2018年高三最新高考专题训练复习三不等式及其应用精

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【推荐】专题33+不等关系与不等式(押题专练)-2018年高考数学(文)一轮复习精品资料

专题33+不等关系与不等式1．已知a ，b 为非零实数，且a a 2bC.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析：若a b 2，故A 错；若0<a a b ，故D 错；若ab <0，即a <0，b >0，则a 2b >ab 2，故B 错。

答案：C2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关解析：M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，所以M >N 。

答案：A3．已知0<a 1aB.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b C ．(lg a )2<(lg b )2 D.1lg a >1lg b解析：因为0<a ⎝⎛⎭⎫12b ；(lg a )2>(lg b )2；lg a <lg b <0，可得1lg a >1lg b 。

答案：D4．如果a ，b ，c 满足c acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0答案：C5．已知a ，b 为实数，则“a >b >1”是“1a －1<1b －1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A6．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A ，B ，C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <CC ．A <C <BD ．B <C <A解析：方法一：不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此得B <A <C ，选B 。

专题36 基本不等式押题专练-2018年高考数学文一轮复习

1．设x >0，y >0，且2x ＋y ＝6，则9x ＋3y 有( ) A ．最大值27 B ．最小值27 C ．最大值54 D ．最小值54答案：D2．已知a ，b 为正实数，函数y ＝2ae x ＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是( ) A ．3＋2 2 B ．3－2 2 C ．4 D ．2解析：因为函数y ＝2ae x ＋b 的图象过(0,1)点，所以2a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋bb ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2a 时，取等号，所以1a ＋1b 的最小值是3＋22。

答案：A3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6。

方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6。

方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6。

答案：B4．设a ＞1，b ＞0，若a ＋b ＝2，则1a －1＋2b 的最小值为( )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2答案：A5．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B.53 C.94 D.256解析：由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)。

