第08讲归纳猜想证明含详解

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第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线 (精讲)-2(含答案解析)

第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线(精讲）-2第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线（精讲）角度2：由中点弦确定曲线方程典型例题例题1．（2022·四川南充·高二期末（文））1．过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=例题2．（2022·全国·高二课时练习）2．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．22152x y -=D ．22125x y -=例题3．（2022·江苏南京·模拟预测）3．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点1,2⎛ ⎝⎭，直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为0.5-，求椭圆C 的标准方程；例题4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）4．斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；同类题型归类练（2022·四川南充·二模（文））5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -与椭圆C相交于不同的两点,A B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22142x y +=C ．22153x y +=D ．22163x y +=（2022·全国·高三专题练习（理））6．已知椭圆C ：22221(>0)>x y a b a b +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，AB 的中点坐标为21(,)33-.求椭圆C 的标准方程；（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）7．已知椭圆C ∶22221(0)x y a b a b+=>>经过点3)2P ，O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l 与直线OM 的斜率乘积为14-.求椭圆C的标准方程；（2022·全国·高三专题练习）8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点的纵坐标为2．求C 的方程.题型三：弦长问题典型例题例题1．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．247B ．127C ．7D ．7例题2．（2022·全国·高三专题练习）10．经过双曲线2213y x -=的左焦点F 1作倾斜角为6π的直线AB ，分别交双曲线的左、右支为点A 、B ．求弦长|AB |=_____例题3．（2022·贵州遵义·高二期末（理））11．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>左右焦点为1F ，2F 2M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点()2,3A ，倾斜角为π4直线l 与椭圆交于B ，C 两点，求BC ．例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)P -．(1)求C 的方程；(2)若,A B 是C 上两点，直线AB 与圆222x y +=相切，求AB 的取值范围．例题5．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）13．已知动圆C 过定点()0,1F ，且与直线1:1l y =-相切，圆心C 的轨迹为E ．(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线2l 交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则PQ 的最大值为多少？同类题型归类练（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）14．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点(F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长||AB =（）A ．7B ．8C ．9D ．10（2022·四川·遂宁中学高二期中（文））15．已知椭圆的中心在原点，焦点在x12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45°的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A ､B 两点，求AB （2022·河北·衡水市第二中学高二期中）16．（1）已知A ，B 两点的坐标分别是()6,0-，()6,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是29.求点M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状：（2）已知过双曲线22136x y -=上的右焦点2F ，倾斜角为30 的直线交双曲线于A ，B 两点，求AB .（2022·安徽·六安一中高二开学考试）17．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））18．已知抛物线C ：()220x py p =>，圆O ：221x y +=.(1)若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为C 和圆O 的一个交点，求AF ；(2)若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M ，N ，求MN 的最小值及相应p 的值.（2022·安徽省舒城中学三模（文））19．已知抛物线C ：22y px =（p ＞0），抛物线C 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF 的最小值为1．(1)求p ；(2)设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线C 上不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足123k k OA OB <⋅=-，求｜AB ｜的取值范围．参考答案：1．A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A 2．D【分析】根据点差法得2225a b=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果.【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-=()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（）2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.3．22142x y +=【分析】由离心率得,a b 的一个关系式，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用斜率关系得关于,a b 的另一等式，联立可求得22,a b 得椭圆标准方程．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即121212OM y y k x x +==-+．因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()()()121222121210y y y y a b x x x x +-+=+-，又12121AB y y k x x -==-，所以221102a b-=，即222a b =．又因为椭圆C过点⎛ ⎝⎭，所以221123a b +=，解得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=；4．24y x=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入抛物线方程相减，利用弦中点坐标，直线斜率求得p ，得抛物线方程．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.5．B【分析】先求得焦点，也即求得c ，然后利用点差法求得22ba，从而求得,a b ，也即求得椭圆C 的方程.【详解】直线0x y -=过点()F，所以c =设()()1122,,,A x y B x y ，由2222112222221,1x y x y a b a b +=+=两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，即22222222111,,222b b a b bc a a ⎛⎫-=-⋅===+ ⎪⎝⎭，所以2b c a ===，所以椭圆C 的方程为22142x y +=.故选：B 6．2212x y +=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标、离心率求得直线AB 的斜率得直线方程，从而求得焦点坐标，求出,,c a b 得椭圆标准方程．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212221x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--，2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+，将1243x x +=-，1223y y +=代入上式，得2221(12AB b k e a ⋅-=-=-，又2=e ，∴=1AB k ，∴直线l 的方程为1233y x -=+，即1y x =+，即()11,0F -，∴1c =，1a b ==，∴椭圆C 的标准方程2212x y +=；7．221123x y +=【分析】已知点的坐标代入得,a b 的一个关系式，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用斜率关系得,a b 的另一等式，联立可求得22,a b 得椭圆标准方程．【详解】解：因为椭圆经过点3)2P ，所以223914a b +=（1），设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，因为线段AB 的中点为M ，且直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，所以2214b a -=-（2），由（1）（2）解得223,12b a ==，所以椭圆方程为：221123x y +=；8．24y x =.【分析】中点弦问题利用点差法进行处理.【详解】解：设点()()1122,,A x y B x y ，，则12+22y y =，所以12+4y y =，又因为直线AB 的斜率为1，所以21211y y x x -=-，将A 、B 两点代入抛物线方程中得：21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，将上述两式相减得，()2212122y y p x x -=-，即()()()121212+2y y y y p x x -=-，所以12121221+y y p y y x x -==-，即214p=，所以2p =，因此，抛物线的方程为24y x =.9．A【分析】利用弦长公式求解即可.