内蒙古2018年高考理科数学试题及答案(Word版)
(完整word版)2018年高考理科数学试题及答案-全国卷1,推荐文档
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D 22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r = A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为I II ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A 33B 23C 32D 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年内蒙古呼和浩特市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣6x≤0}，B＝{x∈Z|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（）A．6B．5C．4D．32．（5分）已知，则复数z的虚部为（）A．﹣i B．2C．﹣2i D．﹣23．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递减的函数是（）A．y＝﹣x3B．y＝2|x|C．y＝x﹣2D．y＝log3（﹣x）4．（5分）已知，则sin2θ＝（）A．B．C．D．5．（5分）设直线l1：x﹣2y+1＝0与直线l2：mx+y+3＝0的交点为A；P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为PQ的中点，若，则m的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣36．（5分）下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入m＝210，n＝125，则输出的n为（）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为（）A．B．6C．D．128．（5分）如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全．已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（）A．3球以下（含3球）的人数B．4球以下（含4球）的人数C．5球以下（含5球）的人数D．6球以下（含6球）的人数9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B的部分图象如图所示，将函数f（x）图象向右平移1个单位得到函数g（x）的图象，则g（﹣4）+g（15）＝（）10．（5分）已知球O半径为，设S、A、B、C是球面上四个点，其中，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知关于x的不等式x1nx﹣ax+a＜0存在唯一的整数解，则实数a 的取值范围是（）A．（2ln2，]B．（ln2，ln3]C．[ln2，+∞）D．（﹣∞，2ln3]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）cos xdx＝．14．（5分）二项式（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为．（用数字作答）15．（5分）在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是．16．（5分）某煤气站对外输送煤气时，用1～5号5个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（i）若开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号；（ii）若开启1号或3号，则关闭5号；（iii）禁止同时关闭4号和5号，现要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}和递增的等比数列{b n}满足：a1＝1，b1＝3且，b3＝2a5+3a2，b2＝a4+2（1）分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设S n表示数列{a n}的前n项和，若对任意的n∈N*，kb n≥S n恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）．（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染．”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：（i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率．（ii）学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X，求X的分布列和方差D（X）．19．（12分）一个多面体如图，ABCD是边长为a的正方形，AB＝FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB．（1）若，设BD与AC的交点为O，求证：OE⊥平面ACF；（2）求二面E﹣AF﹣C角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF1B的面积为，求以F1为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+2x．（1）讨论函数g（x）＝f（x）+aln（x+1）的单调性；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣e x，记x0为函数h（x）极大值点，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．（1）求曲线C被直线l截得的弦长；（2）与直线l垂直的直线MN与曲线C相切于点M，求点M的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣1|+|3x+7|．（1）若不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；（2）设a＞0，b＞0，且a+b＝3，求证：．2018年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣6x≤0}，B＝{x∈Z|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{x∈Z|2x＜33}＝{x∈Z|x≤5}，则集合A∩B＝{0，1，2，3，4，5}，其元素个数为，6，故选：A．2．（5分）已知，则复数z的虚部为（）A．﹣i B．2C．﹣2i D．﹣2【解答】解：∵＝，∴复数z的虚部为﹣2．故选：D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递减的函数是（）A．y＝﹣x3B．y＝2|x|C．y＝x﹣2D．y＝log3（﹣x）【解答】解：A．函数是奇函数，不满足条件．B．函数的偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2﹣x＝（）x是减函数，满足条件．C．函数是偶函数，当x＜0时，y＝x﹣2＝是增函数，不满足条件．D．函数的定义域为（﹣∞，0），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．4．（5分）已知，则sin2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinθ＝，∴θ是第一或第二象限角，∵sinθ﹣cosθ＞1，∴cosθ＜0，∴θ是第二象限角，∴cosθ＝﹣＝﹣，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣．故选：D．5．（5分）设直线l1：x﹣2y+1＝0与直线l2：mx+y+3＝0的交点为A；P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为PQ的中点，若，则m的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；直线l1：x﹣2y+1＝0与直线l2：mx+y+3＝0的交点为A；M为PQ的中点，若，则P A⊥QA，即l1⊥l2，∴1×m+（﹣2）×1＝0，解得m＝2．故选：A．6．（5分）下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入m＝210，n＝125，则输出的n为（）A．2B．3C．7D．5【解答】解：第1次执行循环体，r＝75，不满足退出循环的条件，m＝125，n ＝85；第2次执行循环体，r＝40，不满足退出循环的条件，m＝85，n＝40；第3次执行循环体，r＝5，不满足退出循环的条件，m＝40，n＝5；第4次执行循环体，r＝0，满足退出循环的条件；故输出的n值为5．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为（）A．B．6C．D．12【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥与三棱柱的组合体．作出直观图如图所示：由俯视图可知DE ⊥DF ，∴S 梯形ACFD ＝S 梯形ABED ＝×（2+4）×2＝6，S 矩形BCFE ＝2＝4，S △ABC ＝×（2）2＝2，S △DEF ＝＝2， 故选：B ．8．（5分）如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全．已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（ ）A ．3球以下（含3球）的人数B ．4球以下（含4球）的人数C ．5球以下（含5球）的人数D ．6球以下（含6球）的人数【解答】解：根据投篮成绩的条形统计图，结合中位数是5知，3球以下（含3球）的人数为2+3+5＝10，∴A确定；4球以下（含4球）的人数10+7＝17，∴B确定；5球以下（含5球）的人数无法确定，∴C不确定；6球以下（含6球）的人数为35﹣1＝34，∴D确定．故选：C．9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B的部分图象如图所示，将函数f（x）图象向右平移1个单位得到函数g（x）的图象，则g（﹣4）+g（15）＝（）A．3B．C．2D．