垂径定理综合练习题

垂径定理综合练习题1. 如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，∠1=∠2，连结BD与CG交于点N．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若点M是OD的中点，⊙O的半径为3，tan∠BOD=2√2，求BN的长．2. 已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为AC^的中点，OF交AC于点E，AC=8，EF=2．(1)求AO的长；(2)过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．3. 如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O 分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．4. 如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90∘，BC＝5，AC＝2√5，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．5. 如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，D是BC^的中点，CH⊥AB于H，垂足为H，联OD交弦BC于E，交CH于F，联结EH．（1）求证：△BHE∽△BCO．（2）若OC＝4，BH＝1，求EH的长．6. 如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取BF⌢的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．(1)求证：△HBE∼△ABC；(2)若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．7. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是BD^的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接BC，若AB＝5，BC＝3，求线段AE的长．8. 如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果OA＝3，求AE⋅AB的值．9. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．10. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．参考答案与试题解析垂径定理综合练习题一、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）1.【答案】(1)证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，BC^=BD^，∴∠BOD=2∠2．∵∠1=∠2，∠BOD+∠ODE=90∘，∴∠ODE+∠1+∠2=90∘，∴∠ODF=90∘，∴DF是⊙O的切线；(2)解：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠FDO=90∘，∴∠ADB−∠BDO=∠FDO−∠BDO，即∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠C，∴△ADM∼△CDN；∵⊙O的半径为3，即AO=DO=BO=3，在Rt△DOE中，tan∠BOD=2√2，cos∠BOD=13，∴OE=DO⋅cos∠BOD=3×13=1，由此可得：BE=2，AE=4，由勾股定理可得：DE=√OD2−OE2=2√2，AD=√DE2+AE2=2√6，BD=√DE2+BE2=2√3，∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴由垂径定理得：CD=2DE=4√2，∵△ADM∼△CDN，∴DMDN =ADCD，∵点M是DO的中点，DM=12DO=12×3=32，∴DN=DM×CDAD =32×4√22√6=√3，∴BN=BD−DN=2√3−√3=√3．【解答】(1)证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，BC^=BD^，∴∠BOD=2∠2．∵∠1=∠2，∠BOD+∠ODE=90∘，∴∠ODE+∠1+∠2=90∘，∴∠ODF=90∘，∴DF是⊙O的切线；(2)解：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠FDO=90∘，∴∠ADB−∠BDO=∠FDO−∠BDO，即∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠C，∴△ADM∼△CDN；∵⊙O的半径为3，即AO=DO=BO=3，在Rt△DOE中，tan∠BOD=2√2，cos∠BOD=13，∴OE=DO⋅cos∠BOD=3×13=1，由此可得：BE=2，AE=4，由勾股定理可得：DE=√OD2−OE2=2√2，AD=√DE2+AE2=2√6，BD=√DE2+BE2=2√3，∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴由垂径定理得：CD=2DE=4√2，∵△ADM∼△CDN，∴DMDN =ADCD，∵点M是DO的中点，DM=12DO=12×3=32，∴DN=DM×CDAD =32×4√22√6=√3，∴BN=BD−DN=2√3−√3=√3．2.【答案】解：(1)∵O是圆心，且点F为AC^的中点，∴OF⊥AC，设圆的半径为r，即OA=OF=r，则OE=OF−EF=r−2，由OA2=AE2+OE2得r2=42+(r−2)2，解得：r=5，即AO=5；(2)如图，∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90∘，∴∠AOE=∠ACD，则sin∠ACD=sin∠AOE=AEAO =45．【解答】解：(1)∵O是圆心，且点F为AC^的中点，∴OF⊥AC，∵AC=8，∴AE=4，设圆的半径为r，即OA=OF=r，则OE=OF−EF=r−2，由OA2=AE2+OE2得r2=42+(r−2)2，解得：r=5，即AO=5；(2)如图，∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90∘，∴∠AOE=∠ACD，则sin∠ACD=sin∠AOE=AEAO =45．3.【答案】∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH=12AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．【解答】∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB，∵AB＝8，∴DE＝4．过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH=12AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．4.【答案】如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC＝90∘，BC＝5，AC＝2√5，∴AB=√BC2−AC2=√5，∵12⋅AB⋅AC=12⋅BC⋅AH，∴AH=√5×2√55=2，∴BH=√AB2−AH2=1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，∴BD＝2．