【详解】设直线AB 方程为1y x =-，联立椭圆方程22143x y+=整理可得：27880x x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1287x x +=，1287x x ⋅=-，根据弦长公式有：AB =247．故B ，C ，D 错误.故选：A.10．3【分析】直线AB的方程可设为2)y x =+，联立方程，利用弦长公式可得结果.【详解】∵双曲线的左焦点为F 1（﹣2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB的方程可设为2)y x =+，代入方程2213y x -=得，8x 2﹣4x ﹣13＝0，∴1212113,28x x x x +==-，∴12||||3AB x x =-==.故答案为：3.11．(1)2214x y +=(2)5BC =【分析】（1）利用椭圆的离心率，过点1,2M ⎛ ⎝⎭，及222a b c =+，列方程解出,a b 即可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解.【详解】（1）解：由题意得222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，解得224a b =，又因为点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，带入222214x y b b+=得21b =，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）解：易得直线l 的解析式为1y x =+，设()11,B x y ，()22,C x y 联立椭圆的方程22441x y y x ⎧+=⎨=+⎩得2580x x +=1285x x +=，120x x =12BC x=-=所以5BC =．12．(1)22163x y+=(2)【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此可求得椭圆的方程.（2）对直线AB 斜率分成不存在、直线AB 的斜率为0、直线AB 的斜率不为0三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）由题意得，222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a b c ===，所以C 的方程为22163x y +=.（2）圆222x y +=的圆心为(0,0)，半径圆r =①当直线AB的斜率不存在时，方程为x =x =于是有22163x x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩或22163x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得y =所以AB =②当直线AB 的斜率为0时，方程为y =或y =，于是有22163y x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩或22163y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得x =所以AB =③当直线AB 的斜率不为0时，设斜率为k ，方程为y kx t =+，0kx y t -+=因为直线AB 与圆222x y +==222(1)t k =+建立方程组22163y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 并化简得222(21)4260k x ktx t +++-=，2222222Δ164(21)(26)488243280k t k t k t k =-+-=-+=+>.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122421kt x x k +=-+,21222621t x x k -⋅=+，所以AB ===>而2214448kk++≥+=，当且仅当2214kk=，即22k=时，等号成立.所以3AB=，所以3AB<≤.综上所述，AB的取值范围是.13．(1)24x y=(2)6【分析】（1）利用抛物线的定义直接可得轨迹方程；（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得PQ，再根据二次函数的性质可得最值.（1）由题设点C到点F的距离等于它到1l的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，1l为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为24x y=；（2）由题意易知直线2l的斜率存在，设PQ中点为(),2t，直线2l的方程为()2y k x t-=-，联立直线与抛物线()242x yy k x t⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得24480x kx kt-+-=，()()()2244481620k kt k kt ∆=---=-+>，且124x x k +=，1248x x kt =-，又PQ 中点为(),2t ，即1242x x k t +==，2t k =，故()24280t t ∆=-+>恒成立，122x x t +=，21228x x t =-，所以PQ ，当22t =时，PQ 取最大值为6.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．14．D【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得22,a b ，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得.【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y =，b a∴，即.b =左焦点()F，c ∴=222233c a b a ∴=+==，21a ∴=，22b =，∴双曲线C 的方程为22 1.2y x -=易知直线l 的方程为(2=y x ，设11(,)A x y ，22(,)Bx y ，由(22212y x y x ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消去y 可得270++=x，12x x ∴+=-127.10.x x AB =∴==故选：D15．(1)2214x y +=；(2)85.【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、椭圆中的,,a b c 关系进行求解即可；（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的离心率为2且过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2222222231144123a b a c b a c a b c ⎧+=⎪⎧⎪=⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，所以椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）由（1）可知：F ，所以直线l的方程为：0tan 45(y x y x ︒-=⇒=2224(40580x x x +--=⇒-+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121285x x x x +==，因此85AB =.16．（1）轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点；（2）5AB =.【分析】（1）设(),M x y ，根据题意列出等式，化简即可得轨迹方程，判断轨迹形状，即得答案；（2）求出直线方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，根据弦长公式求出弦长即得答案.【详解】（1）设(),M x y ，因为()6,0A -，()6,0B ，所以()2,6669AM BM y y k k x x x ⋅=⋅=≠±+-，整理得()2216368x y x -=≠±，故点M 的轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点.（2）由22136x y -=得，23a =，26b =，所以2229c a b =+=,即3c =，所以右焦点()23,0F ，因为直线AB 的倾斜角是30 ，且直线经过右焦点()23,0F ，所以直线AB的方程为)3y x =-,由)223136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得：256270x x +-=，所以1265x x +=-，12275x x =-，所以245AB ====17．(1)22142x y -=（2x ≠±）(2)【分析】（1）设(),M x y ，用坐标表示AM ，BM 的斜率，由已知可得曲线方程，注意斜率有意义；（2）直线方程与曲线方程联立，消元后应用韦达定理，由弦长公式计算弦长．（1）设(),M x y ，则AM ，BM 的斜率分别为12y k x =+，22y k x =-，由已知得1222y y x x ⋅=+-，化简得22142x y -=（2x ≠±），即曲线C 的方程为22142x y -=（2x ≠±）；（2）联立221423x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得212220x x -+=，设()11,E x y ，()22,F x y ，则1212x x +=，1222x x =，12EF x -===18．1(2)最小值为p =【分析】（1）由()0,1F 得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出A y ，最后由抛物线定义得出AF ；（2）由导数的几何意义得出切线l 的方程，由点O 到切线l 的距离等于1结合勾股定理得出2MN =20204411y y ++--，再由基本不等式得出MN 的最小值及相应p 的值.（1）由题意，得()0,1F ，从而C ：24x y =.解方程组22241x y x y ⎧=⎨+=⎩，整理得，2410y y +-=，解得2A y所以11A AF y +==.（2）设()00,M x y ，由212y x p =得 x y p '=，故切线l 的方程为()000x y x x y p=-+，注意到2002x py =，故整理得000x x py py --=由1ON =且ON l ⊥，即点O 到切线l 的距离等于11=所以0py ==，整理，得02021y p y =-且201y ->0，所以2222200001121MN OM x y py y =-=+-=+-22200022004414142811y y y y y =+-=++-≥+--，当且仅当0y =.所以MN 的最小值为p ==19．(1)2(2)4AB ≥【分析】（1）由于2p PF ≥，即可求得12p =，从而得2p =；（2）设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由123k k OA OB <⋅=- 得124y y =-，设AB 直线方程为y kx b =+，代入抛物线方程结合韦达定理得出b k =-，从而y kx b =+过焦点()1,0，即可求解AB 的取值范围．【详解】（1）因为2p PF ≥，则12p =，所以2p =；（2）由（1）得24y x =，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则121244,k k y y ==，由123k k OA OB <⋅=- 得()212121216316y y y y y y <+=-，所以124y y =-，设AB 直线方程为y kx b=+联立方程组24y kx b y x =+⎧⎨=⎩得204k y y b -+=，所以1244b y y k ==-则b k =-故()1y kx b kx k k x =+=-=-过焦点()1,0所以24AB p ≥=．。

