毕达哥拉斯悖论与数学史上的第一次数学危机
数学悖论与三次数学危机综述
第一次数学危机的影响
毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击， “数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑 战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混 乱。 第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学 科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存 在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出 了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类— —实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。 再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才 是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体 系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生 的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展 ,使几何学在此后两千 年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的 一次巨大革命。
最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化策梅罗认为适当的公理体系可以限制集合的概念从逻辑上保证集合的纯粹性他首次提出了集合论公理系统后经费兰克尔冯诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系zfc系统在zfc系统中集合和属于是两个不加定义的原始概念另外还有十条公理
数学悖论与三次数学危机
学科教学（数学） 康健
毕达哥拉斯悖论
毕达哥拉斯学派对几何进行了研究，让我们看看 他们是如何比较两条线段的长度的。 在比较两条线段 a 和 b （设 b>a ）的长度时，如果 出现b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接使用 … a 作为两者的共同度量单位。更一般的情况下的 a 正整数倍不等于b。这时，可以去找一条小线段d ， 使a可以分成d的某整数（比如n倍），同时使b可 以分成d的另一整数倍（比如m倍），那么毕达哥 拉斯学派就把小线段 d 作为 a 与 b 的共同度量单位， 并说线段 a 与 b 是可公约或可公度的（ d 就是两者 的共同度量单位）
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
历史上的三次数学危机
2
S t
。
∴
S 1 gt0 g (t ) t 2
（ *）
10
当 t 变成无穷小时，右端的 变成无穷小，因而上式右端就可以认为 是 gt ，这就是物体在 0 它是两个无穷小之比。
在美国学者麦克· 哈特所著的《影响人类历史进程的100名人排行榜》，牛顿名列 第2位，仅次于穆罕默德。书中指出：在牛顿诞生后的数百年里，人们的生活方 式发现了翻天覆地的变化，而这些变化大都是基于牛顿的理论和发现。在过去 500年里，随着现代科学的兴起，大多数人的日常生活发生了革命性的变化。同 1500年前的人相比，我们穿着不同，饮食不同，工作不同，更与他们不同的是 我们还有大量的闲暇时间。科学发现不仅带来技术上和经济上的革命，它还完全 改变了政治、宗教思想、艺术和哲学。
3. 危机的解决 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数 系的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事情 了。
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的
十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学
派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学
派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿
29
① 在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但
那是初步的、粗糙的。
② 达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论 去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能 提供这样的理论。 ③ 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格
他在1688年发表的著作《自然哲学的数学原理》里，对万有引力和 三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世 界的科学观点，并成为现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星 运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运 动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝 疑虑，并推动了科学革命。
历史上的三次数学危机+课件
第一次数学危机的解决
戴德金分割定义无理数
有理数集ℚ的一个分割为集合, ，满足：
• ∪=ℚ
• ∩=∅
• 对任意 ∈ , ∈ ，有 <
则对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
戴德金（1831-1916）
德国数学家
① 集合中有最大数， 中无最小数
其中, 均为整数
例： 与
= ×
=×
万物皆数！
例： 与 与
= ×
= ×
= ×
第一次数学危机的产生
1
=?
1
希帕索斯，毕达哥拉斯的学生
第一次数学危机的产生
希帕索斯发现： 与 无法公度！
本质原因： 是无理数
② 集合中无最大数， 中有最小数
③ 集合中无最大数， 中无最小数
④ 集合中有最大数， 中有最小数
第一次数学危机的解决
对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
①集合中有最大数， 中无最小数
②集合中无最大数， 中有最小数
③集合中无最大数， 中无最小数
④集合中有最大数， 中有最小数
情况④不可能出现（为什么）
情况③可能出现，此时就称该切割确定了一个无理数
第一次数学危机的解决
总结：
• 有理数之间存在“空隙”，那些空隙就对应了无理数
• 实数集=有理数集∪无理数集
• 可以继续由戴德金分割证明，实数间不存在空隙，从
数学史之危机与公理化体系
下面的讨论都是在阿基米德公理 成立的假设下展开的. 主要讨论实数的连续性 (也称为完备性).
现代认为, 数轴上的点与实数集合是一一对应的. 这是 因为 实数集合不但有稠密性, 而且有连续性. 实数的连续 性形象地说, 就是实数的全体把数轴填满了. 若将实数域拆分成两个均非空的集合 A 和B, 满足条件: (1) 每一个实数必落在集合A 和B 中的一个集合中, 且仅一个 集合中; (2) 集合A 中的每一个数 a 小于集合B 中的每一个数 b. 我们将这样的拆分叫做分划, 记为 A B . 集合A 称为分划的下 组, 集合B 称为上组.
