经济数学微积分第二版 吴传生版 练习题目
微积分第二版课后习题答案
微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
经济数学微积分-吴传生10-5
定理 5
* 1 * 2
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y 与 y 分别是方程,
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x )
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
*
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
*
( 2)
的一个特解, Y 是与(2) 对应的齐次方程(1) 的 通解, 那么 y Y y 是二阶非齐次线性微分 方程(2) 的通解.
定 理 4 设 y1，y 2 是 非 齐次 方程 (2) 的解 , 那么 y1 y2 就是非齐次方程(2) 所对应的齐次方程(1 e 2 x
四、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程 y py qy f ( x ) 对应齐次方程 通解结构 常见类型
y py qy 0,
y Y y ,
Pm ( x )， Pm ( x )e
r1， 2 1 2i ,
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
故所求通解为
例 4 求微分方程
y 2 y 8 y 0
的通解
解 特征方程为
r 2r 8 ( r 4)(r 2) 0
2
解得
r1 4, r2 2
实根 r1
y C1e r x C 2 e r x
1 2
y (C 1 C 2 x )e r1 x
y ex (C1 cos x C 2 sin x )
3.二阶常系数非齐次线性微分方程
吴传生 经济数学 微积分 第二版 第三章 习题课PPT
f (e ) e 1
(9) 设f ( x ) x( x 1)( x 2)( x 1000), f (0) 1000 !
解： f (0) lim f ( x ) f (0)
x 0
x
lim( x 1)( x 2) ( x 1000)
x0
且：f (0) f (0)
f ( x )在x 0点可导
sin x x 0 例7 设f ( x ) , 求 f ( x ) x0 x 解： 0时，f ( x ) (sin x ) cos x x
x 0时，f ( x ) ( x ) 1
x 0
f ( x )在x 0处左连续，
x0
lim f ( x ) lim x 1 1 x )（ 1 1 ) 0 f (0) （
x0
f f ( x )在x 0处右连续，( x )在x 0处连续；
1 x 0 ln( x 1) [设 f ( x ) , 讨 论f ( x )在 x 1 1 x 0 x 1 x 0处的 连续性和 可导性 ]
第三章 习 题 课
一 教学要求
二 内容提要
三 教材习题选解
P113，T3
四 典型例题分析
例1 填空：
x (1) 设f ( x0 ) 1, 则 lim x 0 f ( x 2 x ) f ( x x ) 0 0
1
解： lim f ( x0 2 x ) f ( x0 x ) x 0 x [ f ( x0 2 x ) f ( x0 )] [ f ( x0 x ) f ( x0 )] lim x 0 x f ( x0 2 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) lim lim x 0 x 0 x x f ( x0 2 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) 2 lim lim 2 x 0 x 0 2x x 2 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 1 原式 1
微积分 经济数学 吴传生第四章 (3)
定理3(第二充分条件) 设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导
证 (1) f ( x0 ) lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, x 0
x 故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时，有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时，有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
（等号仅在个别点成立！！！！！）
所以f x x sinx在x ,单调增加
3．利用单调性证明不等式
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
2．单调区间(monotonical interval)求法
问题: 如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在一些部分区间上单调． 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点．
方法: 用 方 程 f ( x ) 0 的 根 及 f ( x ) 不 存 在 的
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 ,
点 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 , 但函数的驻点却不一定 是极值点.
经济数学微积分-吴传生10-6
D. yx 2 yx1 3 yx2 4
解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程.
B的 左 端
3yx
3( yx1
yx )
3 yx1
3
y
，
x
则 等 式 实 为 3 yx1 a x， 仅 含 一 个 时 期 的 函 数
值y
x
，
1
故
不
是
差
分
方
程.而C的
左
端2
yx
( yx1
yx)
yx1 yx
yx2
2 yx1
y
，
x
恰 好 等 于 右 端 ， 故 不 是差 分 方 程.
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
同样可定义三阶、四阶 差分： 3 yx (2 yx ),4 yx (3 yx )
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解 设y x 2，则
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1 2 yx 2( x2 ) (2x 1)
第六节 差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构
一、差分的概念
二、差分方程的概念
三、常系数线性差分方程解的结构 四、小结
一、差分的概念
1.差分的定义
设 函 数y f ( x).当x取 非 负 整 数 时 ， 函 数 值 可 以 排 成 一 个 数列 :
f (0)，f (1)， ，f ( x)，f ( x 1)， 将之简记为
微积分经济数学吴传生
设 ~ , ~ 且 lim 存在,则 lim lim .
9. 极限的唯一性
定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质
x x0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
lim
n
xn
a,
或
xn a (n ).
