第三章参数估计第四章假设检验回归汇总
回归模型的参数估计与假设检验
回归模型的参数估计与假设检验回归模型的参数估计主要包括最小二乘估计和极大似然估计两种方法。
最小二乘估计是以最小化残差平方和为目标，通过对样本数据进行拟合，求得最优的回归系数。
极大似然估计则是基于对数据样本概率分布的假设，利用最大化似然函数来估计回归模型的参数。
最小二乘估计是最常用的参数估计方法之一、它的基本思想是通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异，来估计回归模型的参数。
具体而言，对于简单线性回归模型（y=β0+β1x+ε），最小二乘估计通过最小化残差平方和来求解β0和β1的估计值。
最小二乘估计方法具有许多优点，如解析解存在、估计结果具有线性无偏性、效率性好等。
在最小二乘估计的基础上，还可以进行各种统计检验，用于检验回归系数的显著性。
常见的假设检验方法包括t检验和F检验。
t检验用于测试回归系数是否与零有显著差异。
在回归模型中，t统计量的计算公式为：t=估计值/标准误差其中，估计值是通过最小二乘法得到的回归系数估计值，标准误差则是估计标准误差的估计值。
t统计量的值越大，说明回归系数与零的差异越显著。
F检验用于测试回归模型整体的显著性。
F统计量的计算公式为：F=（回归平方和/自由度）/（残差平方和/自由度）其中，回归平方和表示回归模型能够解释的样本数据方差之和，残差平方和表示回归模型无法解释的样本数据方差之和。
自由度则表示相关统计量中所用到的自由参数个数。
通过计算F统计量的值，可以得到一个关于回归模型整体显著性的p 值。
p值小于给定的显著性水平（通常为0.05或0.01），则拒绝“回归模型无效”的原假设，即认为回归模型整体显著。
回归模型的参数估计和假设检验是回归分析的核心步骤，可以帮助研究者理解因变量和自变量之间的关系，并通过假设检验来进行推断和判断。
这些方法不仅在社会科学和经济学领域有广泛应用，也在相关学科的研究中具有重要意义。
回归模型的参数估计与假设检验讲解
回归模型的参数估计与假设检验讲解回归模型是统计学中常用的一种分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
参数估计和假设检验是回归模型中重要的概念和方法，用于推断变量之间的关系是否显著。
在回归模型中，参数估计是利用样本数据来推断回归方程中的参数值，从而描述和预测变量之间的关系。
具体来说，对于简单线性回归模型，我们可以通过最小二乘法来估计回归方程的参数，即使得模型的误差平方和最小。
最小二乘法的计算方法可以简洁地表达为：$\min \sum{(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2}$其中，$y_i$表示观测到的因变量的值，$x_i$表示观测到的自变量的值，$\beta_0$和$\beta_1$分别是截距和斜率的估计值。
通过求解这个最小化问题，我们可以得到最佳的参数估计。
而假设检验则是用来评估回归模型中参数估计的显著性。
在假设检验中，我们对参数的假设提出一个原假设和一个备择假设。
原假设通常是参数等于一个特定的值，而备择假设则是参数不等于该值。
假设检验的步骤包括计算检验统计量、确定临界值、进行推断。
常用的假设检验方法有t检验和F检验。
在简单线性回归模型中，假设检验通常用于评估斜率参数$\beta_1$的显著性。
例如，我们可以设定原假设为斜率等于零，备择假设为斜率不等于零。
然后，通过计算t统计量和查表得到拒绝或接受原假设的结论。
在多元回归模型中，假设检验可以用于评估各个自变量的显著性，或者评估整个模型的显著性。
对于自变量的显著性评估，常用的方法是利用t检验确定各个参数的置信区间，判断参数是否显著不为零。
对于整个模型的显著性评估，常用的方法是利用F检验检验回归方程的整体显著性，即检验自变量对因变量的解释程度是否显著。
除了参数估计和假设检验，回归模型还可以进行模型诊断和模型选择。
模型诊断用于检验回归模型的合理性和假设的满足情况，主要包括检验误差项的正态性、异方差性和自相关性等。
模型选择则是在多个可能的模型之间选择一个最佳的模型，常用的标准包括最小二乘法、最大似然法和贝叶斯信息准则。
计量经济学 第3章 双变量模型：假设检验
假设检验的前提是什么？
本章框图 一、古典假设
回归结果好坏？ 三、高斯马尔科夫定理
二、估计量的分布问题
四、 假设 检验
七、正态性检验
方法 统计量 显著性
结论
五、拟合优度 六、预测
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
十三、案例2股票价格和利率
理论和假说 变量选择 数据6-13 散点图 估计和结果 结论的经济意义
十四、案例3房价和贷款利率
理论和假说 变量选择 数据6-6 散点图 估计和结果 结论的经济意义
十五、案例4古董和拍卖价格
理论和假说 变量选择 数据6-14 散点图 估计和结果 结论的经济意义
第3章 双变量模型：模型检验
引子、样本回归参数的估计问题