2018年高三最新高中总复习数学不等式专项练习卷1参考答案精品

高中总复习数学不等式专项练习卷参考答案一．选择题1．解析：若ac2＞bc2,则c2＞0,＞0.同乘得a＞b.由a＜b＜0知-a＞-b＞0,同乘-a得a2＞ab.类似地,ab＞b2.答案：B2．解析：2a+2b≥2=4.答案：B3．解析：Q=·=≥=+=P.答案：C4．解析:由题意知f(0)=-1,f(3)=1.又|f(x+1)|＜1-1＜f(x+1)＜1，即f(0)＜f(x+1)＜f(3),又f(x)为R上的增函数，∴0＜x+1＜3.∴-1＜x＜2.答案:B5．解析:由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.∴0≤x2≤1，即-1≤x≤1.答案:A6．解析:∵0＜a＜1,∴1＜1+a＜2,0＜1-a＜1.∴log(1+a)(1-a)＜0, ①log(1-a)(1+a)＜0. ②A项左边=-log(1+a)(1-a)-log(1-a)(1+a)=-log(1+a)(1-a)-.令log(1+a)(1-a)=t＜0,∴左边=-t-=(-t)+＞2.故A正确.答案:A7．解析：特殊值检验.a=3,b=2,c=1.P=,Q=1,P＜Q.答案：D8．解析:∵a＞b＞0,∴0＜＜1,a-b＞0.∴()a-b＜()0=1.故选D.答案：D9．解析：因x2+y2≥2|xy|=-2xy，又xy＜0,故≤-2.答案：B10．解析：设a=cosθ,b=sinθ,则a-b=(cosθ-sinθ)=2·cos(θ+)∈［-2,2］.答案：A11．解析：因|x-2|+|x-a|≥|(x-2)-(x-a)|=|a-2|,故|a-2|≥a a≤1.答案：B12．解析：f -1(x)是减函数,且f -1(1)=-2，f -1(-3)=2,又-2＜f -1（）＜2,故-3＜＜1,解之得x＞.答案：A二．填空题1．解析：设所求数为m,n故求μ=m+n的最小值，且=1.又μ=(m+n)·1=(m+n)·() =10+≥16,此时m=4,n=12.答案：4 122．解析：①同向不等式相减，不等号要反向;③xy＞0,a＞b＞0方可推出ax＞by.答案：②④3．解析:由题意得(1+x1)(1+x2)...(1+x2 018)≥2.2.. (2)=22 018·=22 018.答案:22 0184．解析:∵a※b=,b※a=,∴a※b+c=b※a+c.答案:a※b+c=b※a+c思考:对于运算“※”分配律成立吗?即a※(b+c)=a※b+a※c.答案:不成立.三．解答题1．解：设f(x)=,z=(z≥),则f(x)-=,原不等式成立.则≥0,只需z-1≥0x2≥-c-c≤0≤c c≥1.故原不等式对任何正数c不都成立.2．解析:因为60≤a≤84,①28≤b≤33,②由①+②,得88≤a+b≤117,-33≤-b≤-28. ③由①+③,得27≤a-b≤56,④由①×④,得3．解：设BC=a(a＞1),AB=c,AC=b,b-c=.c2=a2+b2-2abcos60°,将c=b-代入得(b-)2=a2+b2-ab,化简得b(a-1)=a2-.∵a＞1,∴a-1＞0.b===(a-1)++2≥+2.当且仅当a-1=时，取“=”,即a=1+时,b有最小值2+.4．解:当-2＜a＜0时,不等式可化为|x2-1|＜1+,∵1+＜0,故x∈.当a=-2时,x∈.当a＜-2时,不等式化为|x2-1|＜1+.∵1+＞0,∴-1-＜x2-1＜1+.∴-＜x2＜2+.又∵-＞0,2+＞0,∴＜x＜或-＜x＜-.综上,可知当-2≤a≤0时,x∈;当a＜-2时,x∈(-,-)∪(-,2+).5．解析：（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S=xy，由题意得40x+2×45y＋20xy=3 200,应用二元均值不等式，得3 200≥2+20xy,即S+6≤160,而（+16）（-10）≤0.∴≤10S≤100.因此S的最大允许值是100米2.（2）当即x=15米，即铁栅的长为15米.6．解析：（1）当a=0时，f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)是奇函数.当a≠0时，f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).∴f(x)是非奇非偶函数.（2）由题设知x|x-a|≥2a2,∴原不等式等价于①或②由①得x∈.由②得当a=0时，x≥0；当a＞0时，∴x≥2a.当a＜0时，即x≥-a.综上a≥0时，f(x)≥2a2的解集为｛x|x≥2a｝; a＜0时，f(x)≥2a2的解集为｛x|x≥-a｝.。

18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组三导数及其应用课件理

对于 C 选项，f′(x)＝ ex>0，显然 k1· k2＝ ex1 · ex2＝－ 1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 D 选项， f′(x)＝ 3x2≥0，
2 显然 k1· k2＝ 3x2 · 3 x 1 2＝－ 1 无解，故该函数不具有 T 性质．故
选 A.
mex 12．[2016· 河南八市联考 ]已知函数 f(x)＝与函数 g(x) 2 ＝－2x2－ x＋1 的图象有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围为( )
1 C.1，＋1 e
2e ，1 2e
解析
－x 当 x≤0 时， f(x)＝为减函数， f(x)min＝ f(0) x e x
1－ 2x 1 ＝ 0 ；当 x>0 时， f(x) ＝ x ， f′(x) ＝ x ，则 x> 2 时， e 2 xe
1 1 f′(x)<0,0< x< 时， f′(x)>0 ，即 f(x) 在 0，上递增，在 2 2 1 1 ，＋ ∞ 上递减， f ( x ) ＝ f 极大值＝ 2 2
重组三
导数及其应用
测试时间： 120 分钟
满分： 150 分
第Ⅰ卷
(选择题，共 60 分 )
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意 ) 1．[2016· 安庆二模 ]给出定义：设 f′(x)是函数 y＝ f(x) 的导函数，f″(x)是函数 f′ (x)的导函数，若方程 f″(x)＝0 有实数解 x0 ，则称点(x0，f(x0 ))为函数 y＝ f(x)的“拐点”．已知函数 f(x)＝3 x＋4sin x－ cosx 的拐点是 M(x0， f(x0))，则点 M( ) A．在直线 y＝－3 x 上 C．在直线 y＝－4 x 上 B.在直线 y＝3x 上 D.在直线 y＝4x 上

