人教版高中数学121第2课时函数概念的综合应用
2019 2020高中数学第1章三角函数121任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用教案新人教A版
三角函数线及其应用课时第21．有向线段(1)定义：带有方向的线段．OMMP. (2)表示：用大写字母表示，如有向线段，2．三角函数线PPPMxM. ，过垂直于作轴，垂足为作图：①(1)α的终边与单位圆交于AxT. α0)作的终边或其反向延长线于点轴的垂线，交②过(1，(2)图示：MPOMAT，分别叫做角α、结论：有向线段(3)的正弦线、余弦线、正切线，统称为三、角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？xy轴上当角的终边落在轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在提示：时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．π8π1．角和角有相同的( )77A．正弦线 B．余弦线．不能确定D ．正切线C．π8πC [角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．]772．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )OMAT′．正弦线′，正切线 A OMAT′．正弦线′，正切线 B MPAT，正切线C．正弦线MPAT′，正切线′D．正弦线MPAT，C，正切线为正确．C [α为第三象限角，故正弦线为]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为．y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，0的余弦线长度为时，α的终边落在1 [若角α1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．【例1ππ10π17.(3)－；(2)；(1)364 [解]如图．MPOMAT为正切线．其中为正弦线，为余弦线，三角函数线的画法x轴的垂(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．xA)的终边(α作正切线时，应从(1，0)点引为第一或第四象限角轴的垂线，交α(2)ATT.于点，即可得到正切线或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)π5 1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．8 ]如图：[解π5????MP－＝，sin??8π5????OM－，cos＝??8π5????AT－. ＝tan??8) ＞cos β，那么下列结论成立的是( 【例2】 (1)已知cos αβsin α＞sin ．若Aα、β是第一象限角，则α＞tan β是第二象限角，则B．若α、βtanα＞sin βC．若α、β是第三象限角，则sin＞tan β．若α、β是第四象限角，则tan αDππ4π2π4π22π4 的大小．，tan和tan和(2)利用三角函数线比较sin和sin，coscos553533在规定象限内画观察正弦线或正、β的余弦线出α→思路点拨：(1) 切线判断大小满足cos α＞cos β2π4π观察图形，(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→比较大小35 错误；A，故βsin ＜αsin 时，βcos ＞αcos 可知，(1)由图[ D)1(图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图(4)2π2π2π4π4πMPOMATMPOM′，＝′，tan＝，＝′cos＝＝解：如图，(2)sin，cos，333554πAT′.＝tan 5．MPMP′|，符号皆正，| 显然|′|＞2π4π∴sin＞sin；352π4πOMOM′|，符号皆负，∴cos＞cos；|＜| |352π4πATAT′|，符号皆负，∴tan＜tan|＞||.35(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2π2π2πabc＝tan，则( ＝cos， 2．已知sin＝，)777abcacb＜．．＜B＜＜A babcac＜．D＜．C＜＜D[由如图的三角函数线知：2π2ππATMP＞，因为＝＜，784MPOM，＞所以．2π2π2π所以cos＜sin＜tan，777bac.]所以＜＜πππ3π3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，4224上述长度关系又如何？ππMPOMAT，，余弦线为，正切线为α＜时，角α的正弦线为[解] 如图所示，当＜42π3πATMPOMMPOM′，′时，角α显然在长度上，的正弦线为＞′，余弦线为＞＜；当＜α24ATATMPOM′.′＞′＞′正切线为′，显然在长度上，]探究问题[aaa (|α≥|≤1)的不等式？，sin α≤1．利用三角函数线如何解答形如sinaaa(|，sin α≤|≤1)的不等式：提示：对形如sin α≥图①yOMaay轴的垂线交单位圆于两作)，过点(0画出如图①所示的单位圆；在，轴上截取＝PPOPOPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为和点和和′；写出终边在′，并作射线aa的角α的范围．α的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin ≥sin 满足不等式α≤aaa|≤1)的不等式？≤α(|．利用三角函数线如何解答形如2cos α≥，cosaaa|≤1)的不等式：≤cos α对形如提示：cos ≥，α(|图②．