引子、样本回归参数的估计问题
结论：
样本回归系数随样本变化。 样本回归系数是随机变量，如何描述？ 样本回归系数和总体回归参数是什么关系 基于什么条件下，利用最小二乘估计的得
到的样本回归系数可以用来作为总体回归 参数的估计？ 根据什么说明：总体回归函数的模型设定 是正确的。
习题讨论
习题讨论
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习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
七、判决系数的性质有哪些？
参数的假设检验抽样分布、参数估计、假设检验(回归分析)
z = -3.162 < 1.64 接受原假设
5% 1.64
假设检验的基本原理
2）相伴概率 P 检验统计量观察值以及所有所有比
它更为极端的可能值出现的概率之和 双侧检验：
P = P(Z < -3.162) + P(Z > 3.162) = 0.002
左侧检验：P = P(Z < -3.162) = 0.001
1
t分布两尾 概率分位点
P(x t / 2sx x t / 2sx ) 1
参数估计 - 区间估计
正态总体方差的区间估计
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2分布上尾 概率分位点
P(12
2
(n 1)s2
2
2
2)
1
P(
(n 1)s2
12 2
2
(n 1)s
2 2
2
)
1
参数估计 - 区间估计
n
Z x ~ N(0,1) 2 n
中心极限定理
➢ 无论样本所来自的总体是否服从正态分布， 只要样本足够大，样本平均数就近似服从正 态分布，样本越大，近似程度越好。
➢所需的样本含量随原总体的分布而异，但只 要样本含量 30，无论原总体是何分布，都 足以满足近似的要求。
➢设原总体的期望为，方差为 2，则样本平 均数的期望为，方差为 2 /n。
统计推断概述
抽样分布 参数估计简介 假设检验的基本原理
抽样分布的概念
样本统计量的概率分布称为抽样分布（sampling distribution）
样本是通过对总体的随机抽样获得的 样本统计量是随机变量，有一定的概率分布
简单随机样本
第三章 总体均数的估计与假设检验
Sd
d
d Sd / n
2
(
d)
n
n 1
S d 0.1087 t 2.7424 0.1087/ 10 7.925
v 10 1 9
3）确定P值，作出推断结论 T0.05,9=2.262, 7.925>2.262,故P<0.05.可以认为两种 方法对脂肪含量的测定结果不同。
167.41, 2.74
165.56, 6.57
168.20, 5.36 n j=10
…. 165.69, 5.09
将上述100个样本均数看成新变量值，则这个 100个样本均数构成一新分布，绘制直方图
样本均数的抽样分布具有如下特点：
1) 各样本均数未必等于总体均数
2) 各样本均数间存在差异
3) 样本均数的分布很有规律，围绕着总体均 数，中间多，两边少，左右基本对称，也 服从正态分布
假设检验的基本步骤：
1、建立检验假设
Ｈ0: 检验假设, 无效假设，零假设 μ=μ0
H1: 备择假设,对立假设
μ≠μ0
2、确定检验水准 α=0.05 单双侧
3、选定检验方法和计算检验统计量
4、确定P值和作出推论结论。
P值是指从H0所规定的总体进行随机抽样，获 得大于（或等于及小于）现有样本获得的检验 统计量值的概率。
（1012/L)
血红蛋白 （g/L)
女
男 女
255
360 255
4.18
134.5 117.6
0.29
7.1 10.2
4.33
140.2 124.7
*标准值：使用内科学（1976年）所载均数（转位法定单位）
1）说明女性的红细胞数与血红蛋白的变异程度何者为大？ 2）抽样误差是？ 3）试估计该地健康成年女性红细胞数的均数？ 4) 该地健康成年男女血红蛋白含量是否不同？ 5）该地男性两项血压指标是否均低于上表的标准值（若测 定方法相同）？
计量经济学第3版习题答案
计量经济学第3版习题答案计量经济学是经济学中的一门重要学科，它通过运用数理统计方法来研究经济现象，帮助我们理解经济规律和进行经济预测。
《计量经济学》是一本经典的教材，第3版是其最新版本。
在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识和提高技能的重要工具。
下面是《计量经济学第3版》中一些习题的答案。
第一章：引言1. 习题：什么是计量经济学？为什么它在经济学中如此重要？答案：计量经济学是运用数理统计方法来研究经济现象的学科。
它在经济学中的重要性体现在以下几个方面：首先，计量经济学可以帮助我们理解经济规律。
通过对经济数据的分析和建模，我们可以揭示经济现象背后的规律和机制，从而更好地理解经济运行的规律性。
其次，计量经济学可以帮助我们进行经济预测。
通过对历史数据的分析和建模，我们可以预测未来经济的发展趋势，为政府和企业的决策提供参考。
最后，计量经济学可以帮助我们评估经济政策的效果。