" N"定义
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
定义② 设函数 f ( x) 在点 x0 的某一去心邻域 内有定义，对于任意给定的正数 (不论它多么
微积分经济数学吴传生第四章(4)
问 要 使 平 均 成 本 最 小 ， 应 生 产 多 少 产 品 ？ 如 果 每 件 产 品 以 5 0 0元 售 出 ， 要 使 利 润 最 大 ， 应 生 产 多 少 产 品 ？
解：
C ( x ) 25000 x C ( x ) 200 x x 40 25000 1 C ( x ) 2 40 x
则全年的采购费用为 a ab bN b X X
用 C 表示一个单位货物库存 一年所需费用 CX 则全年的库存费用为 ，因此，总费用 2 ab CX E (X ) X 2
a 又 X ，故总费用也可表示 N 的函数 N ac a aC E ( N ) a /( ) b ( )( ) bN 2 2 N N N 2 C ab CX 2 ab 由 E ( X ) 2 , x 0 2 2X 2 X 2 ab 令 E ( X ) 0 , 得 E ( X ) 的唯一驻点 X 0 c 2 ab 又 E (X ) 3 0 ( a ,b ,X0 ), X 故 X 为最小值点 0
2 L ( X ) R ( X ) C ( X ) 5 X 0 . 01 X 200
L ( X ) 5 0 . 02 X
L ( X ) 0 . 02 0
令 L ( X ) 0 ，解得 5 ( 万元 ) 为极大值，也就是 值 .
（ 1） 求P 在 何 范 围 变 化 时 ， 使 相 应 销 售 额 增 加 或 减 少 ？ （ 2） 要 使 销 售 额 最 大 ， P应 取 何 值 ， 最 大 销 售 额 是 多 少 ？
a 解 ( 1 ) 销售额 R ( P ) PQ P ( C ) P b 2 ab C ( P b ) R ( P ) 2 ( P b ) ab b 令 R ( 0 ) 0 , 得 P b (a bc ) 0 c c 由 题a 设 bc , P 0 ,
微积分经济数学吴传生第二章
(2)如l果 im C(C0)就 , 说 与 是同阶;的
特殊如 地果 lim1,则称 与是等价的;无
记作 ~;
(3)如l果 im kC (C0,k0)就 , 是 说 是 k阶的 无穷 . 小
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A.(夹逼准则) xx0 ( x)
准 则 Ⅱ 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .
9. 极限的唯一性
定 理 若 lif( m x ) 存 在 ,则 极 限 唯 一 .
连续定义
limy0
x0
x l ix0m f(x)f(x0)
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
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0tan lim sin x x x x x
→-- 1、若222lim 22
x x ax b x x →++=--，则a = ，b = 3、若函数2
(2)1f x x x +=++，则(1)f x -=
6、数列极限lim [ln(1)ln ]n n n n →∞--=（ ） A 、1 B 、-1 C 、∞ D 、不存在但非∞
7、极限1lim (1)x
x x e →∞-=（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、不存在
8、若函数1sin 0()10x x f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩在点0x =处连续，则k =（ ）
A 、1
B 、0
C 、-1
D 、不存在 六、讨论函数()sin x f x x
=的间断点及其类型. 2、设函数()y f x =由方程2cos()1x y e
xy e +-=-所确定，求曲线()y f x =在点(0,1)处
的法线方程. 3、已知()f u
为可导，[ln(y f x =，求y '.
6、设sin (0)x y x x =>，求dy .
7、试确定常数,a b 的值，使(1sin )2,
0()1, 0ax b x a x f x e x +++≥⎧=⎨-<⎩处处可导.
4、求曲线11
2+-=x e y x
的水平渐近线为 ；铅直渐近线为 。
5、极限)1
11(lim 0--→x x e x 的值为 。
6、函数)(x f 有连续二阶导数，且
2)0('',1)0(',0)0(-===f f f ， 则=-→20)(lim x
x x f x 。
3、)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（ ）
（A ）0)('0=x f ； （B ）0)(''0<x f ；
（C ）0)('0=x f 且0)(''0<x f ; （D ）0)('0=x f 或)('0x f 不存在。
5、曲线2)
1(12--=x x y （ ） (A) 没有渐近线；(B) 没有水平渐近线；(C) 有铅直渐近线；(D) 有斜渐近线。
6、若点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则（ ） (A) 23,29-==
b a ； (B) 9,6=-=b a ； (C) 2
9,23=-=b a ； (D) 其他。
2、)sin 11(lim 220x
x x -→ 1、证明：2cot arctan π=
+x arc x 。