归纳—猜想—证明

归纳—猜想—证明归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。

归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—证明”的思想方法，1．什么是归纳法在初中学习平面几何时，常会遇到如下推理：三角形内角和为180°，直角三角形是三角形，所以直角三角形内角和为180°。

这种由一般命题推出特殊命题的推理方法，我们称为演绎法。

但很多时候，往往需要从特殊的事例推出一般的原理，例如，一个人通过若干天的观察，看到“太阳从东方升起”，就推出一般结论：“今后的每一天太阳都从东方升起”，这种推理方法叫做归纳法。

归纳法在科学发展和社会生活中起着重要作用，如气象工作者、水文工作者根据积累的历史资料作气象预测、水文预测，用的就是归纳法归纳法有什么特点？来看两个问题。

问题1：这里有一袋球共10个，要判断这袋球的颜色是白色，还是其他颜色，请问怎么办？学生：一个个拿出来看一看。

教师：这一袋球都是白色的。

问题2：数列的通项公式()2255n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，可以得到什么结论？学生：该数列的前四项都是1，猜测该数列的所有项都是1教师：这是错误的结论，该数列第五项是25。

解决以上两个问题用的都是归纳法——用一些特殊事例推出一般结论。

为什么问题1的结论正确，问题2的结论错误呢？这是因为问题1中，一共10个球，全部看了一遍，结论当然正确。

问题2中，根据前4 项为1，推测到所有项都是1，由于自然数有无数多个，因此得出的结论不一定正确。

实际上在这两个问题中运用的归纳法是有区别的，问题1中把研究对象都一一考察到了，这样推出结论的归纳法称为完全归纳法（通过验证一切可能的特殊事例，从而得出一般性结论，这种归纳推理称为完全归纳法）。