通过对政策实施前后的数据进行比较，我们可以评估政策的效果，并提出改进的建议。
第二章：最小二乘法1. 习题：什么是最小二乘法？为什么要使用最小二乘法来估计模型参数？答案：最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来估计模型参数。
具体来说，最小二乘法通过求解最小二乘问题，即找到使得观测值与模型预测值之差的平方和最小的参数值。
为什么要使用最小二乘法来估计模型参数呢？首先，最小二乘法是一种直观且易于理解的方法。
通过最小化观测值与模型预测值之间的差异，我们可以得到一个对观测值拟合较好的模型。
其次，最小二乘法在统计学中有很好的性质。
在一些假设条件下，最小二乘估计具有良好的统计性质，例如无偏性和有效性。
最后，最小二乘法在计算上也比较简单。
通过求解最小二乘问题，我们可以得到模型的闭式解，而不需要进行复杂的计算过程。
第三章：假设检验1. 习题：什么是假设检验？为什么要进行假设检验？答案：假设检验是一种统计推断方法，用于检验关于总体参数的假设。
概率论与数理统计实验实验3参数估计假设检验
概率论与数理统计实验实验3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。
2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为F(x, )，其中为未知参数( 可以是参数估计点估计区间估计点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩.令设总体分布含有个m未知参数??1 ，…，??m解此方程组得其根为分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。
2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知, ?? 的置信区间2、方差的区间估计未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)此命令以alpha 为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。
（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，并以此为样本值，给出?? 和?? 的点估计和区间估计命令:r=normrnd(10,2,100,2);[mu,sigm,muci,sigmci]=normfit(r);[mu1,sigm1,muci1,si gmci1]=normfit(r,0.01);mu=9.8437 9.9803sigm=1.91381.9955muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762sigmci=1.68031.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803sigm1=1.91381.9955muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。
回归方程的参数估计方法（3）
第三章 回归方程的参数估计方法一、 线性计量经济学模型的基本假设 假设 1. 设解释变量k x x x ,,,21 是确定变量（即不是随机变量），且解释变量之间不相关，即0),(=j i x x Cov ，（n j i ,,2,1, =）假设2. 随机误差项具有0均值及等方差，即0)(=i u E 且2)(u i u Var σ= n i ,,2,1=假设 3. 随机误差项在不同的样本点之间是相互独立的，即0),(=j i u u Cov (j i ≠)假设 4. 随机误差项与解释变量之间是不相关的，即0),(=j i u x Cov (j i ≠)二、参数估计在建立了模型及收集了足够的样本数据后，就要选择适当的估计方法对参数进行估计。
1. 参数估计的任务参数估计的任务有两个任务：一是估计模型结构参数β，二是估计随机变量的分布参数。
2. 最常用的两种参数估计方法：最小二乘估计法及最大似然估计法 （1） 最小二乘估计法最小二乘估计法是估计线性计量经济学模型的主要方法，以简单的一元线性回归模型为例i i i u x y ++=21ββ (4)它满足基本假设：0)(=i u E2)(u i u Var σ=0),(=j i u u Cov (j i ≠) 0),(=j i u x Cov(4)的估计方程为：i i x y 21ˆˆˆββ+= （6）估计量i yˆ与实际观测值i y 之间的差为： i i i y ye -=ˆ我们的目的是使：∑==ni i e 12θ达到最小。
由于∑∑∑===-+=-==ni i i ni i i ni i y x y y e 12211212)ˆˆ()ˆ(ββθ是21ˆ,ˆββ的二次函数，所以其极小值是存在的。
