系统法(整体牛顿第二定律)
整体法牛顿第二定律
整体用牛顿第二定律的方法一、若系统内有几个物体，这几个物体的质量分别为…，加速度分别…，这个系统受到合外力为，则这个系统应用牛顿第二定律的表示式为其正交表示式为：例1. 图1所示，静止于粗糙的水平面上的斜劈A的斜面上，一物体B沿斜面向上做匀减速运动，那么，斜劈受到的水平面给的静摩擦力的方向怎样？图1解析：把A和B看作一个系统，在竖直方向受到向下的重力和竖直向上的支持力，在水平方向受到的摩擦力的方向未定。
劈A的加速度，物体B的加速度沿斜面向下，将分解成水平分量和竖直分量，如图2所示，对A、B整体的水平方向运用牛顿第二定律有：。
所以与同方向。
而整体在水平方向的合外力只有受到的摩擦力，故的方向水平向左。
图2例2. 如图3所示，质量为M的框架放在水平地面上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴着一个质量为m的小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起，当框架对地面压力为零的瞬间，小球加速度大小为（）图3A. gB.C. 0D.解析：框对地压力为零，即地对框的作用力为零，对框与球组成的系统来说，只受重力作用，小球做加速运动，对框与小球这一整体，应用牛顿第二定律所以。
方向竖直向下，选D答案。
二、当系统内各个物体加速度均为零，整个系统处于平衡状态，此时也可用求解。
例3. 图4所示，对斜面上的物块施以一个沿斜面向上的拉力F的作用，物块恰能沿斜面匀速下滑，在此过程中斜面相对水平地面静止不动，则水平地面对斜面：（）图4A. 摩擦力等于零B. 有摩擦力，方向为水平向左C. 有摩擦力，方向为水平向右D. 有摩擦力，但方向不能确定解析：取物体和斜面整体为研究对象，因整体相对地面静止，所以合外力为零，因整体受斜向右上方的拉力F，故地面应有向左的静摩擦力，即选B答案。
例4. 图5所示三角形木块A放在水平地面上，一物块B在水平推力F作用下静止在A的斜面上，A在地面上静止，此时B与A间的静摩擦力大小为，A 与地面间的静摩擦力大小为，若减小水平推力F的大小而A与B均保持静止，则与的变化情况是：（）图5A. 肯定变小，可能变小B. 肯定变小，可能变大C. 肯定变小，可能变小D. 肯定变小，可能变大解析：取B为研究对象，它在斜面方向满足，故F减小时的变化情况不确定，取A、B整体，因水平方向合力为零，所以肯定减小，即选C、D答案。
牛顿第二定律在系统中应用的解题方法
牛顿第二定律在系统中应用的解题方法在物理学习中，我们经常会遇到许多棘手的问题，必须掌握多种思维方法，解题才能得心应手。
下面我把自己多年探讨的牛顿第二定律在系统中应用的解题方法介绍给同学们，希望对大家今后解题有帮助。
若系统中有n 个物体，这些物体的质量分别为312n m m m m ⋯、、、、，加速度分别是312n a a a a ⋯、、、、，这个系统受到的合外力为F 合，对这个系统运用牛顿第二定律，表达式为：F 合=m 1a 1+m 2a 2+m 3a 3+…m n a n ，可叙述为系统受合外力等于系统内各物体质量与加速度之积的矢量和。
其正交分解表达式为： 112233112233x x x x n nx y y y y n nyF m a m a m a m a F m a m a m a m a =+++⋯+=+++⋯+⎧⎨⎩合合拓展 系统在某一方向上所受的合外力等于系统内每个物体质量与各自加速度在那个方向上的分量之积的矢量和，即112233x x x n nx m a m a m a m a +++⋯+。
这给我们在某一方向上处理物理问题提供了理论依据。
现仅举几例，探讨一下牛顿第二定律在斜面、弹簧、竖直圆形管道模型中的应用，以便寻找解题规律，掌握解题技巧。
例1 如图1所示，在质量为M 静止于粗糙水平面上的斜劈A 的斜面上，一质量为m 的物体B 沿斜面向上做匀减速运动，斜劈A 与物体B间动摩擦因数为μ，那么斜劈受到的水平面的静摩擦力如何？（斜劈A 始终处于静止状态）解析 把A 、B 看成一个系统，这个系统在竖直方向上受重力(M+m)g 、支持力F N ，水平方向上收到摩擦力f （待定)。
A 的加速度a 1=0，B的加速度a 2沿斜面向下，a 2=g(sin θ＋μcos θ)。