问题2中，根据部分事实推出了更加一般的事实，这种推理方法称为不完全归纳法（通过验证有限的特殊事例，从中推断出一般性的结论，这种归纳推理称为不完全归纳法）。

高斯小学奥数含答案三年级上第08讲归一问题

归一问题例题1练习16战国年回，期同名将庞涓率领部队追击由利•鹃指挥的狎国军队 ___________________分析：试着先求出10名工人每天能生产多少个零件?尸他们的dr 头越来越少，看来人数也越来越少了.哈哈！果要用5天的时间生产出300个零件，那么需要多少名工人?L 听说孙腐向来校貂招军小，泗汽车厂每名工人每天生产汽车零件6个.按照这样的速度，10名工人3天能生产多少个零件？如每人每小时能包125个饺子.按照这样的速度，8个人5小时能包多少个饺子?施立般干现在it* i± 的2DO 冲，工个庄子不超…，：d*J£. IEi 眄海最多住1 口 3.,节:阴口口算算行王口头少儿了 T 培皓.长培我娘।例题1中，“每名工人每天生产的零件个数”是解题的关键，我们把这样的量称为“单位量”而求解“单位量”，利用“单位量”进行分析的应用题就称为“归一问题”归一问题是基本应用题的重要组成部分，在解决归一问题时，关键是要找到“单位量”，也就是把多倍的量“归”成单位的“一”.・・例题2牛吃草，6头牛5天吃90捆草，按照这样的速度，8头牛3天吃多少捆草？多少头牛10天吃60捆草？分析：每头牛每天吃多少捆草？练习2鲨鱼吃小鱼，4头鲨鱼3分钟吃1200条小鱼，按照这样的速度，5头鲨鱼8分钟吃多少条小鱼？当单位量不可求时，可以试着把某些量设成单位量来解决.在设单位量的时候，通常设为“1”份.例题3一艘远洋轮船上共有30名海员，船上的淡水可供全体船员用40天.轮船离港10天后在公海上救起15名遇难的外国海员.假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用多少天？分析：如果设1名海员1天消耗“1”份淡水，那么船上开始总共有多少多少淡水？10天后呢？练习3某油库里有一定量的汽油，可以供20辆出租车用35天，但在这些车用了10天后又从别的地方调来了5辆出租车共同使用这些汽油，那么剩下的油还能用几天？前面的几个例题都可以直接算出或设出单位量，但有时候的归一问题只凭借现在所学的知识无法算出单位量，但可以根据前后的一些倍数关系的比较来解决，这种方法称为“倍比法”.I例题4 '最75^) 3只猴子3天吃3个桃子，按照这样的速度，6只猴子6天能吃几个桃子？9只猴子要吃9个桃子，需要多少天？分析：条件是3只猴子3天吃，问题是6只猴子6天吃，它们之间有什么倍数关系？练习42只猫2天能抓2只耗子，那么4只猫4天能抓几只耗子？例题59个人6天完成了12件作品，按照这样的速度，3个人3天可以完成多少件作品？21人12天可以完成多少件作品？分析：与例题4类似，试着找一下条件与问题间的倍数关系.例题6老李从批发市场以6元钱3千克的价格买进一些柚子，然后以5元2千克的价格卖出去，那么要想获利180元，需要买进多少千克柚子？分析：思考下每6千克能获利多少元.3只猫真的够了吗？“3只猫3分钟抓住3只老鼠，那么，100分钟抓100只老鼠需要几只猫？”这是一个很著名的问题.许多同学学了归一法后，在遇到这个问题时，都会这么想：3只猫3分钟抓3只老鼠，那3只猫1分钟就能抓1只老鼠，这样一来，它们100分钟恰好就能抓住100只老鼠.所以需要3只猫就够了！这是通常的回答，但是3只猫真的够了吗？其实，按题目的说法，虽然能保证3只猫在3 分钟内抓住3只老鼠，但并不能保证它们每分钟恰好都抓住1只老鼠.因此，按题目的条件，比较恰当的推理应该是：3只猫6分钟抓住了6只老鼠，9分钟抓住了9只老鼠，99分钟抓住了99只老鼠.问题就在剩下的第100只老鼠.如果3只猫共同追这只老鼠，确实能像预期中的在1分钟内抓住它.但是，按照生活常识，我们知道猫总是独自追赶，绝不会成群结队地追赶自己的猎物.即使有3只猫在场，也只可能是1只猫在追赶这只老鼠，而这1只猫又未必能在1分钟内抓到老鼠.所以只有3只猫是不能保证在100分钟内抓到100只老鼠的，至少要有4只猫才行.不过，其中1只猫只要抓住1只耗子，就可以睡大觉了.这个猫抓老鼠的问题告诉我们，在考虑数学问题时，我们不能生搬硬套书本中所学的知识，还必须结合生活常识，才能得到正确的答案.作业1.3名小学生5分钟能吃30个饺子，照这样的速度，那么4名小学生8分钟能吃多少个饺子?2.3位老师4小时可以解决120道题.按这样的速度，4位老师解决400道题需要多少小时？3.卡莉娅想折一些许愿星来许愿，如果她每天折15分钟，要折20天才能折完.折了5天后，她觉得太慢了，于是每天多折10分钟，那么她还需要多少天才能折完？（假设每分钟折的数量不变）9J ☆工. ☆4.3台机床5小时能完成14个零件，那么照这样的速度，那么9台机床10小时能完成多少个零件？5.16只兔子一共重60千克，那么36只兔子一共重多少千克？多少只兔子一共重75千克?10☆ -第八^^归第八讲归一问题、^^1.例题i *答案：（1）180 个；（2）10 名详解：（1）10 x 6x 3 = 180 个.（2）300 + 5 + 6 = 10 名.2.例题2答案：（1）72捆；（2）2头详解：（1）1头牛1天吃90 + 6 + 5 = 3捆草，那么8头牛3天吃3 x 8 x 3 = 72捆草.（2）60 + 3 +10 = 2 头牛.3.例题3答案：20天详解：设1人1天喝1份水，则共有30 x 40 x 1 = 1200份水，现在轮船离开港口10天，会剩下1200 -10 x 30 x 1 = 900份水，这时船上有30 +15 = 45人，则还可再用900 + 45 = 20天.4.例题4答案：（1）12个；（2）3天详解：利用倍比法解题：（1）3x 2x 2 = 12个.（2）9 + 3 = 3天.5.例题5答案：（1）2件；（2）56件详解：中间量是第一问中的3人3天完成几件，因为此题无法缩小至1人1天几件，所以只能缩至多份量，是此题的难点.可以根据倍数关系，直接进行倍比.（1）12 + 2 + 3 = 2 件；（2）2x 7 x 4 = 56 件.6.例题6答案：360千克详解：每6千克进价为12元，售价为15元，可以赚3元，所以要买进180 + 3x6 = 360千克.7.练习1答案：5000个简答：125 x 8 x 5 = 5000 个.8.练习2答案：4000条简答：1头鲨鱼1分钟吃1200 + 4 + 3 = 100条，那么5头鲨鱼8分钟吃100 x 8 x 5 = 4000条.9. 练习3答案：20天简答：设一辆出租车一天用1份汽油，那么共有700份汽油，（70。

“abc猜想”讲义(8)

“abc猜想”讲义（8）第八讲证明“abc猜想”主讲王若仲我们现在开始学习证明“abc猜想”的具体内容，我们不能一步到位，还得一步一步地剖析。

五剖析“abc猜想”定理5.1：对于任意ε＞0,存在常数kε＞0，并对于任何三个满足a+b＝c以及a和b互质的正整数a，b，c；则有：kε·rad(a·b·c)1+ε＞c。

其中rad(a·b·c)表示(abc)中无重复质因数的积。

证明：我们从什么是“abc猜想”的具体内容中可以看出，既然对于任何三个满足a+b=c以及a和b互质的正整数a，b，c。

我们不妨设c=n，a=m，b=g，（n，m）=1，n和m以及g均为正整数。

那么对于正整数g，因为gϵN，g≧1。

那么rad（g)必为下列情形之一：（11）rad（g）不为定值。

这种情况，一是正整数g不可能是恒定的正整数，如果正整数g是恒定的正整数，那么rad（g）为定值，与要求条件产生矛盾。

二是正整数g不可能恒为d r的情形，d为恒定的正整数，r为不小于1的整数。

如果正整数g恒为d r的情形，d为恒定的正整数，那么rad（g）为定值，与要求条件产生矛盾。

（12）rad（g）为定值。

这种情形是正整数g为恒定的正整数或者正整数g 恒为d r的情形，d为恒定的正整数，r为不小于1的整数，那么rad（g）=定值或者rad（g）=rad（d r）=定值。

