向量的概念及其线性运算
向量的概念及其线性运算 This manuscript was revised on November 28, 2020
平面向量的概念及其线性运算
数学:安送杰
一、教学目标:
1、知识与技能:掌握平面向量的相关概念,线性运算的规律与几何意义,理解并熟练运用共线向量进行解题,体会数形结合的数学思想方法;
2、过程与方法:在复习回忆之前学习的知识点的同时,通过习题巩固知识,加强理解,掌握运用知识的技巧与方法;
3、情感、态度与价值观:通过对一些实际问题的解答,体会知识与生活的紧密联系,学习与生活是密不可分的。
二、重点与难点:
三、教学设计:
1、知识点回顾:
(1)、向量的概念及表示;
(2)、和向量相关的一些概念: ①、向量的模; ②、零向量; ③、单位向量;
④、平行向量(共线向量); ⑤、相等向量和相反向量; ⑥、一个规定; (3)、向量的线性运算: ①、向量的加法运算; ②、向量的减法运算; ③、向量的数乘运算; 2、复习知识,练习巩固: (1)、向量的概念及表示:
①、定义:既有大小,又有方向的量叫向量。
◎与数量相比,数量只有大小,可比大小;向量既有大小又有方向,无法比较大小。
②、向量的表示方法:
A 、几何表示法:用有向线段表示向量,三个要素:起点、方向和长度;
B 、字母表示法:手写使用→AB 或 →
→→c b a ,,,印刷使用黑体小写字母。 (2)、和向量相关的一些概念:
①、向量的模:向量→AB 的模(或长度),就是向量→
AB 的大小,记作:
→
AB ,向量的模可以比较大小;
②、零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作: 0,其方向是任意的;
③、单位向量:长度等于1的向量叫做单位向量;
④、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也称为共线向量;
⑤、相等向量和相反向量:长度相等方向相同的向量叫做相等向量,长度相同方向相反的向量叫做相反向量;
⑥、一个规定:零向量与任一向量平行;
习题一:
1、给出下列六个命题:
①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②若两向量|a|=|b|,则a=b;
③若向量AB=DC,则A、B、C、D构成平行四边形;
④在平行四边形ABCD中,一定有向量AB=DC;
⑤若向量m=n,n=p,则m=p;
⑥若向量a//b,b//c,则a//c;
其中错误的命题为:(①②③⑥)
解析:对①而言,起点相同,终点相同的两个向量肯定相等,但反之不一定;
对②而言,向量是有方向的,模相等,方向不一定一样;
对③而言,向量相等可能会共线,共线则不能构成平行;
对⑥而言,若向量b为零向量,则不成立;
2、设a为单位向量,判断下列命题为假命题的个数(3)
①若b为平面内的某个向量,则b=|b|·a;
②若b与a平行,则b=|b|·a;
③若b与a平行且|b|=1,则b=a。
注意:向量的方向,两向量平行可同向也可异向。
(3)、向量的线性运算:
1、向量的加法:
①、定义:求两个向量的和的运算叫做向量的加法;
②、运算法则:三角形法则与平行四边形法则;
③、运算律:交换律与结合律
(1)、a+b=b+a;
(2)、a+b+c=a+(b+c)
2、向量的减法:
①、相反向量:我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做向量a的相反向量,记作-a。即有:
a=-(-a),a+(-a)=(-a)+a=0
②、向量的减法:我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
③、几何意义:已知向量a与向量b,则a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
3、向量的数乘运算:
①、定义:我们规定实数λ与向量a
的积仍是向量,这种运算称为向量的
数乘运算,记作λa,它的长度与方向规定为: 长度:|λa|=|λ||a|;
方向:当λ>0时,向量λa 的方向与的方向相同;当λ<0时,向量λa 的方向与向量a 的方向相反;当λ=0时,λa=0。 ②、向量数乘的运算律:结合律与分配律;
(1)λ(μ a)=(λμ)a (2)(λ+μ)a =λa +μ a (3)λ(a +b)=λa +λb
③、向量共线:向量a 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa 。 ④向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 习题二:
1、在△ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 的中点,BE 与CF 相交于G 点,设向量AB=a ,向量AC=b ,试使用a 、b 表示向量AG 。
解法一:AG →=AB →+BG →=AB →+λBE →=AB →+λ2(BA →+BC →)=?
????1-λ2AB →+λ2(AC
→-AB →)=(1-λ)AB →+λ2AC →=(1-λ)a +λ2
b .
又AG →=AC →+CG →=AC →+mCF →=AC →+m 2(CA →+CB →)
=(1-m)AC
→+m 2AB →=m 2
a +(1-m)
b ,
∴ ?
????1-λ=m
2,
1-m =λ
2
,
解得λ=m =2
3,
∴ AG
→=13a +13
b . 解法二:点G 为重心,所以AG=1
3
(AB+AC );
2. 如图,在四边形ABCD 中,AC 和BD 相交于点O ,设AD →=a ,AB →=b ,若AB →=2DC →,则AO →=________.(用向量a 和b 表示)
答案:23a +1
3
b
解析:因为AC →=AD →+DC →=AD →+12AB →=a +12b ,
又AB →=2DC →,所以AO →=23AC →=23?
????a +12b =23a +13b . 3、已知点P 在△ABC 所在的平面内,若2PA →+3PB →+4PC →=3AB →,则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________.
答案:4
5
解析:由2PA →+3PB →+4PC →=3AB →,得2PA →+4PC →=3AB →+3BP →,∴ 2PA →+4PC
→=3AP →,即4PC →=5AP →.
∴ |AP →||PC →|=45,S △PAB S △PBC
=|AP →||PC →|=4
5
.
4. 已知点G 是△ABO 的重心,M 是AB 边的中点. (1)求GA →+GB →+GO
→; (2)若PQ 过△ABO 的重心G ,且OA →=a ,OB →=b ,OP →=m a ,OQ →=nb ,求证:1m +1
n
=3.
(1) 解:因为GA →+GB →=2GM →,又2GM →=-GO →,所以GA →+GB →+GO →=-GO →+GO →=0.
(2) 证明:解法一:
因为OM →=12(a +b ),且G 是△ABO 的重心,所以OG →=23OM →=13(a +b ).由
P 、G 、Q 三点共线,得PG →∥GQ →,所以有且只有一个实数λ,使PG →=λGQ →.又
PG →=OG →-OP →=13(a +b )-m a =? ????13-m a +13b ,GQ →=OQ →-OG →=n b -13(a +b )=-13a +? ????n -13b ,所以? ????13-m a +1
3b =λ??????-13
a +? ????n -13
b .
又a 、b 不共线,所以????
?13-m =-13
λ,1
3=λ? ????n -13,
消去λ,整理得3mn =m +n ,故
1m +1
n
=3.
解法二:因为P、G、Q三点共线,所以OG=tOP+(1-t)OQ,再与G为重心结合即可得到方程组,求解化简即可。