抛物线的切线问题教案
不愤不启 不悱不发——“与抛物线切线有关的问题”课例及点评
{
· 22·
中学教研 （ 数学）
2013 年
思考：把 2 条切线的交点作为起始点， 再观察切线 QA 与 QB ， 它们是对称的， 可否从设切线方程入手？ 解 由 Q （ x0 ，－ 1 ） ， 可 设 切 线 QA： y + 1 = k （ x － x0 ） ， 代入得 x2 － 4 kx + 4 kx0 + 4 = 0 ， 利用 得 从而
2 Δ = 16 k － 4 × 4 （ x0 k + 1 ） = 0 ，
在的弦方程为 y =
x0 x － y0 ． 2
k2 － x0 k － 1 = 0 ， k1 ·k2 = － 1 ． 点评 引导本题时， 体现的思想方法是： 先借 助于图像进行粗略判断， 再进一步借助于特殊点进 行验证， 最后用数学思想方法进行严密证明， 从而 ． ， 得到结论 这种思想方法 特别是对开放题会有明 显的效果． 本题的条件多样， 如何更有效整合利用 就显得更加重要． 这些信息， 3 ． 4 问题导练， 及时反馈 2 例 3 已知抛物线 C ： x = 4 y A， B 是抛物线上的 2 的焦点为 F ， → → AF = λ FB （ λ ＞ 0 ） ． 过点 个动点， A， B 分别作抛物线的切线， 设其 → → 证明：FQ·AB 为定值． 交点为 Q， （ 学生板演． ） 图3 解法 1 x + x2 x1 － x2 y1 － y2 → → = FQ·AB = 1 ， －2 · ， 2 2 2
2 2 x2Байду номын сангаасx2 1 － x2 1 － x2 － = 0． 4 4
(
) (
)
解法 2
AB 的方程为 y = k AB =
x0 x + 1， 从而 2
切线问题求解教案
切线问题求解教案一、引言在数学的学习中，切线问题是一个具有挑战性的问题。
本篇教案旨在通过合理的讲解和练习，帮助学生更好地理解和解决切线问题。
本教案适用于高中数学教学。
二、教学目标1. 理解切线的定义和性质；2. 学会通过求导数解决切线问题；3. 掌握求解切线问题的常用方法。
三、教学内容1. 切线的定义和性质在引入切线的概念前，首先要给学生讲解函数的导数概念和符号表示。
然后，引入切线的定义：在曲线上一点处，经过该点并与曲线相切的直线就是切线。
切线与曲线相交的点称为切点。
通过实例展示切线的定义和性质，让学生理解并灵活运用。
2. 求解切线问题的方法（1）直接使用切线的定义求解：根据切线的定义，我们可以通过求解切线与曲线方程的交点，以及通过该点的切线斜率来确定切线方程。
（2）使用导数的方法求解：通过函数的导数可以得到函数在某点的切线斜率，再结合切点坐标，可以直接写出切线的方程。
（3）结合几何图形求解：通过画图和几何推导，求解切线问题。
结合实例和练习，让学生了解并掌握不同方法下求解切线问题的步骤和技巧。
四、教学步骤1. 导入知识：简单回顾函数的导数概念和求导法则。
2. 引入切线的概念和性质：讲解切线的定义，并让学生理解切线与曲线的关系及切点的概念。
3. 求解切线问题的方法讲解：详细讲解直接使用切线定义、使用导数的方法和结合几何图形的方法。
4. 案例分析：提供一些具体的切线问题案例，引导学生运用所学方法求解。
5. 合作探究：分组活动，让学生自由讨论并解决切线问题。
6. 总结归纳：总结切线问题的求解方法和注意事项。
五、教学评估1. 课堂练习：在课堂上布置一些切线问题的练习题，检验学生的掌握程度。
2. 作业：布置切线问题的作业，让学生巩固所学内容。
六、拓展延伸1. 应用拓展：介绍切线问题的实际应用场景，如物理学中的运动问题等，激发学生的兴趣。
2. 深化讨论：提出更复杂的切线问题，让学生运用深入学习到的知识进行解决。
导学案：问题探索——求作抛物线的切线
问题探索——求作抛物线的切线学习要求：了解过曲线上一点的切线与曲线割线之间的辩证关系，能够求解过曲线上一点切线的斜率。
重点：（1）曲线的切线的概念；（2）过曲线上一点切线的斜率的计算方法。
难点：（1）用数学语言准确描述曲线的切线的概念；（2）正确使用极限的思想方法求解过曲线上一点的切线的斜率。
复习回顾问题1 什么是圆的切线？如何作圆的切线？问题2 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？新课内容1、过曲线上一点P处的切线的定义：2、求过曲线上一点P(x0,f(x))的切线的方法具体步骤：例1、已知f(x)=x2，求曲线y=f(x)在点P（2，4）处的切线的斜率。
解：练习：曲线y=2x2在点（1，2）处的切线的斜率为_________例2、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.解：练习：判断曲线y=2x2在点P（1，2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程。
例3.求二次函数y=f(x)=ax2+bx+c图像曲线上点P（u,f(u)）处切线的斜率。
总结：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤1、先利用直线斜率的定义求出割线的斜率；2、求出当△x趋近于0时切线的斜率3、然后利用点斜式y-y0=k(x-x)求切线方程.1、求曲线y=2x2-1在点P（1，1）处的切线的斜率。
2、已知A（1，4）是曲线y=2x2+2上一点，求（1）过点A的切线的斜率；（2）过点A的切线的方程。
提高题：求曲线f(x)=3-x2上在x=1处的切线的方程。
浙江省绍兴市高三数学高考复习教案：抛物线中的切线问题新人教版
抛物线的切线问题
教课目的:
①充足利用信息技术,培育学生的研究精神,提升学生发现能力,判断能力②培育学生从例题出发,发掘内在联系,深入研究高考可能出现的抛物线的切线问题
要点:师生共同研究抛物线中切线有关的问题 ,充足利用数形联合,合剪发挥猜想难点:怎样充足发掘抛物线的切线问题