(2) 数学抽象的提出. 他们认为, 从实物的数和形抽象到 数学上的数和形, 是思维的抽象, 从而把数学推向了科学. (3) 毕达哥拉斯定理. 这就是中国称之为的勾股定理.在 西方文献中一直以毕达哥拉斯命名. Δ 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说 “万物皆数”学说的要点. (1) 数是世界的法则, 一切都可以归结为整数比. 毕达哥 拉斯学派 所说的数是指自然数, 即正整数, 同时还包含 它们的比, 即正分数
一件事是, 1874年德国数学家魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass, 1815-1897)构造了一个点点连续但点点不 可导的函数 另一件事是, 德国数学家黎曼 (B. Riemann, 18261866)发现, 柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的. 黎曼证明了被积函数不连续,其定积分也可能存在. 他还 造出一个函数, 当自变量取无理数时它是连续的, 当自变 量取有理数时它是不连续的. 魏尔斯特拉斯的贡献: 一方面是建立了关于实数系的理 论, 另一方面是创造了精确的“ε-δ” 语言来定义极限. 设函数 f(x) 在 x0 的附近有定义, 如果有一个确定的实 数 A, 对 0, 0, 使当 0 x x0 时, 恒有
数学史上的三次数学危机的成因分析
数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。
这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。
第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。
在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。
他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。
然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。
按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。
但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。
这次危机的成因可以归结为以下几点。
首先，当时的数学观念和认知存在局限性。
人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。
其次，数学的推理和证明体系还不够完善。
在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。
第一次数学危机的影响是深远的。
它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。
数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。
第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。
在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。
微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。
然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。
例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。
无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。
造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。
一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。
科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。
另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。
对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。
数学悖论和三次数学危机概述
❖ 数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展
史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐 的，而常常出现悖论。悖论是指在某一一定的理论体系的基础 上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者 是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的 等价式。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为 它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉 及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀 疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的 产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的 动摇。数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个 典型的数学悖论引起的。本讲回顾了历史上发生的三次数学危 机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。
第一次数学危机的影响
❖ 毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生 了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇 了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了 整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱， 历史上称之为第一次数学危机。 ❖ 第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动 了数学及其相关学科的发展。
第一次数学危机的影响
❖ 首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数 的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究 了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有 理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数 理论，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学 危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠 的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公 理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在 这时候应运而生的。第一次数学危机极大地促进了几何学 的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数 学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。
高中数学拓展知识-第一次数学危机
第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的作为演绎系统的纯粹数学，来源于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派。
毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派把数描绘成沙滩上的点子或小石子，研究三角形数（图1-1），正方形数（图1-2）等。
把代表数的点排成几何图形后，整数的一些性质就会显现出来。
比如，相继两个三角形数之和是正方形数（图1-3）。
211（+1）+（+1)(+2）=（+1）22n n n n n公元前6世纪和前5世纪的毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派实际上并不把数和几何上的点区分开来。
毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派研究多角数，如五边形数（图1-4）、六边形数和其他多边形数。
图1-1 三角形数 图1-2 正方形数图1-4 五边形数图1-3相继两个三角形数之和是正方形数所以说，整数是在对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
亚里士多德（Aristotle ）曾说，毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分。
数不能离开感觉到的对象而独立存在。
欧德摩斯说毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派创立了纯数学，把它变成一门高尚的艺术。
如果一个数等于它的所有因数之和，他们称之为完全数。
例如，3216++=14742128++++=……若有两数彼此等于另一数的因子之和，他们称这两数是亲和数。
220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数。
1867年，意大利的16岁中学生帕格尼尼发现亲和数1184和1210。
毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派发现了勾股定理。
他们求出了可排成直角三221-1）,（+1）2m m 是这样的三元数组。
毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派研究了质数，递进数列，以及他们认为美的一些比和比例关系。
例如，若p 和q 是两数，=2p q A+，G 2pq H p q =+，那么，比例A G G H =叫完全比例，而比例22pqp p q p q q +=+叫作音乐比例。
三次数学危机的产生与解决
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解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
《校园百家讲坛》演讲稿数学史上的三次危机及对数学发展的影响主讲卢伯友一引言“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严肃性，我一直没有敢答应下来。
今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。
讲什么呢？从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。
国学大师王国维在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。
入乎其内，故能写之。
出乎其外，故能观之。
入乎其内，故有生气。
出乎其外，故有高致。
”同学们平时听课、读书、做习题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。
所以，还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。
正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。
我们认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1) 以锄头为代表的农耕文明；(2) 以大机器流水线作业为代表的工业文明; (3) 以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。
基于此原因，我今天演讲的题目是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。
今天，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的三次数学危机及其对数学发展的重要影响，让同学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角度，而且从文化和历史的高度审视数学的全貌和美丽。
赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
二数学史上的三次危机及对数学发展的影响1毕达哥拉斯与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
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毕达哥拉斯悖论与数学史上的第一次数学危机公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派认为宇宙的本质就是数的和谐，倡导一种“唯数论”的哲学观点，认为“万物皆数（有理数）”，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比），除此之外不再有别的数。
然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯索斯（Hippasus）很快便发现了这个论断的问题。
他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。
假设正方形边长为1，并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？显然根据“万物皆数（有理数）”的哲学，d不是整数，就是两整数之比。
希伯索斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明，用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有c2=2a2，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素，于是c为偶数，a 为奇数，不妨令c=2m，则有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。
这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论（悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式），与毕达哥拉斯学派的“万物皆数（有理数）”的哲学大相径庭，使得毕氏学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到了毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍的扔进了大海。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数所对应的数轴上的点并没有布满数轴。
在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”，而这种“孔隙”经后人证明简直多的不可胜数。
无理数的发现被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响。
人民为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，把不能写成两个整数之比的数取名“无理数”——这就是无理数的由来。
之后，许多数学家正式研究了无理数并给出了无理数的定义。
其中，德国数学家戴德基金（Dedekind1831~1916）用有理数的“分割”来定义无理数，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，从而也结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机，为数学分析的发展奠定了基础。
由无理数引发的危机影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，史上称之为第一次数学危机。
其影响巨大，极大的推动了数学及其相关学科的发展。
第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。
欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的。
第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，是数学思想史上的一次巨大革命。