高中数学-等差数列及其前n项和练习
等差数列的前n项和公式同步练习(含解析)
《第二节等差数列》同步练习（等差数列的前n项和公式）一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。
(完整版)等差数列的前n项和练习含答案
课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。
人教版高中数学高二-必修五练习 数列前n项和与等差数列的前n项和
►基础梳理1．(1)对于任意数列{a n}，S n＝__________________，叫做数列{a n}的前n项的和．(2)S n－S n－1＝____________．2．(1)等差数列{a n}的前n项和公式为________________________________________________________________ ________．(2)等差数列：2，4，6，…，2n，…的前n项和S n＝__________．(3)等差数列首项为a1＝3，公差d＝－2，则它的前6项和为______．3．(1)等差数列依次k项之和仍然是等差数列．即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成公差为______________的等差数列．(2)已知等差数列{a n}，a n＝n，则S3，S6－S3，S9－S6分别为：________．它们成______数列．4．(1)由S n的定义可知，当n＝1时，S1＝________；当n≥2时，a n ＝__________，即a n＝__________________．(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2，则a n＝________________＝____________．5．(1)等差数列的前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）d2可化成关于n的二次式子为________________________，当d≠0时，是一个常数项为零的二次式．(2)已知等差数列的前n项和为S n＝n2－8n ，则前n项和的最小值为______，此时n ＝______．基础梳理1．(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n(2)a n (n ≥2)，a 1＝S 1(n ＝1)2．(1)S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝na 1＋n （n －1）d 2(2)(n ＋1)n(3)－123．(1)k 2d(2)6，15，24 等差4．(1)a 1 S n －S n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2(2)⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥22n －1，n ∈N * 5．(1)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (2)－16 4►自测自评1．(2014·福建卷)等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝( )A ．8B ．10C ．12D ．142．已知数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－153．1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)等于( )A .n （3n ＋8）2B .（n ＋2）（3n ＋8）2C .（n ＋3）（3n ＋8）2D .n （3n －1）2自测自评1．解析：设公差为d ，依题意得3×2＋12×3×2d ＝12，∴d ＝2，所以a 6＝2＋(6－1)×2＝12，故选C.答案：C2．解析：(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3.∴S 10＝10（a 3＋a 8）2＝－15. 答案：D3．解析：本题的项数为n ＋3项，这一点很关键．答案：C►基础达标1．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等差数列，若S 4＝32，a 2∶a 3＝1∶3，则公差d 为( )A ．8B ．16C ．4D ．01．解析：S 4＝32⇒2(a 2＋a 3)＝32，∴a 2＋a 3＝16，又a 2a 3＝13，a 3＝3a 2，∴a 2＝4，a 3＝12，∴d ＝a 3－a 2＝8.故选A.答案：A2．设a 1，a 2，…和b 1，b 2，…都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }前100项之和为( )A ．0B ．100C ．10 000D ．50 5002．解析：S 100＝100＋1002×100＝10 000.故选C. 答案：C3．等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＜0，S n 为其前n 项和，则点(n ，S n )可能在下列哪条曲线上( )3．解析：由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，及d ＜0，a 1＞0知，d 2＜0，a 1－d 2＞0，故排除A ，B.对称轴n ＝－a 1－d 2d ＝d －2a 12d＞0，排除D. 答案：C4．已知等差数列共有2n ＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n ＋1的值为( )A ．30B ．29C ．28D ．274．解析：奇数项共有n ＋1项，其和为a 1＋a 2n ＋12×(n ＋1)＝2×a n ＋12·(n ＋1)＝290， ∴(n ＋1)a n ＋1＝290，偶数项共有n 项，其和为a 2＋a 2n 2×n ＝2×a n ＋12·n ＝na n ＋1＝261， ∴a n ＋1＝290－261＝29.故选B.答案：B5．(2013·上海卷)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________．5.56n 2－76n ►巩固提高6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n＝7n ＋14n ＋27，则a 11b 11的值为( ) A .74 B .32 C .43 D .78716．解析：S 2n －1＝(2n －1)·a 1＋a 2n －12＝(2n －1)·2·a n 2＝(2n －1)a n . 同理T 2n －1＝(2n －1)b n .∴S 2n －1T 2n －1＝（2n －1）a n （2n －1）b n ＝a n b n .令n ＝11得a 11b 11＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43.故选C. 答案：C7．已知lg x ＋lg x 3＋lg x 5＋…＋lg x 21＝11，则x ＝________________________________________________________________________.7．解析：由条件得lg(x ·x 3·x 5·…·x 21)＝11⇒lg x 1＋3＋5＋…＋21＝11⇒121lg x ＝11，lg x ＝111，x ＝10111. 答案：11108．