图像复原的目标图像复原
图像处理中的图像复原算法综述与比较
图像处理中的图像复原算法综述与比较图像复原是图像处理中一个重要的领域，主要目标是通过一系列的数学和算法方法来恢复损坏、模糊、噪声干扰等情况下的图像。
图像复原算法旨在提高图像质量，使图像在视觉上更加清晰、可辨识。
本文将综述图像处理中的图像复原算法，并对这些算法进行比较。
1. 经典算法1.1 均值滤波均值滤波是一种最简单的图像复原算法，其基本原理是用一个滑动窗口在图像上进行平均值计算，然后用平均值代替原像素值。
均值滤波的优点是简单易实现，但对于噪声较多的图像效果较差。
1.2 中值滤波中值滤波是一种非线性滤波算法，常用于去除椒盐噪声。
其基本原理是用滑动窗口中像素的中值代替原像素值。
中值滤波适用于去除随机噪声，但对于模糊图像的复原效果不佳。
1.3 Sobel算子Sobel算子是基于图像边缘检测的算法，常用于图像增强。
Sobel算子通过计算像素点的梯度值来检测边缘。
边缘检测可以使图像的边缘更加清晰，但对于图像的整体复原效果有限。
2. 基于模型的方法2.1 傅里叶变换傅里叶变换是一种基于频域的图像处理方法，将图像从空间域转换到频域，通过频域滤波降低噪声。
傅里叶变换适用于周期性噪声的去除，但对于非周期性噪声和复杂噪声的去除效果有限。
2.2 小波变换小波变换是一种多尺度分析方法，将图像分解为不同尺度的频率成分。
通过舍弃高频噪声成分，然后将分解后的图像重构，实现图像复原。
小波变换适用于复杂噪声的去除，但对于图像的细节保留较差。
2.3 倒谱法倒谱法是一种基于线性预测的图像复原算法，通过分析图像的高阶统计特性实现噪声的去除。
倒谱法适用于高斯噪声的去噪，但对于非高斯噪声的复原效果有限。
3. 基于深度学习的方法3.1 卷积神经网络（CNN）卷积神经网络是一种广泛应用于图像处理的深度学习方法，通过多层卷积和池化操作提取图像的特征，进而实现图像的复原和增强。
CNN适用于各种噪声和模糊情况下的图像复原，但需要大量的训练数据和计算资源。
图像复原
设: α＝x - x0(t), β= y - y0(t)
则： x =α+ x0(t), y = β+ y0(t) 代入上式，有
（一）连续图像退化的数学模型
G u, v f , exp j 2 (u )dd 0 exp j 2 (ux0 (t ) y0 (t )dt
或消弱其影响的过程，是一种估计方法； 另一种方法是针对原始图像有足够的先验知识的情 况，对原始图像建立一个数学模型并根据它对退化 图像进行拟合，能够获得更好的复原效果。
从方法和应用角度的分类
频域图像恢复方法：逆滤波、维纳滤波等；
线性代数恢复方法：线性代数滤波方法、空间域滤波
方法等；
非线性代数恢复方法：投影法、最大熵法、正约束方
几种典型的退化模型 光学散焦造成的图像退化
小孔衍射造成的模糊
图像退化效果
散焦对应的点扩展函数
（一）连续图像退化的数学模型
光学散焦系统的传递函数为：
J1 (d ) H (u, ) d
(u )
2 2
d是散焦点扩展函数的直径, J1(•)是第一 类贝塞尔函数。
目标相对运动造成的图像退化
若把fe(x)、 ge(x) 表示成向量形式：
f [ f e (0), f e (1), , f e ( M 1)]
T T
g [ ge (0), ge (1), , ge ( M 1)]
循环卷积写成矩阵形式：
g Hf
H是M*M的矩阵。
（二）离散图像退化的数学模型
he (1) he (2) he (0) h (1) he (0) he (1) e H he (2) he (1) he (0) he ( M 1) he ( M 2) he ( M 3) he ( M 1) he ( M 2) he ( M 3) he (0)
图像复原
g(x,y)=∫0Tf[x-x0(t),y-y0(t)]dt
G(u,v) = F(u,v) 0Texp{-j2p[ux0(t) + vy0(t)]}dt = F(u,v)H(u,v)
H(u,v) = 0Texp{-j2p[ux0(t) + vy0(t)]}dt
