【强烈推荐】非平稳信号分析

Abel群（可交换群）
xy yx
x, y X

环
一个集合X,在这个集合上有两个分别被称 作乘法与加法的内部运算。且满足：
(1) X在加法下是一个可交换 群。 (2)乘法是可结合的，且对 加法可交换律。即 x, y, z , X ( xy) z x( yz) x( y z ) xy xz ( y z ) x yx zx

代数
一个在具有恒等元的环R上的模A， 再加上一个内部可结合运算（乘法）。
(1) A是一个环。 （2） ( xy) (x) y x(y)

Lebesgue积分学定理 Riemann积分与Lebesgue积分
f(x) f(x)
Riemann积分
x
Lebesgue积分
x
几乎处处收敛：

非平稳随机信号 不是广义平稳的信号为非平稳信号。 某阶统计量随时间变化的信号。 （时变信号）

非平稳信号分析的主要研究领域：



短时傅立叶变换 时频分析 分数阶傅立叶变换 小波变换 其他新的信号分析和处理工具
Fourier的贡献：

用数学方式提出任何一个周期函数都能表 示为一组正弦函数和余弦函数之和。 他解释了这一数学论断的实际物理意义。
部分和S n ( x)用部分和的平均（ Ces a ro和）代替。

n ( S0＋S1＋＋S n1 ) n
第三个方向： 产生了最原始的小波：Har数族{hn(x)}， 对任意[0,1]上的连续函数，有
f , h
n 0

n
hn ( x)

修正对函数的要求，并找出适合于Fourier级 数理论的活动类。 修正Fourier级数收敛的定义。 找出另外的正交函数族，使其对三角函数族的 发散现象不在产生。
三个研究方向的结果：
第一个方向： 由Lebegue解决。平方可积函数。即：
L 0,2
2
第二个方向： 产生了调和分析这一研究 领域。
在[0,1]上一致收敛于 f ( x).

1909年，Haar找到了一个现在被称为 Haar函数（小波）的函数，满足上面的 要求。
1/2
1
1 h ( x ) 1 0
j 2
1 x [0, ) 2 1 x [ ,1) 2 其他 其中：n 2 j k
x(t1 ),..., x(tn )的联合分布函数
随机过程 x(t ), t T 表征的随机信号 称为（严格）平稳随机信号。 对所有的t1 ,..., tn , T 都相同，则由
平稳信号与非平稳信号：

广义平稳随机信号
若随机信号 x(t ), t T 满足：
hn ( x) 2 h(2 j x k ) h0 ( x) [0,1]
缺点：hn ( x)不是连续函数。
基础知识：

群
一个集合X,在这个集合上有一个被称作 乘法的内部运算。且满足：
(1)结合律 ( xy) z x( yz) x, y, z, X
(2)存在恒等元e X，使 xe ex x x X (3)对任意的x X , 存在x的逆元x 1，使 x 1 x xx1 e



信号是什么？ 信号分析的任务是什么？ 什么是非平稳信号？ 用什么方法来分析和处理非平稳信号？
信号：

信号是随时间或空间变化的物理量。 信号的数学表示方式： 多变量函数。

信号分析：

对信号基本性质的研究和表征。

多变量函数的不同表示。
平稳信号与非平稳信号：

平稳随机信号
若 x(t1 ),..., x(tn )的联合分布函数与
f n ( x) f0 ( x) ,
a.e
即：A {x fn ( x)不收敛与 f0 ( x)}是一个零测集。

控制收敛定理
假定f n ( x) f ( x)几乎处处, 如果 f n ( x) g ( x) 对于所有的n成立，那么f ( x)可积，并且
f ( x)dx lim f
n
n
( x)dx

Fubili定理
如果 f ( x, y ) dxdy . 则
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y )dydx
函数空间：
C[a,b] :{f(x)|f(x)是[a,b]上的连续函 数} L2 :{f(x)|f(x)是平方可积函数}
非平稳信号分析
教学内容：

信号的时－频表示方法 短时傅立叶变换 分数傅立叶变换 Wigner分布与广义双线性时频分布 小波分析和应用
对学习者的要求

三个基本要求：

掌握时频分析的基本思想 熟悉处理非平稳信号的基本方法 能将非平稳信号分析方法应用在实际工作 中。
非平稳信号分析介绍：
（1） E x(t ) m 常数 （2） E | x(t ) |2 （3） Rx [t1 , t2 ] Rx (t1 t2 ) 称为广义（二阶）平稳随机信号。
平稳信号与非平稳信号：

广义(n阶）平稳随机信号 n阶统计量不随时间变化的随机信号
平稳信号与非平稳信号：

环的恒等元
e X , 对x X，有 ex xe x

Abel环 在乘法运算下，还是一个Abel群的环。

域 一个具有恒等元的环，且满 足除零（加法的恒等元）以外的 所有元素都有逆元。

模 在一个Abel群上再加上一个被称为 数乘的外部运算。
( x y ) x y ( ) x x x ( ) x ( x) , R, x, y X

Fourier变换的意义：波的合成
红色光
输入：自然光
橙色光
紫色光
频率1 输入：f(x) 频率2 . .
Fourier变换的一种解释
一个反例：

1873年，Bois-Reymond构造了一个反例： 一个连续的周期函数，但它的 Fourier级数在给定点发散。
对Fourier变换理论的修正：