xaaxOM轴的垂线交单位圆于两，0)＝，过点画出如图②所示的单位圆；在(轴上截取作OPOPPPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为满′，作射线′；写出终边在点和和和aa cos α的角α≥足不等式cos α≤的范围．的角α的范围，其余部分即为满足不等式3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．【例132. αα|≤(1)cos α＞－≤；(3)|sin ；(2)tan 223的写出角α确定对应确定角α的终→思路点拨：→――方程的解边所在区域取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是3π3π???kkk?Z，＜α＜2π2＋π－∈. α???44??(2)如图，由正切线知角α的取值范围是ππ???kkk?Zπ＋∈π，α≤. α???62??111(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.222如图，由正弦线知角α的取值范围是ππ???kkk?∈，π＋Zπ－α≤≤.α???66??2”，求α的取值范围．的不等式改为“cos α＜ 1．将本例(1)2[解]如图，由余弦线知角α的取值范围是π7π???kkk?Z＜2，π2＋π＋∈＜α. α???44??132．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”，求α的取值范围． 22π117π3π2π????－＝－，sin且－≤sin θ＝]由三角函数线可知sin＝sin，sin＝[解??62633223，故θ的取值集合是＜ 2ππ2π7π????kkkk????k＋22π2，＋π＋π，2π－ (．∈Z)∪????6633yx－1的定义域．．利用本例的方法，求函数＝2sin 3x－1≥0，2sin ]要使函数有意义，只需解[1x≥.即sin 2π5π??kk??k＋＋，2π2π∈Z)． (由正弦线可知定义域为??66利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．(3)在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的提醒：所有角的集合．．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小1 问题，难点是对三角函数线概念的理解． ．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题2 ；三角函数线的画法，见类型1(1) ；利用三角函数线比较大小，见类型2(2)3.利用三角函数线解简单不等式，见类型(3)．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值3的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之 重． ．利用三角函数线解三角不等式的方法41．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上π5πB [A正确；B 错误，如与有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反66向延长线；D 正确．]πOMMP 分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( 2．如果， )5MPOMMPOM ＜0＜．B0＜＜．A ．MPOMMPOM 0＞＞＞＞0 DC ．．ππOM 的余弦线和正弦线满足α＝[角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角D 54MP 0.]＞＞baba，则cos 4 ，3．若．＝sin 4，的大小关系为＝ππ35ba＜，＜＜ [因为424 ，如图4弧度角的正弦线和余弦线()画出ba.]＜cos 4，即观察可知sin 4＜的集合．α的终边范围，并由此写出角α．在单位圆中画出适合下列条件的角413. α≤－(1)sin α；≥(2)cos 223yOBABOA＝(1)作直线[α的终边在如图①所交单位圆于解，两点，连接]，，则角2π2???kkk?∈Zπ，≤π≤απ＋2＋2.α)含边界，角的取值集合为α(示的阴影区域内???33??图①图②1xCDOCOD，则角α＝－(2)作直线交单位圆于，两点，连接，的终边在如图②所示的2．24???kkk?∈，Zπ≤α≤＋2π2π＋π.阴影区域内(α的取值集合为，角含边界)α???33??。
人教A版高中学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数的概念与性质 函数的概念-第2课时函数概念的应用
[解析]由ቊ
得 > ,且 ≠ .故选C.
− ≠ ,
2.函数() =
1
(
2 +1
∈ )的值域是() B
A.(−∞, 1]B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
[解析]因为
(, ].故选B.
+ ≥ ,所以 <
+
≤ ,故函数() =
为函数 = − 2 + 4 + 1的图象开口向下,对称轴方程为 = 2 ∈ [0, +∞),所以当 = 2时,
函数 = − 2 + 4 + 1取到最大值,max = 5,所以原函数的值域为(−∞, 5].
1.知识清单：（1）求函数的定义域.
（2）求简单函数的值域.
2.方法归纳:配方法、换元法、基本不等式法、数形结合、转化与化归.
=
=2+
,
−3
−3
−3
7
7
2 +1
∵
≠ 0,∴ 2 +
≠ 2,∴ =
的值域为(−∞, 2)
−3
−3
−3
∪ (2, +∞).
（4） = 2 − − 1.