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 2＋2(n ∈N *)，则a n ＝______________________．8．解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n 2－4(n －1)2＝8n －4. ∴a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，8n －4，n ≥2，n ∈N *.答案：⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，8n －4，n ≥2，n ∈N*9．在小于100的正整数中共有多个数被3除余2？这些数的和是多少？9．分析：被3除余2的正整数可以写成3n ＋2(n ∈N *)的形式．解析：由3n ＋2＜100，得n ＜3223，即n ＝0，1，2，3，…，32.∴在小于100的正整数中共有33个数被3除余2.把这些数从小到大排列起来为：2，5，8，…，98，组成一个等差数列{a n }，其中a 1＝2，a 33＝98，n ＝33，因此它们的和为S 33＝33×（2＋98）2＝1 650. 10．已知等差数列{a n }中，a 1＝－3，11a 5＝5a 8－13.(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值．10．解析：(1)由11a 5＝5a 8－13，得11(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )－13.∵a 1＝－3，∴d ＝59. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋(n －1)×59， 令a n ≤0，得n ≤325. ∴a 1＜a 2＜…＜a 6＜0＜a 7＜….∴S n 的最小值为S 6＝6a 1＋6×5d 2＝6×(－3)＋15×59＝－293.1．记清等差数列的前n 项和公式的两种形式并能正确地选用，具备三个条件n ，a 1，a n 选用S n ＝n （a 1＋a n ）2，具备三个条件n ，a 1，d 选用S n ＝na 1＋n （n －1）d 2. 2．基本量原则：注意在五个基本量n ，a 1，d ，a n ，S n 中知三个量利用等差数列的通项公式与前n 项和公式可以求其他两个量．3．注意把实际问题化为等差数列的问题研究．。
高中数学等差数列的前n项和训练题(有答案)
高中数学等差数列的前 n 项和训练题（有答案）1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前 20 项之和为 ()A ．360 B．370C．380 D ．390答案： C2．已知 a1＝ 1， a8＝6，则 S8 等于 ()A ．25 B．26C．27 D ．28答案： D3．设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a6＝ S3＝ 12，则{an}的通项 an＝________.分析：由已知a1＋ 5d＝ 123a1＋ 3d＝ 12a1＝ 2，d＝ 2.故 an＝2n.答案： 2n4．在等差数列 {an} 中，已知 a5＝ 14，a7＝ 20，求 S5.解： d＝a7－ a57－ 5＝ 20－ 142＝ 3，a1＝ a5－ 4d＝ 14－ 12＝ 2，因此 S5＝ 5a1＋ a52＝52＋ 142＝ 40.一、选择题1． (2019 年杭州质检 )等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a2＝1，a3＝ 3， S4＝()A ．12 B．10C．8 D．6分析： C.d＝ a3－a2＝ 2，a1＝－ 1，S4＝ 4a1＋ 4322＝8.2．在等差数列 {an} 中， a2＋ a5＝19， S5＝40， a10＝()A ．24 B．27C．29 D ．48分析： C.由已知 2a1＋5d＝ 19， 5a1＋ 10d＝ 40.解得 a1＝ 2， d＝ 3.a10＝2＋ 93＝ 29. X k b 1 . c o m3．在等差数列 {an} 中， S10＝ 120， a2＋ a9＝()A ．12 B．24C．36 D ．48分析： B.S10＝ 10a1＋ a102＝ 5(a2＋ a9)＝ 120.a2＋a9＝ 24. 4．已知等差数列 {an} 的公差 1，且 a1＋a2＋⋯＋ a98＋ a99＝99， a3＋ a6＋ a9＋⋯＋a96＋ a99＝ ()A ．99 B．66C．33 D ．0分析： B.由 a1＋ a2＋⋯＋ a98＋ a99＝99，得 99a1＋ 99982＝ 99.a1＝－ 48， a3＝a1＋ 2d＝－ 46.又∵ {a3n} 是以 a3 首，以 3 公差的等差数列．a3＋ a6＋ a9＋⋯＋a99＝ 33a3＋333223＝33(48－ 46)＝ 66.5．若一个等差数列的前 3 的和 34，最后 3 的和 146，且全部的和 390，个数列有 ()A ．13B． 12C．11D． 10分析： A. ∵ a1＋ a2＋ a3＝34，①an＋ an－ 1＋ an－ 2＝ 146，②又∵ a1＋ an＝ a2＋an－1＝ a3＋an－ 2，①＋②得3(a1＋ an)＝ 180， a1＋an＝ 60.③Sn＝ a1＋ann2＝390.④将③代入④中得n＝ 13.6．在数 2n＋ 1 的等差数列中，全部奇数的和165，全部偶数的和150， n 等于 ()A．9 B．10C．11 D．12分析： B.由等差数列前n 和的性知S 偶 S 奇＝ nn＋ 1，即 150165＝ nn＋ 1， n＝ 10.二、填空7．数列 {an} 的首 a1＝－ 7，且足 an＋ 1＝an＋ 2(nN*) ，a1＋ a2＋⋯＋ a17＝ ________.分析：由意得an＋1－ an＝2，{an} 是一个首a1＝－ 7，公差 d＝ 2 的等差数列．a1＋ a2＋⋯＋ a17＝ S17＝17(－7)＋ 171622＝ 153.答案： 1538．已知 {an} 是等差数列， a4＋ a6＝6，其前 5 和 S5＝10，其公差 d＝ __________.分析： a4＋ a6＝a1＋ 3d＋a1＋ 5d＝ 6.①S5＝ 5a1＋ 125(5－1)d＝10.② w由①②得a1＝ 1， d＝12.答案： 129． Sn 是等差数列 {an} 的前 n 和， a12＝－ 8， S9＝－ 9，S16＝ ________.分析：由等差数列的性知S9＝9a5＝－ 9，a5＝－ 1.又∵ a5＋ a12＝a1＋ a16＝－ 9，S16＝ 16a1＋ a162＝ 8(a1＋ a16)＝－ 72.答案：－ 72三、解答10．已知数列 {an} 的前 n 和公式Sn＝ n2－23n－ 2(nN*) ．(1)写出数列的第 3 ；(2)判断 74 能否在数列中．解： (1)a3＝ S3－ S2＝－ 18.(2)n＝ 1 ， a1＝ S1＝－ 24，n2 ， an＝Sn－ Sn－ 1＝ 2n－ 24，即 an＝－ 24， n＝ 1，2n－ 24，n2，由题设得 2n－24＝ 74(n2)，解得 n＝ 49.74在该数列中．11．(2019 年高考课标全国卷)设等差数列 {an} 知足 a3＝5，a10＝－ 9.(1)求 {an} 的通项公式；(2)求 {an} 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号n 的值．解： (1)由 an＝a1＋ (n－ 1)d 及 a3＝ 5， a10＝－ 9 得a1＋ 2d＝ 5， a1＋ 9d＝－ 9，可解得a1＝9，d＝－ 2，因此数列 {an} 的通项公式为an＝ 11－2n.(2)由 (1)知， Sn＝ na1＋ nn－ 12d＝10n－ n2.由于 Sn＝－ (n－ 5)2＋ 25，因此当 n＝ 5 时， Sn 获得最大值．12．已知数列 {an} 是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)Sn＝ 20，S2n＝ 38，求 S3n.解： (1)由题意知 a1＋ a2＋ a3＋a4＝ 21，an－ 3＋ an－ 2＋an－1＋ an＝67，因此 a1＋ a2＋ a3＋a4＋ an－ 3＋ an－2＋ an－ 1＋ an＝88.因此 a1＋ an＝ 884＝22.由于 Sn＝ na1＋ an2＝286，因此 n＝26.(2)由于 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列，其实 ,任何一门学科都离不开照本宣科,重点是记忆有技巧, “死记”以后会“活用”。