2018版高三数学一轮复习(3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升)不等式选讲试题理

考点不等式选讲1.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.1.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.2.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 2.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解.当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).3.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.3.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时,由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1,所以,-1<x ≤-12；当-12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以，-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.4.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 4.4或－6 [由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝-1或x ＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]5.(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.5.解(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.6.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 6.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).7.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.7.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.8.(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.8.{x |x ≤－3或x ≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5，解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.]9.(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.9.－3 [依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]10.(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [令f (x )＝|2x -1|＋|x +2|,易求得f (x )min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52⇔-1≤a ≤12.]11.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.11.(1)证明由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋21212.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }.(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .12.(1)解当q ＝2,n ＝3时,M ＝{0,1},A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22,x i ∈M ,i ＝1,2,3}.可得,A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ,可得s -t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q -1)＋(q -1)q +…+(q -1)·q n －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝-1<0.所以，s <t .。

2018年高三最新第六章不等式精品

第六章不等式1．（2018年北京卷）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由. 本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1|)1()(|)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）证法一：对任意的 1.|v -u ||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,≤≤≤--∈有时当v u v u当0,u ,1|v -u |<⋅>v 时不妨设,0>v v 且所以，|1||1||)1()(||)1()(||)()(|-++≤-+--≤-v u f v f f u f v f u f.1)(211<--=-++=u v v u 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f证法二：由（Ⅰ）可得，当.||11)1()(||)(|,]0,1[x,-1f(x),]1,0[x x f x f x f x x -=+≤--=-∈≤∈时时所以，当.||1)(|,]1,1[x x f x -≤-∈时因此，对任意的],1,1[,-∈v u当1||≤-v u 时，.1|||)()(|≤-≤-v u v f u f 当1||>-v u 时，有0<⋅v u 且.2||||||1≤+=-<v u v u所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|≤+-=-+-≤+≤-v u v u v f u f v f u f 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数)(x f 满足条件，则由],1,21[,|,||)()(|∈-=-v u v u v f u f得.21|121||)1()21(|=-=-f f 又,0)1(=f 所以.21|)21(|=f ①又因为)(x f 为奇数，所以.0)0(=f 由条件],21,0[,|,||)()(|∈-<-v u v u v f u f得 .21|)0()21(||)21(|<-=f f f ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.2．（2018年天津卷）设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=-- （1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-；（2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. （1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立；（ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k kk ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k kkk kk +-+---+-=-= .2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 证法二：如果设),3(23111-----=n n n n a a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即.2)1(52)1(301a a n n n n n n -+-+=- （2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201N n a n n ∈<----……①（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……②②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为 .)23()15()1(22012--<--k k a即为 .51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有 .051)23(512120=+⨯->-⨯a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a故a 0的取值范围为).31,0(解法二：如果1->n n a a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a 下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *，.01>--n n a a由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=- （i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->023********=⨯⨯-⨯+⨯---n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n 故a 0的取值范围为).31,0(。

2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习专题检测：(二十) 选修4-5 不等式选讲(含解析)