【解答】解：由图象知函数的最大值是1.5，最小值为0.5，即A+B＝1.5，﹣A+B＝0.5，得A＝0.5，B＝1，函数的周期T＝4﹣0＝4，即T＝＝4，得ω＝，即f（x）＝0.5sin（x+φ）+1，由图象知f（1）＝0.5sin（+φ）+1＝1.5，得0.5sin（+φ）＝0.5，即sin（+φ）＝1，得+φ＝+2kπ，k∈Z，得φ＝2kπ，f（x）＝0.5sin（x+2kπ）+1＝0.5sin（x）+1，将函数f（x）图象向右平移1个单位得到函数g（x）的图象，即g（x）＝f（x﹣1），则则g（﹣4）+g（15）＝f（﹣5）+f（14）＝0.5sin[（×（﹣5））+1]+0.5sin（×14）+1＝0.5sin（﹣））+1+0.5sin（7π）+1＝2﹣0.5＝，故选：B．10．（5分）已知球O半径为，设S、A、B、C是球面上四个点，其中，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：当S在经过AC与球心的连线上时，由于：AC＝＝8，球心到AC的中点的连线，d＝，所以：锥体的最大高度为：h＝3，所以：V＝＝．故选：A．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|，∴|BF1|﹣|BF2|＝2a，即|BF1|﹣|AB|＝|AF1|＝2a，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，∵△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，解得c2＝7a2，则b＝＝＝a，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，即．故选：D．12．（5分）已知关于x的不等式x1nx﹣ax+a＜0存在唯一的整数解，则实数a 的取值范围是（）A．（2ln2，]B．（ln2，ln3]C．[ln2，+∞）D．（﹣∞，2ln3]【解答】解：关于x的不等式x1nx﹣ax+a＜0存在唯一的整数解，可知x＞0，当a＝ln3时，不等式化简x1nx﹣xln3+ln3＜0，当x＞3时，x（lnx﹣ln3）+ln3＞0恒成立，x＝1，不等式为0﹣ln3+ln3＜0不成立，x＝2，不等式21n2﹣2ln3+ln3＜0，即ln4﹣ln3＜0，不等式不成立，x＝3，不等式ln3＜0不成立，所以a＝ln3不正确，排除B，C，D．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）cos xdx＝1．【解答】解：cos xdx＝sin x|＝1，故答案为：114．（5分）二项式（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为70．（用数字作答）【解答】解：（2+x）（1﹣2x）5＝（2+x）（1﹣•2x+•4x2+…），∴二项式（2+x）（1﹣2x）5展开式中，含x2项为﹣10x2+2×40x2＝70x2，∴它的系数为70．故答案为：70．15．（5分）在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是．【解答】解：△ABC中，AB＝，即AC＝1；则＝；∴由得：；∴；整理得：2t2﹣3t≤0；解得；∴实数t的取值范围是．故答案为：．16．（5分）某煤气站对外输送煤气时，用1～5号5个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（i）若开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号；（ii）若开启1号或3号，则关闭5号；（iii）禁止同时关闭4号和5号，现要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是3号和4号．【解答】解：现要开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号，从而要关闭5号，进而要开启4号，故要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是3号和4号．故答案为：3号和4号．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}和递增的等比数列{b n}满足：a1＝1，b1＝3且，b3＝2a5+3a2，b2＝a4+2（1）分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设S n表示数列{a n}的前n项和，若对任意的n∈N*，kb n≥S n恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{a n}的公比为q，由，则3q2﹣11q+6＝0，解得（舍去）或3，所以；代入方程组得d＝2，因此a n＝2n﹣1，综上，．（2）由题意，S n＝n（a1+a n）＝n2，由∀n∈N*，kb n≥S n得，设，，当n＝1，c2﹣c1＞0；当n≥2，c n+1﹣c n＜0；由数列{c n}的单调可得，，所以．18．（12分）为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）．（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染．”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：（i ）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率．（ii ）学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X ，求X 的分布列和方差D （X ）． 【解答】解：（1）由数据可知（2）由题意，“出现重度噪音污染”的概率为，“出现轻度噪音污染”的概率为，设事件A 为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”， 则．（3）由题意X ～B （3，），则．故分布列为：D（X）＝np（1﹣p）＝0.27．19．（12分）一个多面体如图，ABCD是边长为a的正方形，AB＝FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB．（1）若，设BD与AC的交点为O，求证：OE⊥平面ACF；（2）求二面E﹣AF﹣C角的正弦值．【解答】证明：（1）由题意可知：ED⊥面ABCD，从而Rt△EDA≌Rt△EDC，∴EA＝EC，又O为AC中点，∴DE⊥AC，在△EOF中，，∴OE2+OF2＝EF2，∴OE⊥OF又AC∩OF＝O，∴OE⊥面ACF．解：（2）ED⊥面ABCD，且DA⊥DC，如图以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标系，从而E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），F（2，2，2），O（1，1，0）由（1）可知＝（1，1，﹣1）是面AFC的一个法向量，设＝（x，y，z）为面AEF的一个法向量，由，令x＝1得＝（1，﹣2，2），设θ为二面角E﹣AF﹣C的平面角，则|cosθ|＝|cos＜＞|＝＝，∴．∴二面E﹣AF﹣C角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF1B的面积为，求以F1为圆心且与直线l相切的圆的方程．【解答】解：（1）由题意，y2＝4x的焦点坐标为（1，0），故设椭圆的方程为且a2﹣b2＝c2＝1，又点在椭圆上，于是，椭圆C的方程：+＝1．（2）设直线l的方程为x＝my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由△＝144m2+144＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1，y2就是上述方程的两个根，所以点F1到直线l的距离为所以解得m2＝2，设欲求圆的半径为，所以，此圆方程为．21．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+2x．（1）讨论函数g（x）＝f（x）+aln（x+1）的单调性；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣e x，记x0为函数h（x）极大值点，求证：．【解答】解：（1）g（x）＝x2+2x+aln（x+1）（x＞﹣1），，当a≥0时，g'（x）在（﹣1，+∞）上恒正；所以，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，当a＜0时，由g'（x）＝0得，所以当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．综上所述，当a≥0时，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；当a＜0时，当时，g（x）单调递减；当时，g（x）单调递增．（2）证明：h（x）＝x2+2x﹣e x（x∈R）则h'（x）＝2x+2﹣e xh''（x）＝2﹣e x，令h''（x）＝0⇒x＝ln2，当x∈（﹣∞，ln2）时，h''（x）＞0，h'（x）为增函数；当x∈（ln2，+∞）时，h''（x）＜0，h'（x）为减函数；所以，h'（x）在x＝ln2处取得极大值2ln2，h'（x）一定有2个零点，分别是h（x）的极大值点和极小值点．设x0是函数h（x）的一个极大值点，则，所以，，又，所以，，此时，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．（1）求曲线C被直线l截得的弦长；（2）与直线l垂直的直线MN与曲线C相切于点M，求点M的直角坐标．【解答】解：（1）将直线（t为参数）化为直角坐标方程为，经过坐标原点，所以其极坐标方程为，将代入，解得ρ＝2，即曲线C被直线l截得的弦长为2．（2）如图所示，因为直线ON的倾斜角为，所以，又因为CM∥ON，所以，所以得直线OM的倾斜角为，所以其极坐标方程为，将代入，得，设点M的直角坐标为（x，y），则．∴点M的直角坐标为（，3）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣1|+|3x+7|．（1）若不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；（2）设a＞0，b＞0，且a+b＝3，求证：．【解答】解：（1）f（x）＝3|x﹣1|+|3x+7|，f（x）＝|3x﹣3|+|3x+7|≥|（3x﹣3）﹣（3x+7）|＝10当且仅当（3x﹣3）（3x+7）≤0，即时等号成立，所以a2﹣3a≤10，解得﹣2≤a≤5．（2）证明：因为，所以，又因为，所以．。
2018年届呼及浩特市高中高三：段考数学理科