高一等差数列及其前n项和知识点+例题+练习 含答案
1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × )(5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________________________________________________________________________. 答案 6解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 9＝a 4＋a 6＝－6，且a 1＝－11，∴a 9＝5，从而d ＝2.∴S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ，∴当n ＝6时，S n 取最小值．2．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则它的公差为________．答案 －4解析 a n ＝23＋(n －1)d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 6>0，a 7<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧23＋5d >0，23＋6d <0，解得－235<d <－236， 又d 为整数，所以d ＝－4.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________.答案 88解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.答案 28解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为________．(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝________.答案 (1)52 (2)210 解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列， 所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3，故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210. 思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1)(2015·课标全国Ⅱ改编)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝________________________________________________________________________.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是________． 答案 (1)5 (2)2解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5. (2)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，探求数列{a n }的通项公式． 解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列， ∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是________．①公差为3的等差数列 ②公差为4的等差数列③公差为6的等差数列 ④公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为______________． 答案 (1)③ (2)a n ＝1n解析 (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2)＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2)＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．(2)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得 1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n . 题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， ∴d ＝－53. 方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53 ＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53 ＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 引申探究例4中，若条件“a 1＝20”改为a 1＝－20，其他条件不变，求当n 取何值时，S n 取得最小值，并求出最小值．解 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，∴a 13＝0.又a 1＝－20，∴a 12<0，a 14>0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最小值，最小值S 12＝S 13＝13(a 1＋a 13)2＝－130. 思维升华 (1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n m －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ； b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m . (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是________．(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为________．(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________． 答案 (1)6 (2)5或6 (3)110解析 (1)依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2 ＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝________.