我们知道，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0ˆ0ˆ21βθβθ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+∑∑0)ˆˆ(0)ˆˆ(2121i i i i i x y x y x ββββ （7） 时，θ达到极小值。
回归模型的参数估计与假设检验
(i 1,2,, n)
Y X
1 2 n
ˆ Y V X
V TV min
ˆ X TY X T X
n XTX n x i i 1
S xx 2 x 1 Q n ˆˆ S xx x
1 x2 n S x xx x 1 S xx
x S xx 1 S xx
V TV n2
2
2 ˆ ( y y ) i i i 1
第三章回归模型的参数估计与假设检验武汉大学测绘学院孙海燕第二节线性回归模型线性回归理论模型回归方程的系数随机模型第三章回归模型的参数估计与假设检验武汉大学测绘学院孙海燕第三节回归参数的最小二乘估计一一元线性回归的参数估计第三章回归模型的参数估计与假设检验武汉大学测绘学院孙海燕第三章回归模型的参数估计与假设检验武汉大学测绘学院孙海燕xxxxxxxxxxxyxxxyxxxyxyxxxxxxxxxxxxxxxx第三章回归模型的参数估计与假设检验武汉大学测绘学院孙海燕编号库水位xm沉陷量ymm102714196951541881143643961201703311293935691350465461403735691449583941014101158211130308418121212342901129xxxy第三章回归模型的参数估计与假设检验武汉大学测绘学院孙海燕二多元线性回归的最小二乘估计22211211多元线性回归方程为第三章回归模型的参数估计与假设检验武汉大学测绘学院孙海燕第四节线性回归统计的分布和统计性质第三章回归模型的参数估计与假设检验武汉大学测绘学院孙海燕第五节回归模型和回归系数的显著性检验相关系数及其检验一元线性回归方程的前提是变量y与x应存在线性的统计相关因此必须有一个数量性指标来描述两个变量间线性相关的程度这一指标通常采用相关系数
第4章参数估计和假设检验
第4章参数估计和假设检验第四章参数估计与假设检验掌握参数估计和假设检验的基本思想是正确理解和应⽤其他统计推断⽅法的基础，后⾯将要学习的⽅差分析、⾮参数检验、回归分析、时间序列等统计推断⽅法都是在此基础上展开的。
需要特别指出的是，所有的统计推断都要以随机样本为基础。
如果样本是⾮随机的，统计推断⽅法就不适⽤了。
由于相关知识在先修课程中已经学习过，本章主要在回顾相关知识的基础上，补充讲解必要样本容量的计算、p值、参数估计和假设检验⽅法的软件操作和结果分析等内容。
本章的主要内容包括：（1）参数估计的基本思想和软件实现。
（2）简单随机抽样情况下样本容量的计算。
（3）假设检验的基本原理。
（4）假设检验中的p值。
（5）⼏种常⽤假设检验的软件实现。
第⼀节参数估计⼀、参数估计的基本概念参数估计是指利⽤样本信息对总体数字特征作出的估计。
例如，我们可以通过估计⼀部分产品的合格率对整批产品的合格率作出估计，通过调查⼀个样本的⼈⼝数来对全国的⼈⼝数作出估计，等等。
参数估计可以分为点估计和区间估计。
点估计是指根据样本数据给出的总体未知参数的⼀个估计值。
对总体参数进⾏估计的⽅法可以有多种，例如矩估计法、极⼤似然估计法等，得到的估计量（样本统计量）并不是唯⼀的。
例如我们可以使⽤样本均值对总体均值作出估计，也可以使⽤样本中位数对总体均值进⾏估计。
因此，在参数估计中我们需要对估计量的好坏作出评价，这就涉及到估计量的评价准则问题。
常⽤的估计量评价准则包括⽆偏性、有效性、⼀致性等。
⽆偏性是指估计量的数学期望与总体参数的真实值相等；有效性的含义是，在两个⽆偏估计量中⽅差较⼩的估计量较为有效，⽅差越⼩越有效；⼀致性是指随着样本容量的增⼤，估计量的取值应该越来越接近总体参数。
样本的随机性决定了估计结果的随机性。
由于每⼀个点估计值都来⾃于⼀个随机样本，所以总体参数真值刚好等于⼀个具体估计值的可能性极⼩。
区间估计的⽅法则以概率论为基础，在点估计的基础上给出了⼀个置信区间，并给出了这⼀区间包含总体真值的概率，⽐点估计提供了更多的信息。
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第三章 参数估计2.区间估计一般可用在食品及药品某些主要指标的含量以及产品的使用寿命等数字特征，用抽样去推断总体的性质。
设总体为X,含未知数θ，12,,......,n X X X 是样本，()12,,....,,1,2i i n X X X i θθ==都是样本的函数（不含任何未知参数）。
对0<α<<1,使得()αθθθ-=≤≤121P ，即未知数θ以大概率100（1α-）%落在区间[]12,θθ内，称（1α-）为置信度（可相信的程度），[]12,θθ为θ的置信区间，12,θθ分别为置信上下限。
以上过程称为对θ的区间估计，可分为双侧与单侧区间估计。
一般都设总体X ~()2,σμN ，对单个正态总体的未知参数μ，2σ作区间估计，其估计量用2μσ及表示。