2018 届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题时，考生务必然自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150 分，答题时间120分钟 .2.回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共 60分）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的）1. 若复数 z 满足2zi z 2i （ i 为虚数单位），则复数z的模zA. 2B.2C. 3D. 32.已知命题 p ：实数的平方是非负数，则以下结论正确的选项是A. 命题p 是真命题B. 命题p是特称命题C. 命题p是全称命题D. 命题p既不是全称命题也不是特称命题3.在等差数列a n中，已知 a3 5 ， a77 ，则 S10的值为A. 50B.20C.70D.254.曲线 y x2与直线y x 所围成的封闭图像的面积是1B.1C.15A.32D.665.若 f x x22ax 与 g x a在区间 1,2上都是减函数，则 a 的取值范围是x1A.,0U0,1B.1,0U 0,1C. 0,D. 0,16. 已知 A, B,C 是平面上不共线的三点，O 是 △ABC 的重心，动点 P 满足：uuur 1 1 uuur1 uuuruuur，则 P 必然为 △ABC 的OP3 OA2 OB2OC2A. 重心B. AB 边中线的三均分点（非重心）C. AB 边中线的中点D. AB 边的中点7. 设函数 f xx1,x 0，则满足 f xf x1 的 x 的取值范围是2x , x 0 12A.1B. ,0C.11,,D.,244x 08. 已知 x, y 满足条件y 0 ，则目标函数 z xy 从最小值变化到 1 时，所有满足条y x 2件的点 x, y 构成的平面地域的面积为A.7B.3C. 3D.34429.设 △ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，且 a cos B b cos A 3 c ，则5 tan A B 的最大值为3B.3 C.3 D.3A.42210. 将函数 fxsin 2x 的图像向右平移（ 0）个单位后获取函数 g x 的图像 .2若对满足 f x 1g x 22 的 x 1, x 2 ，有 x 1 x 2 min，则3A.B.C.D. 54612311. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为奇异数. 详尽数列为： 1,1,2,3,5,8... ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和 . 已知数列 a n 为“斐波那契”数列，S n 为数列 a n 的前 n 项的和，若 a 2017 m ，则 S 2015A. 2mB. 2m1C. m1D. m1212. 已知函数 f xx 33x 2mx 2m ，若存在唯一的正整数 x 0 ，使得 f x 0 0 ，则 m的取值范围是A. 0,1B.1,1C.2,1D. 2 ,333第Ⅱ卷（非选择题共 90分）本卷包含必考题和选考题两部分，第13 题～ 21 题为必考题，每个试题考生都必定作答；第22 题～第 23 题为选考题，考生依照要求作答 .二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20分 . 把答案直接填在题中横线上. ）ur2x r ur r13. 已知向量 m1,3 ，向量 n 1, 1 ，若 m n ，则实数 x 的值为14.已知会集 A x0 x 2 ，会集 B x 1x1，会集C x mx 1 0，若 AUB C ，则实数m的取值范围是.15.函数 f x的定义域 R 内可导，若 f x f2x ，且当 x,1 时，x 1 f ' x0，设 a f 0 , b1, c f 3 ，则a,b,c的大小关系为f216.如图，现有一个AOB为圆心角、湖岸OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB .现欲在弧AB 上取不同样于A, B的点 C ，用渔网沿着弧AC （弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上）、半径 OC 和线段 CD （其中 CD / /OA），B B在扇形湖面内各处连个养殖地域——养殖区D 域 I 和养殖地域 II. 若 OA 1 cm ，AOB，养殖地域 I3养殖地域 IIOθAOAOC.求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径 OC 和线段 CD 长度之和）的最大值为.三、解答题（本大题共 6 个小题，满分 70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）C A17. （ 12 分）已知函数f x1x3x2e x .2（ I ）谈论函数 f x的单调性；（ II ）求 g x 在1,1 上的最大值和最小值 ..18.（12分）已知函数 f x10 3 sin xcos x10cos 2 x .（Ⅰ）求函数 f x 的最小正周期和单调递加区间；（Ⅱ）将函数 f x 的图像向右平移个单位长度，获取函数g x 的图像，求使得6g x0 的 x 的取值范围 .19. （ 12 分）设数列a n各项都为正数，且a2 4a1 , a n 1 a n22a n（ n N*）.（Ⅰ）证明：数列log 31a n为等比数列；（Ⅱ）令 b n log31a2n1，数列 b n的前 n 项的和为 T n，求使 T n345 建马上 n 的最小值 .20.（12分）如图，已知AD 是△ABC 内角BAC 的角均分线.AAB DB；（Ⅰ）用正弦定理证明：AC DC（Ⅱ）若BAC 120o,AB 2,AC 1，求 AD的长.B CD21. （ 12 分）已知函数 f x ln x1a x2a, a 1 .2（Ⅰ）当 a0时，求函数 f x 在 1, f 1处的切线方程；（Ⅱ）令 g x f x ax1，谈论函数g x的零点的个数；（Ш）若 a 2 ，正实数x1, x2满足 f x1 f x2x1 x2 0 ，证明： x1 x2 5 1 ．2请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号 .22.（ 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆 C 是以点C 2,11为圆心， 2为半径的圆 . 6（Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）求圆 C 被直线 l ：7R 所截得的弦长 . 1223.（ 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知 a,b 都是实数， a 0 ，f x x 1x 2 .（Ⅰ）求使得 f x 2 的x 的取值会集M；（Ⅱ）求证：当x e R M时，a b a b a f x 对满足条件的所有a,b 都成立.。
2018年内蒙古包头市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足（1+i）z＝i﹣1，则|z|＝（）A．4B．1C．2D．32．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，M＝{x|x2≤x，x∈U}，N＝{x|x3﹣3x2+2x＝0}，则M∩N＝（）A．{0，﹣1，﹣2}B．{0，2}C．{﹣1，1}D．{0，1} 3．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积的升数为（）A．B．C．D．4．（5分）设x，y∈R且，则z＝x+2y的最小值等于（）A．2B．3C．5D．95．（5分）已知，则|a0|+|a1|+…+|a5|＝（）A．1B．243C．32D．2116．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）若双曲线C：的离心率为e，一条渐近线的倾斜角为θ，则|e cosθ|的值（）A．大于1B．等于1C．小于1D．不能确定，与e，θ的具体值有关8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的n＝（）A．5B．6C．7D．89．（5分）现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母．现在规定：当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2．你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）A．翻且只翻（1）（4）B．翻且只翻（2）（4）C．翻且只翻（1）（3）D．翻且只翻（2）（3）10．（5分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，G是EF 的中点，沿DE，EF，FD将正方形折起，使A，B，C重合于点P，构成四面体，则在四面体P﹣DEF中，给出下列结论：①PD⊥平面PEF；②PD⊥EF；③DG⊥平面PEF；④DF⊥PE；⑤平面PDE⊥平面PDF．其中正确结论的序号是（）A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．②④⑤11．（5分）已知函数f（x）＝2x3﹣4x+2（e x﹣e﹣x），若f（5a﹣2）+f（3a2）≤0，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB ＝8，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣25C．﹣9D．﹣16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是．14．（5分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），，为y＝f （x）图象的对称轴，为f（x）的零点，且f（x）的最小正周期大于2π，则φ＝．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝6，a n+1＝2S n+3，n∈N*，则S4＝．16．（5分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于M，N两点．若|MF|+|NF|＝4|OF|，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求的值；（2）若，b＝2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥H﹣ABCD中，HA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD ＝AC＝6，HA＝BC＝8，E为线段AD上一点，AE＝2ED，F为HC的中点．（1）证明：EF∥平面HAB；（2）求二面角E﹣HF﹣A的正弦值．19．（12分）某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种．