(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.(3)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________． 思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90， 所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110. (3)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，所以S n 的最大值为S 5.答案 (1)45 (2)－110 (3)S 5温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *；(2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．[失误与防范]1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数．2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝________________________________________________________________________. 答案 192解析 ∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192. 2．(2015·北京改编)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是________．①若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0；②若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0；③若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3；④若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0.答案 ③解析 设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故①错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故②错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，所以a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，所以a 2>a 1a 3，故③正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故④错．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解．4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.答案 3解析 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2.∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6.∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d ＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为________．答案 7或8解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8.6．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 7．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ，∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.10．(2015·济南模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解 方法一 由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1. 从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 又a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为________． 答案 4解析 在等差数列{a n }中，∵S 12＝6(a 6＋a 7)＝24，∴a 6＋a 7＝4，令x >0，y >0，由基本不等式可得x ·y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立．又a 6>0，a 7>0，∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立．即a 6·a 7的最大值为4.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝________. 答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13. 13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 14．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－8，－7)解析 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，所以a 3＜a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，所以2c2＋c＝0，所以c＝－1或c＝0(舍去)，2时，{b n}是等差数列，经验证c＝－12故c＝－12.。
等差数列及其前n项和练习
等差数列及其前n 项和一、知识要点：（一）等差数列的基本概念 1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示，其符号语言为：1(2,)n n a a d n d --=≥为常数2、等差数列的通项公式若等差数列{n a }的首项为1a ，公差是d,则其通项公式为1(1)n a n a d =+-。
注：已知等差数列{n a }的第m 项为m a ，公差为d ，则其第n 项n a 可以表示为：()n m a a n m d =+-。
3、等差中项如果三个数a,,b 成等差数列，则叫做a 和b 的等差中项，且有2A a b=+。
4、等差数列的前n 项和公式11()(1)22.n n n a a n n na d S +-=+=（二）等差数列的基本运算 1.等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程（组）求解.2.等差数列前n 项和公式的应用方法等差数列前n 项和公式有两个，如果已知项数n 、首项a 1和第n 项a n ，则利用(),+=1n n n a a S 2该公式经常和等差数列的性质结合应用.如果已知项数n 、首项a 1和公差d ，则利用().-=+n 1n n 1dS na 2在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用.注：1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
