(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机
一、数学史上的三次危机分别是什么？第一次危机：毕达哥拉斯悖论——无理数的出现。
第二次危机：微积分工具的使用——无穷小是零吗？第三次危机：悖论的产生。
1、三次危机是如何产生的：（1）毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
（2）第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
数学史三次危机
无理数的发现——第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？——第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
数学史上的三次数学危机的成因分析
数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。
这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。
第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。
在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。
他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。
然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。
按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。
但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。
这次危机的成因可以归结为以下几点。
首先，当时的数学观念和认知存在局限性。
人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。
其次，数学的推理和证明体系还不够完善。
在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。
第一次数学危机的影响是深远的。
它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。
数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。
第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。
在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。
微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。
然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。
例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。
无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。
造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。
一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。
科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。
另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。
对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。
数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
(完整版)简述数学史上的三大危机
简述数学史上的三大危机世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。
实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。
在古希腊，哲学家都是格外重视数学。
像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。
在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。
这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。
“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。
他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。
“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。
然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。
这还得从一个有趣的故事说起。
有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。
然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。
这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。
但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。
因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。
如今发现边长为1的正方形的对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。
这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。
当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。
哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。
第二次数学危机我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。
古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。
数学史上的三次危机
數學史上の三次危機1 無理數の發現——第一次數學危機大約西元前5世紀，不可通約量の發現導致了畢達哥拉斯悖論。
當時の畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素の研究，把幾何、算數、天文、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙の和諧規律性。
他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派の一項重大貢獻是證明了畢氏定理，但由此也發現了一些直角三角形の斜邊不可能表示成整數或整數之比（不可通約）の情形，如直角邊長均為1の直角三角形就是如此。
這一悖論直接觸犯了畢氏學派の根本信條，導致了當時認識上の“危機”，從而產生了第一次數學危機。
到了西元前370年，這個矛盾被畢氏學派の歐多克斯通過給比例下新定義の方法解決了。
他の處理不可通約量の方法，出現在歐幾裏得《原本》第5卷中，歐多克斯和狄德金於1872年給出の無理數の解釋和現代解釋基本一致。
今天中學幾何課本中對相似三角形の處理，仍然反映出由不可通約量而帶來の某些困難和微妙之處。
第一次數學危機對古希臘の數學家觀點有極大衝擊。
這表明，幾何學の某些真理和算數無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數の權威地位開始動搖，而幾何學の身份升高了。
危機也表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠の。
從此希臘人開始重視演繹推理，並由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數學思想上の一次巨大革命！2 無窮小量是零嗎？——第二次數學危機18世紀，微分法和積分法在生產和實踐上都有了廣泛而成功の應用，大部分數學家對這一理論の可靠性是毫不懷疑の。
1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發表《分析學家或者向一個不信正教數學家の進言》，矛頭指向微積分の基礎——無窮小の問題，提出了所謂貝克萊悖論。
他指出：“牛頓在求の導數時，採取了先給以增量0，應用二項式，從中減去以求得增量，並除以0以求出の增量與增量之比，然後又讓0消逝，這樣得出增量の最終比。
這裏牛頓做了違反矛盾律の手續——先設有增量，又令增量為零，也即假設沒有增量。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
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数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的。
突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。
