1.4.2 充要条件(课件)
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1.4.2充要条件PPT课件(人教版)
因为 m∈Z,所以 m=-1,0,1.
当 m=-1 时,方程 x2-4x+4m=0 可化为 x2-4x-4=0,无整数根;
当 m=0 时,方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 可化为 x2-5=0,无整
数根;
当 m=1 时,上述两个方程都有整数根,
所以上述两个方程都有整数根的必要条件是 m=1.
三角形;
(3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是
矩形.
解:(1)因为|x|=|y|不能推出 x=y,但 x=y 能推
出|x|=|y|,所以 p 是 q 的必要不充分条件.
(2)因为△ABC 是直角三角形不能推出
△ABC 是等腰三角形,且△ABC 是等腰三角形也
不能推出△ABC 是直角三角形,所以 p 是 q 的既
得x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1,为整数根,
所以m=1是两个方程的根都是整数的充分条件.
必要性:若方程 x2-4x+4m=0 有实数根,则 Δ=16-16m≥0,即
m≤1,
若方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 有实数根,则 Δ=16m+20≥0,即
m≥- ,
所以上述两个方程都有实数根等价于- ≤m≤1.
不充分也不必要条件.
(3)因为四边形的对角线互相平分不能推出
四边形是矩形,而四边形是矩形能推出四边形的
对角线互相平分,所以 p 是 q 的必要不充分条件.
探索点二 充要条件的证明
【例 2】 已知 ab≠0,求证:a+b=1 是 a3+b3+ab-a2-b2=0 的充
要条件.
【解题模型示范】
【跟踪训练】
充要条件(公开课课件)
方程组无解．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p 与q互为 充要 条件． [微思考] 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说
法正确吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q. 即p等价于q.故此说法正确．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 证明：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. (1)证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
(2)证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0. 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 综上，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
D．既不充分也不必要条件
解析：p＝3⇒A＝{－1,3,2}⇒B⊆A⇒A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝ B⇒B⊆A⇒{2,3}⊆{2，－1，p}⇒p＝3，所以是必要条件．故选C.
答案：C
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解：(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件． (2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形， ∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． (3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．
1.4.2.充要条件
(2)命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类? 提示:①充分必要条件(充要条件),即 p⇒q且q⇒p. ②充分不必要条件,即p⇒q且q p. ③必要不充分条件,即p q且q⇒p. ④既不充分又不必要条件,即p q且q p.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成 立. ( ) (2)若p q和q p有一个成立,则p一定不是q的充要 条件.( ) (3)若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要 条件.( )
【习练·破】
已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:xy>0是 1 1 xy
的充要条件.
类型三 用集合观点解充分条件、必要条件问题
【典例】1.已知p:点M(1-a,2a+6)在第四象限,q:a<1,
则p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必
bc
A.充分而不必要条件
B.充要条件Байду номын сангаас
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p:x≠0, q:x+|x|>0 (2)p:关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解; q:a>0 (3)p:ab>0,a,b∈R; q:|a+b|=|a|+|b| (4)p:c=0; q:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点
【内化·悟】 根据充分必要条件的定义和判断方法,你能总结一个
1.4.充分条件与必要条件第2课时充要条件课件(人教版)
充要
既不充分又不必要
例3.下列命题中,哪些p是q的充要条件?
(1)p:两个三角形类似, q:两个三角形三边成比例；充要
(2)p: x>0,y>0, q:xy>0；
充分不必要
(3)p:a>b, q:a+c>b+c.
充要
归纳小结：判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
所以B=[1,2].
（1）p是q的充分不必要条件即AB，则1≤a＜2；
（2）p是q的必要不充分条件即BA，则a＞2；
（3）p是q的充要条件即A=B，则a=2．
五、归纳小结
1.知识：充要条件的定义；充要条件的判断和证明方法
2.思想：数形结合的思想、分类讨论的思想、转化思想
六、布置作业
1.完成分层作业;
(2)p是q的必要不充分条件.
(3)p是q的充要条件.
解：关于命题: = {| 2 − ( + 1) + ≤ 0ሽ = {|( −
)( − 1) ≤ 0ሽ，
a＞1时：A=[1,a]，a≤1时：A=[a,1]，
关于命题q： = {| 2 − 3 + 2 ≤ 0ሽ = {|( − 2)( − 1) ≤ 0ሽ ；
1.4 充分条件与必要条件
第2课时 充要条件
一、复习提问
1.如何理解: (1) p是q的充分条件；
(2) p是q的必要条件.