专题检测（二十）选修4-5 不等式选讲1．(2017·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |－12x (a >0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )<0；(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )<a 2＋a 2恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ，即|x －3|－12x <0，原不等式等价于－12x <x －3<12x ，解得2<x <6，故不等式的解集为{x |2<x <6}．(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2，原不等式等价于|x －a |－|x |<a 2，由三角绝对值不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，原不等式等价于|a |<a 2.又a >0，∴a <a 2，解得a >1.故实数a 的取值范围为(1，＋∞)．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．3．(2017·石家庄质检)设函数f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|的最大值为m .(1)作出函数f (x )的图象；(2)若a 2＋2c 2＋3b 2＝m ，求ab ＋2bc 的最大值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－12，－3x ，－12<x <1，－x －2，x ≥1，画出图象如图所示．(2)由(1)知m ＝32. ∵32＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝(a 2＋b 2)＋2(c 2＋b 2)≥2ab ＋4bc ， ∴ab ＋2bc ≤34，∴ab ＋2bc 的最大值为34，当且仅当a ＝b ＝c ＝12时，等号成立． 4．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，∴－7<|x －1|<3，得不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．5．(2017·东北四市高考模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1.(1)证明：2a ＋b ＝2；(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．解：(1)证明：因为－a <b 2，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a ＋b ，x ≤－a ，－x ＋a ＋b ，－a <x <b 2，3x ＋a －b ，x ≥b 2，显然f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，b 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫b 2，＋∞上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫b 2＝a ＋b 2，所以a ＋b 2＝1，即2a ＋b ＝2. (2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立，所以a ＋2b ab ≥t 恒成立．因为a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12⎝⎛⎭⎫1b ＋2a (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥12⎝⎛⎭⎫5＋22a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时，a ＋2b ab 取得最小值92，所以t ≤92，即实数t 的最大值为92. 6．(2017·贵州适应性考试)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －5|，g (x )＝1＋x 2.(1)求f (x )的最小值；(2)记f (x )的最小值为m ，已知实数a ，b 满足a 2＋b 2＝6，求证：g (a )＋g (b )≤m . 解：(1)∵f (x )＝|x －1|＋|x －5|≥|x －1－x ＋5|＝4，∴f (x )min ＝4.(2)证明：由(1)知m ＝4.由柯西不等式得[1×g (a )＋1×g (b )]2≤(12＋12)[g 2(a )＋g 2(b )]，即[g (a )＋g (b )]2≤2(a 2＋b 2＋2)，又g (x )＝x 2＋1>0，a 2＋b 2＝6，∴0<g (a )＋g (b )≤4(当且仅当a 2＝b 2＝3时取等号)．即g (a )＋g (b )≤m .7．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝|x －a |＋12a，∴f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a， ∴f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|x －a －x －m ＋a |＝|m |， ∴|m |≤1，即－1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1.(2)当a <12时， g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a ＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．又函数g (x )有零点， ∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a 2＋a ＋1≥0，解得－12≤a <0， ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0. 8．(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q＋1r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4. 当x <－32时，－x －32－x ＋32≤4，解得－2≤x <－32；当－32≤x ≤32时，x ＋32－x ＋32≤4恒成立， ∴－32≤x ≤32；当x >32时，x ＋32＋x －32≤4，解得32<x ≤2. 综上，f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r . 由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23)≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32＝9，即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9. ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94，当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时，取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.。