例1:某厂生产一批清漆，为考虑该批清漆的平均干燥时间及离散程度，任取n=9个样本。
测得干燥时间分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0小时；设总体X 的干燥时间服从一般正态分布，即 X ~()2,σμN 。
（1）若2σ=0.36，求总体平均干燥时间μ的95%的置信区间；解：1 总体的方差2σ已知对μ作区间估计，取统计量及分布：)1,0(~N n X U σμ-=，2 对0.05α=，查表取 1.96Z Z ==，双侧区间估计，如图使()/21P U Z αα≤=-，3 将n X U σμ-= 代入并解不等式，有：ασμσσμαααα-=+≤≤-=≤-≤-1)()(2/2/2/2/z n X z n X P z n X z P ，则：/2X z αμ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 4. 由样本值：[]0.0251(6.0 5.7 5.0) 6.0, 0.6, 9, 1.969 6.0 1.96 5.608,6.392x n z σμ=+++====⎡⎤∈±=⎢⎥⎣⎦， 5.可以认为该批产品的平均干燥时间μ以95%的可能性落在区间[]5.608,6.392内。
（2）295%σμ未知，求的的置信区间。
1.2σ未知，用2S 代替2σ，取统计量及分布)1(~--=n t n S X T μ2、/20.025 0.05(1)(8) 2.306a n α=-== 对，双侧区间估计，取 t t如图示，使：2((1))1P T t n αα≤-=-3、代入/2/2/2/2/2 ((1)(1)) ((1)(1)) 1 [(1)]P t n t n P X n u X n X n ααααααμ--≤≤-=-≤≤+-=-∈±-， 4.代样本值，x -=6.0[]222122220.0251()11(6.0 5.7..... 5.096)0.33910.574, (8) 2.306,9,6.0 2.306 5.558,6.442n i i S x n x n S t n μ-==--=+++-⨯=-===⎡⎤∈±=⎢⎥⎣⎦∑5．可以认为该批产品当方差未知时，平均干燥时间μ以95%的可能性落在区间[]5.558,6.442内。
（3）求2σ的95%的置信区间。
1.取统计量及其分布，22221~(1)n s n χχσ-=-，2.对05.0=α，双侧区间估计，取2222/20.0251/20.975(1)(8)17.535, (1)(8) 2.18n n ααχχχχ--==-==，使αχχχαα-=-≤≤--1))1()1((22/222/1n n P ， 如图：3.代2221n s χσ-=有：2221/2/2222222/21/222222/21/21((1)(1))=(1)(1)()1(1)(1)(1)(1), (1)(1)n P n S n n S n S P n n n S n S n n ααααααχχσσαχχσχχ-----≤≤---≤≤=---⎡⎤--∈⎢⎥--⎣⎦4、由样本值：[]2280.3380.330.339, ,0.1505,1.21117.535 2.18s n σ⨯⨯⎡⎤==⇒∈=⎢⎥⎣⎦，，5.可以认为该批产品平均干燥时间的方差2σ以95%的可能性落在区间[]0.1505,1.211内。
例2、单侧区间估计。
科学上重大发现往往是年轻人作出的，美国科学院统计了15世纪到20世纪12名科学伟人。
（1）哥白尼 1543年 日心学说 40岁（2）伽利略 1600年 天文学，望远镜 34岁（3）牛顿 1665年 三大定律，微积分 23岁（4）富兰克林 1746年 电的本质 40岁（5）拉瓦锡 1774年 氧气及燃烧本质 31岁（6）莱尔 1830年 地球的演化过程 33岁（7）达尔文 1858年 生物进化论 49岁（8）麦克斯维尔 1864年 光 磁 电场 33岁（9）居里 1896年 放射性 34岁（10）普朗克 1911年 量子论 43岁（11）爱因斯坦 1905年 广义狭义相对论 26岁（12）薛定谔 1926年 量子论数学基础 39岁求：重大发现伟人年龄的上限。
解答： 由2σ未知，取统计量及分布)1(~--=n t n S X T μ（求年龄的上限用单侧区间估计）()0.052222220.05,(1)(11) 1.79591/124034....3935.421/114034...391235.427.23t n t x s αα-=-===+++=⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦(1))1(1))1(1)35.42 1.795939.15P t n P t n X n αααααμ---≥--=-≤-=-=-=+=或者 基于该统计，数学最高奖菲尔兹奖（四年颁发一次），只奖励给40岁以下的年轻人。