3、因为11(1)222n S d d d n a a n n =+-=+-，故数列{n S n }是等差数列。
考点21 高中数学-等差数列及其前n项和-考点总结及练习题
考点21等差数列及其前n 项和【命题趋势】等差数列是高考考查的重点，是必考点，常考查等差数列的基本量的计算，必须熟练掌握.（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.（3）了解等差数列与一次函数的关系.【重要考向】一、等差数列的判定与证明二、等差数列中基本量的求解三、求解等差数列的通项及前n 项和四、等差数列的性质的应用等差数列的判定与证明由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可得1()n a dn a d =+-．令p d =，1q a d =-，则n a pn q =+，其中p ，q 为常数．（1）当0p ≠时，(,)n n a 在一次函数y px q =+的图象上，数列{}n a 的图象是直线y px q =+上均匀分布的一群孤立的点，且当0d >时数列{}n a 为递增数列，当0d <时数列{}n a 为递减数列．（2）当0p =时，n a q =，等差数列为常数列，数列{}n a 的图象是平行于x 轴的直线（或x 轴）上均匀分布的一群孤立的点．【巧学妙记】1.已知数列{}n a 中，12a =，122nn n a a +=++，证明数列{}2nn a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；【答案】22(1)nn a n =+-因为()()11222n n n n a a++---=，且1120a -=，所以数列{}2n n a -为首项为0，公差为2的等差数列.所以202(1)nn a n -=+-，即22(1)nn a n =+-.2.在正项数列{}n a 中，已知11121n n n na a a a a ++=-=+,且22n n a b =-.证明：数列{}n b 是等差数列；【答案】证明见解析【解析】∵112n n n na a a a ++-=+∴2212n n a a +-=，∴数列{}2n a 是公差为2的等差数列.∵11a =∴()2211121n a a n ==+-，，∴221n a n =-，∴22n n a b =-，∴22n n b a =+，∴21n b n =+，∴()123211n n b b n n +-=+-+=，∴数列{}n b 是等差数列.3.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，(,1)n a S = ，1(1,22)n n b a +=-+ ，a b ⊥ .求证：{}2n n a 为等差数列；【解析】证明： a b ⊥ ，∴1220n n n a b S a +⋅=-++= ，可得：122n n n S a +=+，1n =时，14a =-．2n 时，11122(22)n n n n n n n a S S a a +--=-=+-+，122n n n a a -∴-=-，可得11122n n n n a a ---=-．∴{}2nn a 为等差数列，公差为1-，首项为2-．等差数列中基本量的求解1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即1n n a a d +-=，d 为常数．2．等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=．3．等差数列的通项公式及其变形以1a 为首项，d 为公差的等差数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-．公式的变形：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ．【巧学妙记】4.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于()A ．－12B ．－10C ．10D ．12【答案】B【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得33a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 9＝27，则a 20等于()A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】B【解析】由等差数列的前n 项和公式可知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3，又由d ＝a 7－a 57－5＝5－32＝1，所以由等差数列的通项公式可得a 20＝a 5＋15d ＝3＋15×1＝18，故选B.6.若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于()A ．－2B ．－12C.12D ．2【答案】B【解析】由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，则a 1＝1.又由a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，解得d ＝－12.故选B.求解等差数列的通项及前n 项和1．等差数列的前n 项和首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)==22n n n a a n n S na d +-+．令2d p =，12d q a =-，可得2n S pn qn =+，我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n 项和的相关问题．2．用前n 项和公式法判定等差数列等差数列的前n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，那么当且仅当0c =时，数列{}n a 是以a b +为首项，2a 为公差的等差数列；当0c ≠时，数列{}n a 不是等差数列．【巧学妙记】7.在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【解析】n ＝a 1＋(n －1)d ，n ＝na 1＋n (n －1)2d ，1＋2(n －1)＝11，1＋n (n －1)2×2＝35，＝5，1＝3＝7，1＝－1.8.在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．【解析】方法一∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n －1694.∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.9.若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .【解析】∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *.等差数列的性质的应用1．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ．（2）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ．特别地，①若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,)m n,p ∈*N ；②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a ++=++(,)m n,p,q,t,r ∈*N ．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即1211.n n i n i a a a a a a -+-+=+==+=L L （3）下标成等差数列的项2,,,k k m k m a a a ++L 组成以md 为公差的等差数列．（4）数列{}(,n ta t λλ+是常数)是公差为td 的等差数列．（5）若数列{}n b 为等差数列，则数列{}n n ta b λ±(,t λ是常数)仍为等差数列．（6）若,p q a q a p ==，则0p q a +=．2．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质：设等差数列{}n a （公差为d ）和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）数列{}n S n 是等差数列，首项为1a ，公差为12d ．（2）232(1),,,,,k k k k k mk m k S S S S S S S ----L L 构成公差为2k d 的等差数列．（3）若数列{}n a 共有2n 项，则S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶．（4）若数列{}n a 共有21n -项，则S S -=奇偶n a ，(,1n S nS na S n ==-奇奇偶(1))n S n a =-偶．（5）2121n n n n S a T b --=，21212121m mn nS a m T n b ---=⋅-．【巧学妙记】10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于()A ．35B ．42C ．49D ．63【答案】B【解析】在等差数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7,14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.11.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2018，S 20192019－S20132013＝6，则S 2020＝.【答案】2020【解析】设其公差为d ，则S 20192019－S 20132013＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 20202020＝S11＋2019d ＝－2018＋2019＝1，∴S 2020＝1×2020＝2020.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=。
高中数学第1章数列 等差数列的前n项和的性质同步练习湘教版选择性必修第一册
第2课时等差数列的前n项和的性质A级必备知识基础练1.(2022江苏镇江高二期中)已知等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a2+a10=()A.16B.17C.18D.192.(2022天津滨海新区高二期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=10，公差d=-，则S n取得最大值时n的值为()A.3B.4C.5D.63.等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=12，S10=48，则S15=()A.84B.108C.144D.1564.(2022河南创新发展联盟高二联考)记等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n，若，则=()A. B. C. D.5.(多选题)(2022江苏南京金陵中学高二期末)已知等差数列{a n}是递增数列，其前n项和为S n，且满足a7=3a5，则下列结论正确的是()A.d>0B.a1<0C.当n=5时，S n最小D.当S n>0时，n的最小值为86.(多选题)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，下列选项可能是{S n}的图象的是()7.在等差数列{a n}中，a1>0，a10a11<0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|a n|}的前18项和T18= .8.若等差数列{a n}的首项为a1=2 022，试写出一个使该数列的前n项和有最大值的数列的通项公式，该通项公式为.9.设{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7=7，S15=75，T n为数列的前n项和，求T n.B级关键能力提升练10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=S10，S6=S k，则k的值是()A.6B.7C.8D.911.(2022河南南阳高二期中)已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和.若a1=2 024，且=3，则S2 021=()A.1×2 0212B.2×2 0212C.3×2 0212D.4×2 021212.(2022河南洛阳高二期中)已知等差数列{a n}是递减数列，且满足|a1|=|a9|，则数列{a n}的前n 项和最大时，n=()A.4或5B.5或6C.7D.813.(多选题)(2022江苏常州高二期末)设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知a3=12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的有()A.a6+a7<0B.a7<0C.d可以取负整数D.对任意n∈N+，有S n≤S614.(多选题)(2022山东济宁高二期末)已知等差数列{a n}是递减数列，且前n项和为S n，若S7=S11，则()A.a10>0B.当n=9时，S n最大C.S17>0D.S19>015.设数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=-5，a n+1=a n+2，n∈N+，那么S1，S2，S3，S4中最小的为.16.在等差数列{a n}中，奇数项之和为44，偶数项之和为33，若此数列的项数为奇数，则这个数列的中间项是第项;若此数列的项数为偶数，且公差为-，则此数列的项数为.17.(2022江苏南京外国语学校高二期末)设S n是等差数列{a n}的前n项和，a3=7，.从①S6=51，②a n=a n-1-3，③S5=a3a5中任选一个，补充在问题中并作答.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n的最值.C级学科素养创新练18.(多选题)已知数列{a n}的前n项和为S n=33n-n2，则下列说法正确的是()A.a n=34-2nB.S16为S n的最小值C.|a1|+|a2|+…+|a16|=272D.