如果知道运动分量x0(t)和y0(t)，从上式直接得到H(u,v)
经过傅立叶反变换，可求得原始图像f(x,y)
在有噪声的情况下
F^(u,v) = F(u,v) + N(u,v)/H(u,v) 从上面两式可以看出，在进行复原处理时可能会发生下列情况： (1)H(u,v)=0或H(u,v)非常小，在这种情况下，即使无 噪声，也无法精确恢复f(x,y) (2)在有噪声存在时，在H(u,v)的邻域内，H(u,v)的值可 能比N(u,v)的值小的多，由上式得到的噪声项可能会 非常大，不能使f(x,y)正确恢复
实际上是求J(f^)的极小值问题，除了要求J(f^)为最小 外，不受任何其它条件约束，因此称为无约束复原 即 dJ(f^ )/df^ = 0 = -2HT(g – Hf^) f^ = (HTH)-1 HTg (2) M=N时，则有 f^ = H-1(HT)-1 HTg = H-1 g
约束复原方法
在最小二乘方复原处理中，为了在数学上
η(x,y)=Asin(u0x+v0y) 傅立叶变换为： N(u,v)=-jA[δ(u-u0/(2π),v-v0/v(2π))δ(u+u0/ (2π),v+v0/ (2π)) ]
这里退化仅由噪声造成，所以有：
G(u,v)=F(u,v)+N(u,v) 利用前面讲的带阻滤波器消除，以去掉正弦干扰模式影响
第五章 图像复原
5.3.1 均值滤波器
算术均值滤波器
最简单的均值滤波器。令Sxy表示中心在点(x,y)、窗 口尺寸为m×n的矩形子图坐标集合，g(x,y)为污染 图像。则复原图像 fˆ 在点(x,y)处的值为区域Sxy内像 素的算术平均值：
ˆ ( x, y) 1 f S g (s, t) mn ( s ,t ) xy
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5.3.2 统计排序滤波器
回顾：什么是统计排序滤波器？
本节介绍四类统计排序滤波器： 中值滤波器 最大和最小值滤波器 中点滤波器 阿尔法修剪均值滤波器
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5.3.2 统计排序滤波器
中值滤波器 当前像素位置的新灰度值为邻域中像素的 灰度中值：
ˆ f ( x, y) median{g (s, t )}
若b a, 灰度值b将显示为一个亮点, a的值将显示为一个暗点. 若Pa或Pb为零, 则脉冲噪声称为单极脉冲. 若Pa或Pb均不为零, 尤其是近似相等时, 脉冲噪声值类似于随机 分布在图像上的胡椒和盐粉细粒.
10
5.2 噪声模型
例5.1：样本噪声图 像和它们的直方图
11
高斯
瑞利
伽马
指数
均匀
椒盐
g ( x, y) f [ x x0 (t ), y y0 (t )]dt
0
35
T
5.6.3 建模法估计退化函数
( s ,t )S xy
尤其适合于脉冲噪声(即冲击噪声或椒盐噪 声)的处理(无论单极或双极)
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5.3.2 统计排序滤波器
对噪声图像多次应用中值滤波器 (a)由概率Pa=Pb=0.1的椒盐 噪声污染的图像 (b) 用尺寸为3×3的中值滤波 器处理的结果 (c) 用该滤波器处理(b)的结果 (d) 用相同的滤波器处理(c)的 结果 经过多次处理,逐渐消除 噪声；但多次应用中值滤 波器,会使图像模糊
图像复原的应用
图像复原的应用摘要：图像复原是图像处理领域中的一个重要任务，它旨在通过使用各种算法和技术修复受损或退化的图像。
本文将探讨图像复原的应用，包括文化遗产保护、医学影像、安全监控和数字艺术等方面。
第一部分：图像复原的概述图像复原是通过对受损图像进行处理和修复，恢复其原始清晰度和质量的过程。
图像复原技术的基本目标是降低图像中的噪声、消除伪影以及修复丢失的细节。
该领域的研究和应用广泛存在于各个领域，并且在过去几十年中取得了长足的进步。
第二部分：文化遗产保护图像复原在文化遗产保护中扮演着至关重要的角色。