对于正整数m，同样的道理，rad（m）必为下列情形之一：（21）rad（m）不为定值。

这种情形是正整数m不为恒定的正整数或者正整数m不恒为u s的情形，u为恒定的正整数，s为不小于1的整数。

（22）rad（m）为定值。

这种情形是正整数m为恒定的正整数或者正整数m 恒为u s的情形，u为恒定的正整数，s为不小于1的整数，那么rad（m）=rad （u s）=定值。

对于正整数n，同样的道理，rad（n）必为下列情形之一：（31）rad（n ）不为定值。

高斯小学奥数六年级上册含答案第08讲复杂直线型计算

3
右侧边的1,那么它的面积就是大三角形的1- -•
22 3 6
3.沙漏三角中的比例关系:
如下图所示，上下两个三角形底边平行，
另两边呈交叉关
1.n边形的内角和是180n2;
2.n边形的外角和是36、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式（详细公式略）
三、直线形中的比例关系
1.等高三角形：面积比等于底的比.
a:b
2.共角三角形：面积比等于共角夹边比的乘积•如右图所示，阴影三角形
与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的〕，右侧边占大三角形
第八讲复杂直线型计算
我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、
角度以及面积的计算，并学习了
直线形中的各种比例关系•下面我们就对这些知识作一下总结.
本讲知识点汇总:
我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了
直线形中的各种比例关系•下面我们就对这些知识作一下总结.
一、角度问题