1
4
解 令 − 1 = ,则 ≥ 0且 = 2 + 1,∴ = 2( 2 + 1) − = 2 2 − + 2 = 2( − )2 +
1
4
则当 = 时,min =
15
,∴
8
15
, +∞).
8
= 2 − − 1的值域为[
15
,
数学人教版高中一年级必修1 指数函数及其性质(第2课时)
二、自主检测
1．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4<π0
B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0
D．π0<30.4<0.43
解析： 因为π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1，所以 0.43<π0<30.4，故选B.
答案： B
ax，x>1， 2．若函数f(x)＝ 4－a2x＋2，x≤1
∴f(0)＝m2·20＋0－11＝0，即m1＋－11＝0，
∴m＝1.
答案： 1
4．(2014·济南高一检测)若ax＋1>
1 a
5－3x(a>0，且a≠1)，求x
的取值范围．
解析： ax＋1>1a5－3x⇔ax＋1>a3x－5， 当a>1时，可得x＋1>3x－5，∴x<3.
(2)∵f(x)在 x∈R 上为奇函数，
∴f(0)＝0，
7分
即
a－20＋1 1＝0，解得
a＝1. 2
8分
经检验，a＝12时，f(x)＝12－2x＋1 1是奇函数.
9分
(3)由(2)知，f(x)＝12－2x＋1 1， 由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数， ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1). ∵f(1)＝12－13＝16， ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为61.
解简单的指数不等式
(1)解不等式13x2－2≤3； (2)已知(a2＋2a＋3)x>(a2＋2a＋3)1－x，求 x 的取值范围．
[思路探究] 1．未知数在什么位置？ 2．如何转化为常规不等式？
解析： (1)13x2－2＝(3－1) x2－2＝32－x2， ∴原不等式等价于 32－x2≤31. ∵y＝3x 是 R 上的增函数，∴2－x2≤1. ∴x2≥1，即 x≥1 或 x≤－1. ∴原不等式的解集是{x|x≥1 或 x≤－1}．
人教版高中数学A版高中数学必修一《函数的概念及其表示》函数的概念与性质(第二课时函数的表示法)
描点法作函数图象的三个关注点 1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图. 2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图 象. 3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的 点等.
14
图象的画法及应用 【例 2】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x， x∈[－2,2)．
15
[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，
20
函数解析式的求法 [探究问题] 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x))，反之，若已知 f(g(x))， 如何求 f(x)． 提示：若已知 f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x)．
21
【例 3】 (1)已知 f( x＋1)＝x－2 x，则 f(x)＝________； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x))＝4x＋8，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝ ________. [思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3) 用方程组法求解．
所以 f(x)＝2x＋83或 f(x)＝－2x－8.
24
(3)由题意，在 f(x)－2f(－x)＝1＋2x 中，以－x 代 x 可得 f(－x)－2f(x) ＝1－2x，联立可得ffx－－x2－f2－fxx＝ ＝11＋ －22xx， ， 消去 f(－x)可得 f(x)＝23x－1.]
度高中数学第一章集合与函数的概念1.1集合1.1.3第二课时补集及综合应用课件新人教A版必修1
即时训练3-1:设全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}.
(1)求(∁IM)∩N; (2)记集合A=(∁IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若A∪B=A,求实数a的取 值范围.
解:(1)因为M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, 所以∁IM={x|x∈R且x≠-3}, 所以(∁IM)∩N={2}.
第二课时 补集及综合应用
课标要求:1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集 的补集.2.熟练掌握集合的基本运算.3.体会数形结合思想及补集思想 的应用.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入一 相对于某个集合U,其子集中的元素是U中的一部分,那么剩余的 元素也应构成一个集合,这两个集合对于U构成了相对关系,这就验证了 “事物都是对立和统一的关系”.集合中的部分元素构成的集合与集合U 之间的关系就是部分与整体的关系.这就是本节研究的内容——补集和全 集. 导入二 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,2,3}.
解:A={x|2x-4<0}={x|x<2},B={x|0<x<5}, (1)A∩B={x|0<x<2}. (2)因为A={x|x<2},全集U=R, 所以∁UA={x|x≥2}, 则(∁UA)∩B={x|2≤x<5}.