使用图像复原技术，可以修复老旧的照片、绘画和其他文化遗产，以保护它们的原始外观和质量。
例如，在古老的建筑物的壁画中可能存在褪色、破损等问题，通过图像复原技术，可以恢复壁画的原貌，使人们能够更好地欣赏和理解历史文化。
第三部分：医学影像图像复原在医学影像领域中被广泛应用。
医学影像通常被用于诊断和治疗，而图像质量的好坏直接关系到医生的判断和决策。
通过图像复原技术，可以降低医学影像中的噪声、增强图像的细节，并提高诊断的准确性和可靠性。
第四部分：安全监控图像复原在安全监控领域也有着广泛的应用。
监控摄像头拍摄到的图像往往存在严重的噪声、模糊等问题，通过图像复原技术，可以提高监控图像的清晰度和质量，从而更好地用于刑侦、安防等方面。
第五部分：数字艺术图像复原技术在数字艺术领域也起着重要作用。
数字艺术家可以使用图像复原技术修复老照片、艺术品或者创建艺术作品。
通过恢复图像的原始细节和颜色，艺术家能够以更好的方式呈现他们的作品，同时传达更加精确的信息。
结论：图像复原是一项重要而广泛应用的技术，对保护文化遗产、改善医学影像、提高安全监控和创作数字艺术等方面都起着关键作用。
随着技术的不断进步，图像复原将在更多领域发挥其作用，为我们创造更美好、更清晰的世界。
图像复原_精品文档
图像复原引言：随着科技的迅速发展，数字图像处理成为了一门独立的学科，其中图像复原是其中一个重要的研究领域。
图像复原的目标是通过对损坏的图像进行修复和恢复，以获得更清晰和更精确的图像。
通过图像复原技术，人们可以在医学影像、监控图像、卫星图像、摄影作品等领域中得到更好的图像质量和视觉效果。
一、图像复原的意义图像复原技术对现代社会来说具有重要意义。
在医学领域，医生可以通过对恢复后的医学影像进行分析和研究，提高诊断的准确性。
在监控领域，清晰的图像可以更好地帮助警方破案、预防犯罪。
在卫星图像领域，图像复原技术可以帮助科学家们更准确地观察天气变化、地质特征等。
而在摄影作品领域，图像复原技术可以提高摄影师的作品质量，带来更好的视觉享受。
二、图像复原的挑战图像复原是一项具有挑战性的任务，主要由以下因素导致：1. 噪声：在图像采集过程中，噪声是不可避免的。
噪声会降低图像的质量，影响后续的图像复原。
2. 失真：图像损坏或失真是图像复原的主要障碍之一。
常见的图像失真包括模糊、伪影、亮度不均匀等。
3. 缺失信息：有时候，图像可能存在部分缺失的情况，需要通过图像复原技术来填补缺失的信息。
4. 高维度数据：随着技术的发展，现代图像变得越来越高维度。
复原高维度图像比低维度图像更具挑战性。
三、图像复原的方法图像复原的方法主要分为：1. 经典方法：经典图像复原方法通常基于统计学原理和信号处理技术，如均值滤波、中值滤波、Wiener滤波等。
这些方法简单且效果明显，在一些应用场景中仍然得到广泛使用。
2. 基于模型的方法：基于模型的方法通过对图像的潜在模型进行建模和分析，提供更高质量的图像复原效果。
这些方法通常基于数学模型，如稀疏表示、小波变换等，来描述和恢复图像的特征和结构。
3. 机器学习方法：近年来，随着机器学习的兴起，越来越多的图像复原方法开始采用深度学习技术，如卷积神经网络(CNN)。
机器学习方法通过训练大量图像数据集，来学习复原图像的模式和特征，从而得到更准确和鲁棒的图像复原结果。
图像复原
图像复原是图像处理的另一重要课题.它的主要 目的是改善给定的图像质量并尽可能恢复原图像. 图像在形成,传输和记录过程中,由于成像系统, 传输介质和设备的不完善,使图像的质量变坏,这一 过程称为图像的退化.图像的复原就是要尽可能恢复 退化图像的本来面目,它是沿图像降质的逆向过程进 行. 典型的图像复原是根据图像退化的先验知识建立 一个退化模型,以此模型为基础,采用各种逆退化处 理方法进行恢复,使图像质量得到改善.可见,图像 复原主要取决于对图像退化过程的先验知识所掌握的 精确程度.
x a
由水平方向均匀直线运动造成的图像模糊的模型及其恢 复用以下两式表示:
去除由匀速运动引起的模糊
沿水平方向匀速运动造成的模糊图像的恢复处理例子. (a)是模糊图像,(b)是恢复后的图像.