2019-2020年高二数学归纳猜想证明新课标

2019-2020年高二数学归纳猜想证明新课标（一）知识归纳：由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序：①计算命题取特殊值时的结论；②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论；③证明所猜想的结论.（二）学习要点：在中学数学内，“归纳—猜想—证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n 有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明.【例1】已知数列满足关系式∈≥+=>=--n a a a a a a a n n n ,2(12),0(111N +），（Ⅰ）用a 表法a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）猜想a n 的表达式（用a 和n 表示），并证明你的结论.[解析]（Ⅰ）;7183141314212,31412112212,23342232a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+++⨯=+=+=+++⨯=+=+= （Ⅱ）（ ,)12(12,)12(12111001aa a a a a a -+=-+==）猜想下面用数学归纳法证明： 1°．当n=1时，∴-+==,)12(12001aa a a 当n=1结论正确； 2°．假设当n=k 时结论正确，即，∴当n=k+1时 aa a a a a k k k k k k 1112)12(1212--++-+=+= =,)12(1222121aa a a a k k k k -+=-⨯+-当n=k+1时结论也正确；根据1°与2°命题对一切n ∈N*都正确.[评析]“归纳—猜想—证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易.【例2】已知数列满足：,232,1111-+⨯+==n n n a a a 计算a 2，a 3，a 4的值，由此归纳出a n 的公式，并证明你的结论.[解析]很容易算出a 2=5，a 3=16，a 4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索. ∵a 2=2 a 1+3×2°=2×1+3×2°，a 3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，a 4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想a n =2n －1+（n －1）×3×2n －2=2n －2（3n －1）；用数学归纳法证明：1°．当n=1时，a 1=2－1×=1，结论正确；2°．假设n=k 时，a k =2k －2（3k －1）正确，∴当n=k+1时，111123)13(2232---+⨯+-=⨯+=k k k k k k a a = 结论正确；由1°、2°知对n ∈N*有[评析]如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功.【例3】已知等差数列中，a 2=8，前10项的和S 10=185，（Ⅰ）求数列的通项公式a n ；（Ⅱ）若从数列中依次取出第2，4，8，…，2n ，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n 项和A n ；（Ⅲ）设 B n =n （5+3 a n ），试比较A n 和B n 的大小，并说明理由.[解析]（Ⅰ）设公差为d ，∴;23)1(35,5345101858111+=-⨯+=∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=-=n n a a d d a d a n （Ⅱ）设新数列为，∴∴A n =3×（2+22+23+…+2n ）+2n=3×2n ＋1+2n －6；（Ⅲ）∵,48163,22283,8443,119)119(3212=⨯==-⨯==-⨯=∴+=+=A A A n n n n B n A 4=3×32+2=98，A 5=3×64+4=196，A 6=3×128+6=390，A 7=3×256+8=776，……而B 1=20，B 2=58，B 3=114，B 4=188，B 5=280，B 6=390，B 7=518，……①当n=1，2，3，4，5时，B n >A n ；②当n=6时，B 6=A 6；③当n ≥7，且n ∈N*时，猜想A n >B n ，用数学归纳法证明：1°．当n=7时，A 7=766>518=B 7，结论正确；2°．假设当n=k （k ≥7）时，A k >B k ，即3×2k+1+2k －6>9k 2+11k2k+1>3k 2+3k+2，∴n=k+1时，)]1(11)1(9[]6)1(223[2211+++--++⨯=-+++k k k B A k k k =6×2 k+2－9k 2－27k －24=6×[2 k+1－（3k 2+3k+2）]+6×（3k 2+3k+2）－9k 2－27k －24=6×[2 k+1－（3k 2+3k+2）]+9k 2－9k －12>9k 2－9k －12=9k （k －1）－12≥9×7×（7－1）－12>0∴A k+1>B k+1，即n=k+1时，结论也正确；根据1°、2°知当n ≥7且n ∈N*时，有A n >B n .[评析]从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.【例4】已知数列满足：,2121221n n n a a a a a +===++且问是否存在常数p 、q ，使得对一切n ∈N*都有并说明理由.[解析] ∵,112,3222341223=+==+=a a a a a a 设存在这样的常数p 、q ， ∴,141133234123⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧+=+=q p q p q p qa pa a qa pa a 由此猜想，对n ∈N*，有下面用数学归纳法证明这个结论：1°．当n=1时，，结论正确；2°．假设当n=k 时结论正确，即 ∴当n=k+1时，,42)2(4242)4(21212121221121223++++++++++++++-=-+-=--=+-=+=k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ∴当n=k+1时结论正确，故当n ∈N*时，成立.[评析]例4是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳—猜想—证明的方法，难度不大.2019-2020年高二数学归纳法及其应用新课标（一）知识归纳：数学归纳法是证明与正整数n 有关的数学命题的一种重要方法，其证题程序是：①验证n 取第一个值n 0时结论正确；②假设时结论正确，证明当时结论也正确.如果①、②两个步骤都完成了，则可断定结论对的一切正整数都正确.实际上，中学所学的这种数学归纳法称第一数学归纳法.（二）学习要点：1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效.【例1】用数学归纳法证明下述等式问题：（Ⅰ）)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . [证明] . 当时，左边，右边，∴左边=右边，时等式成立；. 假设时等式成立，即)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-⋅++-⋅+-⋅k k k k k k k k ，∴当时，左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222+-+++-+⋅++-+⋅+-+⋅=k k k k k k k k)]12()12(2)12(1[)]()2(2)1(1[222222++++⋅++⋅+-⋅++-+-⋅=k k k k k k k k k )]12(2)1)[(1(41)12(2)1()1)(1(412++-+=+⋅+++-=k k k k k k k k k k )2()1(41)23)(1(4122++=+++=k k k k k k k =右边，即时等式成立，根据，等式对都正确.（Ⅱ）1321232-⋅=++++n n n n n n n nC C C C .[证明]. 当时，左边右边，等式成立；. 假设时等式成立，即1321232-⋅=++++k kC C C C k k k k k ，∴当时，左边=)()1(2101112111k k k k k k k k C C C k kC C C +=+++++++++++)()1()()(210121k k k k k k k k k k k k C C C C k C C k C C +++=++++++-=⋅+=⋅⋅+=++++-k k k k k k k k k kC C C 2)1(222)2(2121 右边，等式也成立；由知等式对都成立.【评析】等式问题是比较基本的问题，的证明的技巧一般都不高，而且在高考中出现得不多.【例2】用数学归纳法证明下述整除问题：（Ⅰ）求证：能被6 整除.[证明]. 当时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；. 假设时命题正确，即能被6整除，∴当时，)5()55()133()1(5)1(3233k k k k k k k k +=+++++=+++，∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除， 6)1(3)5(3++++∴k k k k 能被6整除，即当时命题也正确，由知命题时都正确.（Ⅱ）求证：被133整除.[证明]. 当n =1时，113+123=1331+1728=3059=133×23能被133整除，∴当n =1时命题正确； . 假设当时命题正确，即能被133整除，时，1232122323121112)1211(111211++++++⨯-++⨯=+k k k k k k13312)1211(11)1112(12)1211(1112122212122⨯++⨯=-⨯++⨯=++++++k k k k k k能被133整除，即当时命题也正确；由知命题对都正确.[评析]在高考难度范围内，整除问题并不多见，如果与正整数n 有关的整除问题，在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决，在的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”，然后再想办法证明剩余部分.【例3】已知n 个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明：这n 个圆将平面划分成块区域.[证明]. 当时，1个圆将平面分成2部分，而2=12－1+2，∴当n =1时命题正确；. 假设时命题正确，即满足条件的个圆将平面划分成部分，∴当时，平面上增加了第个圆，它与原来的个圆的每一个圆都相交于两个不同点，共个交点. 而这个点将第个圆分成段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域，∴区域的块数增加了块，∴个圆将平面划分成的块数为2)1()1(22)2(222++-+=++=++-k k k k k k k ，时命题也正确，根据知命题对都正确.[评析]用数学归纳法证明几何问题是教材中一种题型，但由于这种题型的证明主要是文字推理为主，在评分上不好把握，因此考试中很难见到这种题型.【例4】用数学归纳法证明下述不等式；（Ⅰ）).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且 [证明]. 当n =2时，左边1096054605761514131=>=+++=， ∴当n =2时，不等式正确；. 假设当不等式正确，即109312111>+++++k k k ， ∴当时，左边331231131313121+++++++++++=k k k k k k >+-+++++++++++++=11331231131)31312111(k k k k k k k k 109)331231()331131(109332231131109>+-+++-++=+-++++k k k k k k k ， ∴当时不等式也正确；根据知对，且，不等式都正确.（Ⅱ）),(|sin ||sin |R N n n n ∈∈≤*θθθ[证明]. 当时，左边=右边，时不等式正确；. 假设当时不等式正确，即，∴当时，左边≤⋅+⋅=+=|sin cos cos sin ||)1sin(|θθθθθk k k |sin ||sin ||sin ||sin ||sin ||cos ||cos ||sin |θθθθθθθθ+≤+≤⋅+⋅k k k k右边，∴当时不等式也正确；根据知对，不等式都正确. （Ⅲ）)(2)1()1(32212)1(2+∈+<+++⋅+⋅<+N n n n n n n .[解析]记)1(3221+++⋅+⋅=n n a n ，. 当时，2)11(22,2211221211+=<=⨯=>=⋅=a a 而， ∴当时，不等式正确；. 假设时不等式正确，即，当时， ∵,)2)(1(2)1()2)(1()2)(1(2)1(2++++<+++<++++k k k k k a k k k k k 而)1(2)1()1(2)1()2)(1(2)1(2+++=+++>++++k k k k k k k k k k 2)2)(1()12)(1(++=++=k k k k ，而2)2(2442)2()1(2)1()2)(1(2)1(2222+=++=+++++<++++k k k k k k k k k ， 2)2(2)2)(1(21+<<++∴+k a k k k ，即时不等式正确；根据知对，不等式正确.[评析]用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式，是数学归纳法学习重点，也是考试中的重点题型之一，在的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧，有时有一定的难度，不过必须注意，不是所有的与正整数n 有关的不等式证明都能用数学归纳法证明成功.【例5】解答下述问题：（Ⅰ）若数列的前n 项和S n 与a n 满足关系：，求证：为等差数列.[证明]用数学归纳法证明：. 当时，)(3)(22)(331321313a a a a a a a S +=++⇒+= ，，即成等差数列，命题正确；. 假设时成等差数列，且公差为d ，当时，⎩⎨⎧+=++=++)(2))(1(21111k kk k a a k S a a k S ， ①—②得=+-=-⇒+-+=+++k k k k k ka a a k a ka a k a 11111)1()1(2d k k a k d k a k a )1()1(])1([111-+-=-++-，d a d d k a kd a a k k +=+-+=+=∴+)1(111，成等差数列（公差为d ），即时命题成立，由、知成等差数列.（Ⅱ）数列和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项之和分别是120和60，而第二项与第四项之和分别是90和34.集合},,,,{},,,,,{2122221 n n b b b B a a a A ==，求证： B. [证明]设的公比为q ，的公差为d ，（易知由条件得n n n n a a q a q q a q q a 9,3,3390)1(1201)1(212141==∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=--；而54,4934426064111+=∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+n b d b d b d b n ；∵ B 对任意正整数n ，都存在整数m 使，对n 用数学归纳法证明：当时，，时命题正确；假设当时命题正确，即存在整数使，时，5)109(49)54(91++=⨯+=+m m k ，为整数，∴当时命题成立， B① ② ≠≠≠[评析]例5是两个与正整数n有关的命题，也可以不用数学归纳法证明，因此考试中要迅速作出抉择是否用数学归纳法证明.。

