数学悖论与三次数学危机

yx
n 的导数：
x

n 2 n x x n n x n 1 x n n 1 x n 2 x x 2
然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y ，
y x
x x

第二次数学危机的内容

公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释 许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引 起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积 分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能 自圆其说。
例如牛顿当时是这样求函数
第一次数学危机的影响

毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击， “数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑 战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混 乱。 第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学 科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存 在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出 了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类— —实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。 再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才 是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体 系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生 的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展 ,使几何学在此后两千 年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的 一次巨大革命。
数学悖论与三次数学危机
学科教学（数学） 康健
1.毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 2.贝克莱悖论与第二次数理

你知道吗？在数学发展过程中勾股定理的发现，引出了
数学上另一重要发现（无理数），进而在西方数学界掀起 了一场巨大风波。

n
xn

x
n2 n 1 n x n 1 nn 1 x n 2 x n x x x 2


最后，扔掉其中含有无穷小量△x的项，即得函数 n 1 的导数为
y n x
y x
n

对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发 现了其中的问题，他一针见血的指出：先用△x为除数除以 △y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明 △x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小 是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误 得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。 这就是著名的“贝克莱悖论”。 确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有 时作为0，有时又异于0的做法，不得不让人怀疑。无穷小 量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论 的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多 世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。
第三次数学危机的影响

罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础— —集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。 罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身， 而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解 决。罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着 极大的困难。 第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地，然而科学面 前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作 中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了， 原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的 限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集 合而产生了悖论。

第二次数学危机的影响

第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待 无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一 危机，无数人投入大量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格 朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为 彻底解决微积分的基础问题，柯西、魏尔斯特拉斯等人进 行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本矛盾， 就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现 与无穷小紧密相关的微积分的本质 。在解决使无穷小数学 化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之 相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。而柯西 采用的 ε －δ 方法刻画无穷小，把无穷小定义为以 0为极限 的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。后来魏尔斯特 拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限 理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。
毕达哥拉斯悖论

毕达哥拉斯学派对几何进行了研究，让我们看看 他们是如何比较两条线段的长度的。 在比较两条线段 a 和 b （设 b>a ）的长度时，如果 出现b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接使用 … a 作为两者的共同度量单位。更一般的情况下的 a 正整数倍不等于b。这时，可以去找一条小线段d ， 使a可以分成d的某整数（比如n倍），同时使b可 以分成d的另一整数倍（比如m倍），那么毕达哥 拉斯学派就把小线段 d 作为 a 与 b 的共同度量单位， 并说线段 a 与 b 是可公约或可公度的（ d 就是两者 的共同度量单位）
在外面经历了漫长的游历岁月后，这位年近 半百的智者回到家乡并开始讲学。在广收门徒后， 毕达哥拉斯建立了一个组织严密，并带有宗教色 彩的学派——毕达哥拉斯学派。 公元前六世纪，毕达哥拉斯学派在古希腊学 术界占统治地位，其思想在当时被认为是绝对权 威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为 “唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就 是数的和谐。他们认为万物皆数，而数只有两种， 就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的 比）， 除此之外不再有别的数，即是说世界上只 有整数或分数。
对于任意长度的两条线段来说，毕达哥拉斯学派成 员相信上面的操作过程总会在进行有限步后结束。他 们相信只要把单位线段取的适当短，总可以把两条线 段同时量尽，只是需要耐心。因此，任意两个同类量 是可通约的，或者说是可公度的。
风波乍起：第一次数学危机的出现
转折是从毕达哥拉斯提出勾股定理开始的。 他的一个学生希帕索斯在在摆弄老师的著名成果时，想 到这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是 可通约的呢？然而经过认真的思考，他发现，这两条线段不 存在共同的度量单位，不管度量单位取的多么小，都不能成 为正方形的边与对角线的共同度量单位。一句话，正方形的 边和对角线是不可公度的。 用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则 由勾股定理有 c 2 ，设已将 a和c中的公约数约去，即a、c 2a 2 已经互素，于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m， 2 有 2m2 ， ，，于是 2a 2 a 2m 2 a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。 这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。


为了从根本上消除集合论中出现罗素悖论，许多数学家进行了不懈的 努力。最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗 认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯 粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯·诺伊曼等人 的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），在ZFC 系统 中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条 公理。ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论 为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。 尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，现代公理集合 论一大堆公理是在很难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑消除掉， 它们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质 上更深刻地以其它形式延续。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也 取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基 础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数 学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研 究的“黄金时代”。

这个过程相当于先用短些的线段当尺子去测量长 的。如果一次量尽，度量结束;如果一次量不尽，就用 余数作为尺子去量那个短些的线段，如果量尽，度量 结束；如果不量尽，就用新的余数作为尺子去量上次 的余数……依次下去，直到某一次的余数等于零，度 量结束。这时，结束前一次的余数就是我们要找的共 同度量单位。

罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论。理发师宣布了这样 一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。那 么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。如果他 自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人， 根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己 刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又 按他的原则他就该为自己刮胡子。同样有产生了这样的悖 论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。 这就是历史上著名的罗素悖论。罗素悖论的出现，动摇了 数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。
智慧之神：毕达哥拉斯 毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯悖论 第一次数学危机 第一次数学危机的影响
c a b
a b c
2 2
2
毕达哥拉斯（约公元前580~前500）， 古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，音 乐家、教育家。 在生前，这位超凡的天才人物已经被人们神 话。由于人们对他的智慧感到不可思议，又有 人说他的大腿上有一个金色胎记，以至于人们 相信他是太阳神阿波罗的儿子。 受到当时哲人的指点，毕达哥拉斯踏上了东方游学之旅。 他先到了埃及，在那里不仅学习埃及人的几何学，而且成为 学习埃及象形文字的第一个希腊人。在埃及逗留了至少13 年后，毕达哥拉斯到了古巴比伦，在那里获得了巴比伦数学 的全部知识。或许后来他还到达了更远的印度，无论到了哪 里，它都不断向有学问的人请教，接受当地流传的天文数学 等方面的知识，以丰富自己的见解，重要的是，他不仅懂得 刻苦学习，而且更善于认真思考。在经过兼收并蓄、汲取各 家所长后，毕达哥拉斯形成并完善了自己的思想。