2018届高三数学(文)高考总复习教师用书：第六章不等式、推理与证明 Word版含答案

第六章⎪⎪⎪不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒n a > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ．答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h3．若0<a 0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1bC ．a 2>b 2D ． a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b 的大小关系是________．答案：1a <1b考点一比较两个数(式)的大小(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m ＞n C ．m ≤n D ．m ＜n 答案：B 2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5．当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5．综上可知S 3a 3＜S 5a 5．答案：S 3a 3＜S 5a 5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法考点二不等式的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞b c B ．a d ＜b c C ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c＞0．又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c，所以a d ＜bc ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎬⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－bc ⇒ad ＜b c．法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd ＝－1，排除选项C 、D ；又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．(2016·河南六市第一次联考)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |解析：选D ∵1a ＜1b ＜0，∴b ＜a ＜0，∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0，∴选项A 、B 、C 均正确，∵b ＜a ＜0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D ．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b ．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c ＞d 时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B ．考点三不等式性质的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围．解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ． f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10．即f (－2)的取值范围为[5,10]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2．由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18．答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ． 2．若a 1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立．3．若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a －b ＞0得a ＞b ≥0，则a 2＞b 2⇒a 2－b 2＞0；由a 2－b 2＞0得a 2＞b 2，可得a ＞b ≥0或a ＜b ≤0等，所以“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的充分不必要条件，故选A ．4．(2017·资阳诊断)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，选项A 、B 、C 均不正确；对于D 项，a >|b |≥0，则a 2>b 2．5．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2B ．⎝⎛⎭⎫－3π2，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2．又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0． ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0．∴M >N ．2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．综上可知，选D ．5．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎨⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎨⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4．6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b 同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b ． ∴a ＜b 和1a ＜1b 同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2 m ，即⎝⎛⎭⎫15－x2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216 8．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2． ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0．∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b ．答案：a b 2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0．求证：e (a －c )2>e(b －d )2．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0．又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0． ∴(a －c )2>(b －d )2>0． ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2．又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎨⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2·ca <4，∴ca 的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞b ＞0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m ＞ba时，m 满足的条件是________．解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得(a －b )m a (a ＋m )＞0，因为a ＞b ＞0，所以mm ＋a＞0．即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋a ＜0.∴m ＞0或m ＜－a ．即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a ．答案：m ＞0或m ＜－a3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ．所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2．因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a 没有实数根一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的{x |x <x 1或x >x 2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠－b 2aR解集一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[小题体验]1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝()A．(－2,1]B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：选C由题意得T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁R S＝{x|x≤－2}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．答案：∅3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a＋b的值是________．解析：由题意知－12，13是ax2＋bx＋2＝0的两根，则a＝－12，b＝－2．所以a＋b＝－14．答案：－141．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏]1．不等式x－3x－1≤0的解集为()A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1．答案：[0,1)考点一一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5 3．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0．解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a ．综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ．当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1． [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3．当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞．考点三一元二次不等式恒成立问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法恒成立的条件是{a>0，Δ≤0；(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是{a<0，Δ≤0[演练冲关]1．(2017·济宁模拟)不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．解：因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．答案：[－8,4]2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝⎛⎭⎫12，94．3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2．答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1，所以－1＜k ＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得－4≤a ≤3．6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16． ∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45．答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ．(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4．因为x >0，所以x ＋1x ≥2．当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2．所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32．第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一二元一次不等式(组)表示平面区域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ． 2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝⎛⎭⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二求目标函数的最值(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函数的最值2．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25．所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13．答案：⎣⎡⎦⎤45，13角度三：线性规划中的参数问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5．答案：5[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2017·海口调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z ＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0,2] C ．⎣⎡⎦⎤2，125 D ．⎣⎡⎦⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝⎛⎭⎫85，125(该点是直线4x －y －4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125，选A ． 2．(2017·合肥质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实数k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________．解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y－1 x－1表示区域内一点(x，y)与点D(1,1)连线的斜率，∴当x＝13，y＝43时，y－1x－1有最小值为－12．答案：－12考点三线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x＋y≤300，10x＋3y≤900，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N.目标函数为z＝2 100x＋900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x＋3y＝900，5x＋3y＝600，解得M(60,100)．则z max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快。