将a2沿水平方向和竖直方向进行正交分解，如图2所示。
22(sin cos )cos (sin cos )sin x ya g a g θμθθθμθθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 对物体B 和斜劈A 组成的系统在水平方向上应用牛顿第二定律，得1122x f m a m a =+, f 与2x a 同向所以A 受到方向向左的摩擦力，大小为(sin cos )cos f mg θμθθ=+例2 如图3所示，两木块质量分别为21m m 、，用劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，放在水平面上，将木块1下压一段距离后释放，它就做简谐运动。
牛顿第二定律连接体问题(整体法与隔离法)
牛顿第二定律——连接体问题（整体法与隔离法）一、连接体：当两个或两个以上的物体通过绳、杆、弹簧相连，或多个物体直接叠放在一起的系统二、处理方法——整体法与隔离法系统运动状态相同整体法问题不涉及物体间的内力 使用原则三、连接体题型：1【例1】A、B 平力N F A 6=推A ，用水平力N F B 3=【练1】如图所示，质量为M 的斜面A 在水平向左的推力F 作用下，A 与B 体B 的质量为m ，则它们的加速度a A. ()(,sin μθ++==g m M F g a B. θθcos )(,cos g m M F g a +==C. ()(,tan μθ++==g m M F g a D. gm M F g a )(,cot +==μθ【练2】如图所示，质量为2m 的物体2滑定滑轮连接质量为1m 的物体，与物体A. 车厢的加速度为θsin gB. 绳对物体1的拉力为θcos 1gm C. 底板对物体2的支持力为g m m )(12-D. 物体2所受底板的摩擦力为θtan 2g m m g ，m B =0.4kg ，盘C 的质量O 处的细线瞬间，木F BC 多大？（g 取10m/s 2）连接体作业1、如图所示，小车质量均为M ，光滑小球P 的质量为m ，绳的质量不计，水平地面光滑。
要使小球P 随车一起匀加速运动（相对位置如图所示），则施于小车的水平拉力F 各是多少？（θ已知）球刚好离开斜面 球刚好离开槽底F= F= F= F=2、如图所示，A 、B 质量分别为m1，m2，它们在水平力F 的作用下均一起加速运动，甲、乙中水平面光滑，两物体间动摩擦因数为μ，丙中水平面光滑，丁中两物体与水平面间的动摩擦因数均为μ，求A 、B 间的摩擦力和弹力。
f= f= F AB = F AB = 3、如图所示，在光滑水平桌面上，叠放着三个质量相同的物体，用力推物体a ，使三个物体保持静止，一起作加速运动，则各物体所受的合外力 （ ） A ．a 最大 B ．c 最大 C ．同样大 D ．b 最小4、如图所示,小车的质量为M,的前端相对于车保持静止,A.在竖直方向上,B.在水平方向上,C.若车的加速度变小,D.若车的加速度变大,5、物体A 、B 叠放在斜面体C 上，物体的作用下一起随斜面向左匀加速运动的过程中，物体A 、B摩擦力为2f F ，（02≠f F ），则（A. 01=f F B. 2f F C.1f F 水平向左 D. 2f F 6、如图3所示，质量为M A. 地面对物体M B. 地面对物体M C. 物块m D. 地面对物体M 7、如图所示，质量M ＝8kg 到1.5m/s μ＝0.28、如图6所示，质量为A m 的物体A 沿直角斜面C 9、如图10所示，质量为M 的滑块C B B 、2a F a b c。
(整理)系统牛二定律
系统中牛顿第二定律及其在整体法中的应用一、创新拓展 若系统由2个物体组成，两物体受到的外力分别为Ｆ1，Ｆ2,两物体的质量分别为ｍ1，ｍ2，对应的加速度分别为ａ1，ａ2,. 该系统受到的合外力为Ｆ，则对两个物体用牛顿第二定律有：Ｆ1=m 1 a 1 , F 2= m 2 a 2, 上式两边相加得：F 1+F 2=m 1 a 1+ m 2 a 2 即F= m 1 a 1+ m 2 a 2 这就是系统中的牛顿第二定律的数学表达式，其表述为：系统受到的合外力等于系统内各物体的质量与其加速度乘积的矢量和。