由条件p⇒结论q,则条件p是结论q成立的充分条件;
由结论q⇒条件p,则条件p是结论q成立的必要条件.
2.指出下列各命题中,p是q的什么条件?
(1) p:两个角是对顶角, q:两个角相等；
1.4.2充要条件课件(人教版)
不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都 是真命题；
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题；
我们称上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件。
概念形成
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p” 均是真命题, 即既有pq , 又有qp , 就记作
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.2充要条件
学习目标
素养目标
学科素养
1.理解充要条件的意义.（重点）
2.会判断一些简单的充要条件问 1、数学抽象
题.（重点）
2、逻辑推理
3.能对充要条件进行证明.（难点）
复习回顾
命题真假 “若p，则q”真
“若p，则q”假
推理关系
pq
p / q
p是q的充分条件 条件关系 q是p的必要条件
q:a+b+c=0(a≠0).
p⇒q且q⇒p，即与条件q之间有几种不同的逻辑关系？
①若p q ，且qp ，则p是q的充分不必要条件； ②若p q ，且qp ，则p是q的必要不充分条件； ③若p q ，且qp ，则p是q的即不充分也不必要条件； ④若p q ，且qp ，则p是q的充要条件.
3. 证明：如图,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为
AC BD.
证明：过A, D分别作直线BC的垂线, 垂足分别为E, F.因为AD // BC, 所以AE DF
充分性. 在△AEC与△DFB中,AEC DFB 90, AE DF, AC BD, 故△AEC ≌△DFB.
于是CE BF, 从而BE CF,在△ABE与△DFC中, A AEB DFC 90, BE CF, AE DF,
练习：课本第22页练习1,2；习题1.4复习巩固2.
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题；
我们称上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件。
概念形成
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p” 均是真命题, 即既有pq , 又有qp , 就记作
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.2充要条件
学习目标
素养目标
学科素养
1.理解充要条件的意义.（重点）
2.会判断一些简单的充要条件问 1、数学抽象
题.（重点）
2、逻辑推理
3.能对充要条件进行证明.（难点）
复习回顾
命题真假 “若p，则q”真
“若p，则q”假
推理关系
pq
p / q
p是q的充分条件 条件关系 q是p的必要条件
q:a+b+c=0(a≠0).
p⇒q且q⇒p，即与条件q之间有几种不同的逻辑关系？
①若p q ，且qp ，则p是q的充分不必要条件； ②若p q ，且qp ，则p是q的必要不充分条件； ③若p q ，且qp ，则p是q的即不充分也不必要条件； ④若p q ，且qp ，则p是q的充要条件.
3. 证明：如图,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为
AC BD.
证明：过A, D分别作直线BC的垂线, 垂足分别为E, F.因为AD // BC, 所以AE DF
充分性. 在△AEC与△DFB中,AEC DFB 90, AE DF, AC BD, 故△AEC ≌△DFB.
于是CE BF, 从而BE CF,在△ABE与△DFC中, A AEB DFC 90, BE CF, AE DF,
练习：课本第22页练习1,2；习题1.4复习巩固2.
1.4.2充要条件课件——高一上学期数学人教A版必修第一册
证明： ①充分性：如果 b＝0，那么 y＝kx， 当 x＝0 时，y＝0，函数图象过原点． 0，得 0＝k· 0＋b， 所以 b＝0. 综上，一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是 b＝0.
充要条件的证明
解析：将 p，q，r，s 的关系作图表示，如图所示． (1)因为 q⇒r⇒s，s⇒q，所以 s 是 q 的充要条件． (2)因为 r⇒s⇒q，q⇒r，所以 r 是 q 的充要条件． (3)因为 p⇒r⇒s⇒q，所以 p 是 q 的充分条件．
03
充要条件的证明
充要条件的证明
例 3.求证：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是 b＝0.
1－m≥－2， 1－m>－2， 故有 1＋m<10 或 1＋m≤10， 解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.
05
课堂总结
课堂总结
Thanks.
答案： (1)√ (2)√ (3)√
02
充要条件的判断
充要条件的判断
例 1.判断下列各题中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要
条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答) .
(1)p：|x|＝| y|，q：x3＝y3.
p是q的必要不充分条件
(2)p：△ABC 中，AB>AC，q：△ABC 中，∠C>∠B. p是q的充要条件
∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1.
又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2.
D C
充要条件的证明
AC＝DB， 在△ABC 和△DCB 中， ∠2＝∠1，
BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC. ∴梯形 ABCD 为等腰梯形．由(1)(2)可得，梯形 ABCD 为等腰梯形的充要条件是 AC＝BD.
