My2015=S=数论应用趣题
100个数论经典例题
100个数论经典例题数论经典例题是学习数论的重要方式，它们体现了数论的基本概念和重要定理。
下面列举了100个数论经典例题及其相关参考内容，帮助读者更好地理解和掌握数论的基础知识。
1. 证明：对任意正整数n，有$n^2\equiv 0\pmod{2}$。
解答：正整数的平方一定是偶数，因为偶数乘以偶数还是偶数。
2. 证明：对任意正整数n，有$n^3\equiv n\pmod{3}$。
解答：利用模运算的性质，$n\equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$，分别代入得到$n^3\equiv 0, 1, 8 \equiv 0, 1 \pmod{3}$。
3. 证明：对任意正整数n，有$n^2\equiv 0$ 或 $1 \pmod{4}$。
解答：正整数的平方一定是偶数，因此$\pmod{4}$下只有两个可能性，即0或1。
4. 证明：对任意正整数n，有$n^m\equiv n \pmod{m}$。
解答：利用数论基本定理得到$n^m\equiv n\pmod{m}$。
5. 证明：对任意正整数n，如果$n^2$是完全平方数，则n也是完全平方数。
解答：设$n^2 = k^2$，则$(n+k)(n-k) = 0$，即$n+k = 0$或$n-k = 0$，因此n是完全平方数。
6. 证明：对任意正整数n，如果$n^2$是立方数，则n也是立方数。
解答：设$n^2 = k^3$，则$(n^{\frac{2}{3}})^3 = k^3$，因此n是立方数。
7. 证明：对任意正整数n，如果$n^2$是素数，则n是素数。
解答：反证法，假设n不是素数，则n可以表示为两个正整数的乘积，因此$n^2$也可以表示为两个正整数的乘积，与$n^2$是素数矛盾。
8. 证明：存在无穷多个素数。
解答：利用反证法和欧几里得定理可以证明存在无穷多个素数。
9. 证明：存在无穷多个不能表示为两个素数之和的正整数。
解答：利用哥德巴赫猜想的推广版本可以证明。
初二数学下册综合算式专项练习题数论问题的解决方法
初二数学下册综合算式专项练习题数论问题的解决方法数论问题是数学中的一个重要分支，研究整数的性质和相互关系。
在初二数学下册的综合算式专项练习题中，数论问题常常是考点之一。
深入理解数论问题的解决方法对于解题能力的提升至关重要。
本文将介绍一些数论问题的解决方法，以帮助同学们更好地解决这类综合算式题目。
1. 质数的判断及性质利用质数是只能被1和自身整除的自然数，我们可以通过以下方法判断一个数是否为质数：- 用2到根号n的所有自然数依次去除n，如果都无法整除，则n是质数；- 除了2以外，所有的质数都是奇数，因此，我们可以先判断一个数是否为2，再进行奇数的判断。
在解决综合算式练习题时，质数的一些性质也是常常会被使用到，比如：- 任意两个质数的和是偶数，且不可能是质数；- 任意一个大于2的整数都可以表示成两个质数的和；- 奇数可以表示成连续奇数的和。
2. 互质和最大公约数在数论问题中，互质表示的是两个数的最大公约数为1。
求两个数的最大公约数有多种方法，常用的有欧几里得算法和因式分解法。
当求得两个数的最大公约数为1时，这两个数就是互质数。
在解决综合算式练习题时，互质和最大公约数的概念常常会被用到。
例如，可以利用互质性质求两个数之和或差的最大公约数为1来推导题目的解答。
3. 奇偶性的利用在数论问题中，奇数和偶数的性质也常常被应用到解题当中。
常见的奇偶性质有：- 一个奇数乘以任何一个整数的积仍为奇数；- 两个奇数之间的和是偶数；- 两个偶数之间的和是偶数，乘积是偶数。
在解决综合算式练习题时，可以通过奇偶性的判断解决问题。
例如，判断一个数除以另一个数的余数是奇数还是偶数，就可以考虑被除数和除数的奇偶性。
4. 数列的求和数论问题中经常涉及到数列的求和。
对于等差数列，求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
在解决综合算式练习题时，可以利用数列的求和公式来快速求得数列的和，从而简化计算过程。
趣味数学题63例-