其正交分解的表达式为：F x =m 1 a 1x +m 2 a 2x ；F y =m 1 a 1y +m 2 a 2y . 若系统内有n 个物体，则系统中的牛顿第二第律的数学表达式为：F =m 1 a 1 +m 2 a 2 +…+m n a n 或正交分解式为F x =m 1 a 1x +m 2 a 2x +…+m n a nx ； F y =m 1 a 1y +m 2 a 2y +…+m n a ny二、应用范例整体法是物理中常用的一种思维方法。
它是将几个物体看作一个整体来作为研究对象即系统，这样就暂时回避了这些物体间的相互作用的内力，只考虑整体受到的外力，整体法列出的方程数目较少，解题变的简明快捷。
但运用整体法的条件是暂不求物体间的相互作用力，各个物体的加速度要相同，没有相对运动。
当各个物体的加速度不相同时，运用整体法求解就遇到了困难。
由于系统中的牛顿第二定律对系统中的物体无论有无相对运动，都可以求解，不受各个物体的加速度一定相同的限制。
对于由多个物体组成的系统，如果所求问题暂不涉及或不涉及系统内的作用力，系统中只有一个物体有加速度，而其它物体无加速度（静止或匀速），或者多个物体的加速度在同一直线上，不会出现繁琐的矢量运算时，可以运用系统中的牛顿第二定律求解。
故系统中的牛顿第二定律在原整体法的基础上使解题的范围扩大，给整体法赋予了新的生命力，对于解答多体动力学问题，简单方便，迅速准确，能起到出奇制胜的效果。
高中物理-系统牛顿第二定律与整体法
系统的牛顿第二定律与整体法在静力学、动力学问题中，涉及到系统外力时，我们往往采用整体法处理，但是很多资料并没有讲清楚整体法的适用条件，以及背后的理论基础，甚至限定只允许在几个物体相对静止时使用整体法，使得整体法的适用范围大大缩小。
本文则从系统的牛顿第二定律入手，奠定整体法解决静力学、动力学问题的理论基础，并通过实例展示整体法的广阔应用空间。
一、系统的牛顿第二定律 1、推导如图所示，两个物体组成一个系统，外界对系统内物体有力的作用（系统外力），系统内物体之间也有相互作用（系统内力），则对1：12111F F m a += 对2：21222F F m a += 其中，2112F F =-联立，得：121122F F m a m a +=+这个方程中，等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。
上述推导中，研究对象只有两个，但是很容易将上述结论推广到任意多个研究对象，方法仍然是分别对各个物体列动力学方程，然后相加——由于内力总是成对出现，且每对内力总是等大反向，因此相加的结果仍然是：等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。
这个结论就是系统的牛顿第二定律，其通式为：112233...Fm a m a m a =+++∑外或者：112233...x x x xFm a m a m a =+++∑外，112233...y y y y F m a m a m a =+++∑外2、理解系统的牛顿第二定律表达式左边只有系统外力，因此它只适用于处理系统外力相关问题，一旦涉及系统内力，则只能用隔离法。
系统的牛顿第二定律表达式右边为“各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加”，因此并不要求各个部分相对静止——各个部分有相对速度、相对加速度时，仍然可以选系统为研究对象，使用整体法处理问题。
如果系统内各个部分是相对静止的——即各个部分的加速度、速度均相同，则系统的牛顿第二定律方 程可以简化为：123(...)Fm m m a =+++∑外，这就是我们熟悉的几个物体相对静止时的整体动力学方程。
系统牛顿第二定律与整体法详解
F 2F 12F 1F 21 211 2 3...)a 系统的牛顿第二定律与整体法详解在静力学、动力学问题中，涉及到系统外力时，我们往往采用整体法处理，但是很多资料并没有讲清 楚整体法的适用条件，以及背后的理论基础，甚至限定只允许在几个物体相对静止时使用整体法，使得整 体法的适用范围大大缩小。
本文则从系统的牛顿第二定律入手，奠定整体法解决静力学、动力学问题的理 论基础，并通过实例展示整体法的广阔应用空间。