充要条件的证明
解析：将 p，q，r，s 的关系作图表示，如图所示． (1)因为 q⇒r⇒s，s⇒q，所以 s 是 q 的充要条件． (2)因为 r⇒s⇒q，q⇒r，所以 r 是 q 的充要条件． (3)因为 p⇒r⇒s⇒q，所以 p 是 q 的充分条件．
03
充要条件的证明
充要条件的证明
例 3.求证：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是 b＝0.
1－m≥－2， 1－m>－2， 故有 1＋m<10 或 1＋m≤10， 解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.
05
课堂总结
课堂总结
Thanks.
答案： (1)√ (2)√ (3)√
02
充要条件的判断
充要条件的判断
例 1.判断下列各题中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要
条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答) .
(1)p：|x|＝| y|，q：x3＝y3.
p是q的必要不充分条件
(2)p：△ABC 中，AB>AC，q：△ABC 中，∠C>∠B. p是q的充要条件
∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1.
又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2.
D C
充要条件的证明
AC＝DB， 在△ABC 和△DCB 中， ∠2＝∠1，
BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC. ∴梯形 ABCD 为等腰梯形．由(1)(2)可得，梯形 ABCD 为等腰梯形的充要条件是 AC＝BD.
1.4.2充分条件与必要条件(2)课件高一上学期数学人教A版(3)
综上所述，“一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根”的充 要条件是“ac<0”．
内容索引
内容索引
1. (2023·玉溪第一中学高一期中)若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”
的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 由不等式(a－b)a2<0，可得a－b<0，可得a<b，即充分性 成立；反之，由a<b，可得a－b<0，又因为a2≥0，所以(a－b)a2≤0，所 以必要性不成立，所以“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件 1.4.2 充分条件与必要条件(2)
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
内容索引
1. 进一步理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 2. 掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断与证明方法． 3. 提高辩证思维的能力，体会常用逻辑用语在表述数学内容和 论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性和准确性．
【答案】 A
12345
内容索引
2. 设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不Байду номын сангаас分也不必要条件
【解析】 由x<3不能推出－1<x<3，例如x＝－2，但－1<x<3必有x<3， 所以p是q成立的必要不充分条件．
【答案】 B
12345
故B错误．故选ACD.
内容索引
内容索引
1. (2023·玉溪第一中学高一期中)若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”
的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 由不等式(a－b)a2<0，可得a－b<0，可得a<b，即充分性 成立；反之，由a<b，可得a－b<0，又因为a2≥0，所以(a－b)a2≤0，所 以必要性不成立，所以“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件 1.4.2 充分条件与必要条件(2)
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
内容索引
1. 进一步理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 2. 掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断与证明方法． 3. 提高辩证思维的能力，体会常用逻辑用语在表述数学内容和 论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性和准确性．
【答案】 A
12345
内容索引
2. 设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不Байду номын сангаас分也不必要条件
【解析】 由x<3不能推出－1<x<3，例如x＝－2，但－1<x<3必有x<3， 所以p是q成立的必要不充分条件．
【答案】 B
12345
故B错误．故选ACD.
人教A版必修第一册高中数学1.4-充分条件与必要条件精品课件
若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
4
解：令 = { > 2，或 < −1}.由4 + < 0，得 = {| < − }.
当 ⊆
时，即−
4
≤ −1，即 ≥ 4，
4
此时 < − ≤ −1 ⇒ > 2或 < −1，
∴当 ≥ 4时，4 + < 0是 > 2或 < −1的充分条件.
2．必要条件的判断
3．充要条件的判断
感谢您的观看
命题.下面我们将进一步考察“若p,则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学
中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件.
知识梳理
一般地，“若 ,则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出.这时，我们就说，
由可以推出，记作 ⇒ ，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
小试牛刀
1．在△ABC 中，AB2＋AC2＝BC2 是△ABC 为直角三角形的(
A
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
2
2
当 B＝90°或 C＝90°时，△ABC 为直角三角形，但不能推出 AB ＋AC ＝BC ，故选 A.
小试牛刀
1
2． “x>1”是“ <1”的( A )
∵ = 2 ⇒ 2 = 4， 2 = 4 ⇏ = 2，∴B是假命题；
∵ ∩ = ⇒ ∪ = ，∴C是真命题；
∵ ⇏ ，∴不是的必要条件，D是假命题.
例题解析
方法技巧：
1.定义法判断必要条件的步骤：
(1)分清“条件”与“结论”.