作DM⊥AC于M．∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，∴12×√5×2√5=12×2×2+12×2√5×DM，∴DM=3√55，∴sin∠DAC=DMAD =3√55√5=35．【解答】如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC＝90∘，BC＝5，AC＝2√5，∴AB=√BC2−AC2=√5，∵12⋅AB⋅AC=12⋅BC⋅AH，∴AH=√5×2√55=2，∴BH=√AB2−AH2=1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，∴BD＝2．作DM⊥AC于M．∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，∴12×√5×2√5=12×2×2+12×2√5×DM，∴DM=3√55，∴sin∠DAC=DMAD =3√55√5=35．5.【答案】证明：∵OD为圆的半径，D是BC^的中点，∴OD⊥BC，BE＝CE=12BC，∵CH⊥AB，∴∠CHB＝90∘，∴HE=12BC＝BE，∴∠B＝∠EHB，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∴∠EHB＝∠OCB，又∵∠B＝∠B∴△BHE∽△BCO．∵△BHE∽△BCO，∴BHBC =BEOB，∵OC＝4，BH＝1，∴OB＝4，得12BE =BE4，解得BE=√2，∴EH＝BE=√2．【解答】证明：∵OD为圆的半径，D是BC^的中点，∴OD⊥BC，BE＝CE=12BC，∵CH⊥AB，∴∠CHB＝90∘，∴HE=12BC＝BE，∴∠B＝∠EHB，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∴∠EHB＝∠OCB，又∵∠B＝∠B∴△BHE∽△BCO．∵△BHE∽△BCO，∴BHBC =BEOB，∵OC＝4，BH＝1，∴OB＝4，得12BE =BE4，解得BE=√2，∴EH＝BE=√2．6.【答案】(1)证明∵AC是⊙O的切线，∴CA⊥AB，∵EH⊥AB，∴∠EHB=∠CAB，∵∠EBH=∠CBA，∴△HBE∼△ABC．(2)解：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB=90∘，∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，∴△CAF∼△CBA，∴CA2=CF⋅CB=36，∴CA=6，AB=√BC2−AC2=3√5，AF=√AB2−BF2=2√5，∵DF⌢=BD⌢，∴∠EAF=∠EAH，∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF=EH，∵AE=AE，∴Rt△AEF≅Rt△AEH，∴AF=AH=2√5，设EF=EH=x，在Rt△EHB中，(5−x)2=x2+(√5)2，∴x=2，∴EH=2．【解答】(1)证明∵AC是⊙O的切线，∴CA⊥AB，∵EH⊥AB，∴∠EHB=∠CAB，∵∠EBH=∠CBA，∴△HBE∼△ABC．(2)解：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB=90∘，∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，∴△CAF∼△CBA，∴CA2=CF⋅CB=36，∴CA=6，AB=√BC2−AC2=3√5，AF=√AB2−BF2=2√5，∵DF⌢=BD⌢，∴∠EAF=∠EAH，∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF=EH，∵AE=AE，∴Rt△AEF≅Rt△AEH，∴AF=AH=2√5，设EF=EH=x，在Rt△EHB中，(5−x)2=x2+(√5)2，∴x=2，∴EH=2．7.【答案】证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵点C是BD^的中点，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC // AE，∵AE⊥EF，∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90∘，∴AC=√AB2−BC2=4，∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90∘，∴△AEC∽△ACB，∴AEAC =ACAB，∴AE=AC2AB =165．【解答】证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵点C是BD^的中点，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC // AE，∵AE⊥EF，∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90∘，∴AC=√AB2−BC2=4，∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90∘，∴△AEC∽△ACB，∴AEAC =ACAB，∴AE=AC2AB =165．8.【答案】证明：连接OB．∵CD⊥OA，∴∠ADE＝90∘，∴∠DAE+∠AED＝90∘，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，∴∠ABO+∠CBE＝90∘，∴∠OBC＝90∘，∴OB⊥BC．连接OF．∵AD＝OD，FD⊥OA，∴FA＝FO＝AO，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60∘，∴∠ABF=12∠AOF＝30∘．延长AO交⊙O于H，连接BH．∵AH是直径，∴∠ABH＝∠ADE＝90∘，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，∴ADAB =AEAH，∴AE⋅AB＝AD⋅AH=32×6＝9．【解答】证明：连接OB．∵CD⊥OA，∴∠ADE＝90∘，∴∠DAE+∠AED＝90∘，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，∴∠ABO+∠CBE＝90∘，∴∠OBC＝90∘，∴OB⊥BC．连接OF．∵AD＝OD，FD⊥OA，∴FA＝FO＝AO，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60∘，∴∠ABF=12∠AOF＝30∘．延长AO交⊙O于H，连接BH．∵AH是直径，∴∠ABH＝∠ADE＝90∘，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，∴ADAB =AEAH，∴AE⋅AB＝AD⋅AH=32×6＝9．9.【答案】解：如图，作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，∵水管水面上升了0.2m，∴OF＝0.8−0.2＝0.6m，∴CF=√OC2−OF2=0.8m，∴CD＝1.6m．答：此时排水管水面的宽CD为1.6m. 【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，∵水管水面上升了0.2m，∴OF＝0.8−0.2＝0.6m，∴CF=√OC2−OF2=0.8m，∴CD＝1.6m．答：此时排水管水面的宽CD为1.6m.10.【答案】连接AO，OB，∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝(R−cm，∴R2＝82+(R−(1)2，cm，解得：R=253∴圆片的半径R为25cm3【解答】（1）。