|a1|+|a2|+…+|a30|=450参考答案第2课时等差数列的前n项和的性质1.A由等差数列{a n}的性质可得a1+a11=a2+a10.由于前11项和S11=88=，因此a1+a11=16，则a2+a10=16.故选A.2.A∵a1=10，d=-，∴S n=10n+×-=-n2+n.∵函数y=-x2+x的图象的对称轴为直线x=，且图象开口向下，∴当n=3时，S n取得最大值.故选A.3.B由等差数列前n项和的性质可知S5，S10-S5，S15-S10成等差数列.由等差中项性质可知2(S10-S5)=S5+(S15-S10)，解得S15=108，故选B.4.C由{a n}，{b n}均为等差数列，得.故选C.5.ABD设等差数列{a n}的公差为d，因为{a n}是递增数列，所以d>0.因为a7=3a5，所以a5+2d=3a5，所以d=a5，所以a1=a5-4d=-3d<0，故A，B正确;又因为a4=a5-d=d-d=0，所以S3=S4，且为S n的最小值，故C错误;又因为S8==4(a4+a5)=4a5=4d>0，S7==7a4=0，故D正确.故选ABD.6.ABC因为S n是等差数列{a n}的前n项和，所以S n=an2+bn(a，b为常数，n∈N+)，则其对应函数y=ax2+bx，当x∈N+时的函数值，函数的图象是过原点的一条曲线.当a=0时，该曲线是过原点的直线，如选项C;当a≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A，B;选项D中的曲线不过原点，不符合题意.故选ABC.7.60由a1>0，a10a11<0，知d<0，且a10>0，a11<0，所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60.8.a n=2 023-n(答案不唯一)9.解设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则S n=na1+n(n-1)d.因为S7=7，S15=75，所以解得所以S n=，所以n-，所以数列是等差数列，其首项为-2，公差为.所以T n=-2n+n2-n.10.B由题意可得{a n}的公差d≠0.∵等差数列的前n项和S n=n2+a1-n可看作二次函数y=x2+a1-x当x∈N+时的函数值，且S3=S10，∴二次函数的图象的对称轴为直线x=.又S6=S k，∴，解得k=7.11.D因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a1=2024，=3，所以数列是以=2024为首项，3为公差的等差数列，所以+2020×3=2024+2020×3=4×2021，所以S2021=4×20212.故选D.12.A∵等差数列{a n}是递减数列，且满足|a1|=|a9|，∴a1+8d=-a1，∴a1=-4d>0.∴a n=a1+(n-1)d=(n-5)d.令a n≥0，得n≥5.∴数列{a n}的前n项和最大时，n=4或n=5.故选A.13.BD因为S12=12a1+·d>0，S13=13a1+·d<0，所以2a1+11d>0，a1+6d<0，即a6+a7>0，a7<0，所以a6>0，所以d<0，所以对任意n∈N+，有S n≤S6.由a3=12得a1=12-2d，联立2a1+11d>0，a1+6d<0，解得-<d<-3，故d不能取负整数.故选BD.14.BC由S7=S11，得S11-S7=a8+a9+a10+a11=2(a9+a10)=0，则a9+a10=10.又因为{a n}是递减数列，所以a9>0，a10<0，故A错误，B正确;S17==17a9>0，故C正确;S19==19a10<0，故D错误.故选BC.15.S3∵数列{a n}的前n项和为S n，a1=-5，a n+1=a n+2，n∈N+，∴数列{a n}是首项为-5，公差为2的等差数列.∴a1=-5，a2=-3，a3=-1，a4=1.∴S1=-5，S2=-8，S3=-9，S4=-8.∴S1，S2，S3，S4中最小的为S3.16.444若此数列的项数为奇数，设项数为2n-1，则奇数项之和S1=a1+a3+…+a2n-1==na n，偶数项之和S2=a2+a4+a6+…+a2n-2==(n-1)a n，所以，解得n=4，所以第4项是此数列的中间项.若此数列的项数为偶数，设项数为2n，则S1-S2=nd，所以-11=-n，所以n=22，故此数列的项数为44.17.解若选①:(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得解得所以a n=3n-2.(2)由(1)可知，a n=3n-2，所以数列{a n}是递增数列，故S n的最小值为S1=1，无最大值.若选②:(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得d=a n-a n-1=-3，因为a3=a1+(3-1)×(-3)=7，解得a1=13，所以a n=-3n+16.(2)由(1)可得a n=-3n+16，令解得≤n≤，又n∈N+，所以n=5，故S n的最大值为S5==35，无最小值.若选③:(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得S5==5a3=a3a5，解得a5=5，所以d==-1，所以a n=a3+(n-3)d=-n+10.(2)由(1)可知a n=-n+10，令a n=0，解得n=10，故S n的最大值为S9=S10==45，无最小值.18.AC数列{a n}的前n项和为S n=33n-n2.当n=1时，a1=32，当n≥2时，a n=S n-S n-1=33n-n2-33(n-1)+(n-1)2=-2n+34，当n=1时，a1=32也适合上式，则a n=34-2n，故A正确;S n=33n-n2=-n-2+，则当n=16或17时，S n取得最大值，故B错误;由a n=-2n+34≥0，解得n≤17，则|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16==272，故C正确;|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16-(a17+a18+…+a30)=272-=454，故D错误.故选AC.11。
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高中数学-等差数列及其前n 项和练习 一、选择题
1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( )
A.14
B.12
C ．2
D ．－12
解析：由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14
，故选A. 答案：A
2．(·陕西西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( )
A ．52
B ．78
C ．104
D ．208
解析：依题意得3a 7＝24，a 7＝8，S 13＝13a 1＋a 132
＝13a 7＝104，选C. 答案：C
3．(·武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．3
解析：本题考查等差数列的前n 项和公式．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝4，6a 1＋15d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－12，d ＝1，所以S 2＝2a 1＋d ＝0，故选B.