去除由匀速运动引起的模糊
(a) 原始图像
(b) 模糊图像
(c) 复原图像
图像的几何校正
图像在生成过程中,由于系统本身具有非线性或拍摄角 度不同,会使生成的图像产生几何失真.几何失真一般分为 系统失真和非系统失真.系统失真是有规律的,能预测的; 非系统失真则是随机的. 当对图像作定量分析时,就要对失真的图像先进行精确 的几何校正(即将存在几何失真的图像校正成无几何失真的 图像),以免影响分析精度.基本的方法是先建立几何校正 的数学模型;其次利用已知条件确定模型参数;最后根据模 型对图像进行几何校正.通常分两步: ①图像空间坐标的变换; ②确定校正空间各像素的灰度值(灰度内插).
逆滤波复原法
(a)原图;(b)退化图像;(c)H(u,v);(d)H(u,v)→0
维纳滤波复原法
逆滤波复原方法数学表达式简单,物理意义明确. 然而存在着上面讲到的缺点,且难以克服.因此,在 逆滤波理论基础上,不少人从统计学观点出发,设计 一类滤波器用于图像复原,以改善复原图像质量. Wienner滤波恢复的思想是在假设图像信号可近似看 作平稳随机过程的前提下,按照使恢复的图像与原图 像f(x,y)的均方差最小原则来恢复图像.
图像复原课程设计报告
图像复原课程设计报告一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握图像复原的基本理论、方法和应用，培养学生运用图像处理技术解决实际问题的能力。
具体目标如下：1.知识目标：（1）理解图像复原的基本概念和原理；（2）掌握图像复原的主要方法和算法；（3）了解图像复原技术在实际应用中的重要性。
2.技能目标：（1）能够运用图像复原算法对给定的图像进行处理；（2）能够分析图像复原处理的结果，并对处理效果进行评价；（3）能够结合实际问题，设计合适的图像复原方案。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对图像处理技术的兴趣和热情；（2）使学生认识到图像复原技术在现代社会中的广泛应用和重要性；（3）培养学生运用技术解决实际问题的责任感。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.图像复原的基本概念和原理：图像退化模型、图像复原的目的和意义。
2.图像复原的主要方法和算法：均值滤波、中值滤波、高斯滤波、双边滤波等。
3.图像复原技术的应用：图像去噪、图像去模糊、图像增强等。
4.实际案例分析：分析典型的图像复原应用案例，如卫星图像复原、医学图像处理等。
三、教学方法为了实现教学目标，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：讲解图像复原的基本概念、原理和主要方法。
2.案例分析法：分析典型的图像复原应用案例，使学生更好地理解图像复原技术的实际应用。
3.实验法：安排适量的实验课，让学生动手实践，培养实际操作能力。
4.讨论法：学生进行课堂讨论，激发学生的思考，提高学生的表达能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将准备以下教学资源：1.教材：《数字图像处理》。
2.参考书：《数字图像处理教程》、《图像复原与重建》。
3.多媒体资料：教学PPT、相关视频教程。
4.实验设备：计算机、图像处理软件（如MATLAB）、实验器材等。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本课程将采用以下评估方式：1.平时表现：通过课堂参与、提问、讨论等方式评估学生的学习态度和积极性。
图像复原
图像复原1.背景介绍图像复原是图像处理的一个重要课题。
图像复原也称图像恢复，是图像处理的一个技术。
它主要目的是改善给定的图像质量。
当给定一幅退化了的或是受到噪声污染的图像后，利用退化现象的某种先验知识来重建或恢复原有图像是复原处理的基本过程。
可能的退化有光学系统中的衍射，传感器非线性畸变，光学系统的像差，摄影胶片的非线性，打气湍流的扰动效应，图像运动造成的模糊及集合畸变等等。
噪声干扰可以有电子成像系统传感器、信号传输过程或者是胶片颗粒性造成。
各种退化图像的复原可归结为一种过程，具体地说就是把退化模型化，并且采用相反的过程进行处理，以便恢复出原图像。
文章介绍图像退化的原因，直方图均衡化及几种常见的图像滤波复原技术，以及用MATLAB实现图像复原的方法。
2.实验工具及其介绍2.1实验工具MATLAB R2016a2.2工具介绍MATLAB语言是基于最为流行的C++语言基础上的，因此语法特征与C++语言极为相似，而且更加简单，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。
使之更利于非计算机专业的科技人员使用。