从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这500株小麦生长指标值的样本平均数和样本方差s 2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值Z 服从正态分布N （μ，62），其中μ近似为样本平均数，62近似为样本方差s 2．①利用该正态分布，求P（187.8＜Z ＜212.2）；②若从试验田中抽取100株小麦，记X 表示这100株小麦中生长指标值位于区间（187.8，212.2）的小麦株数，利用①的结果，求EX ．附：．若Z ～N （μ，62），则P （μ﹣6＜Z ＜μ+6）＝0.6826，P （μ﹣26＜Z ＜μ+26）＝0.9544．20．（12分）已知F 1，F 2是椭圆C ：的左右两个焦点，|F 1F 2|＝4，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形ABF2F1的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣lnx，（a∈R，lnx≤x﹣1）．（1）若时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22题和第23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2．（1）若a＝﹣2时，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，g（x）＝x2﹣x﹣a．（1）当a＝5时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[2，3]，求a的取值范围．2018年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足（1+i）z＝i﹣1，则|z|＝（）A．4B．1C．2D．3【解答】解：由（1+i）z＝i﹣1，得，则|z|＝1．故选：B．2．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，M＝{x|x2≤x，x∈U}，N＝{x|x3﹣3x2+2x＝0}，则M∩N＝（）A．{0，﹣1，﹣2}B．{0，2}C．{﹣1，1}D．{0，1}【解答】解：∵全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，M＝{x|x2≤x，x∈U}＝{x|0≤x1，x∈U}＝{0，1}，N＝{x|x3﹣3x2+2x＝0}＝{0，1，2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：D．3．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积的升数为（）A．B．C．D．【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4＝3，a7+a8+a9＝4，即4a1+6d＝3①，3a1+21d＝4②，②×4﹣①×3得：66d＝7，解得d＝，把d＝代入①得：a1＝，故选：A．4．（5分）设x，y∈R且，则z＝x+2y的最小值等于（）A．2B．3C．5D．9【解答】解：约束条件，对应的平面区域如下图示：当直线Z＝x+2y过点（1，1）时，z＝x+2y取最小值3，故选：B．5．（5分）已知，则|a0|+|a1|+…+|a5|＝（）A．1B．243C．32D．211【解答】解：，则|a0|+|a1|+…+|a5|＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝﹣（﹣a0+a1﹣a2+a3﹣a4+a5）＝﹣（﹣2﹣1）5＝243．故选：B．6．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱柱和三棱锥的组合体，其中三棱柱和三棱锥的底面均为直角边为2的等腰直角三角形，棱柱的高和棱锥的高均为2，∴几何体的体积V＝+＝．故选：C．7．（5分）若双曲线C：的离心率为e，一条渐近线的倾斜角为θ，则|e cosθ|的值（）A．大于1B．等于1C．小于1D．不能确定，与e，θ的具体值有关【解答】解：双曲线C：的离心率为e，一条渐近线的倾斜角为θ，可得cosθ＝，则|e cosθ|＝||＝1．故选：B．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的n＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：根据程序框图：S＝1，n＝0，k＝，执行循环时，S＝1﹣，k＝，n＝1，S＝，t＝，由于：，执行下一次循环，…，当n＝6时，S＜t，直接输出n，故n＝6，故选：B．9．（5分）现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母．现在规定：当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2．你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）A．翻且只翻（1）（4）B．翻且只翻（2）（4）C．翻且只翻（1）（3）D．翻且只翻（2）（3）【解答】解：由于当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看（1）是否正确，这样（3）就不用翻看了，7后面不能是R，要查（4）．故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看（1），（4）两张牌就够了．故选：A．10．（5分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，G是EF 的中点，沿DE，EF，FD将正方形折起，使A，B，C重合于点P，构成四面体，则在四面体P﹣DEF中，给出下列结论：①PD⊥平面PEF；②PD⊥EF；③DG⊥平面PEF；④DF⊥PE；⑤平面PDE⊥平面PDF．其中正确结论的序号是（）A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．②④⑤【解答】解：如图所示；∵PD⊥PE，PF⊥PD，PE∩PF＝P，∴PD⊥平面PEF，①正确，又EF⊂平面PEF，∴PD⊥EF，②正确；若DG⊥平面PEF，由PD⊥平面PEF，∴PD∥DG，这与PD、DG相交矛盾，∴DG⊥平面PEF不成立，③错误；同理可得：PE⊥平面PDF，∴PE⊥DF，④正确；又PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PDF，⑤正确；综上，正确的命题序号是①②④⑤．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝2x3﹣4x+2（e x﹣e﹣x），若f（5a﹣2）+f（3a2）≤0，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝﹣2x3+4x﹣2（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），显然f（x）是奇函数，且f（x）在R递增，若f（5a﹣2）+f（3a2）≤0，则f（3a2）≤f（﹣5a+2），故3a2≤﹣5a+2，即3a2+5a﹣2≤0，解得：﹣2≤a≤，故选：D．12．（5分）已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB ＝8，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣25C．﹣9D．﹣16【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则A（0，0），B（8，0），∴C（0，6），设点H（x，0），则x∈[0，8]，∴＝（8﹣x，0），＝（﹣x，6），•＝﹣x（8﹣x）+0×6＝x2﹣8x，x＝4时取得最小值为16﹣32＝﹣16．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是．【解答】解：∵随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，∴基本事件总数n＝＝6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：p＝1﹣＝．故答案为：．14．（5分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），，为y＝f （x）图象的对称轴，为f（x）的零点，且f（x）的最小正周期大于2π，则φ＝．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ），且为y＝f（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，由f（x）的最小正周期大于2π，得＞，∴﹣＝＝，解得T＝3π，∴＝3π，解得ω＝；∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由x＝是f（x）的一条对称轴，∴×+φ＝+kπ，k∈Z；又|φ|＜，当k＝0时得φ＝．故答案为：φ＝．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝6，a n+1＝2S n+3，n∈N*，则S4＝66．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a n+1＝2S n+3①，+3②，则：当n≥2时，a n＝2S n﹣1①﹣②得：a n+1﹣a n＝2a n，所以：，由于：S2＝6，则：a1+a2＝6，解得：a1＝1，所以：a2＝5，q＝3所以：，当n＝1时不符合通项公式，则：．则：＝66．故答案为：6616．（5分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于M，N两点．若|MF|+|NF|＝4|OF|，则该双曲线的离心率为．【解答】解：把x2＝2py（p＞0）代入双曲线，可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，∴y A+y B＝，∵|AF|+|BF|＝4|OF|，∴y A+y B+2×＝4×，∴＝p，∴＝．即∴该双曲线的离心率为：e＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求的值；（2）若，b＝2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵＝＝，∴cos A sin B﹣2sin B cos C＝2cos B sin C﹣sin A cos B，∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin B cos C+2cos B sin C，∴sin（A+B）＝2sin（B+C），∴sin C＝2sin A，∴＝2；（2）由（1）可得c＝2a，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴4＝a2+4a2﹣a2，解得a＝1，则c＝2，∵cos B＝，∴sin B＝，∴S＝ac sin B＝×1×2×＝．