析] (1)f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )，
∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，
∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2
x ＋11－2tan x ＝－19
5.故选B.
(2)两式平方再相加得sin(A ＋B )＝1
2，∴A ＋B ＝30°或150°，
又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>1
2，
∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°，故选A.。