而且这种语言可移植性好、可拓展性极强。
MATLAB具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。
高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图。
新版本的MATLAB对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使它不仅在一般数据可视化软件都具有的功能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和处理等）方面更加完善，而且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、色度处理以及四维数据的表现等），MATLAB 同样表现了出色的处理能力。
同时对一些特殊的可视化要求，例如图形对话等，MATLAB也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的要求。
3.图像复原法3.1含义图像复原也称图像恢复，是图像处理中的一大类技术。
所谓图像复原，是指去除或减在获取数字图像过程中发生的图像质量下降（退化）这些退化包括由光学系统、运动等等造成图像的模糊，以及源自电路和光度学因素的噪声。
2016大连理工大学数学建模竞赛试题A-图像复原
试题A:图像复原随着社会的不断发展，成像设备广泛的应用于各个领域。
现实生活中，由于相机成像设备、以及周围拍摄环境的影响，捕获到的图像往往带有一定的噪声和模糊。
这些模糊以及噪声在很大程度上破坏了图像的有效信息，对于后续的图像分析造成了较大的困难。
图像退化的过程可以简单地用一个数学模型来刻画：B = I*k+n，其中，B 是模糊图像，I是清晰图像，k是模糊算子，n是噪声，*表示卷积算子。
当模糊算子是狄拉克函数时，就变成简单地图像去噪。
图像复原的目标就是从给定的带有模糊或者噪声的图像中恢复出清晰的图像。
根据模糊算子可以分为非盲去卷积（non-blind deconvolution）和盲去卷积（blind deconvolution）。
如果模糊算子已知，则称为非盲去卷积。
早期维纳滤波技术在一定程度上能够去除模糊，但是复原的图像往往含有人工效应（ringing artifacts）[1,2]。
后来研究人员又相继提出了基于正则化的方法，最著名的就是TV图像去噪/去模糊技术[3,4]，以及后来的基于图像梯度统计方法的去噪、去模糊方法[5,6]。
在实际应用中，模糊算子通常是未知的。
这时的图像复原问题称为盲去卷积。
由于在退化方程中只有模糊图像B已知，而清晰图像I和模糊算子k未知，从退化的图像中恢复出清晰图像是个病态(ill-posed)问题。
为了降低问题的困难性，一些研究人员提出了基于两幅或者多幅图像的去模糊方法[7,8]。
这些方法主要通过利用清晰图像的信息来指导图像去模糊。
虽然基于两幅图像的去模糊方法降低了问题的难度，但是这些方法要求清晰图像和模糊图像的结构信息能够很好的匹配。
获取这样的数据需要特殊的硬件设备。
而在现实中，我们很难通过相机或者手机得到一幅模糊及其相对应的清晰图像。
为了解决单幅图像去模糊问题，大量的方法被相继提出[9,10,11,12]。
这些方法大多通过考虑模糊算子和图像的性质，加入一些关于模糊算子和清晰图像的先验知识来解决图像复原问题。
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图像复原的目标
方法
恢复或重建原有图像。
2 图像降质和降质模型
1）图像降质原因
噪声和光学系统等。包括点降质和空间降质，而颜色 变化和时间变化本章不考虑。
无噪声降质模型
2）降质模型
f(x,y) H
Байду номын сангаас
g(x,y)
2 图像降质和降质模型
有噪声降质模型
f(x,y) H g(x,y)
n(x,y)
数字图像处理
第十六章 图像复原
CH16 图像复原
一、概述 二、图像降质和降质模型 三、经典复原滤波器 四、离散情况下降质分析 五、线性代数复原 六、广义逆SVD复原 七、Kalman滤波图像复原 八、几何畸变的复原 九、会话型复原 要点总结 上机实习
1 概述
m 0 M 1
Step3 : 表示成矩阵形式g H g f g e 0 he 0 he M 1 L he 1 f e 0 g 1 h 1 h 0 L h 2 f 1 e e e e e M M M M M M g M 1 h M 1 h M 2 L h 0 f M 1 e e e e e
降质模型性质
H是线性的； H是空间移不变的；
G u, v H u, v F u , v N u , v
3 经典复原滤波器
1）一般原理
g hg f n µ f h1 g g n
另一个问题:如何求h 的逆?
