简述数学史上的三大危机
数学史上的三大危机
数学史上的三大危机无理数危机、无穷小是零危机和悖论危机无理数的发现－第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯的悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可总结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这个悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时理解上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却能够由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？－第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的实验过，绝大部分数学家对这个理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，茅头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
数学史上三大危机和三大猜想
数学史上三大危机和三大猜想数学史上的三大危机分别为无理数理论，微积分理论，罗素悖论，数学史上的三大猜想分别为费马大定理，四色定理，哥德巴赫猜想，这三大危机和三大猜想都间接地推动了整个数学理论的进步，许许多多的数学家也因此付出了巨大的贡献，才有了今天数学的伟大辉煌。
一、无理数理论众所周知，世界上所有的实数都可以分为有理数和无理数。
然而，在最初的时候并没有发现无理数的存在，所以很多数学家认为所有数都是有限小数，而希帕苏斯首先提出了二的算术平方根概念，发现了世界上有一类数，他们是无限不循环小数，然而遭受了当时科学界的否定。
二、微积分理论微积分是世界数学史上璀璨的辉煌，微积分使用微元的概念，解决了很多不能够解决的问题。
特别对于复杂的图形，有很厉害的求解作用，但是由于微积分刚提出来的时候，理论非常复杂，没有在当时的数学界广为接受。
三、罗素悖论罗素悖论是对于集合理论的悖论，世界上所有的物体都能够通过集合来表达，但是罗素指出，如果一个集合中所有的元素都不是他本来的元素，那么这样的一个集合是否还能表现为原有的集合，这理论被称为罗素悖论，后来根据数学家修改集合的.定义规则，才避免了这样的悖论。
四、费马大定理费马大定理有这样一个猜想当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程x^n+y^n=z^n无正整数解。
这样的一个看似简单的地理，后来经过后世许多人的证明，终于确定费马大定理成立，是数学史上的一个伟大猜想。
五、四色定理四色定理表明，如果许多国家围绕着一个点拥有很多的边界，那么只要用四种颜色就能够将所有的国家全部区分开来，四色定理是对二维空间的终极解释，也表明了两个直线，只要相交一定有四个区的出现。
六、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想，如果把1算做一个质数，那么世界上任何大于二的数都可以由三个质数通过相加的方式得成，后来科学家们经过艰难的计算，终于算出了哥德巴赫猜想。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
历史上的三次数学危机
2
S t
。
∴
S 1 gt0 g (t ) t 2
（ *）
10
当 t 变成无穷小时，右端的 变成无穷小，因而上式右端就可以认为 是 gt ，这就是物体在 0 它是两个无穷小之比。
在美国学者麦克· 哈特所著的《影响人类历史进程的100名人排行榜》，牛顿名列 第2位，仅次于穆罕默德。书中指出：在牛顿诞生后的数百年里，人们的生活方 式发现了翻天覆地的变化，而这些变化大都是基于牛顿的理论和发现。在过去 500年里，随着现代科学的兴起，大多数人的日常生活发生了革命性的变化。同 1500年前的人相比，我们穿着不同，饮食不同，工作不同，更与他们不同的是 我们还有大量的闲暇时间。科学发现不仅带来技术上和经济上的革命，它还完全 改变了政治、宗教思想、艺术和哲学。
3. 危机的解决 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数 系的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事情 了。
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的
十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学
派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学
派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿
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① 在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但
那是初步的、粗糙的。
② 达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论 去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能 提供这样的理论。 ③ 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格
他在1688年发表的著作《自然哲学的数学原理》里，对万有引力和 三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世 界的科学观点，并成为现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星 运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运 动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝 疑虑，并推动了科学革命。
数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
史上三大数学危机——你听说过吗？
史上三大数学危机——你听说过吗？在数学的历史上，有过三次比较重大的危机，第一次是关于无理数的，这次危机把毕达哥拉斯的数学王朝推翻，第二次数学危机是关于微积分的，是常识跟数学之间的契合的问题；第三次数学危机发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。
下面我来跟大伙聊聊这三次有意思的事件。
第一次数学危机发生在公元前500年左右，我感觉跟精确度有关，我们平时用到的数学知识，几乎都只要精确到一定程度就可以了，所以古希腊毕达哥拉斯学派认为，任何一个数都能用a/b的形式来表示，其中a和b都是整数，这些数在数学上有个专有名词叫有理数。
但是有一天，有个叫希帕索斯的学者发现，好像不是这么回事，他作了一个这样的假设，就是等腰直角三角形，如果直边都为1，那么它的斜边(√2)就不满足这个条件。
这个证明起来其实很简单，但是对于当时着了迷的毕达哥拉斯派学者来说，这完全不能接受，就好像发现自己一直深爱的很纯洁的美女是绿茶妹一样，这些气急败坏的学者们最后把希帕索斯扔到海里面去了。
这就是典型的学术迫害啊。
纸当然是包不住火的，死了一个希帕索斯，自然会有更多的学者发现√2，√3，√5；第一次数学危机使得纯代数的地位下降，几何学的地位上升，因为几何量不能完全由有理数来表示，但数却完全可以用几何量来表示，从而形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，这两个体系在经典数学中就有点相牛顿的三大定律。
正是因为这次危机，使得东西方数学体系完全走向不同的路，像中国这样的大国，因为没有这次数学危机，就没能完全形成真正的数学体系，尽管很多方面表现得很优秀。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。
但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
(完整版)简述数学史上的三大危机
简述数学史上的三大危机世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。
实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。
在古希腊，哲学家都是格外重视数学。
像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。
在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。
这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。
“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。
他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。
“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。
然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。
这还得从一个有趣的故事说起。
有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。