思想方法:从特别到一般,类比概括,数形联合
教课过程
例题：（2020山东高考）如图，设抛物线方程为
y
x
22py(p0)，M为直线y2p上随意一点，过M引抛物线
B
的A
线，切点分别为A，B．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列
x O
M 2p
变式1:设A(x1,y1),试用x1,y1表示过A的切线方程
变式2:若M(x,y)是抛物线外随意一点,问:
A，
M，B
三点的横坐标能否成等
差数列?
00
变式3:求过A(x1,y1),B(x 2,y2)两点的直线方程
变式4:若
M(x,
p
)是抛物线准线l: y
2
随意一点,焦点为F, 问:A,B,F三点能否共线?
变式5:若
M(x0,p)是抛物线准线l:y
随意一点,焦点为F,
2
问:直线AM,BM有何地点关系?
y
F B
A
x O
p M
2
思虑:已知抛物线y2=2px,焦点为F,准线为l, 点A( p,y0)为其准线上一点,
2
过A作抛物线的两条切线,切点分别为B、C，D为准线与x轴的交点.有哪些结论?。
九年级数学下册《切线》教案、教学设计
a.通过导数与切线斜率的关系，引导学生理解导数在几何中的应用。
b.利用实际函数图像，让学生观察、分析切线的变化，培养其观察能力。
c.设计具有挑战性的问题，如求解极值点处的切线方程，提高学生的思维品质。
4.重视教学反馈，采取以下措施：
a.课后及时布置作业，巩固所学知识，关注学生的作业完成情况。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
学生分组讨论，共同解决教师设计的切线相关问题，旨在培养学生的合作能力和解决问题的能力。
2.教学过程：
a.教师给出几个具有挑战性的问题，如求解特定点处的切线方程、分析切线与曲线的关系等。
b.学生分组讨论，共同思考解决问题的方法。
c.各小组汇报讨论成果，教师点评并引导学生总结解题思路。
1.学生对几何图形有较强的观察力和想象力，能够通过直观感知发现切线与曲线之间的关系。
2.学生在解决几何问题时，已经能够运用逻辑推理和数学证明方法，但部分学生对切线性质的推理和证明可能存在困难。
3.学生在导数知识方面，掌握了求导的基本法则，能够求解函数在某一点的导数，但将导数与切线斜率联系起来的能力有待提高。
作业要求：
1.学生需独立完成作业，切勿抄袭。
2.解题过程要求书写规范，保持解答过程的简洁。
3.学生在完成作业后，应认真检查，确保解答正确。
4.鼓励学生针对作业中的问题进行讨论和交流，互相学习，共同提高。
教师将在下次课堂上针对作业中的典型问题进行讲解和点评，希望学生能通过完成作业，进一步巩固切线知识，提高数学思维能力。
2.教学过程：
a.学生观察图片，思考问题。
b.教师引导学生回顾圆的基本性质，为切线的引入做铺垫。
教学设计：问题探索——求作抛物线的切线
作切线一、教学目标：1、理解曲线在一点的切线的概念；2、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：了解切线的几何意义教学难点：求函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程：（一）、复习：圆的切线和割线。
（二）、探究新课设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为x y ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。
这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。
如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。
直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。
例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。
（1）分别对Δx =2，1，求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的切线。
解：（1）Δx =2，1，时，区间[x 0，x 0＋Δx ]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，]。
2x y =在这些区间上的平均变化率分别为22)2(02)2()0(22-=--=--f f ， 31)2()1(1)2()1(22-=---=---f f ， 5.35.0)2()5.1(5.0)2()5.1(22-=---=---f f . 其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l 1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l 2，过点（-2，4）和点（，）的直线l 3.（2）2x y =在区间[-2，-2＋Δx ]上的平均变化率为x xx x x x ∆+-=∆∆+∆-=∆--∆+-4)(4)2()2(222. 令Δx 趋于0，知函数2x y =在x 0＝－2处的斜率为-4。
高中数学《抛物线切线2》导学案
抛物线切线的性质2例1：过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为 ． 解：根据定理1的公式得，AB 直线方程为：()4300+=⇒+=y x y y p xx ，故斜率为3。
切点弦性质定理1：设过点P 与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M ，交切点弦于点Q ，则Q 点平分切点弦AB 。
（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。