2）去卷积（反滤波）
G N µ F H H
腐蚀
膨胀 击中击不中 图像平滑和去噪：邻域平均、邻域加权平均、多幅平 均、频域空间滤波 图像轮廓抽取与锐化
6）图像增强应用
1 概述
图像增强与复原的区别
图像增强：不考虑图像降质的原因，只将图像中感兴 趣的特征突出，而衰减不需要的特征。改善后的图像 不一定要逼近原图像。 图像复原：根据图像降质原因，设法去补偿降质因素， 从而使改善后的图像尽可能逼近原始图像。 根据图像降质的原因，建立降质模型； 分析降质模型，采取某种复原方法；
问题：H函数有许多零点，N较大时影响复原效果。 解决方法：采用加窗低通滤波器。 后果：导致图像模糊。
3 经典复原滤波器
3）维纳去卷积（维纳反滤波）
（1）一维维纳去卷积
MSE最小即滤波器最优的充分必要条件：维纳滤波器 使得输入/输出的互相关函数等于信号/（信号+噪声） 的互相关函数。
M o u Pxs u Px u
k he 0 he M 1 e
he 1 e
j 2 g M 1k M M 1 i 0
j
2 k M j
he M 2 e
1. 循环矩阵和块循环矩阵很容易求逆;
2. 方法:找特征值和特征向量;
4 离散情况下降质分析
2）循环矩阵对角化
Step1: 设有4 4循环矩阵H h0 h3 h2 h1 h h h h 0 3 2 H 1 h2 h1 h0 h3 h h h h 0 3 2 1 Step 2 : 定义标量函数 k 和向量W k
信号和噪声互不相关
M o u Ps u Pn u Ps u
3 经典复原滤波器
缺点
注意:H是降质模型 传递函数
MSE准则对任何灰度的误差赋予同样的权； 不能处理空间可变的冲击响应； 噪声必须是相加的。 功率谱均衡
两种改进方法
几何均值滤波器
4 离散情况下降质分析
图像增强的有关技术 1）灰度直方图 直方图 直方图线性拉伸与压缩 直方图非线性映射及直方图均衡化 2）邻域处理（空间滤波增强） 一阶梯度法 二阶拉普拉斯法 3）频域处理 低通滤波 高通滤波 带阻滤波
1 概述
4）伪彩色增强
灰度分层映射 频域映射
5）形态学处理
求h的逆的方法.
1）一维离散降质模型 Step1: 系统输出g x 为输入f x 和冲激响应h x 的卷积
g x f x h x Step 2 : f x 和h x 维数添零扩展为M A B 1 g e x f e m he x m
4 离散情况下降质分析
例：设A 4，B 3，则M 4 3 1 6，f 补2个0，h补3个0。 h 0 h 1 h 2 H h 3 h 4 h 5 h 5 h 4 h 3 h 2 h 1 h 0 h 5 h 4 h 3 h 2 h 1 h 0 h 5 h 4 h 3 h 2 h 1 h 0 h 5 h 4 h 3 h 2 h 1 h 0 h 5 h 4 h 3 h 2 h 1 h 0
4 离散情况下降质分析
h 0 0 0 0 h 2 h 1 h 1 h 0 0 0 0 h 2 h 2 h 1 h 0 0 0 0 h 2 h 1 h 0 0 0 0 0 0 h 2 h 1 h 0 0 0 0 h 2 h 1 h 0 0