一、系统的牛顿第二定律 1、推导如图所示，两个物体组成一个系统，外界对系统内物体有力的作用（系统外力），系统内物体之间也 有相互作用（系统内力），则对 1： F 1 + F 21 m 1a 1 对 2： F + F =2 12m 2a 2其中， F 21 = -F 12联立，得： F 1 + F 2= m 1a 1 +m 2a 2这个方程中，等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相 加。
上述推导中，研究对象只有两个，但是很容易将上述结论推广到任意多个研究对象，方法仍然是分别 对各个物体列动力学方程，然后相加——由于内力总是成对出现，且每对内力总是等大反向，因此相加的结果仍然是：等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。
这个结论就是系统的牛顿第二定律，其通式为：或者： ∑ F = ∑ F 外 = m 1a 1 + m 2a 2 + m 3a 3 + ...， ∑2、理解外xm 1a 1x + m 2a 2 x + m 3a 3 x + ... F 外y = m 1a 1 y + m 2a 2 y + m 3a 3 y + ... 系统的牛顿第二定律表达式左边只有系统外力，因此它只适用于处理系统外力相关问题，一旦涉及系 统内力，则只能用隔离法。
系统的牛顿第二定律表达式右边为“各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢 量相加”，因此并不要求各个部分相对静止——各个部分有相对速度、相对加速度时，仍然可以选系统为 研究对象，使用整体法处理问题。
整体法与隔离法解题原理及技巧
方法 整体法 研究对象 系统：将相互作用的几个 物体作为研究对象 隔离法 物体：将系统中的某一物 选择原则 求解物体系整体的 加速度和所受外力 求解物体之间的内
m M F
(2)地面粗糙，T=？
m
F M
解：（1）由牛顿第二定律，对整体可得：F=(M+m)a 隔离m可得：T=ma 联立解得：T=mF/(M+m) (2) 由牛顿第二定律，对整体可得： F-μ(M+m)g=(M+m)a 隔离m可得：T-μmg =ma
联立解得：T=mF/(M+m)
F
(3)竖直加速上升，T=?
m1 F2 m2 F1 m1 m2
总结：1.若m1=m2，则拉力T=( F1+F2)/2 2. 若F1=F2，则拉力T=F1=F2 3.若F1、F2方向相同，则拉力T=( m2F1- m1F2)/( m1+m2)
练习3、如图所示，在光滑的水平地面上，有两个质量相 等的物体，中间用劲度系数为k的轻质弹簧相连，在外力 作用下运动，已知F1>F2，当运动达到稳定时，弹簧的伸 长量为（ ） A．(F1-F2)/k C．(F1+F2)/2k
）
C．0
D． (M+m)g/M
[解析]方法一、隔离法
对框架由力的平衡条件可得：F= Mg
对小球,由牛顿第二定律可得：F+mg=ma
联立解得，小球的加速度a=(M+m)g/m
方法二、整体法
对整体,由牛顿第二定律可得：
F
(M+m)g=ma+0
牛顿第二定律讲解和例题解析
例1：如图所示．地面上放m＝40kg的木箱，用大小为 10N与水平方向夹角300的力推木箱，木箱恰好匀速运动， 若用此力与水平方向成300角斜向上拉木箱，30s可使木箱 前进多少米？（g取10m/s2）
0v2
s相
相
2a
相
032
0.9m
25
A从开始运动到相对静止经历的时间
t 0 v相 0.6s a相
在此时间内B的位移 s 1a t2 1.8m
2 B
B
A、B相对静止时的速度v＝aBt＝＝
随后A、B一起以a`=－μBg=－2m/s2作匀减速运动直至
停止，这段时间内的位移
0v2 0062
s`
0.09m
与传送带之间的动摩擦因数， AB长16米，求：以下两
种情况下物体从A到B所用的时间.
（1）传送带顺时针方向转动
A
（2）传送带逆时针方向转动
B 370
解：（1）传送带顺时针方向转动时受力如图示
：在斜面方向上有： mg sinθ－μmg cosθ= m a
N fA
则：a = gsinθ－μgcosθ= 2m/s2 B
②若v≥ v，A2 工2件aS由A到B，全程做匀加速运动，到
达B端的速度vB=
vA 22aS 23m/s
③若 vA2 ＞2avS＞vA，工件由A到B，先做匀加速运动， 当速度增加到传送带速度v时，工件与传送带一起作匀速
运动速度相同，工件到达B端的速度vB=v.
