第三章 易损件振动与随机振动

1 + 4ζ 2 λ 2
2 2
+ 4ζ λ
2
2
＜1
解不等式得缓冲衬垫产生减振效果的条件为：
f sm = 0.707 f sm fm ＜ 2
六、包装减振设计方法
由上式可以看出：
f sm • 只有当 fm ＜ 时，缓冲衬垫才能产生减振效果； 2 f sm • 如果 fm = ，在激振频率 f = fsm 时，有、无包装的 2
1 + 4ζ 2 λ 2
2 2
+ 4ζ 2 λ 2
f sm λs = fm
要使缓冲垫减振，就要使包装后的放大系数 Hmax2 小于无包 装时的放大系数 Hmax ，即 Hmax2 ＜ Hmax
1 = 2ζ s
六、包装减振设计方法
由此可知，减振包装设计的条件为 Hmax2 ＜ Hmax 即：
(1 − λ )
λs =
f f sm
=1
H max
1 = 2ζ s
六、包装减振设计方法
• 再求出包装后易损部件对振动环境的响应 包装后，易损部件系统对振动环境有两次共振，并一般在 第二次共振时放大系数较大，这时就应分析 f = fsm 时的情 况。此时系统的放大系数为
H max 2 1 = 2ζ s
(1 − λ )
六、包装减振设计方法
fm 1 = 在减振包装设计时，第一次共振时： λs = f sm 2π f sm 第二次共振时： λ = f sm = 2π f sm m fm k k m
产品质量 m 和易损部件的固有频率 fsm 是不能随意改变的， 因此要改变λ，就只能调节缓冲衬垫的弹性系数 k 。 • 先求出无包装时易损部件对振动环境的响应 产品系统相当于外部激励，易损部件系统是阻尼比很小的单 自由度强迫振动系统。因此当 f = fsm 时，
一、力学模型
• 当产品质量m远远大 于易损部件质量ms时 （ms＜＜m），不计零 件对产品的反作用，只 考虑产品对零件的作用， 就可以将包装件分解成 单自由度易损部件—产品激励系统 两个单自由度系统。这 种方法叫做两级估算法。
单自由度产品—衬垫激励系统
一、力学模型
两级估算法： • 第一步：应用有阻尼单自由度系统强迫振动理论 分析产品对振动环境的响应； • 第二步：用产品对振动环境的响应作为激励来分 析易损部件对产品激励的响应； • 第三步：将前两步的结论进行耦合，可以得出易 损部件对振动环境的响应。
x = xm sin ( pt − φ )
所以易损部件系统对产品激励下的响应
x = xsm sin ( pt − φ − φs ) 式中： xsm 是易损部件稳态强迫振动的振
幅 放大系数βs是易损部件系统的传递率
βs =
1 + 4ζ λ
2 s 2 2 s
xsm = β s xm
= f f sm
(1 − λ s2 ) + 4ζ s2 λ s2
1 + 4ζ s2 λs2 1 βs = = 2 2 2 2 (1 − λs ) + 4ζ s λs 2ζ s
五、易损部件共振时的最大加速度
所以易损部件系统对振动环境的第二次共振的放大系数为：
H max 2
1 = ββ s = 2ζ s

(1 − λ )
1 + 4ζ 2 λ 2
2 2
+ 4ζ 2λ 2
二、产品衬垫系统对振动环境的响应
按照线性假设，产品衬垫系统的固有频率与阻比 分别为：
ω 1 fm = = 2π 2π
k m
c c ζ = = 2mω 2 km
易损部件系统的固有频率与阻尼比分别为： ωs 1 ks f sm = = 2π 2π ms
cs cs ζs = = 2msωs 2 k s ms
其中 λs =
p
ωs
相位差
2ζ s λs3 tan φs = 1 − λs2 + 4ζ s2 λs2
四、易损部件系统对振动环境的响应
将产品—衬垫系统对振动环境的响应振幅 xm = β ym 代入易 损部件系统的响应振幅 xsm = βs xm 中，得 令 H ( f ) = ββ s 得到易损部件系统对振动环境的响应的最 大振幅： xsm = H ( f ) ym 式中，H ( f ) ——易损部件与环境系统的放大系数,或称 为传递率,它描述了通过产品—衬垫系统传递到易损部件的 加速度与冲击加速度的比值。 p f = f ——振动环境频率 2π
1 H max1 = = 7.14 2ζ s
六、包装减振设计方法
• 当 fm = 49.5 Hz 时易损部件的响应加速度峰值节 此时，易损部件的第一次共振发生在激振频率 f = 49.5 Hz 时，
f m 49.5 λs = = = 0.71 ，其放大系数和加速度峰值分别为： f sm 70 1 1 + 4ζ 2 H max1 = = 4.52 2 2 1 − λs 4ζ
四、易损部件系统对振动环境的响应