18．（12分）如图，四棱锥H﹣ABCD中，HA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD ＝AC＝6，HA＝BC＝8，E为线段AD上一点，AE＝2ED，F为HC的中点．（1）证明：EF∥平面HAB；（2）求二面角E﹣HF﹣A的正弦值．【解答】（1）证明：由已知得，取BH的中点G，连接AG，GF，由F为HC的中点知，，又AD∥BC，故，所以四边形AEFG为平行四边形，于是EF∥AG，AG⊂平面HAB，EF⊄平面HAB，所以EF∥平面HAB．（2）解：取BC的中点T，连接AT．由AB＝AC得AT⊥BC，从而AT⊥AD，且＝．以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz．由题意知，H（0，0，8），E（0，4，0），，，，，．设为平面HEF的法向量，则，即，可取．设为平面HAF的法向量，则，即，可取．于是＝＝，．所以二面角E﹣HF﹣A的正弦值为．19．（12分）某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种．从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这500株小麦生长指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值Z服从正态分布N（μ，62），其中μ近似为样本平均数，62近似为样本方差s2．①利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；②若从试验田中抽取100株小麦，记X表示这100株小麦中生长指标值位于区间（187.8，212.2）的小麦株数，利用①的结果，求EX．附：．若Z～N（μ，62），则P（μ﹣6＜Z＜μ+6）＝0.6826，P（μ﹣26＜Z＜μ+26）＝0.9544．【解答】解：（1）由频数分布表，画出频率分布直方图，如下：（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200，s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．（3）①由（1）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6826．②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26．20．（12分）已知F1，F2是椭圆C：的左右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形ABF2F1的面积．【解答】解：（1）由题意知2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2．所以b2＝a2﹣c2＝5，椭圆C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），又F1（﹣2，0），F2（2，0），所以，，由，得x1+2＝2（x2﹣2），y1＝2y2．延长AB交椭圆于H，因为，所以AF1∥BF2，且|AF1|＝2|BF2|．所以线段BF2为△AF1H的中位线，即F2为线段F1H的中点，所以H（6，0）．设直线AB的方程为x＝my+6，代入椭圆方程得，5（my+6）2+9y2＝45，即（5m2+9）y2+60my+135＝0．所以，，消去y2，得，依题意取．＝＝4y1﹣2y2＝8y2﹣2y2＝6y2＝．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣lnx，（a∈R，lnx≤x﹣1）．（1）若时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当时，，∴＝．令f′（x）＝0，得x＝2，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x＝2时，f（x）有最小值；证明：（2）由f（x）＝ax2﹣x﹣lnx，得＝，∴当a≤0时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．∵当﹣1≤a≤0时，f（1）＝a﹣1＜0，，∴当﹣1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．综上，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点；解：（3）由（2）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．∵f（x）有两个零点，∴a＞0．由f（x）＝ax2﹣x﹣lnx，得．令g（x）＝2ax2﹣x﹣1，∵g（0）＝﹣1＜0，2a＞0，∴g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设这个零点为x0，当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0；∴函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．∵，∴＝＝＝，可得2lnx0+x0﹣1＞0，又∵h（x）＝2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）＝0，∴x0＞1，，由，得＝＝，∴0＜2a＜2，即0＜a＜1．以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，＝，g（1）＝2（a﹣1）＜0，∴．∵＝，且f（x0）＜0，∴函数f（x）在上有一个零点．又∵（lnx≤x﹣1），且f（x0）＜0，f（x）在上有一个零点．∴当0＜a＜1时，函数f（x）在内有两个零点．综上，实数a的取值范围是（0，1）．（二）选考题：共10分．请考生在第22题和第23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2．（1）若a＝﹣2时，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2．∴曲线C的普通方程为x2+y2＝4，∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴当a＝﹣2时，直线l的普通方程为2y+x＝0，由，解得，或，从而C与l的交点坐标为，．（2）直线l的普通方程为x+2y﹣2﹣a＝0，设C的参数方程为（θ为参数），则C上的点（2cosθ，2sinθ）到l的距离为＝．当a≥﹣2时，d的最大值为＝，由题设得，所以，当a＜﹣2时，d的最大值为，由题设得，所以，综上，或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，g（x）＝x2﹣x﹣a．（1）当a＝5时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[2，3]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，不等式f（x）≥g（x）等价于|x+1|﹣|x﹣2|≥x2﹣x ﹣5，①当x＜﹣1时，①式化为x2﹣x﹣2≤0，无解；当﹣1≤x≤2时，①式化为x2﹣3x﹣4≤0，得﹣1≤x≤2；当x＞2时，①式化为x2﹣x﹣8≤0，得．所以f（x）≥g（x）的解集为．（2）当x∈[2，3]时，f（x）＝3，所以f（x）≥g（x）的解集包含[2，3]，等价于x∈[2，3]时g（x）≤3．又g（x）＝x2﹣x﹣a在[2，3]上的最大值为g（3）＝6﹣a．所以g（3）≤3，即6﹣a≤3，得a≥3．所以a的取值范围为[3，+∞）．。
2018年内蒙古呼伦贝尔市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合P＝{x|x2﹣2x≥3}，Q＝{x|2＜x＜4}，则P∩Q＝（）A．[3，4）B．（2，3]C．（﹣1，2）D．（﹣1，3] 2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．i B．1C．﹣i D．﹣13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（2，t），且•＝0，则||＝（）A．B．2C．2D．54．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值是（）A．4B．3C．2D．15．（5分）如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin （ωx+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π），那么中午12时温度的近似值（精确到1°C）是（）A．25°C B．26°C C．27°C D．28°C 6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．12B．18C．24D．367．（5分）设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（）A．B．﹣C．3D．﹣38．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为6105，2146，则输出的m＝（）A．0B．31C．33D．379．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝xe x，给出下列命题：①当x＞0时，f（x）＝﹣xe﹣x；②函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；③对∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．②10．（5分）已知A（1，4），将绕坐标原点O逆时针旋转至，则点B 的纵坐标为（）A．B．C．D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，P A＝，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5πB．C．20πD．4π12．（5分）设函数f（x）定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则函数g（x）＝|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（1+x）7（1+y）4的展开式中x2y2的系数是．14．