趣味数学题63例1.请问几分钟时，盒内为半满状态？有一个魔术盒子，里面装有鸡蛋，魔法一施展，每分钟鸡蛋的数目就增加一倍，10分钟后，盒内盛满了鸡蛋，请问几分钟时，盒内为半满状态？2.请问最少要拿出几只袜子抽屉中有十只黑袜子和十只白袜子，假若你在黑暗中开抽屉，伸手拿袜子；请问最少要拿出几只袜子，才能确定拿到了一双？3.它何时才能爬出枯井？一只猴子陷落在一口三十尺深的枯井中，如果它每天能够向上爬三尺，再向下滑一尺，以这种速度，它何时才能爬出枯井？4.最高要化费多少分钟？假设三只猫能在三分钟内杀死三鼠，请问一百只猫杀死一百只老鼠，最高要化费多少分钟？5.他们谁最大？谁最小？扎扎比菲菲大，但比胡安小.菲菲比乔乔和马修大。
马修比卡罗斯和乔乔小。
胡安比菲菲和马修大，但比卡罗斯小。
他们谁最大？谁最小？6.请用+、-、×、÷、（）等运算符号1.请用+、-、×、÷、（）等运算符号把五个3连接起来，组成算式，使它们的得数分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
2.请你在四个5之间添上运算符号，使运算结果分别等于0、1、2、3、4、5、6、7。
3.下面的算式只写了数字，忘记写运算符号，请你选用+、-、×、÷、（）、[ ]这几种符号填进算式之中，使等式成立。
1 2 3=11 2 3 4=11 2 3 4 5=11 2 3 4 5 6=11 2 3 4 5 6 7=11 2 3 4 5 6 7 8=11 2 3 4 5 6 7 8 9=17.这只狗共奔跑了多少千米路？甲和乙从东西两地同时出发，相对而行，两地相距10千米。
甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，几小时两人相遇？如果甲带了一只狗，和甲同时出发，狗以每小时5千米的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去；遇到甲又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。
问这只狗共奔跑了多少千米路？8.下面算式里“华杯”代表的两位数是多少华罗庚是1910年出生的，下面算式里“华杯”代表的两位数是多少？1910＋华杯9.赛马场有这幺一个赛马场，跑道上A马一分钟可跑2圈，B马能跑3圈，C马则跑4圈。
数论练习题及解答
数论练习题及解答数论是数学的一个重要分支，研究整数之间的性质和关系。
以下是几道数论练习题及其解答，旨在帮助读者加深对数论知识的理解。
题目一：证明：如果一个整数的平方是奇数，那么该整数必定是奇数。
解答：假设存在一个整数n，满足n²是奇数，但是n本身是偶数。
那么n可以表示成n=2k（k为整数）。
根据已知条件，n²是奇数，代入n=2k得到(2k)²=4k²是奇数。
但是显然，4k²为4的倍数，而奇数不可能是4的倍数，因此得出矛盾。
所以假设错误，原命题得证。
题目二：证明：任意一个素数至少可以表示成4k+1和4k-1两种形式的乘积。
解答：假设存在一个素数p，既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式。
那么p可以表示成p=4k、4k+2或4k+3（k为整数）。
1. 若p=4k，显然p为4的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；2. 若p=4k+2，可以将p分解为p=2(2k+1)，其中2k+1也为整数，即p为2的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；3. 若p=4k+3，可以将p分解为p=3(4k+1)，其中4k+1也为整数，即p为3的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾。
综上所述，当p既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式时，假设错误，原命题得证。
题目三：找出下列数中的最大公约数：4620和770。
解答：利用辗转相除法求解最大公约数。
首先，用较大的数除以较小的数，计算它们的余数：4620 ÷ 770 = 6 (300)接下来，用余数除以第一步的余数，再计算新的余数：770 ÷ 300 = 2 (170)再次用余数除以第二步的余数，继续计算新的余数：300 ÷ 170 = 1 (130)继续进行相同的除法运算：170 ÷ 130 = 1 (40)130 ÷ 40 = 3 (10)40 ÷ 10 = 4最后，除数为10，余数为0，所以10即为4620和770的最大公约数。