归纳-猜想-证明

a2
4, b2
6
b22
2a3
a2a3 b2 b3
a3
9, b3
12
b32
2a4
a3a4 b3 b4
a4
16, b4
20
(2)猜想：an n2,bn n(n 1)(n N*)
bn2 anan1
2an1 bn bn1
猜想：an n2,bn n(n 1)(n N*)
10 a1 1, b1 2 20 an , bn , an1成等比数列.
30
bn
,
an1
,
bn
成
1
等
差
数
列.
(1)求a2 , a3 , a4; b2 , b3 , b4.(2)猜想：an , bn并证明.
解
：(1) bn2 2an1
anan1 bn bn1
b12
2a2
a1a2 b1 b2
12
(k 1)(k 2) [3(k 1)2 11(k 1) 10]
12
n k 1时，猜想成立;
由(1)(2)知,等式对于任意的自然数都成立.
例2：已知a1
1 2
, an1
3an an 3
, (1)求a2 , a3 , a4.
(2)猜想an , 并数学归纳法证明 .
解：(1)a2
3 7
,
a3
3 8
, a4
3. 9
(2)猜想：an
3 n5
(n
N*)
证明：(1)n
1时，a1
1 2
3 15
, 成立;
(2)假设n
k(k
1)时猜想成立，即：ak

2024年高二暑假985培优讲义：第08讲串联电路和并联电路(含解析)

2024年高二暑假985培优讲义：第08讲串联电路和并联电路（含解析）第08讲串联电路和并联电路|学号目标彳1 •理解串联电路、并联电路的特点并能化简电路进行有关计算2.掌握电表的改装原理及其应用［函基础知厂---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII -----------------------一、串联电路、并联电路的特点项目串联电路并联电路电流各处电流相等，即I=Il=l2= (I)总电流等于各支路电流之和，即1=11+I2+. • -+In电压总电压等于各部分电压之和，即U=Ul+U 2+...+U n各支路两端电压相等，即U=Ul=U2=...=Un 总电阻总电阻等于各部分电阻之和，即R=R1+R2+.. .+Rn 总电阻倒数等于各支路电阻倒数之和，即111 1—=—+—+...+—R Ri R? Rn二、电表的改装原理小量程的表头G 改装成电压表小量程的表头G 改装成电流表内部电路<------------------U ----------------------->■*— Ug—*1*— U r —*o ~~:——®-匚5R 的作用分压分流I Q考点剖析------------------liiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiii -----------------------考点一：串并联电路的计算改装时需要串联或并联的电阻值r _U r _U~U&4 i gR =虹工电表总内阻、=Rg + R = ~j~1 g7?a =-^- = %a R/R I【例1】如图所示，R 】=2Q, &=10Q,氏=10。

，A 、3两端接在电压恒定的电源上, 则（）A. S 断开时，通过R ］与&的电流之比为1:5B. S 闭合时，通过&与氏的电流之比为2:5C. S 断开与闭合两情况下，电阻&两端的电压之比为2:1D. S 断开与闭合两情况下，电路中的总电阻之比为12:7考点二：电表的改装【例2】（2022-湖南师大附中高二期中）如图所示为两个量程的电压表原理图，定值电阻Ri=2.95xiog, #2=1.2x105。

归纳猜想论证.ppt

反思与点评：
1、观察前几项值之间的联系，分析其内在规律，找出其共性（即归纳）；
2、将此共性推广到一般情况（即提出猜想）；
3、证明猜想.
思考
已知数列
an 满足a1
2, an1
2
1 an
(n
N)
求该数列的通项公式.
问题2：
是否存在大于1的整数m，使得 f (n) 9 (2n 7) 3n (n N ) 能被m整除？若存在，求出最大的m，不存在，说明理由.
思考（课本36页练习3）
在数列an
中，a1
1, an
2an1
n2 n(n 1)
(n
2, ;
(1)猜想数列an 的通项公式 an f (n)
并用数学归纳法证明你的猜想.
小结：
1、在归纳的基础上提出猜想是一种合情推理，是探索新知识、发现新规律的一种思维方法；
2、由于猜想是在观察、分析特殊事例的基础上提出的，因此存在正确和错误两种可能性，必须进一步证明，数学归纳法就是常用的证明方法之一；
3、归纳---猜想---论证是科学的思维模式.
作业：
• 课本36页3，习题册16页A组4、B组2； • 认真阅读课本34-36页，希望能结合自己的理解提出一个问题并解决； • （选做）
归纳--猜想--论证
敬业中学张丽霞 2009年9月27日
一、情境引入
二、探究
问题1：
依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，··· 的前四项的值，由此猜测
an 1 2 3 (n 1) n (n 1) 3 2 1 的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明.