答案：B
4．(·河南许昌二模)已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，则a 11等于( )
A ．31
B ．32
C ．61
D ．62
解析：∵等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，
∴a 3＝6＋1＝7，a 5＝6＋7＝13，a 7＝6＋13＝19，
a 9＝6＋19＝25，a 11＝6＋25＝31.故选A.
答案：A
5．(·安徽合肥二模)已知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( ) A ．－45 B ．－54
C.413
D.134
解析：设⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的公差为d ， ∵a 1＝1，a 4＝4，
∴3d ＝1a 4－1a 1＝－34，即d ＝－14
， 则1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，故a 10＝－45
，故选A. 答案：A
6．(·洛阳市第一次统一考试)等差数列{a n }为递增数列，若a 21＋a 210＝101，a 5＋a 6＝11，则数列{a n }的公差d 等于( )
A ．1
B ．2
C ．9
D ．10
解析：由题意得(a 1＋a 10)2－2a 1a 10＝(a 5＋a 6)2－2a 1a 10＝121－2a 1a 10＝101，∴a 1a 10＝10，
又a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝11，a 1<a 10，∴a 1＝1，a 10＝10，d ＝a 10－a 110－1
＝1. 答案：A
7．(·东北四市高考模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )
A ．9
B ．15
C ．18
D ．30
解析：由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
答案：C
8．(·新疆第二次适应性检测)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则第30天比第一天多织布的尺数是( )
A ．19
B ．18
C ．17
D ．16
解析：依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝5，S 30＝30a 1＋a 302
＝390，a 1＋a 30＝26，a 30＝26－a 1＝21，a 30－a 1＝16，故选D. 答案：D
9．(·甘肃省五掖市高三第一次考试)等差数列{a n }中，a n a 2n
是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )
A ．{1} B.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫1，12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1 解析：a n a 2n ＝a 1＋n －1d a 1＋2n －1d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n
＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a n a 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫1，12. 答案：B
10．(·湖南省五市十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n ＞m 时，S n 与a n 的大小关系是( )
A ．S n ＜a n
B ．S n ≤a n
C ．S n ＞a n
D ．大小不能确定
解析：若a 1＜0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d ＞0，若d ＜0，数列是递减数列，则S m ＜a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1＜0，d ＞0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m ＞0，S m ＞0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n ＞a n .故选C.
答案：C
二、填空题
11．(·江苏扬州中学质量检测)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________.
解析：∵a 3＋a 9＝a 10－a 8，∴a 2＋a 10＝a 10－a 8，
∴a 2＋a 8＝0，∴2a 5＝0，∴a 5＝0，则n ＝5.
答案：5
12．(·南昌检测)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数
构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为________．
解析：本题考查等差数列、三角换元的应用．设等差数列x ，a 1，a 2，a 3，y 的公差为d ，则d ＝y －x 4，a 3＝y －d ＝x ＋3y 4
，由x 2＋y 2＝4得x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则a 2＋a 3＋y ＝3a 3＝3x ＋3y
4＝33sin θ＋cos θ
2＝3102
sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝1时，a 2＋a 3＋y 取得最大值3102
. 答案：3102
13．(·东北三省四市联考)《九章算术》是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是________．
解析：本题考查数学文化、等差数列的通项公式及前n 项和公式．由题意可知金箠由粗
到细各尺的重量成等差数列，且a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝5a 1＋a 52
＝15，故金箠重15斤． 答案：15斤
14．(·石家庄模拟)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项的和为________．
解析：本题考查函数的图象、等差数列的性质及前n 项和公式．因为函数y ＝f (x －2)的图象关于x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以
S 100＝100a 1＋a 1002
＝50(a 50＋a 51)＝－100. 答案：－100
[能力挑战]
15．(·济南模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？
解析：方法一 由S 3＝S 11得
3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213
a 1. 从而S n ＝d 2n 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 又a 1>0，所以－a 113
<0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象
关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113
<0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213
a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，
解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． 方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0， 故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0， 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．。