例：有一包装件，产品衬垫付系统的固有频率 fm = 40Hz， 阻尼比 ζ = 0.25 。易损部件系统固有频率为 fsm = 80Hz ，阻 尼比 ζ = 0.01 。绘制易损部件对振动环境的幅频特性曲线。 解：产品衬垫系统的放大系数为：
β=
1 + 4 × 0.252 λ 2 1 − λ + 4 × 0.252 λ 2
二、产品衬垫系统对振动环境的响应
对于包装件来说，运输工具的振动就是振动环境，设振动 环境为简谐振动，即输入激励为：
y = ym sin pt
x = xm sin ( pt − φ ) 式中： xm 是物块稳态强迫振动的振幅
放大系数β是产品衬垫系统的传递率
这时产品—衬垫系统的响应就是
xm = β ym
f f sm
1 因为 f m = 2π f sm 1 = 2π
k m ks ms
fm = f sm
由ms＜＜m，可以推出 fm明显小于 fsm ，则λs ＜＜ 1； 由产品特性得知，易损部件的ζ s 是 很小的。
五、易损部件共振时的最大加速度
所以易损部件系统的放大系数为
x β s = sm = xm
六、包装减振设计方法
例：产品易损部件的固有频率 fsm =70Hz，阻尼比 ζ s = 0.07， 产品衬垫系统的阻尼比为ζ = 0.25 ，已知振动环境的激振频率 范围为 f =1～100Hz，最大加速度峰值为：ɺɺm = 3 g 。试设计产 y 品—衬垫系统的固有频率 fm ，使之能减小易损部件的响应加速 度。并计算无包装时易损部件相应加速度峰值，当 fm 分别为 70Hz、49.5Hz、32Hz时易损部件的响应加速度峰值。
ɺɺsm1 = H max1 ɺɺm = 13.56 g x y
易损部件的第二次共振发生在激振频率为 f = 70 Hz 时，此时
f sm 70 λ= = = 1.414 ，其放大系数和加速度峰值分别为： f m 49.5
六、包装减振设计方法
H max 2 1 = 2ζ s 1 + 4ζ 2 λ 2 1 − λ 2 + 4ζ 2 λ 2
2
= 7.14
ɺɺsm 2 = H max 2 ɺɺm = 21.42 g x y
由上述分析得：此时易损部件第二次的加速度峰值与无包装 相等，有包装与无包装一样，缓冲垫没有减振效果。 • 当 fm = 32 Hz 时易损部件的响应加速度峰值 此时，易损部件的第一次共振发生在激振频率 f = 32 Hz 时，
xsm = ββ s ym
四、易损部件系统对振动环境的响应
以放大系数（传递率） ( f ) 为纵坐标，以振动环境的激 H 振频率 f 为横坐标，可以绘制出 H ( f ) — f 曲线（幅频特性 曲线） 由图可以看出： • 产品—衬垫系统的 β— f 幅频曲线通常明 显小于易损部件系统的 βs— f 幅频曲线，所以 耦合后的H( f )— f 幅 频曲线为马鞍形; • 易损部件在振动环 境的激励下有2次共振。
f sm λ= fm
y 在已知振动环境的激励加速度峰值 ɺɺm ，就可以求得易 损部件系统两次共振的响应加速度峰值分别为：
ɺɺsm1 = H max1 ɺɺm x y ɺɺsm 2 = H max 2 ɺɺm x y
由上式可以估算出产品易损部件对外部激振的响应，从而 判断其是否会破损，并由此改进缓冲垫系统，使易损部件的 响应被控制在其能承受的范围内，起到保护产品的目的。
f sm 解：已知 fsm = 70Hz，由缓振设计公式 fm ＜ 得 2 f sm 70 = = 49.5Hz fm ＜ 2 2
要使易损部件系统的响应加速度峰值小于激振峰值，则 fm ＜ 49. 5Hz
六、包装减振设计方法
• 当 fm = 70Hz 时易损部件的响应加速度峰值 无包装时，易损部件在 fm = 70Hz 时发生共振，其放大系 数和响应加速度峰值分别为：
λs =
f f sm
五、易损部件共振时的最大加速度
• 易损部件系统对振动环境的第一次共振 由上个例题得知，第一次共振发生在 f = fm 时，此时λ=1 产品衬垫系统的放大系数为 xm 1 + 4ζ 2 λ 2 1 + 4ζ 2 β= = = 2 2 2 2 ym 4ζ 2 (1 − λ ) + 4ζ λ 易损部件系统的频率比为： λs =
放大系数相等，缓冲衬垫无减振效果；
f sm • 如果 fm ＞ ，缓冲衬垫不但不能减振，反而会加剧易 2
损部件的振动，特别是当 fm = fsm 时，产品衬垫系统和易损 部件系统同时发生共振，这时的放大系数为： 1 1 + 4ζ 2 H max 2 = 2ζ s 4ζ 2 这时易损部件系统振动最为强烈。
• 易损部件对振动环境的第二次共振 第二次共振发生在激振频率 f = fsm 时，产品衬垫系统的放 大系数为：