4
解：令 = { > 2，或 < −1}.由4 + < 0，得 = {| < − }.
当 ⊆
时，即−
4
≤ −1，即 ≥ 4，
4
此时 < − ≤ −1 ⇒ > 2或 < −1，
∴当 ≥ 4时，4 + < 0是 > 2或 < −1的充分条件.
2．必要条件的判断
3．充要条件的判断
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命题.下面我们将进一步考察“若p,则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学
中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件.
知识梳理
一般地，“若 ,则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出.这时，我们就说，
由可以推出，记作 ⇒ ，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
小试牛刀
1．在△ABC 中，AB2＋AC2＝BC2 是△ABC 为直角三角形的(
A
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
2
2
当 B＝90°或 C＝90°时，△ABC 为直角三角形，但不能推出 AB ＋AC ＝BC ，故选 A.
小试牛刀
1
2． “x>1”是“ <1”的( A )
∵ = 2 ⇒ 2 = 4， 2 = 4 ⇏ = 2，∴B是假命题；
∵ ∩ = ⇒ ∪ = ，∴C是真命题；
∵ ⇏ ，∴不是的必要条件，D是假命题.
例题解析
方法技巧：
1.定义法判断必要条件的步骤：
(1)分清“条件”与“结论”.
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数学 必修 第一册 A
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第一章 集充要条件是( )
A．ab＝0 C．a2＋b2＝0
B．ab＞0 D．a2＋b2＞0
答案 D 解析 a2＋b2＞0，则a、b不同时为零；a、b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞
0.
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第一章 集合与常用逻辑用语
____p_⇒_q______，又有____q_⇒__p_____，就记作___p_⇔__q______，此时，p既是q的充分条 件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为____充__要____条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那 么p与q___互__为__充__要__条__件_____.
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第一章 集合与常用逻辑用语
[跟踪训练1] 下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为______．(填序号) ①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ②p：|x|＞3，q：x2＞9. 解析 ①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． ②由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件． 答案 ①②
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第一章 集合与常用逻辑用语
探究二 充要条件的证明
已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明 先证必要性：因为a＋b＝1， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－ a2－b2＝0. 所以必要性成立． 再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
第一章 集合与常用逻辑用语
[方法总结] 充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个 命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同 的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论．
解析 因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．
答案 充要条件
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)． (1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (2)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c. 解析 在(1)中，q⇒p，q p，所以(1)中 p 不是 q 的充要条件，在(2)中，p⇔q， 所以(2)中 p 是 q 的充要条件． 答案 (2)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结
栏目索引
第一章 集合与常用逻辑用语
课前自主预习
知识点 充要条件 1 ． 如 果 “ 若 p ， 则 q” 和 它 的 逆 命 题 “ 若 q ， 则 p” 均 是 真 命 题 ， 即 既 有
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第一章 集合与常用逻辑用语
课时作业(六)
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆 命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立．“A的 充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性，B⇒A证明了充分性；“A是B的 充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性，B⇒A证明了必要性．
[方法总结] 判断充要条件的解题思路以及注意事项
(1)思路： 充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样． (2)注意事项： ①在定义法中，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要 性； ②在推出法中，使用的是双向推出法，而不是单向推出法； ③在集合法中，判断的是两个集合互为子集，即判断两个集合相等．
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第一章 集合与常用逻辑用语
[微体验]
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 |x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|.
2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______．
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第一章 集合与常用逻辑用语
又因为 ab≠0，所以 a≠0 且 b≠0. 从而 a2－ab＋b2＝a－b22＋b42≠0. 所以 a＋b－1＝0，即 a＋b＝1.故充分性成立． 所以 a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
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第一章 集合与常用逻辑用语
课堂互动探究
探究一 充要条件的判断
(1)“m＞14”是“一元二次方程 x2＋x＋m＝0 无实数解”的(
)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B 解析 方程 x2＋x＋m＝0 无实根⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞14.
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第一章 集合与常用逻辑用语
[跟踪训练2] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件 是ac＜0.
证明 必要性：由于方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个正根和一负根． 所以 Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝ac＜0(x1，x2 为方程的两根)，所以 ac＜0. 充分性：由 ac＜0，可推得 b2－4ac＞0，及 x1x2＝ac＜0(x1，x2 为方程的两根)． 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相异实根，且两根异号． 即方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根． 综上可知：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的充要条件是 ac＜0.
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第一章 集合与常用逻辑用语
随堂本课小结
1．充要条件的概念 既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系 (1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的必要不充分条件 (3)p是q的充分必要条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件