然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。
这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。
但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。
因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。
如今发现边长为1的正方形的对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。
这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。
当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。
哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。
第二次数学危机我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。
古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
史上数学三大危机简介
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。
1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
三次数学危机
三次数学危机在现代数学史上，它的发展伴随着三大危机，也正是当时的人们正视这些危机而不逃避，最终解决了这些问题，并在解决的过程中，发展了数学。
一、第一次数学危机现代意义下的数学，来源于古希腊毕达哥拉斯学派。
兴旺于公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”，他们相信一切数字皆可以表达为整数或整数之比──分数，简单而言，他们所认识的只是“有理数”。
当时的人只有“有理数”的观念是绝不奇怪的，对于整数，在数轴上我们知道是一点点均匀分布的，而任何连续整数之间取其中点，必定有另一个有理数存在，……，因此令人很容易以为“有理数”可以完全填满整条数轴，“有理数”就是等于一切数，可惜这个想法随着正方形对角线长度的测量而产生了无法解决的问题：如图，两个边长为q 的正方形面积和与一个边长为p 的正方形面积相等。
即p 2=2q 2，但是p ，q 不能表示为整数比的关系。
这是由毕达格拉斯的学生Hippasus 首先发现的。
现在的教科书是用奇偶性来证明的，非常巧妙。
现在你还可以在网上找到更多巧妙的证法。
“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。
而Hippasus却将这一事实传播了出去，最终他被追杀并投入大海。
在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
可惜他的著作已经失传，但他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。
反之，数却可以由几何量 表示出来。
整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。
于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。
这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。
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简述数学史上的三大危机
世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。
实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。
在古希腊，哲学家都是格外重视数学。
像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。
在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。
这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。
“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。
他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。
“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。
然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。
这还得从一个有趣的故事说起。
有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。
然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。
这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。
但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。
因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。
如今发现边长为1的正方形的
对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。
这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。
当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。
哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。
第二次数学危机
我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。
古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。
赫拉克利特用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中，但严格说起来他的话在概念上存在疑问。
当时他的对立者巴门尼德宣扬相反的观点，他主张存在是静止的，不变的，永恒的。
他的得意门生芝诺还提出“飞矢不动”的诡论。
然而数学是讲究概念严密的，他们的说法都在概念上存在漏洞。
像什么叫“动”与“不动”，古代哲学家对于如何从逻辑上严格把握事物的运动与变化和相对静止与稳定的统一是不清楚的，直到17世纪，数学上出现了变量与函数的概念才找到了精确描述运动与变化的工具。
对于事物的运动与变化，哲学家常有这一种说法：“运动就是矛盾”，“矛盾”是一个定义的术语，它揭示出事物的共性，但没指出运动的特殊性，而数学中用映射或函数描述运动却能勾画出运动的特殊
性，这对运动物体的瞬时状态的研究提供了基础。
运动着的物体有快有慢，描述快慢程度的数量指标叫速度，考虑速度问题离不开时间。
用物体走过的距离除以所用的时间得到的是平均速度，不是真正的速度。
而我们希望知道的真正速度，是物体某一时刻的速度，是所谓瞬时速度。
但是，在数学上却遇到了逻辑的困难。
按速度的本来意义，是一段时间去除物体在这段时间内走过的距离所得的商。
一个时刻，时间是0，物体走过的距离是0 ，时间和距离都没有了，速度有从何谈起？0除以0在数学上有什么意义？于是在物理上看来有意义的东西，在数学上却无法指出它的意义是什么。
于是17世纪的一批数学家投入了这一工作，而总其集大成者是微积分学的创始人牛顿和莱布尼茨。
牛顿的工作正是直接从瞬时速度这一概念的数学表达式入手的。
牛顿面临两个任务，一是定义出数学上的瞬时速度的概念，二是给出具体计算瞬时速度的方法。
想知道速度，让时间从t0变到t1，走过的距离记做s。
牛顿设想当他们最后都成为无穷小、就要成为0而不是0的时候，比值作为两个无穷小之比，就是所要的瞬时速度。
也同时给出了计算方法。
这一新生的有力的数学方法受到了数学家和物理学家的热烈欢迎。
大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。
但由于它逻辑上的漏洞，招来了哲学上的嘲讽和攻击，代表人物是贝克莱主教。
由于牛顿没有清除那些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含义，因而牛顿和其后一百年间的数学家都不能有力地回答贝克莱的攻击，这就是数学史上所谓的第二次数学危机。
第三次数学危机
生活中处处有数学，“集合”概念和集合元素“一样多”的概念在日常生活中早有基础，康托的集合论的成果在当时使数学家们欢欣鼓舞，集合论不仅使人们认识了实在的无穷，而且自然而然地被看成数学的基础。
19世纪的数学家与逻辑学家弗雷格，根据康托集合论的思想，写了一本《算术基础》，主张把算术的基础归结为逻辑。
它在各门科学中都被不加怀疑地使用。
弗雷格从逻辑中所谓概念的外延出发进行阐述，但是如果承认“概念的外延”属于逻辑范畴，弗雷格就算是把算术归结为逻辑。
但是正当弗雷格的著作即将出版之际，罗素提出了悖论。
他列举了许多通俗化悖论模型，如理发师悖论、机器人悖论等。
罗素悖论的特点是只用到“集合”、“元素”、“属于”这些最基本的概念。
罗素从如此基本的概念竟推出了矛盾，这就表明在集合论中存在着大漏洞。
罗素的悖论给当时正为了微积分的严格基础被建立而欢欣鼓舞的数学家们泼了一盆冷水。
一向认为推理严密、结论永远正确的数学，竟在自己最基础的部分推出了矛盾！而推出矛盾的推理方法如此简单明了，解就是所谓的第三次数学危机。