例3、某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），随机调查分数（绘制茎叶图）如下：甲部门：44，57，59，60，61，61，62，63，63，65，66，66，67，69，70，70，71，72，73，73，73，74，74，74，75，75，75，75，75，76，76，77，77，77，78，78，79，80，80，82，85，85，86，86，90，92，92，92，93，96.乙部门：35，39，40，44，44，48，51，52，52，54，55，56，56，57，57，57，58，59，60，61，61，62，63，64，66，68，68，70，70，71，71，73，74，74，79，81，82，83，83，84，85，90，91，91，94，95，96，100，100，100（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计市民对甲、乙两部门评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门评价。
解：（1）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75。
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为6726866=+，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67。
（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分高于90的次数为5次，所以评分高于90的比率为1.0505=。
由所给茎叶图知，50位市民对乙部门的评分高于90的次数为8次，所以评分高于90的比率为16.0508=。
（3）解：由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，说明该市市民对甲部门的评价较高，（对乙部门的评价较低）。
由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较为一致，（对乙部门的评价差异较大）。
注：设对甲部门的评分为X ，对乙部门的评分为Y ，经计算后也得到以上结论：505022211113719, 74.35, (50)116.670918501i i i i x x s x x ===⇒==-⋅=-∑∑， 5050222213424, 68.48, (50)304.1322449501i i y y s y y =⇒==-⋅=-∑∑。
第四章 假设检验统计推断一般分为两大类：一类是对未知参数作点估计及区间估计，另一类是对总体的分布和未知参数的某些特性作假设检验。
假设检验首先为提出假设，据假设选取适合的统计量及分布，用样本去推断假设的合理性，假设检验是概率论中的反证法。
1、对参数的假设检验：其步骤是先对参数提出原假设，如00:μμ=H ，检验总体的均值。
0μ为额定的标准，0H 称其为原假设，及01:μμ≠H ，称1H 为备择或对立假设。
由检验均值选择统计量，若方差2σ未知时)1(~--=n t n SX T μ 对10<<<α， 取)1(2/-n t α，使ααα,))1((2/=-≥n t T P 为显著性水平，取等式时为双侧检验，取不等式时为单侧检验。
统计推断的基本原理是：小概率事件在一次随机试验中几乎不会发生，若小概率事件发生，则说明假设不真，则有拒绝域ω或接受域。
如ω：)1(2/-≥n t T α，在0H 为真的条件下，由样本值去推断是否在拒绝域内，作出对总体的某些特性是拒绝或是接受的推断。
例1 某盐业公司用一台包装机包装精碘盐，额定标准每袋净重g 500=μ,随机抽取9=n ,其净重分别为497、506、518、524、488、511、510、515、512.对05.0=α，检验包装机工作是否正常。
假设每袋的净重)15,(~2μN X ，标准差15g σ=由以往经验得到。
解： （1）g H 500:00==μμ01:μμ≠H（2）由总体标准差已知，选取统计量及其分布。
)1,0(~N n X U σμ-=，称为U 检验法。
（3）对显著性水平05.0=α，查表取96.1025.02/==z z α 使αα=≥)(2/z U P ，拒绝域ω为2/ασμz n X U≥-= 双侧检验。
（4）由样本值509)512506497(91=+++= x 当g H 500:00==μμ 成立时96.18.1915500509<=-=U （5）小概率事件没有发生，样本值不在拒绝域内，接受H ，即认为包装机工作正常。
说明：在假设检验中提出假设时有可能发生假设错误，一般可用区间估计作验证。
在本例中[][]/2(1)509 1.96499.2,518.8500499.8,518.8x nαμ⎡⎤⎡⎤∈±-=±=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∈例2：某厂生产某种固体燃料，其燃烧率),40(~2σNX,额定标准scm/40=μ。