且M 处的切线平行于抛物线的切点弦。
（图1,3） 定理2：直线:l y kx m =+上一动点Q 引抛物线两切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G （图2,4）如图1，点()00,y x P 为抛物线py x 22=外任意一点，过点P 作抛物线两条切线分别切于A 、B 两点，AB 的中点为Q ，直线PQ 交抛物线于点M ，求证：（1）()轴上的截距在为直线，y AB m m y x x G -==00；且直线AB 方程为()00y y p xx +=；（2）设点M 处的切线l ，求证AB //l 。
证明：（1） 点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴2221212;2py x py x ==求导得pxp x y =='22；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-222111x x p x y y x x p x y y 即()()()()⎩⎨⎧+=+=212211y y p xx y y p xx ()()12-得：()1212)(y y p x x x -=-，即222)(12212212x x x p x p x p x x x +=⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴Q x x x x =+=2120 将点Q ),2(012y x x +代入切线方程得：()0211011222py x x y y p x x x =⇒+=+令AB 方程为y kx m =+，代入22x py =得：0222=--pm pkx x 02122py pm x x =-=∴所以直线AB 过定点（0，0y -）；故AB 方程为()()0000x y x y xx p y y p=+-⇒=+ （2）p x k pk x x x pm pkx x 012022022=⇒=+=⇒=--，M 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,200，以M 点为切点的切线斜率为px p x y 0022=='，故AB //l 。
【课件】探究抛物线的切线问题
(1)点 D2,则,2过点 且与D抛物线仅有一个交点的直线方程
为______________ ____.
(2)点
D
0,
，12过
Hale Waihona Puke 作 的D切线C，则切线方程为___________.
二．典例剖析
变式2:(2019年高考全国卷3，文科21（1）)
已知曲线 C : x2 , 2 y为直D线2,2
于2008年9月评审通过中学一级教师2003年6月自考取得福建外国语学院英语专业本科文凭并获得文学学士学位多年来在高三毕业班任教2017年8月被授予20152017年度福建省优秀教师
探究抛物线的切线问题
一．知识链接 1.直线与抛物线的位置关系
相离
相切
2.抛物线的切线问题的处理思路：
相交
二．典例剖析
该三角形满足以下特性： 1、D点必在抛物线的准线上
DA DB FD AB
A, D三, B点的横坐标成等差数列
(三）对点训练
知识 收获
方法 收获
数学 思想
(四）课堂小结
知能提升
必做
选做
下节，精彩继续……
重庆市南开中学 赵爽
上的动y 点，1 过
2
D
作 C的两条切线，切点分别为 A, B ．证明：直线 A, B 过定点．
由点形.圆 的锥两曲条线切的线弦所阿三与 围基角过成米形弦的德的三端角
y
阿基米德是 A 伟大数学家与力 学家,并享有“数 学之神”的称号。
B F
O
x
D
阿基米德三角形
过任意抛物线焦点F作抛物线的弦， 与抛物线交于A、B两点，分别过A、 B两点做抛物线的切线,相交于D点。 那么△DAB称作阿基米德三角形。
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抛物线的切线问题
天台平桥中学 杨启
一、教学目标、重点、难点
1．知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线
线位置关系问题的应用.
2．能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归
与转化的数学思想.
3．情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问
题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.
4．教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物
线的位置关系问题.
二、教学过程
（一）引入
在近5年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如2005江西，2006全国卷II ，2007江苏，2008山东，2009浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题目，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力. （二）典型例题
例1 (2007江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于,A B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q 两点.
（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；
（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.