萨姆·劳埃德数学趣题选（附答案）
萨姆·劳埃德数学趣题选（附答案）萨姆·劳埃德（1841～1911），世界少数几个伟大的数学趣题家之一，作品曾风靡欧美。
他身后由他儿子收集汇编的《趣题大全》，是留给人类智力宝库的一份珍贵遗产。
1 鸡蛋的价钱“我买鸡蛋时，付给杂货店老板12 美分，”一位厨师说道，“但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿地添加了2 只鸡蛋给我。
这样一来，每打（12 只）鸡蛋的价钱就比当初的要价降低了1 美分。
”厨师买了多少只鸡蛋？2 煞费苦心的送奶人一位煞费苦心的送奶人每天早晨在出发之前，都要把两个16 加仑的牛奶桶盛满纯牛奶。
他的客户分布于四条不同的街道，每条街道都要供应同样夸脱数的牛奶。
第一条街的任务完成之后，他接上自来水龙头。
瞧，他的牛奶桶又满到边上了！接着，他到第二条街去送牛奶，送完后，再回到自来水龙头处，又把牛奶桶灌满。
他用这种办法为每条街道服务，每送完一条街道就用水把牛奶桶灌满，直到所有幸运的客户都被服务到为止。
如果所有的客户都供应完之后，桶中还剩下40 夸脱又1 品脱纯牛奶。
试问：每条街道分到了多少纯牛奶？(1 加仑等于4 夸脱。
1 夸脱等于2 品脱。
)3 五个报童五个聪明的报童合伙卖报，他们按照下面的方式卖掉了他们的报纸。
汤姆·史密斯卖掉了总数的四分之一再加一张报纸，比利·琼斯卖掉的报纸是余下的四分之一再加一张，内德·史密斯又卖掉余下报纸的四分之一再加一张，查利·琼斯再卖掉余下的四分之一再加一张。
这时，史密斯家的孩子们比琼斯家的孩子们要多卖出100 张报纸。
这个小集团中的最年轻成员小吉米·琼斯现在把所有剩下的报纸统统卖光了。
琼斯家三个孩子卖出的报纸要比史密斯家两个孩子卖出的多。
现在问你：究竟多卖出多少？4 玛丽的年龄玛丽同安妮的年龄合起来是44 岁。
玛丽的年龄是安妮过去某一时刻年龄的两倍，那时玛丽的年龄是安妮将来某一时刻年龄的一半，到将来那一时刻，安妮的年龄将是玛丽过去当她的年龄是安妮年龄的三倍时的年龄的三倍。
《数论》单元测试卷(附答案)
《数论》单元测试卷(附答案)第一题
1. 求下列数的最大公约数：
- 20和15的最大公约数是多少？
- 48和36的最大公约数是多少？
答案：
- 20和15的最大公约数是5。
- 48和36的最大公约数是12。
第二题
2. 求下列数的最小公倍数：
- 4和6的最小公倍数是多少？
- 12和15的最小公倍数是多少？
答案：
- 4和6的最小公倍数是12。
- 12和15的最小公倍数是60。
第三题
3. 判断下列命题的真假：
- $1+2+3+4+5+6+7+8+9$ 能被3整除。
- $2+4+6+8+10+12+14+16$ 能被4整除。
答案：
- $1+2+3+4+5+6+7+8+9$ 不能被3整除。
- $2+4+6+8+10+12+14+16$ 能被4整除。
第四题
4. 求下列整数的奇偶性：
- 17是奇数还是偶数？
- 48是奇数还是偶数？
答案：
- 17是奇数。
- 48是偶数。
第五题
5. 求下列数的位数：
- 1234有几位数字？
- 有几位数字？
答案：
- 1234有4位数字。
- 有6位数字。
第六题
6. 将45写成因数的形式。
答案：$45=3\times3\times5$。
第七题
7. 是否为回文数？
答案：是回文数。
第八题
8. 求12的质因数。
答案：12的质因数是2和3。
以上是《数论》单元测试卷的题目和答案。
集训5. 2015培训题 数论部分问题 2.26
希望杯集训（四）数论部分问题1)1，3，8，23，229，2015的和是奇数还是偶数？2)若a 是质数，b 是合数，试写出一个合数(用a ，b 表示)。
3)若连续8个偶数的和为2008，则这8个偶数中，最小的是多少？4)5个连续奇数的和是2015，求其中最大的奇数。
5)若将2015分解成5个自然数的和，则这5个自然数的积是“奇数”，“偶数”，还是“奇数或偶数”？6)若10个不同整数的和为一个偶数，且偶数比奇数多，则偶数最少有多少个？7) 自然数h ，o ，p ，e 互不相等，已知e p o h ⨯⨯⨯=693，求h +o +p +e 的最大值。
8) 如图13，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。