2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习专题检测：(四) 不等式 Word版含解析

专题检测（四）不等式一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．若实数a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＞b 2 B.ab ＞1 C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞0解析：选C 根据函数的图象与不等式的性质可知：当a ＞b 时，2a ＞2b ，故选C. 3．(2017·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．3解析：选A作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.4．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a ≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.5．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤a x 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.6．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b .其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当d <c <0时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故正确的命题有2个．7．(2017·成都二诊)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2≥0，x ＋y －1≤0，y ≥m ，且x －y 的最大值为5，则实数m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－2D ．－5解析：选C 根据不等式组，作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，当直线y ＝x －z 过点B (1－m ，m )时，z 取得最大值5，所以1－m －m ＝5⇒m ＝－2.8．(2018届高三·合肥五校联考)对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 因为存在实数x 0(x 0≠0)，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则e x 0－a ＝－e －x 0＋a ，即e x 0＋1e x 0＝2a ，又x 0≠0，所以2a ＝e x 0＋1e x 0>2e x 0·1e x 0＝2，即a >1. 9．(2017·长沙模拟)若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( )A ．0B ．－2C ．2D ．6解析：选C 1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，即变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可得x －2y 在A (2，－1)，C (4,3)处取得最大值、最小值分别为4，－2，其和为2.10.已知函数f (x )(x ∈R)的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析：选D 由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f ′(x )>0，在(－1,1)上，f ′(x )<0.由(x 2－2x －3)·f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－1，x >3或x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<x <3，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． 11．(2017·九江模拟)已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线与圆x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 6C ．2 5D ．4解析：选D不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1所表示的平面区域为△CDE 及其内部(如图)，其中C (1,3)，D (2，2)，E (1,1)，且点C ，D ，E 均在圆x 2＋y 2＝14的内部，故要使|AB |最小，则AB ⊥OC ，因为|OC |＝10，所以|AB |＝2×14－10＝4，故选D.12．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.二、填空题13．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x－z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－514．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，32 15．(2017·湖南五市十校联考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx＋z 经过点B (0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知k ＝2.答案：216．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为________．解析：因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2yx 2＋2y 2＝4xy ＋2y 2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2(x 2＋2y 2)x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t 的最大值为 2.答案： 2。

2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习专题检测：(四)不等式Word版含解析

④若 a＞ b，则 1＞ 1. ab
其中正确的命题有 ( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：选 B ①由 ac2＞ bc2，得 c≠ 0，则 a＞ b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③错误，当 d<c<0 时，不等式不成立．
④错误，令
a＝－ 1， b＝－ 2，满足－
1＞－
不等式 (x2－ 2x－ 3)f′ (x)>0 的解集为 (
)
A ． (－∞，－ 2)∪(1 ，＋∞ ) B．( －∞，－ 2)∪ (1,2) C．( －∞，－ 1)∪ (－ 1,0)∪ (2，＋∞ ) D． (－∞，－ 1)∪(－ 1,1)∪ (3，＋∞ ) 解析：选 D 由 f(x)的图象可知，在 (－ ∞ ，－ 1)，(1，＋ ∞ )上， f′ (x)>0，在 (－ 1,1)上，
－ 1<x<3，
x＋ y≤4， 11．(2017 ·九江模拟 )已知点 P( x，y)满足 y≥ x，
x≥ 1，
过点 P 的直线与圆 x2＋ y2＝ 14 相
交于 A，B 两点，则 |AB|的最小值为 ( )
A．2
B．2 6
C．2 5
D．4
x＋ y≤ 4，解析：选 D 不等式组 y≥ x，
x<0，
x≥ 0，
解析：选 A 由题意知 f (1)＝ 3，故原不等式可化为 x＋ 6>3 或 x2－ 4x＋6>3 ，解得－
3<x<1 或 x>3 ，所以原不等式的解集为 (－ 3,1)∪(3 ，＋ ∞ )．
2．若实数 a， b∈ R 且 a＞ b，则下列不等式恒成立的是 ( )

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2018年专题复习三不等式及其应用
[高考要点]
1．系统地掌握不等式的性质；
2．掌握不等式证明的常用方法；

