工程制图技术基础第3章 立体的投影

例3-5 完成轴线垂直相交的圆锥和圆柱相贯线的投
影。
. 作图步骤:（1）分析形状，确定待求投影 （2）求特殊点。
(3)求一般点。 (4)连线并判断可见性（。5）整理轮廓线。
3.3.4 相贯线的特殊情况
两回转体相交时，在一般情况下，相贯线为空间 曲线，但特殊情况下，是平面曲线或直线。常见的 有：
作图步骤如下：
（1）分析截交线形状，确定待求的投影。（2）求截交线上的特殊点。 （3）求一般点. （4）判别曲线走向（凹向）及可见性 （5）补全轮廓线的投影，完成作图。
3.2.4常见回转体截交线
(1) 圆柱的截交线
(2) 圆锥的截交线
(3) 圆球的截交线
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➢3.3 两回转体表面相交
3.3.1 概述
机件都是由两个或多个立体相交而成。两个立体相交 称为相贯，由立体相交而形成的表面交线称为相贯线。为 了清晰地表示出这些机件的各部分形状和相对位置，在图 上必须正确绘出相贯线的投影。根据其几何性质可把相贯 形体分为三类：
（1）平面立体与平面立体相交，如下图a； （2）平面立体与曲面立体相交，如下图b； （3）曲面立体与曲面立体相交，如下图c。
工程制图技术基础第3章 立体的投影
平
常面 见立 的体
基
本曲 立面 体立
体
棱柱 圆柱 圆球
棱锥 圆锥 圆环
➢3.1 立体及其表面上的点线
3.1.1 平面立体
平面立体是由若干个平面多边形围成的封 闭几何体。常见的简单平面立体有棱柱、棱锥， 如图所示。
棱柱
棱锥
1棱柱
(1) 棱柱的投影 如图下图所示，将一个正五棱柱放置在三投影
平线。它们的投影可根据不同位置直线的投影 性质进行分析。
(2) 棱锥表s面 的取点 s
2 m 1 (3)
2
3 1
S
b n a
bm s3
1 n2
a
c b(c)
c
a
M
ⅠⅡ
B
C
N A
3.1.2 曲面立体
表面由曲面或由平面与曲面围成的 立体称为曲面立体。工程上常见的曲面立 体是回转体，主要有圆柱、圆锥、圆球等 。现对它们的投影及在其表面上取点进行
行轴线的两条直线段，如下图e所示。
3．当两圆锥共顶相交时，相贯线为相交的两直线
段，如下图f所示。
4．两同轴线回转体相交时，相贯线是垂直于轴线
的圆。如下图g所示回转体与球相交，且轴线通过
球心时，交线都为圆。 画相贯线时，一般情况下按前面例题中的作图
步骤，但遇到上述特殊情况时，可充分应用其特性， 简化作图过程。
3.3.3 相贯线的作图方法
根据相贯线的性质，作相贯线投影，就是先求
出相贯体表面上一系列共有点的投影，然后顺次光 滑连接。求共有点的方法很多，下面介绍两种最常 用的方法。 1．表面取点法
当相贯体中有一个是圆柱体，且其某个投影具有积聚 性时，则相贯线的同面投影就重合在圆柱体的积聚性投影 上。相贯线的一个投影成已知，根据相贯线共有性，再把 相贯线看作是其中另外一个相贯体表面上的线，根据这个 已知投影，利用回转体表面取点法，就可作出相贯线的其
(2) 棱柱表面c 上取点 c
a
(a)
(b)
b
b c
a
在平面 立体表 面上取 点的原 理及方 法，与 在平面 内取点 相同， 只需判 别可见
性即可。
6
2.棱锥
棱锥的底面为多边形，其余的棱面都 是三角形，且交于锥顶。除底边外各棱线
也都汇交于锥顶。棱锥底面多边形若为n边 形，则称为n棱锥，底边若是正n边形，且 锥顶对底面的正投影是正n边形的中心，则 称为正n棱锥。
1．当两个相交的回转体内切于一个球面时，它们 的相贯线是平面曲线椭圆。如两等径圆柱相交，或 圆柱与圆锥相交并且内切于一个球面时，相贯线为 两个相同形状的椭圆。当两回转体的轴线所决定的 平面平行于某投影面时，则此两椭圆在该投影面上
的投影为积聚成相交的两直线段，如下图a、b、c、 d 所示。
2．轴线相互平行的两圆柱相交时，其相贯线是平
他投影。
例 试求两圆柱的相贯线
2．辅助平面法 辅助平面法求相贯线原理：所谓辅助平面法就是在
两相贯体的适当位置，作一辅助平面P，使其与相贯体 相交，分别作出P与两相贯体的截交线，再求得两截交
线的交点Ⅰ、Ⅱ，便是相贯线上的点（即三面共点）。 如下图所示，依照此法作一系列辅助平面，可求得一系 列相贯线上的点。所以，辅助平面法求相贯线的原理就 是三面共点原理。利用辅助平面法求相贯线不仅可以解 决相贯体投影有积聚性的情况，也可以解决相贯体投影 无积聚性的情况。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