在这些圆圈中分别填上六个质数，使它们的和是30，若每个小三角形顶点上的三个数的和均相等，求这六个质数中最大的。
9) 有一类两位数，只有4个约数，并且个位和十位上的数字是相邻的自然数，求这样的两位数。
10) 有两个自然数，它们的最大公约数是14，最小公倍数是210，问：这样的自然数有多少组？11) 如果a ，b 都是质数，并且3a+7b=47，求a+b 。
12) 用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个(每个数字只用一次)，并且这四个数两两互质，其中的四位数是2940，求另外三个数的和。
13) 电脑上有一种游戏：输入的数若是质数，则输出的数是与这个质数相邻且比它大的质数与1的和；若输入的是合数，则输出的数是与这个合数相邻且比它的合数与1的和，若输入的数找不到应该输出的数，则显示“你失败！”。
若小明输入10，将输出的数再输入，将输出的数再输入，……则第2015次输入时，输出的是什么？14) 如果6666个n 是1998的倍数，则n 最小是多少？15)10010÷99的余数是多少。
16)20142014÷2015的余数是多少。
17)若四位数3a50能同时被2、3、5整除，则a 有多少个不同的值？18)在四位数2015的后面添一位数，使这个五位数能被7整除，则加上的这个数是多少？19)一个数除以3、5或7，都余2，则这个数最小是多少？20)5×6×7×…×2014×2015的末尾有多少个连续的零？。
初中数学竞赛：数论的方法技巧(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：数论的方法技巧数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
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2015数学联赛二试专题训练 数论应用1
1、证明：对任何整系数多项式)(x P 和任何正整数k ，都存在正整数n ，使得)()2()1(n P P P +++ 能被k 整除.
2、是否存在一个2的幂，其每位上的数字均不为零，且可以按不同的次序重新排列各位数字得到另一个数也是2的幂？证明你的结论.
3、已知圆上有N 盏灯，开始时全是关着的.对于N 的每一个正因数d （包括1和N ），从第一盏灯开始，每d 盏灯就改变一次它的开关状态，且对于每个d 都进行N 次开或关.问对于怎样的N ，能够在最后使所有的N 盏灯都是开着的?
4、已知一个无穷等比数列的每一项都是正整数，且其中至少有两项不能被4整除.如果其中某一项等于2004，试确定数列的通项n a .
5、求所有正整数n ，满足n 为合数，且其所有的大于1的因数可以放在一个圆上，使得任意两个相邻的因数都不是互质的.
6、证明：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+++1479233157336157
147z y y y x x y y x x x 没有整数解z y x 、、.
7、 “章鱼保罗”要将由N 块木条围成的圆形栅栏刷成红色，他按以下原则顺时针上色：先给第一块木条上色，再给间隔一块木条后的那块上色，然后给间隔二块木条后的那块上色，每次上色的间隔数比上一次多一（某些木条可能被刷了几次），如此下去. 保罗相信迟早会将所有木条刷成红色，但“海宝”认为最终存在某些木条没被上色.证明:若N 是2的幂，则保罗是正确的，否则海宝是正确的.
8、非负整数数列}{n a 定义为：1x 是小于204的非负整数，且
0,1200412004321>+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+n n x n n x n n .证明：数列}{n a 一定包含无数个质数.
9、存在性问题：证明存在无穷多个正整数，这些数都是2005的倍数，而且这些数写成十进制数后，0，1，…9出现的个数相等（规定：首位前面的0不算）.
10、求不定方程273=-n
m 的所有正整数解.
11、已知数列}{n a ，,20,821==a a n n n n n n a a a a a a 111211212+++=++++. 求证：}{n a 中任何一项都不可能表示成三个整数的七次方之和.。