题型三 补集的综合应用
【例3】 设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3},∁RB={x|-1≤x≤5}. (1)若A∩B≠ ,求a的取值范围;
误区警示 (1)利用数轴求集合的交、并、补集运算时需注意点的虚实情 况的变化.
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
最新-2021学年高中数学人教A版必修一课件：12 第2课时 区间、函数概念的应用 精品
解：(1)∵y＝x＋x 1＝x＋x＋11－1＝1－x＋1 1， 且x＋1 1≠0， ∴函数 y＝x＋x 1的值域为{y|y≠1}． (2)配方，得 y＝(x－2)2＋2. ∵x∈[1,5)， ∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y|2≤y<11}．
———————[课堂归纳·感悟提升]————————
下课
高中同步新课标·数学
(2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； ③y＝2xx－＋31.
[思路点拨] (1)①将自变量的值分别代入相应的 函数解析式求出函数值；②求 f{f[f(x)]}时，一般要遵循 由里到外的原则．
(2)①将自变量的值逐个代入求值；②利用配方法 结合二次函数图象求解；③可通过分离参数求值域．
讲一讲 2．判断下列各组中的函数 f(x)与 g(x) 是否相等，并说明理由． (1)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1； (2)f(x)＝x，g(x)＝ x2； (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；
(4)f(x)＝|x|，g(x)＝ x2.
[尝试解答] (1)f(x)的定义域是{x|x≠1}， g(x)的定义域是 R，它们的定义域不同，故不 相等．
答案：(1)(－∞，－2]∪(3，＋∞) (2)(－∞，－1]∪(5，＋∞)
[思考] 在函数的三个要素中，起决定作 用的是哪两个要素？两个函数相等必须具备 什么条件？
名师指津：起决定作用的是函数的对应关系和 定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关 系确定；当两个函数的定义域和对应关系相同时， 这两个函数就相等．
练一练
1．(1)用区间表示数集{x|x≤－2，或 x ＞3}为________． (2)已知全集 U＝R，A＝{x|1＜x≤5}，则∁UA 用区间表示为________．
人教版高中数学第一章函数的概念(第2课时)(共42张PPT)教育课件
类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
• 例6.已知函数 f(x) 5x 1
x2 （1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
注意： 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1<x≤2，则2<x+3 ≤5
［1,2］还是2x+1∈［1,2］? f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)中的
x，2x+1和2x-1的取值范围有何关系？
探究提示：
1.x+ 1 ∈［0,2］，x- 1∈［0,2］.
2
2
2.定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为
［1,2］，它的含义是x∈［1,2］.f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)
【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域C的不同情况有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域. 【解析】选B.结合函数定义，可知能构成7个函数，其值域有7 种不同情况. 即值域为{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6},{4,5,6}.
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ f 2 x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
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2 编辑课件
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2．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由. (1)y= x1 x1 ,y= x 2 1 . (2)y= 1x 1x ,y= 1 x 2 . 【解题探究】1.在所给四组函数中，定义域和对应关系分别 有什么关系？ 2.两个函数相等的条件是什么？
编辑课件
7
探究提示： 1.A.定义域不同，对应关系相同； B.定义域和对应关系都不同； C.定义域和对应关系都相同； D.定义域不同，对应关系相同. 2.两个函数相等的条件是定义域与对应关系均相同.பைடு நூலகம்
(3)y= 3 x 1 .
x 1
编辑课件
14
【解题探究】1.函数y=1+x2(x∈R)的值域是什么？当x趋向于 +∞时，y= 1 的函数值是如何变化的？
x
2.(1)在函数图象中，函数值f(x0)的几何意义是什么？如何
利用函数图象求函数的值域？
(2)函数y=3 x 的1 分子和分母都含有自变量x，是否可以将其
(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2. 作出函数y=x2-4x+6，x∈［1,5)的图象(如图所示).
由图观察得函数的值域为{y|2≤y<11}.
编辑课件
18
(3)方法一：y3xx 11 43x4 1,
显然
x
4
可1 取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}.
方法二：把y=
3x x
由
1 1
x x
0,
得0-, 1≤x≤1，故定义域为{x|-1≤x≤1}.