④若v≤
v
2 A
，2a工S 件由A到B，全程做匀减速运动，到达
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系统法
精讲精练
• 一只质量为m青蛙抓住一 根竖直悬挂在天花板下的 杆保持静止，竖直杆的质 量为2m。某时刻系杆的轻 绳突然断了，青蛙迅速向 上爬以保持自已（对地） 的高度不变， • 求此时杆（对地）的加速 度？
精讲精练
①用隔离法
先研究青蛙受力情况，由于青蛙对地高度不 变，意味着它处于静止状态（平衡状态） f 可知：f = mg
mg
精讲精练
• 再研究杆
f’= f = mg
所以
a杆 = (2mg + f’)/2m
f’
2mg
= 3mg/2m
= 3g/2
精讲精练
• 使用整体法，受力分析如下： 根据牛顿第二定律 F合=ma
列： 3mg = m青蛙a青蛙+m杆a杆 已知
mg+2mg 所以
a青蛙=0
3mg = m杆a杆= 2ma杆
课堂练习
• 一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定 的竖直杆，在杆上套着一个圆环，箱子质 量M，小圆环质量m。已知圆环沿杆以匀加 速 a下滑，则此时箱对地面的压力大小为 多少？
拓展
底座A上装有长为0.5m的直立杆，底座与杆 总质量为2kg，杆上套有质量为0.5kg的小 环B，它与杆有摩擦。若环从杆的下端以 4m/s的初速度向上飞时恰能到达杆顶，求 （1）小环向上运动的加速度有多大。
牛顿第二定律之
分解加速度
精讲精练
• 台阶式电梯与水平方向的夹角为37°，现在 质量为50Kg的乘客站在电梯上与电梯一起 向上匀加速运动，加速度a=5m/s2，则水平 台阶对乘客的支持力及摩擦力各为多少？ （g=10m/s2） a
分析与解
受力分析如下 按加速度方向和垂直于加速度方向分解力
y
N
x
a
拓展
• 如图，台称上放一质量为M的光滑斜面，质 量为m的物体从斜面上下滑，此时台称示数 位多少？
a
D. 4/3倍θ来自解：将加速度分解如图示，
N
ax= ay / tanθ
由a与合力同向关系， 分析人的受力如图示：
ay
f θ
a ax
mg
a
N-mg=may 得出：ay=0.25g 又因为 f = max 所以 f = m ay / tanθ = 0.25mg×4/3 θ = mg/3
反思： 最复杂的问题是将以上两者合二为一。既 用到分解加速度又用到整体牛顿第二定律
即
a杆=3g/2
课堂练习
• 在倾角为α的固定光滑斜面上，用一根绳 子栓住长木板，板上站着一只猫。已知木 板质量是M，小猫质量为m。当绳子突然断 开时，猫立即沿板往上跑，以保持其相对 地面的高度不变，求此时木板的加速度?
课堂练习
使用整体牛顿第二定律： N
(M+m)g sin α = m木a木
= Ma木 所以 a木= (M+m)g sinα/M Mg+mg
拓展
底座A上装有长为0.5m的直立杆，底座与杆 总质量为2kg，杆上套有质量为0.5kg的小 环B，它与杆有摩擦。若环从杆的下端以 4m/s的初速度向上飞时恰能到达杆顶。求 （2）在环升起的过程中底座对地面的压力。
拓展
底座A上装有长为0.5m的直立杆，底座与杆 总质量为2kg，杆上套有质量为0.5kg的小 环B，它与杆有摩擦。若环从杆的下端以 4m/s的初速度向上飞时恰能到达杆顶。求 （3）小环从向上运动到回到底座用时多长。
f
θ
G
分析与解
建立水平竖直方向的坐标轴
y
asin 370
a
N
acos 370
f
θ x
G
分解加速度
其实 把力分解到加速度的方向 或是 把加速度分解到力的方向 都是等效的， 实际情况中以分解个数少为标准， 当然大多数情况都还是分解力。
课堂练习
如图，倾斜索道与水平方向夹角θ=37°，当 载人车厢匀加速向上运动时，人对厢底的压 力为体重的1.25倍，则车厢对人的摩擦力是 体重的 （ B ） A. 1/4倍 B. 1/3倍 C. 5/4倍