数学基础的严重危机爆发了。
这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。
据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏了出去，结果他被抛进了大海。
还有一种说法是，将他逐出学派，并为他立了一个墓，说他已经死了。
这个“逻辑上的丑陋”是数学基础的第一次危机，既不容易，也不能很快地消除。
大约在公元前370年才华横溢的希腊数学家欧多科索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相等的定义，从而巧妙地消除了这一逻辑上的丑陋.他们给出的定义与所涉及的量是否可公度无关。
其实这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关。
当然从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。
在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。
第二次数学危机公元前5世纪出现了数学基础第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。
这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。
在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面书记法的不稳固，出现了越来越多的谬论与悖论。
数学的发展又遇到了深刻令人不安的危机。
由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。
虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批评。
一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科的有关概念也不满意。
对有缺陷的基础强有力批评来自一位非数学家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。
他坚持：微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。
我们以考察牛顿对现在称作为微分所采用的方法，来弄明白这个特殊的批评。
早期的微积分常称为“无穷小分析”，其原因在于微积分建立在无穷小概念之上。
牛顿、莱布尼茨概莫能外。
当时所谓的无穷小并不是“以零为极限的变量”。
后者的概念是清晰的，而前者是一种含糊不清的东西，从牛顿的流数法中便可窥见一斑。
牛顿称变量为“流量”，流量的微小改变量称为“瞬”，即无穷小，变量的变化率称为“流数”。
以求函数3x y =的导数为例来说明牛顿的流数法。
设流量x 有一改变量“瞬”，牛顿记作“ο”，相应地，y 便从3x 变为3)(ο+x ，则y 的改变量为3223333)(οοοο++=-+x x x x求比值223333)(οοοο++=-+x x x x在舍去含ο乘积的项，于是得到3x y =的流数23x 。
这一做法似乎与求导数的方法与步骤一样，其实有着天壤之别。
求导数步骤中的前两步是算术运算，第三步是求极限，都是合乎逻辑的、毋庸置疑的；但牛顿的流数法却充满了逻辑混乱。
首先，作为瞬的“ο”，与费尔马的“E ”、莱布尼茨的“dx ”一样，都是所谓的无穷小量，但是什么是无穷小量，他们谁也说不清。
牛顿认为他引入的无穷小量“ο”是一个非零增量，但又说“被他所乘的那些量可以算作没有”。
牛顿本人也力图摆脱无穷小量的困惑，提出“最初比”、“最终比”等仍然说不清的新词语。
莱布尼茨也发生怀疑，提出“无穷小是不是真正存在？它们有没有严格的根据？”最后说：“我想这可能仍是疑问”。
其次，牛顿求流数的方法也不合乎逻辑，先认为“ο”不是零，求出y的改变量，而后又认为“ο”是零，这违背了逻辑学中的同一律。
初期的微积分由于逻辑混乱，引起了不少数学家的非议和责难。
英国大主教贝克莱的抨击最为激烈，由此围绕微积分基础大论战便开始了。
数学家、哲学家和神学家都纷纷卷入其中，被称为第二次数学危机。
历史要求给微积分以严格的基础。
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。
他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。
但是他本人未能提供这样的理论。
最早使微积分严谨化的拉格朗日。
为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。
但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题。
所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。
到了十九世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极地为微积分学的奠基工作而努力。
首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺。
他开始将严格的论证引入导数学分析中。
1816年他在二项展开公式的证明中，明确地提出了级数收敛的概念。
同时对极限、连续、变量有了较深入的理解。
特别是他曾写出《无穷的悖论》一书，书中包含许多真知灼见。
可惜，在他去世两年后该书才得以出版。
分析学的奠基人，公认为法国多产数学家柯西。
柯西在数学分析和置换群理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。
他在1821年——1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。
在那里他给出了数学分析一系列基础概念的精确定义，例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分、无穷级数的收敛性。
这些定义基本上就是我们今天微积分课本中使用的定义，不过现在写得的更加严格一点。
第三次数学危机到了十九世纪末，康托尔的集合论已经得到了数学家们的承认。
集合论成功地应用到了其它的数学分支。
集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了“绝对的严格”。
但是，正当大家兴高采烈地庆祝数学的绝对严格时，数学王国的大地爆发了另一次强烈的地震。
数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的。
这次危机是由于在康托尔的一般集合论的边缘发现的悖论造成的。
因为那么多数学分支都建立在集合论的基础上，所以集合论中悖论的发现自然引起了对数学的整个基础结构的有效性的怀疑。
1897年意大利数学家福蒂揭示了集合论中的第一个悖论。
他的悖论的实质可以用康托尔在两年以后很相似的悖论来描述。
康托尔曾证明了：对于任意给定的超限数，总存在一个比它大的超限数，所以不存在最大的超限数。
现在考虑这样一个集合，它的元素是所有可能的集合。
肯定地，没有一个集合含的元素个数比这个集合的元素个数多。
但是，如果情况真如此，怎么可能有一个超限数比这个集合的超限数大呢？福蒂和康托尔的悖论深入到集合论，但英国数学家罗素于1902年发现一个悖论，它除了集合概念本身外不需要别的概念。
在描述罗素悖论之前，我们注意下面的事实：一个集合或者是它本身的成员，或者不是它本身的成员。
例如，抽象概念的集合本身是抽象概念，但是，所有人的集合不是一个人；所有集合的集合本身是一个集合，但是，所有星的集合不是一个星。
我们以M表示是它们本身的成员的所有集合的集合，而以N表示不是它们本身成员的所有集合的集合。
现在我们问：集合N是否是它本身的成员，如果N是它本身的成员，则N是M的成员，而不是N的成员，于是N不是它本身的成员。
另一方面，如果N不是它本身的成员，则N是N的成员，而不是M的成员，于是，N是它本身的成员。
悖论在于无论哪一种情况我们都得到矛盾。
罗素悖论曾以多种形式通俗化。
这些形式中最著名的是罗素1919年给出的，称为理发师悖论。
某村的一个理发师宣称，他给所有不给自己刮脸的刮脸。
于是出现这样的困境：理发师是否给自己刮脸呢？如果他给自己刮脸，那他就违背了自己的原则；如果他不给自己刮脸，那他就应该为自己刮脸。
罗素的悖论在数学中引起了真正的麻烦。
罗素将他的悖论写信告诉了数理逻辑的先驱弗雷格，而弗雷格正好完成他的关于算术基础的二卷巨著。
弗雷格接到信后，在其著作的末尾伤心地写道：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。
当本书的印刷要完成时，罗素先生的信就使我陷入这样的境地。
”这样就出现了数学史上的第三次危机。
第三次数学危机使数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其它悖论。
于是数学家们便忙碌起来，不久就出现了好几种公理系统。
康托尔的集合论产生悖论的原因之一是，康托尔的集合论中有“一切集合的集合”的概念，为了不产生悖论，策海洛在1908年提出一种公理系统，这种公理系统由弗兰克尔在1821年加以改进，形成了目前公认的彼此无矛盾的公理系统，简称ZF公理系统。
第三次数学危机从整体看来还没有解决到令人满意的程度。
悖论浅谈数学悖论是数学发展过程中的一个重要存在形态，它使数学理论体系中出现一种尖锐矛盾，对于这一矛盾的处理与研究，丰富了数学内容，促进了数学的发展。
下面先列出几个历史上有名的悖论，然后给出悖论的含义，阐述数学悖论的产生、实质和意义。
1.历史上有名的几个悖论（1）阿基里斯悖论公元前400多年，古希腊埃里亚学派巴门尼德的门徒芝诺提出了阿基里斯悖论，用来反对赫拉克利特的流动说，以维护埃利亚学派的静止说。