分析：(1)设出AB 的直线方程，及A ，B 两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.
（2）AQ 的斜率用A 点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.
（3）先写出逆命题，再利用斜率相等.
解：（1）设直线AB 的方程为c kx y +=，
将该方程代入2y x =得02=--c kx x .
令A ),(211x x ,B ),(2
2
2x x ，则c x x -=21. 222
22121=+-=+=⋅c c x x x x OB OA , .2.(1,2=-==∴c c c 故舍去）或
(2)由题意知),2
(2
1
c x x Q -+，
直线AQ 的斜率为12
12
1212112122
2x x x x x x x x x c x k AQ =--=+-
+=
又2
y x =的导函数为x y 2='，
所以点A 处切线的斜率为12x .因些，QA 为此抛物线的切线. （3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设),(0c x Q -，若AQ 为该抛物线的切线，则12x k AQ =.
又直线AQ 的斜率为0
12
1210121x x x x x x x c x k AQ
--=
-+=， 10
12
1212x x x x x x =--∴
2121012x x x x x +=∴
)0(2
12
10≠+=
∴x x x x 所以点P 的横坐标为2
2
1x x +，即逆命题成立.
评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理，准确地运算，即可得到解答.
例2（2010 浙江金华十校）已知抛物线C 1：2x y =，椭圆2C ：14
2
2
=+y x . （1）设21,l l 是C 1的任意两条互相垂直的切线，并设M l l =21 ，证明：点M 的纵坐标为定值；
（2）在C 1上是否存在点P ，使得C 1在点P 处切线与2C 相交于两点B A 、，且AB 的中垂线恰为C 1的切线？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.
分析：（1）设出切点坐标),(211x x ,),(2
2
2x x ，利用导数可写出两个切线方程)(21121x x x x y -=-，
)(2222
2x x x x y -=-，又21l l ⊥可得到斜率之积12221-=x x 通过运算得到结论.
（2）设出坐标写出切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P 从标.
解：(1)设切点分别为),(211x x ,),(2
2
2x x ， 由x y 2='可得
)(211211x x x x y l -=-的方程即2112x x x y -= ① 的方程2l 2
222x x x y -= ② 联立①②并解之，得
⎪⎩⎪⎨⎧
=+=2
1212x x y x x x 即为点M 的坐标),2
(
212
1x x x x + 21l l ⊥ 12221-=∴x x ，所以4
1
21-==x x y M
即点M 的纵坐标为定值4
1
-.
（2）设),(200x x P ，则C 1在点P 处的切线方程为2
002x x x y -=，
代入2C 方程04422=-+y x ，得
044)44(4030220
=-+-+x x x x x ， 设),(),,(4433y x B y x A ，则
2
4043202043444,1x x x x x x x x +-=+=+，0)44(164
020>-+=∆x x 由（1）知41-=M y ，从而41243-=+y y ，即4
1)(2
0430-=-+x x x x ， 进而得4112
02
40-=-+x x x ，解得3120=x 经检验3
1
2
0=
x 满足0>∆，所以这样的点P 存在，其坐标为)31,33(±
评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，为求点M 的坐标奠定基础，点M 又使两小量连接起来.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免出错. （三）练习
（2006全国II ，21）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，
且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I ）证明AB FM ⋅为定值； （II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。
解：(I)由题意，设直线AB 的方程为1+=kx y 代入24x y =得0442=--kx x
设),(),,(2211y x B y x A 则4,42121-==+x x k x x
又2
x
y ='所以切线方程分别为42211x x x y -=，422
22x x x y -=从而
)1,2
(2
1-+x x M
所以2
2
21x x k FM +-
=
，故14222121-=+⋅+-=
⋅x x x x k k FM 即AB FM ⊥ 所以0=⋅AB FM 为定值.
(II) 由FB AF λ=得21x x λ=-，又有421-=x x 所以λλ14,42
221==x x ，由（I ）可知点M 在抛物线的准线上，所以21
221++=++=λ
λy y AB
21
2)2(
||221++=++=λ
λx x FM 所以23
)21
(||||21++=⋅=Λλ
λFM AB S ABM
由基本不等式可求得面积最小值为4. 四）课堂小结
1．通过本节课学习，我们发现这些题中都有一个相似的地方：过抛物线外一点作抛物线的两条切线，同时这两条切线所带来一些性质比如切点坐标，定值等，在这里还有其他性质我们在课外可以继续研究。
2．“坐标法”始终是解决直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，而“韦达定理”始终起到“桥梁”作用。
（五）作业 1．（2008山东，理22）如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .
（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程. 2．（2005江西，理22）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.
（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
三、板书设计
屏幕
第一版例1
第二版例2。