2020-2021年高二数学归纳猜想证明新课标

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数学高考综合能力题选讲8
归纳、猜想、证明
题型预测
观察、归纳、猜想、证明是解决探索性问题的重要思维方法，也是高考考查的热点.
范例选讲
例1 .已知数列t a j满足a1 =2，对于任意的n € N,都有a. > 0，且(n +1 h n2+a n a n+ - na n/ =0.又知数列满足：b n =2n」+1.
(I)求数列i a j的通项a n以及它的前n项和S n !
(n )求数列妃｝的前n项和Tn!
(m )猜想S n和T n的大小关系，并说明理由.
讲解：(n +1 b n2+a n a n卅-nan/ =0是关于a.和的二次齐次式，故可利用
求根公式得到a n与a n十的更为明显的关系式，从而求出a
(1 ) ••• a n >0 (n€ N,且(n + 畑2+••• ( n +1)(斗2+(禹-n=0 • a n+ a n十
T a n > 0 ( n€ N),
a n _ n an+ n +1
即丑
an+ n+1
2
a n a n+l 一na n+l = 0，
a n a n十-1 ±J1 +4n(n +1)
2(n+1)
-1 ±(2n +1) _
-2(n+1)—
n
一n
a
n a n a
n
」a n_2 …a 3 a 2
n n
—1 n —2
— *
=
a 1 a n
」a
n_2 a n_3
a 2 a 1
n —1 n —2
3
又 a 1 =2,所以，a n =2 n .
S n = a 1 + a 2 +…+ a n = 2(1 + 2 +…+ n )= n 2 + n (n) V b n =2n
」+1 f
二 T n =bi +b 2 +…+b n =(2° +21
十•• +2n
」)+ n = 2n
+ n-1
(rn)T n -S n =2n
— n 2
-1 I
1°当n=5时，前面已验证成立;
2°假设n =k(k>5)时命题成立，即2k
：>k 2
+1成立，那么当n=k+1(k>5) 时』 2k + =2 ”2k A2 -(k 2 +1 A k 2 +k2 + 2 >k 2 +5k + 2 :>k 2
+2k + 2 =(k +1 丫 +1 .
即n=k+1(k>5)时命题也成立.
由以上1°、2°可知，当nA5时，有T n 》S n ;
综上可知：当n=1时，T i =S i ;当2<门v5时，T n <S n ，当n 》5时，有T^ S n . 点评：注意到2n
的增长速度大于n 2+1的增长速度，所以，在观察与归纳的过程中，不能因为从n=1到n=4都有T^S n 就得出T^ S n 的结论，而应该坚信: 必存在n ，使得2n
>n 2
+1，从而使得观察的过程继续下去.
当n=1时, 当n=2时, 当n=3时, 当n=4时, 当n=5时, 当n=6时,
猜想：当n J 1 -12
-1 =0 ,
T1 = S1
; =22 -22 -1 = -1 ’
:* T2 € S2
; =23 -32 -1 = —2 T
，* T3 V S3
;
=24 -42 -1 = -1 ’ * * T^ S4
;
=Q 5 — 52 — 1 = 6 T
< * T 5 > S
5 ;
=26 -62 -1 =27 ,
* * T 6
》S
6 ;
T n >S n .即 2n
》n 2
十1 .下用数学
丁2 - S
2 T
3 —S3
T 4 -S 4 T
6 — S 6
>5时, T i -S i T 5 —S5
P,使得当n> P 时，总有a 2+a
计wa n ? 2
讲解：(I)首先考虑能否化简已知条件a n 屮，但事实上这一条路
7 —a n
走不通，于是，我们转而考虑通过计算一些 a k 的值来寻找规律.不难得到:
16 … c 4 c 4 a
8 =— , a 9 =12 , a 10 = —8 , a
11=- - , a 12=0
, a
13 =-,
3 3
7
可以看出：a 8, a 9均大于2,从a 10到a 13均小于2,但能否由此断定当也有a n €2 ?这就引导我们去思考这样一个问题：若a ^2 ,能否得出
为此，我们考查a n 卅-2与a n -2的关系，易得
a n 卄 2=汗-2 =—
7 -a n 7 - a n
必有a n <2 .
(I)，我们还需验证当n= 1,2，…，9时，是否均有a n A 2 . 验证.即通过已知条件解出：an =7办十—4 .由此，我们可 a n41 中3
以从37出发，计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论.
另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若a n 中>2，能否得出 a n >2”？
由an-2=7an
+~4_2=5(an
+-2
)不难得知：上述结论是正确的.
an + +3 a ^1 +3
所以，存在m =10，使得当n Am 时，a n 吒2 ；当n c m 时，a n 》2 .
例2已知数列l a j 中,
a 7 =4,an41 = +4
7 —a n (I)是否存在自然数
m,使得当n >m 时,
an c 2
;当 n c m 时，an a 2 ?
(n)是否存在自然数
nAl3 时,
可以看出：当 3^2时，必有an+<2 .于是，我们可以确定：当
nW 时,
为了解决问题方法之一是
（n ）问题等价于：是否存在自然数P,使得当n>p 时，总有
a n 二 +a
n 卡一2a n ■<
0 .
由（I ）可得：a
n/ +a n 出—2a n
3 _ 2(an-2) "(7-an 13+an ) 我们已经知道：当n>i0时，a n £2，于是但.-23<0, （7-a n ）<0，所以, 我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数P ，使得当n > P 时，总有a n >-3 ? 观察前面计算的结果，可以看出: a io 吒—3 ， a ii ,a i2,a i3均大于-3，可以猜想：P =11即可满足条件. 这样的猜想是否正确？我们只需考查 +3与a n +3的关系: 由 an 十 +3 =3a n +4
+3 7 -a n an + 25 =上二可知：上述结论正确. 7 -
a n
另外，如果我们注意到从 a ii 到a i3，数列的项呈递增的趋势，贝U 也可以考虑
a n+ -
a n - 比少〉0,从而得出结论. 出 3a n 中4 田 a n 卅一 a
n
—a
n = 「
7-a n
7-a n
点评：（i ）归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的，并非无源之水、无本之木.（2）上述分析的过程如果用数学归纳法写出，则相当简洁，但同时也掩盖了思维的过程.。