（5分）某次考试中，小丽、小东和小欣三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下，小丽说：小欣没有考满分；小东说：是我考的；小欣说：小丽说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a ＝1，b＝，则c＝．16．（5分）已知点P是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|+|＝2c，△PF1F2的面积为ac，则双曲线的离心率是．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设S n＝a1+a4+a7+…+a3n﹣2，求使S n＞0的n的最大值．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．（1）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC；（2）若＝3，求二面角B﹣B1C﹣M的正弦值．19．（12分）考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为P i＝，其中P i为第i题的难度，R i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设P i′为第i题的实测难度，P i为第i题的预估难度．定义统计量S＝[P1′﹣P1）2+（P2′﹣P2）2+…+（P n′﹣P n）2]，考试评价规定：若S＜0.05，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4；（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B是椭圆上、下两个顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y＝﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点，求∠OEG的大小．21．（12分）已知函数f（x）＝λlnx﹣e﹣x（λ∈R）．（1）若函数f（x）是单调函数，求λ的取值范围；（2）求证：当0＜x1＜x2时，都有e﹣e＞1﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点M．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若P为曲线C上任意一点，曲线l和曲线C相交于A、B两点，求△P AB 面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（2）若+≥|2x﹣1|﹣|x+2|恒成立，求x的取值范围．2018年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合P＝{x|x2﹣2x≥3}，Q＝{x|2＜x＜4}，则P∩Q＝（）A．[3，4）B．（2，3]C．（﹣1，2）D．（﹣1，3]【解答】解：集合P＝{x|x2﹣2x≥3}＝{x|x≤﹣1或x≥3}，Q＝{x|2＜x＜4}，则P∩Q＝{x|3≤x＜4}＝[3，4）．故选：A．2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．i B．1C．﹣i D．﹣1【解答】解：z＝＝＝，故复数的虚部为1，故选：B．3．（5分）已知向量＝（1，2），＝（2，t），且•＝0，则||＝（）A．B．2C．2D．5【解答】解：由向量＝（1，2），＝（2，t），且•＝0，∴2+2t＝0．解得t＝﹣1．则||＝．故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A（0，1）时，直线的截距最小，此时z最小，此时z＝0×2+1＝1，故选：D．5．（5分）如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin （ωx+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π），那么中午12时温度的近似值（精确到1°C）是（）A．25°C B．26°C C．27°C D．28°C【解答】解：由函数y＝A sin（ωx+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的图象，可得b＝20°，A＝＝10°，•＝14﹣6，求得ω＝．再根据五点法作图可得•6+φ＝，φ＝，故y＝10°sin（x+）+20°．令x＝12，求得y＝5+20≈27°，故选：C．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．12B．18C．24D．36【解答】解：四棱锥的底面ABCD为边长为3的正方形，高SA＝4，故四棱锥的体积V＝＝12，故选：A．7．（5分）设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（）A．B．﹣C．3D．﹣3【解答】解：抛物线y2＝2x的焦点F（，0 ），当AB的斜率不存在时，可得A（，1），B（，﹣1），∴＝（，1）•（，﹣1）＝﹣1＝﹣，另解：设过焦点的直线为x＝my+，代入抛物线的方程可得y2﹣2my﹣1＝0，可得y1y2＝﹣1，＝x1x2+y1y2＝+y1y2＝﹣1＝﹣，故选：B．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为6105，2146，则输出的m＝（）A．0B．31C．33D．37【解答】解：第1次执行循环体，r＝1813，m＝2146，n＝1813，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体，r＝333，m＝1813，n＝333，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体，r＝148，m＝333，n＝148，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体，r＝37，m＝148，n＝37，不满足退出循环的条件；第5次执行循环体，r＝0，m＝37，n＝0，满足退出循环的条件；故输出的m值为37．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝xe x，给出下列命题：①当x＞0时，f（x）＝﹣xe﹣x；②函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；③对∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．②【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝﹣xe﹣x，则f（x）＝xe﹣x．∴f（x）＝．当x＞0时，f（x）＝xe﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣xe﹣x＝e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．作出函数f（x）的图象如图：由图可知，函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；对∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤．∴正确的命题是②③．故选：C．10．（5分）已知A（1，4），将绕坐标原点O逆时针旋转至，则点B 的纵坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设B的坐标为（x，y），A（1，4），则|OA|＝7，设∠XOA＝θ，则cosθ＝，sinθ＝，将绕坐标原点O逆时针旋转至，则|OB|＝|OA|＝7，则有sin（θ+）＝，即sinθcos+cosθsin＝×+×＝＝，解可得：y＝；故选：B．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，P A＝，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5πB．C．20πD．4π【解答】解：P A⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面P AC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB＝，P A＝∴PB＝，可得外接球半径R＝PB＝∴外接球的表面积S＝4πR2＝5π故选：A．12．（5分）设函数f（x）定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则函数g（x）＝|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），即f（x）的周期为2．作出y＝f（x）与y＝|cos（πx）|的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在[﹣，]上有4个交点，不妨从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，根据图象对称性可知x1+x2＝0，x3+x4＝2．∴g（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（1+x）7（1+y）4的展开式中x2y2的系数是126．【解答】解：∵（1+x）7的展开式中含x2的项为＝21x2，（1+y）4的展开式中含y2的项为＝6y2，∴（1+x）7（1+y）4的展开式中x2y2的系数是21×6＝126．故答案为：126．14．（5分）某次考试中，小丽、小东和小欣三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下，小丽说：小欣没有考满分；小东说：是我考的；小欣说：小丽说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是小丽．【解答】解：假设得满分的同学是小丽，则小丽和小欣说的是真话，小东说的是假话，符合题意；假设得满分的是小东，则小丽和小欣说的是假话，小东说的是真话，不符合题意；假设得满分的是小欣，则小丽、小欣、小东说的都是假话，不符合题意．故得满分的同学是小丽．故答案为：小丽．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a ＝1，b＝，则c＝2．【解答】解：∵△ABC中，B＝2A，a＝1，b＝，∴由正弦定理＝得：＝＝，整理得：cos A＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得1＝3+c2﹣3c，解得：c＝1或c＝2，当c＝1时，a＝c＝1，b＝，此时A＝C＝30°，B＝120°，不满足B＝2A，舍去；当c＝2时，a＝1，b＝，此时A＝30°，B＝60°，C＝90°，满足题意，则c＝2．