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（a）
（b）
（c）
3.3.2 回转体相贯线的性质
相贯线的形状因相交的回转体形状和大小及 相对位置的不同而异，但它们都具有以下性质：
1．由于相贯体表面是封闭的，并占有一定的空间 范围，因此回转体的相贯线一般是封闭的空间曲线， 特殊情况下，可以是平面曲线或直线。
2．相贯线是两相贯体表面的共有线，是由两立体 表面上一系列点所组成。同时相贯线是两相贯体的 分界线。
分析。
1.圆柱
(1) 圆柱的投影
Z
c’d’ b’
V a’
D
A
d”
B
a”b”
c”W
C
a’ c’d’ A d
X
a
d” a”b” c”
Cb
c
Y
圆柱的轴线垂直水 平面。顶面和底面是水 平面，水平投影反映圆 的实形，正面投影和侧 面投影各积聚成一段直 线。对圆柱面部分，由
于所有素线都垂直于H
面，故圆柱面的水平投 影积聚成圆，正面投影 只需画出正面投影可见 的前半柱面和不可见的 后半柱面的分界线的投 影，即正面投影转向轮 廓线的投影。
(1)棱锥的投影
下图所示为一正三棱锥，锥顶点为S，棱锥 底面为正三角形ABC，且平行于H面，其水平投 影ΔABC反映实形，正面投影和侧面投影分别积 聚为直线段。棱面SAC为侧垂面，其侧面投影成
为一直线段，水平投影和正面投影仍为三角形，
棱面SAB和SBC均为一般位置平面，它们的三面 投影均为三角形。棱线SB为侧平线，SA、SC为 一般位置直线；底棱AC为侧垂线，AB、BC为水
3.2.1概述
平面与回转体相 截断面 交（也可看作回转体 被平面切割），在回 截交线 转体表面产生的交线， 称为回转体截交线， 这个平面称为截平面， 截交线所围成的平面 图形称截断面 ，如 右图所示。
截平面
3.2.2回转体截交线的性质
1．共有性 回转体截交线是截平面与回转体表面的 共有线，截交线上的点是截平面与回转体表面的共 有点。 2．封闭性 一般情况下，回转体截交线是封闭的平 面曲线或平面曲线和直线围成的封闭平面图形，特 殊情况下为平面多边形。其形状取决于回转体表面 性质及截平面与回转体的相对位置。
(2) 圆柱表面上取点
()
()
c”
(D)
C B A
2.圆锥
(1) 圆锥的投影
Z
s’
s”
V
S
W
b’
d” a’ c’d’
A d
Ba”(b”) c” C b
X
a
c
Y
如图所示，圆锥的轴 线垂直于水平投影面，其 水平投影为一圆，此圆即 是整个圆锥面的水平投影 均为可见，同时也是圆锥 底面的投影。圆锥的正面 投影和侧面投影是形状相 同的等腰三角形。等腰三 角形的底是圆锥底圆的投 影，三角形的两个腰是对 投影面的转向轮廓线，即 圆锥面上投影可见与不可 见部分的分界线。
(1) 圆锥表面上取点
已知圆 锥表面上 点M及N的 正面投影 m′和n′， 求它们的 其余两投
影。
m (n)
a’
n
a
m
m (n )
(a”)
3.圆球
(1) 圆球的投影
圆球的 三个投影都 是与球的直 径相等的圆， 它们分别是 球面对三个 投影面的转 向轮廓线。
(1) 圆球表面上的取点
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➢3.2 平面与回转体表面相交
面体系中，使上、下底平面平行于H面，后面平行于 v 面，得出其三面投影图。因立体的各几何元素之 间的相对位置是固定的，与投影体系无关，因此绘 制立体投影图时通常省略投影轴，这样的投影图称 无轴投影。此时，正面投影和水平投影及正面投影 和侧面投影间距根据布图需要来确定，水平投影和 侧面投影间，可通过选择基准方法保证两投影中各 要素在Y方向相对位置相同。五棱柱各侧面垂直于H 面，H投影积聚，其它投影为实形的类似形。各侧棱 边垂直于H面，H面投影积聚为一点，其它投影反映 实长。画投影图时要注意：不可见棱线画成虚线。
3.2.3求回转体截交线的方法
回转体截交线是回转体表面和截平面的共有线， 截交线上的点是回转体表面和截平面的上的共有点， 因此，求回转体截交线的投影实际上就是求截交线上 一系列共有点的投影。根据截交线的共有性，截交线 是截平面上的线，当截平面是特殊位置平面时，其某 个投影有积聚性，截交线的投影与截平面的有积聚性 投影重合，成为已知。如图下所示，圆柱被正垂面所 截，截交线正面投影有积聚性，截交线的正面投影与 截平面的有积聚性的正面投影重合，再把截交线看成 是回转体表面上的线，因为一个投影已知，利用回转 体表面上取点的方法，求出截交线上一系列点的其余 投影即可。