3．掌握均值不等式：3((,∈);(,,∈)23ababcababRabcabcR及其在求最
值方面的用途（注意“正、定、等”三个条件的内涵）。
4．掌握整式不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式和对数不等式的解法。
5．掌握含绝对值不等式的基本性质，会解含绝对值的不等式。
[例题选讲]

[例1] 已知3a，解关于x的等式12221log0.2axx

[例2] 已知函数()1,()2.fxxgxmxm
（1）当1=m时，解不等式)()(xgxf<；
（2）如果对满足1

[例3] 关于实数x的不等式2211(1)(1)22xaa与
2
3(1)2(31)2(31)0xaxaxa
(其中aR)的解集依次记为A与B. 求

AB
的a的取值范围
[能力训练]
一、选择题

1．不等式
44log(28)log(3)xx
xx

->-
的解集是（）

（A）{|4}xx> （B）{|5}xx>
（C）{|46}xx<< （D）{|4≠5}xxx>且
2．不等式22logxx>的解集是（）
（A）(0,∞）+ （B）[1,∞）+ （C）R （D）ф
3．不等式312≤9x-的整数解的个数是（）
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4
4．设
111
()()1
222
ba
<<<
，则（）

（A）baaaa<< （B）abaaa<< （C）baaaa<< （D）abaaa<<
5．若实数,,abc满足acb-<，则下列不等式中成立的是（）
（A）abc>- （B）abc<+ （C）acb>- （D）abc<+
6．若不等式1xa-<成立的充分条件是04x<<，则a的取值范围是（）
（A）1a （B）3a （C）1a （D）3a
7．若关于x的不等式2≥xxaa-+-在R上恒成立，则a的最大值是（）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）2
8．设()fx、()gx都是定义在R上的奇函数，不等式()0fx的解集为(,)mn，不等式

()0fx的解集为(,)mn，不等式()0gx
的解集为(,)22mn，其中02mn，则不等式

()()0fxgx
的解集为( )

(A) (,)22mn (B) (,)(,)2222mnnm
(C) (,)nm (D) (,)(,)22nnmm
9．若奇函数()(≠0)yfxx=。当∈(0,∞)x+时，()1fxx=-，则不等式(1)0fx-<的
解集是（）
（A）{|012}xxx<<<或（B）{|12}xx<<

（C）{|10}xx<<- （D）{|210}xxx<<<-或-

10．若关于x的方程2(3)0xaxa的两根均为正数，则实数a的范围是( )
(A)03a (B) 01a (C)9a (D) 9a或1a
11．已知2221xyz，则下列不等式中正确的是( )

(A)2()1xyz (B)12xyyzzx

(C)39xyz (D)33333xyz
12．定义在R上的奇函数()fx为减函数，设0ab，给出下列不等式：
①()()0fafa ②()()0fbfb
③()()()()fafbfafb ④()()()()fafbfafb
其中正确的不等式序号是( )
(A) ①②④ (B) ①④ (C) ②④ (D) ①③
二、填空题

13、若对实数10,x恒有log2mx，则实数m的取值范围是___________。

14、不等式21122log(34)log(5)1xxx的解集是______________________。

15、已知一个不等式①0ab，②cdab，③bcad，以其中的两个作条件，余下的一
个作结论，则可组成_______________个正确命题。
16、直角ABC的三边为a、b、c，且c>b>a，设aV、bV、cV分别表示以a、b、c为轴旋

转所成旋转体的体积，则aV、bV、cV之间的大小关系是____________________。
三、解答题
17．解不等式(2)2log4122.xx
18．解关于x的不等式221(0).axaxa->->
19．已知不等式log(1)1axa的解集为A，不等式223()0xaaxa的解集为B，
且AB，求实数a的取值范围。

（参考答案）1~12、DAAAB BBDAB CB 13、].10,1()1,1010[ 14、
(5,2)(7,).
15、3个. 16、abcVVV

17、21|3log342xx
18、[,)(2)2aa或(12,)(02)aaa
19、1[21,]2a