故答案为：216．（5分）已知点P是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|+|＝2c，△PF1F2的面积为ac，则双曲线的离心率是．【解答】解：设||＝m，||＝n，则m＞n，设∠F1PF2＝θ，∴m﹣n＝2a，由|+|＝2c，∴||2+||2+2||•||•cosθ＝4c2，即（m﹣n）2+2mn+2mn cosθ＝4c2，∴4c2+2mn（1+cosθ）＝4c2，即mn（1+cosθ）＝2b2，由余弦定理可得4c2＝m2+n2﹣2mn cosθ＝（m﹣n）2+2mn﹣2mn cosθ＝4a2+2mn﹣2mn cosθ，∴mn（1﹣cosθ）＝2b2，∴1+cosθ＝1﹣cosθ，解得θ＝90°，∴mn＝2b2，∵△PF1F2的面积为ac，∴mn sinθ＝ac，∴b2＝ac，即c2﹣a2﹣ac＝0，即e2﹣e﹣1＝0，解得e＝，e＝（舍去）故答案为：三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设S n＝a1+a4+a7+…+a3n﹣2，求使S n＞0的n的最大值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．∴＝a1•a13，∴（25+10d）2＝25（25+12d），化为：d2+2d＝0，d≠0，解得d＝﹣2．a n＝25﹣2（n﹣1）＝27﹣2n．＝27﹣2（3n﹣2）＝31﹣6n．（2）a3n﹣2∴S n＝a1+a4+a7+…+a3n﹣2＝＝n（28﹣3n），令S n＞0，解得＝9+．∴要求的n的最大值为9．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．（1）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC；（2）若＝3，求二面角B﹣B1C﹣M的正弦值．【解答】（1）证明：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C共线时，A1M+MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1的中点，连接C1M在△C1MC中，C1M＝CM＝，C1C＝2，∴＝，得∠CMC1＝90°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM，又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，∴CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC．（2）解：设所求二面角为⊥α，以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系0﹣xyz，则点C（1，1，0），点B1（1，0，2），点M（0，1，）设平面B1CM的一个法向量为＝（x，y，z），则⇒，不妨设z＝3，则＝（2，6，3）．又平面BB1C的一个法向量＝（1，0，0）．|cos|＝＝．∴sinα＝．19．（12分）考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为P i＝，其中P i为第i题的难度，R i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设P i′为第i题的实测难度，P i为第i题的预估难度．定义统计量S＝[P1′﹣P1）2+（P2′﹣P2）2+…+（P n′﹣P n）2]，考试评价规定：若S＜0.05，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理．【解答】解：（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为＝0.2；所以，估计240人中有240×0.2＝48人实测答对第5题；……………（4分）（2）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此这2名学生中至少有1人答对第5题的概率为p＝1﹣＝；…………………（8分）（3）计算S＝×[（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.7﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]＝0.012；因为S＝0.012＜0.05，所以，该次测试的难度预估是合理的．…………………（12分）20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4；（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B是椭圆上、下两个顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y＝﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点，求∠OEG的大小．【解答】解：（1）∵e＝＝，2ab＝4，a2＝b2+c2，∴a＝2，b＝1，c＝，∴椭圆C的方程为+y2＝1；（2）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E（，y0）．由点M在椭圆W上，则+y02＝1．即x02＝4﹣4y02，又A（0，1），则直线AE的方程为y﹣1＝x，令y＝﹣1，得C（，﹣1）又B（0，﹣1），G为线段BC的中点，则G（，﹣1）∴＝（，y0），＝（﹣，y0﹣1）．∴•＝++y02+y0＝1﹣+y0＝1﹣y0﹣1+y0＝0，∴⊥．则∠OEG＝90°．21．（12分）已知函数f（x）＝λlnx﹣e﹣x（λ∈R）．（1）若函数f（x）是单调函数，求λ的取值范围；（2）求证：当0＜x1＜x2时，都有e﹣e＞1﹣．【解答】解：（1）f′（x）＝+e﹣x（x＞0），若λ≥0，f′（x）≥e﹣x＞0，f（x）递增，符合题意，若λ＜0，①设f′（x）≤0恒成立，则λ≤﹣xe﹣x，（x＞0）恒成立，令g（x）＝﹣xe﹣x（x＞0），故g′（x）＝﹣e﹣x+（﹣x）（﹣e﹣x）＝（x﹣1）e﹣x，故0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减，x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（x）≥g（1）＝﹣，∴λ≤﹣，此时，f（x）递减，②设f′（x）≥0恒成立，则λ≥﹣xe﹣x（x＞0）恒成立，∵g（x）无最大值，不符，综上，λ≥0或λ≤﹣，（2）由（1）可得：λ＝﹣时，f（x）＝﹣﹣e﹣x递减，∴f（x1）＞f（x2），即﹣﹣＞﹣，﹣＞﹣，﹣＞lnx1﹣lnx2＝﹣ln，故只需证明﹣ln＞1﹣对0＜x1＜x2恒成立即可，令t＝＞1，∴﹣lnt＞1﹣t，即证t﹣lnt﹣1＞0对t＞1恒成立，令h（t）＝t﹣lnt﹣1，h′（t）＝1﹣＞0，∴h（t）递增，∴h（t）＞h（1）＝0，∴t﹣lnt﹣1＞0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点M．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若P为曲线C上任意一点，曲线l和曲线C相交于A、B两点，求△P AB 面积的最大值．【解答】解：（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为，∴x＝3cos＝0，y＝3sin＝3，∴点M的直角坐标为（0，3），∴直线方程为y＝﹣x+3，…．（2分）由，得ρ2＝2ρsinθ+2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2…（5分）（2）圆心（1，1）到直线y＝﹣x+3的距离，∴圆上的点到直线L的距离最大值为，而弦∴△P AB面积的最大值为．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（2）若+≥|2x﹣1|﹣|x+2|恒成立，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b＝1，∴ab≤（）2＝，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，由ab≤m恒成立，故m≥；（2）∵a，b∈（0，+∞），a+b＝1，∴+＝（+）（a+b）＝5++≥5+2＝9，故若+≥|2x﹣1|﹣|x+2|恒成立，则|2x﹣1|﹣|x+2|≤9，当x≤﹣2时，不等式化为1﹣2x+x+2≤9，解得﹣6≤x≤﹣2，当﹣2＜x ＜，不等式化为1﹣2x﹣x﹣2≤9，解得﹣2＜x ＜，当x ≥时，不等式化为2x﹣1﹣x﹣2≤9，解得≤x≤12，综上所述x的取值范围为[﹣6，12]．第21页（共21页）。
2018年高考理科数学试卷及答案(清晰word版)
理科数学试题 第1页（共9页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =RA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C ．{|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半理科数学试题 第2页（共9页）4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5aA ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+理科数学试题 第3页（共9页）11．已知双曲线2213x C y ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．33B ．23C ．32D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年内蒙古数学理科高考试题含答案(B4 可直接打印 也可缩印成A4纸)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试 (内蒙古卷)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i12i +=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．32y x =± 6．在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42 B ．30 C ．29 D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．2210．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50学校：班级：姓名：考号：密封线开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i =+11T T i =++结束是否12．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率 为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年内蒙古包头市高考数学一模试卷理科含解析
