工程断裂力学第三章矿大new

II型裂纹的应力场和位移场
x
K II
2r
sin
2
2
cos
2
cos
3
2
y
KII sin cos cos 3 2r 2 2 2
xy
K II
2r
cos
2
1
sin
2
sin
3
2
2u
K II
r
2
1/ 2
(
1)
2 cos2
2
sin
2
2v
K II
r
2
1/ 2
(
1)
2 sin2
2
3-1 裂纹的基本型
一般将裂纹问题分为三种基本型，如图所示
张开型
滑移型
撕裂型
裂纹基本型
第一种称为张开型（opening mode）或拉伸型（tension mode），简称I型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹 面法线方向(y方向)。它通常发生在载荷和几何形状对称于裂纹平 面的情形，例如Griffith裂纹是I型裂纹，其裂纹的扩展方向是正 前方（x方向）。若物体是均匀厚度的平板，裂纹贯穿板厚，则问 题是二维的（平面问题）；若物体不是平板或者裂纹没有贯穿板 厚，则是三维问题。许多工程上常见的断裂都是I型裂纹的断裂， 这也是最危险的裂纹类型。
除了这三种基本型外，尚有复合型裂纹（mixed mode crack），它是两种以上基本型的组合。
3-2 裂端的应力场和位移场
下面考虑二维的I型裂纹 问题。图给出一个以裂纹端点为 原点的坐标系，此坐标系x方向 是裂纹正前方，y方向是裂纹面 的法线方向，z方向则是离开纸 面的方向。考虑一个离裂端很近， 位置在极坐标(r，θ）的单元， 其应力状态可以用σx、σy和τxy三 个应力分量来表示。
II型和III型裂纹
对于II型和III型裂纹，裂端区 的应力场和位移场的形式也是恒定 的，而且其表达式与I型裂纹相似。 II型和III型裂纹的应力强度因子分 别用KII和KIII表示。由于II型裂纹也 是平面问题，可采用上面的坐标系 来描述，而且只有应力分量σx、σy 和τxy 存在。III型裂纹问题是反平 面剪切问题，位移分量仅有z方向 的w，应力分量仅有τxz 和τyz 。
应力是看不见的，它是个抽象的概念，然 而位移过程是可以看到的。物体上个别点（无 限远处除外）具有无限大的应力并不会使该点 的位移趋于无限。因此，裂端具有无限大应力 是允许的。同时可以证明，这并不影响裂端区 应变能的有界。
I型裂纹的位移场
通过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的
位移场为：
2u
KI
r
2
1/ 2
(
1)
2 sin2
2
cos
2
2v
KI
r
2
1/ 2
(
1)
2 cos2
2
sin
2
这里u和v分别为x和y方向的位移分量，μ是剪切模量，κ与泊
松比ν的关系为：
3 4
3
1
平面应力 平面应变
裂纹基本型
第二种裂纹型称为同平面剪切型（in—plane shear mode）或者滑移型（sliding mode），简称II 型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x方 向，另一个向负x方向。在板厚均匀和裂纹贯穿板厚的 情况下，此裂纹问题也是二维的，属弹性力学平面问 题。
裂纹基本型
第三种裂纹型称为反平面剪切型（anti—plane shear mode），简称III型。裂纹面上下表面的位移方 向也是刚好相反，但一个向正z方向，另一个向负z方 向。这里的z方向是板厚方向，属弹性力学空间问题。
第三章 应力强度因子
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端 区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若 裂端应力应变场的强度（intensity）足够大，断裂即可发 生，反之则不发生。因此，得到裂端区应力应变场的解析 解是个关键。
近代断裂力学是用弹性力学的解析方法来完成这一工作的， 而这些解析法需要用高深的数学工具，这对于初次接触断 裂力学的读者来说，是比较困难的。因此，本章只给出一 些主要的概念和结果，并介绍一些工程近似方法。
cos xz
KIII sin 2r 2
zy
KIII cos 2r 2
w 2KIII r 1/ 2 sin 2 2
思考题
如图所示的坐标系， I型和II型裂纹的裂端区 应力场在裂纹表面有何 特点？在裂纹正前方又 分别有何特点？裂端区 位移分量在裂纹表面和 正前方又有何特点？
远处y方向的均匀拉应力的作用。对于圆孔，此时A和B两点有应力集
中现象，其应力集中系数(stress concentration factor)已广为人知。
对于椭圆孔，应力集中仍发生A点和B点，其应力集中系数为：
Kt 1 2
a
a为椭圆的长半轴，ρ为椭圆长轴端点的曲率半径。
应力奇异性
由于a大于ρ，所以Kt恒大于3，即椭圆应力集中的 程度比圆孔问题严重。若是短轴长趋于零，则ρ也将趋 于零，此时应力集中系数Kt将趋于无限大。在没有特 别说明的情况下，断裂力学所指的裂纹，其裂端的曲 率半径是为零的；在不受力的情况下，上下两个裂纹 面是互相接触的。因此，裂纹即裂端曲率半径趋于零 时的椭圆孔，其裂端有无限大应力。
因而可以忽略 。
I型裂纹的应变场
从上式可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由KI值的 大小来决定，因此就称KI为I型裂纹的应力强度因子。裂端区的应 变场可以由弹性力学公式求得为：
ij
KI
2r
fij ( ),i, j x, y
我们的兴趣不在于得到精确的应变场形式，而在于知道应变分量 也只由应力强度因子来确定。
裂纹前沿的应力应变 场究竟是怎样的？
I型裂纹的应力场
由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为
x
KI
2r
cos
2
1
sin
2
sin
3
2
y xy
KI
2r
cos
2
1 sin
2
sin
3
2
KI sin cos cos 3 2r 2 2 2
＋高次项
在裂端区，即r足够小的情形下，式中r的高次项比首项小得多，
3-3 应力奇异性和应力强度因子
三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应 力场有一个共同的特点，即r→0时，即在裂纹端点， 应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇异性 （stress singularity）。
为何会出现应力奇异性呢？这是因为裂纹端点是几何 上的不连续点的缘故。
应力奇异性
图示带有圆孔、椭圆孔和裂纹的无限大平板。它们分别受到无穷