对于函数y= 1 x，2 由 1≥ 0x ，2 得-1≤x≤1，
故定义域为{x|-1≤x≤1}.
所以两函数定义域相同，又对应关系相同，故是相等函数.
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【拓展提升】判断函数相等的三个步骤和两个注意点 (1)判断函数是否相等的三个步骤
了.( )
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3
(3)两个函数的定义域和值域相同，则两个函数的对应关系也
相同.( )
提示：(1)错误.当两函数的定义域不同时，则不是相等函数，
故不正确.
(2)正确.值域{f(x)|x∈A}是由定义域A和对应关系f确定的.
(3)错误.两个函数的定义域和值域相同，函数的对应关系不一
定相同.
答案：(1)× (2)√ (3)×
(2)两个注意点
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关编.辑课件
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【变式训练】下列各组函数表示相等函数的个数是( ) ①y= x 2 3 与y=x+3(x≠3)
x3
②y= x 2 1与y=x-1
③y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选A.①②③对应关系都不同，故都不是相等函数.故
选A.
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类型 二 求函数值域问题
【典型例题】
1.(2013·日照高一检测)函数f(x)= 1 (x∈R)的值域为
1 x2
()
A.(0,1) B.(0,1］ C.［0,1) D.［0,1］
2.求下列函数的值域.
(1)y=3-4x,x∈(-1,3］.
(2)y=x2-4x+6,x∈［1,5).
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4
【知识点拨】
对函数相等的三点说明
(1)函数值域是由定义域和对应关系决定的.因此判断两个函数
是否相等，只看定义域和对应关系即可.
(2)当两函数的对应关系和值域分别相等时，两函数不一定相
等.
(3)若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等.
例如,函数f(x)=x2,x∈R与函数f(t)=t2,t∈R是相等函数.
y3 x 13 x 1 . 434
x 1 x 1
x 1
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【解析】1.选B.因为x∈R， 所以1+x2∈［1,+∞),所以f(x)= 1 ∈(0,1］.
1 x2
2.(1)作出函数y=3-4x,x∈(-1,3］的图象(如图所示).
由图象可知函数y=3-4x,编x∈辑课(件-1,3］的值域是［-9，7). 17
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8
【解析】1.选C.选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为 {x|x≠-2}，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B中f(x) 的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因 此不是相等函数；选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域 为{x|x≠1}，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示 变量的字母不一样，表示的函数是相等的.
1看1 成关于x的方程，
变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数定义域{x|x≠
y－ 3 0，
－1}内有解的条件是
－
y＋1 y－ 3
解得y≠3，
－ 1，
即所求函数的值域为{y|y≠3}.
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【互动探究】题2(2)中函数的定义域改为{-1，0，1，2，3}， 如何求其值域？ 【解析】函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f(-1)= 11， f(0)=6，f(1)=3，f(2)=2，f(3)=3， 所以值域为{2，3，6，11}.
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9
2．(1)对于函数y= x1 x，1
由
x
x
1 得0，x≥1，所以定义域为{x|x≥1}.
1 0，
对于函数y= x 2 ，1 由 x≥20，1 得x≥1或x≤-1，所以定
义域为{x|x≥1或x≤-1}.所以两函数的定义域不同，故不是
相等函数.
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(2)对于函数y= 1x 1，x
x 1
变形为只有分母含有自变量x的形式?
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探究提示：
1.函数y=1+x2(x∈R)的值域是［1,+∞).当x趋向于+∞时， y= 1 的函数值趋近于0.
x
2.(1)函数值f(x0)是函数f(x)图象中横坐标为x0的点的纵坐
标.函数图象上点的纵坐标的取值范围就是函数的值域.
(2)可以利用分离常数的办法进行变形，变形方法如下：
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类型 一 函数相等的判断
【典型例题】
1.(2013·衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的
是( )
A.f(x)=x-2,g(x)= x 2 4
x2
B.f(x)= x ,g(x)=1
x
C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1
D.f(x)= 1 ,g(x)= x 1 0
第2课时 函数概念的综合应用
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1
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2
函数相等
1.条件：①_定__义__域_相同；②_对__应__关__系_完全一致.
2.结论:两个函数相等.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对应关系相同的两个函数一定是相等函数.( )
(2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定