2018年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0}2．设复数z满足=i，则z的虚部为（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．13．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4=a2+a3+9a1，a5=32，则a1=（）A．﹣B．C．2 D．﹣25．设函数f（x）=，若f（a）＞1，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．32 C．D．7．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，则点C与坐标原点的距离为（）A． B．5 C．13 D．258．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y，k分别为1，2，3，则输出的N=（）A．B．C．D．9．已知M是球O的直径CD上的一点，CM=MD，CD⊥平面α，M为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）A．3πB．9πC． D．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．B．C．D．11．如图，已知AB是圆O的直径，AB=2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，记∠POB=x，将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f（x），则y=f（x）取最大值时x 的值为（）A． B． C．D．π12．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在[0，2]上为增函数，若方程f （x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的值为（）A．8 B．﹣8 C．0 D．﹣4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设，是夹角为60°的两个单位向量，若=+λ与=2﹣3垂直，则λ=．14．若，则目标函数z=x+2y的取值范围是．15．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为5，则a=．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=4S n﹣1，则a10=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18．随机观测生产某种们零件的某工厂20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 2 0.10（30，35] 4 0.20（35，40] 5 0.25（40，45]m f m（45，50]n f n（1）确定样本频率分布表中m，n，f m和f n的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．19．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N．（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线x+y﹣=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（，）．（1）求C的方程；（2）在C上是否存在点P，使S△PAB=S？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=alnx+x 2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC，CD．若tan∠CED=，⊙O的半径为3．（1）证明：BC2=BD?BE（2）求OA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：ρ=2cosθ，直线l：（t是参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+a|，a＞0（1）若a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积小于6，求a的取值范围．2018年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}，故选：B．2．设复数z满足=i，则z的虚部为（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi，a，b∈R，根据复数的运算法则，得到，解得即可．【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，∵=i，∴1﹣z=i+zi，∴1﹣a﹣bi=i+ai﹣b，∴，∴a=0，b=﹣1，故选：C．3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】分层抽样方法．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．。
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内蒙古2018年高考理科数学试题及答案（Word 版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y =6．在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB =A ．BCD ．7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不 同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，， 则z x y =+的最大值为__________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若S A B △的面积为__________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5y t =+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．C21．（12分）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．参考答案一、选择题 1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C 10.A 11.C 12.D二、填空题13.2y x = 14.915.12-16.三、解答题 17. (12分)解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-. 由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--. 所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为−16. 18.(12分)解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ30.413.519226.1y=-+⨯=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ9917.59256.5y=+⨯=(亿元). （2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5yt =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=. 20.(12分)解：（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==. 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥. 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C P AP -=u u u r取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r.设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r.设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n .由0,0AP AM ⋅=⋅=u u u r u u u r n n得20(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取,)a a =--n ，所以cos ,OB =uu u rn .由已知得|cos ,|OB =uu u r n .解得4a =-（舍去），43a =.所以4()3=-n .又(0,2,PC =-u u u r，所以cos ,PC =uu u r n 所以PC 与平面PAM所成角的正弦值为4. 21．（12分）【解析】（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x h x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1eah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即2e4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x >时，2e xx >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->．故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e4a =．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2c o s s i n αα+=，于是直线l 的斜率t a n 2k α==-．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．。