[高考真题]2009年高考试题解析版

2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析

一选择题： 1. 解：原式10i(2+i)

24(2-i)(2+i)

i ==-+.故选A.

2. 解：{}{}1|

0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -??

=<=--<=<

?

.(3,4)A B ∴=I .选B. 3.

解：已知ABC ?中,12cot 5A =-

,(,)2

A π

π∴∈

. 12

cos 13

A ===-

故选D. 4. 解：11122

2121

||[]|1(21)(21)

x x x x x y x x ===--'=

=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B. 5.

解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D Q ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B

与BE 所成的角.在1A BE ?

中由余弦定理易得1cos A BE ∠=.故选C 6.

解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g ||5b ∴=r

.故选C

7.

解：322log 2log 2log 3b c <<∴>Q

2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. 8.

解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π

ππππωωω???

?=+??????→=-=+ ?+? ????

向右平移个单位

1

64

()6

62k k k Z π

π

ωπωπ

+=

∴=+∈∴

-

, 又min 1

02

ωω>∴=Q .故选D 9.

解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线

()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由

||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中

点.连结OB ,则1||||2

OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点

B 的坐标为22022

(1,22)1(2)3

k -∴=

=

--, 故选D 10.

解：用间接法即可.22244430C C C ?-=种. 故选C 11.

解：设双曲线22

221x y C a b

-=：的右准线为l ,过

A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,

BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知直线AB 的倾斜角为

1

6060,||||2

BAD AD AB ?∴∠=?=

, 由双曲线的第二定义有

1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-u u u r u u u r 11||(||||)22

AB AF FB ==+u u u

r u u u r .

又156

43||||25

AF FB FB FB e e =∴?=∴=u u u r u u u r Q 故选A

12.

解：展、折问题.易判断选B

第II 卷（非选择题,共90分）

二、13.

解：()4

224()x y y x x y x y -=-,只需求4()x y -展开式中的含xy 项的

系数：246C = 14. 解：{}n a Q 为等差数列,95

53

995S a S a ∴== 15.

解：设球半径为R ,圆C 的半径为r ,2277

.44

4r r ππ==,得由 因为22224R OC R =

=.由2222217()484

R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π. 16.

解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+. 四边形ABCD 的面积222212121

||||2(4)8()52

S AB CD d d d d =?=-≤-+=)(4- 三、解答题

17.设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、

c ,3cos()cos 2

A C

B -+=

,2

b a

c =,求B . 分析：由3

cos()cos 2

A C

B -+=,易想到先将()B A

C π=-+代入

3cos()cos 2A C B -+=

得3

cos()cos()2A C A C --+=.

然后利用两角和与差的余弦公式展开得3

sin sin 4

A C =；又由2b ac =,利用正弦定理进行边角互化,

得2sin sin sin B A C =,进而得sin B =.故233

B ππ

=或.大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当23B π=

时,由1

cos cos()2

B A

C =-+=-,进而得3

cos()cos()212

A C A C -=++

=>,矛盾,应舍去. 也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23

B π

=.不过这种方法学生不易想到.

评析：本小题考生得分易,但得满分难. 18

（I ）分析一：连结BE,111ABC A B C -Q 为直三棱柱, 190,B BC ∴∠=?

E Q 为1B C 的中点,BE EC ∴=.又DE ⊥平面1BCC ,

BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC , AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）.

分析二：取BC 的中点F ,证四边形AFED 为平行四边形,进而证AF

∥DE ,AF BC ⊥,得AB AC =也可.

分析三：利用空间向量的方法.具体解法略.

（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角,只需求点1B 到面BDC 的

距离即可.

作AG BD ⊥于G ,连GC ,则GC BD ⊥,AGC ∠为二面角A BD C --的平面角,60AGC ∠=?.不妨设23AC =,则

2,4AG GC ==.在RT ABD ?中,由

AD AB BD AG ?=?,易得6AD =.

设点1B 到面BDC 的距离为h ,1B C 与平面BCD 所成的角为α.利用

111

33

B B

C BC

D S D

E S h ???=?,可求得h =23,又

可求得

143B C =

11

sin 30.2

h B C αα=

=∴=? 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.?

分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解.如图可证得

BC AFED ⊥面,所以面AFED BDC ⊥面.由分析一易知：四边形AFED

为正方形,连AE DF 、,并设交点为O ,则EO BDC ⊥面,OC ∴为EC 在面BDC 内的射影.ECO ∴∠即为所求.以下略.

分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n r

,则1B C 与平面BCD 所成的角即为1B C u u u r

与法向量n r 的夹角的余角.具体解法详见高

考试题参考答案.

总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况.命题人在这里一定会兼顾双方的利益. 19

解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+,有

12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=

由142n n S a +=+,．．．① 则当2n ≥时,有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-

又12n n n b a a +=-Q ,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为２的等比数列．

（II ）由（I ）可得1

1232

n n n n b a a -+=-=?,113

224

n n n n a a ++∴

-= ∴数列{}2

n n a

是首项为12

,公差为34

的等比数列． ∴

1331(1)22444

n n

a n n =+-=-,2

(31)2n n a n -=-? 评析：第（I ）问思路明确,只需利用已知条件寻找1n n b b -与的关系即可． 第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=?,这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数),主要的处理手段是两边除以1n q +．

总体来说,09年高考理科数学全国I 、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I 还考查了利用错位相减法求前n 项和的方法）,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式.具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用.也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 20

分析：（I ）这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可.

另外要注意此分层抽样与性别无关.

（II ）在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难.

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率11462108

15

C C P C ?==

（III ）ξ的可能取值为0,1,2,3

1234211056(0)75C C P C C ξ==?=,11121

46342212110510528

(1)75

C C C C C P C C C C ξ==?+?=

, 21622110510

(3)75

C C P C C ξ==?=

,31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-== 分布列及期望略.

评析：本题较常规,比08年的概率统计题要容易.在计算(2)P ξ=时,采

用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力.

（21）（本小题满分12分）

解:(I ）设(,0)F c ,直线:0l x y c --=,由坐标原点O 到l 的距离为2

2

则

2

22

=

,解得 1c =.又3,3,2c e a b a ==∴==. （II ）由(I ）知椭圆的方程为22

:132

x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y

由题意知l 的斜率为一定不为0,故不妨设 :1l x my =+ 代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=,显然0?>.

由韦达定理有：1224,23m y y m +=-

+12

24

,23

y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P,使OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r

成立,则其充要条件为：

点1212P (,)x x y y ++的坐标为,点P 在椭圆上,即22

1212()()132

x x y y +++=. 整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

又A B 、在椭圆上,即22221122236,236x y x y +=+=.

故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得21

2

m =

1222y y ∴+=-,12x x +=22432232

m m -+=+,即3(,22P ±.

当3,(,:12222m P l x y =

-=+;

当3,(:12m P l x y ==+. 评析：处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够.所谓“算”,

主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质.有时候算理和算法并不是截然区分的.例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算？在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点. 22.

解: （I ）()2222(1)11a x x a

f x x x x x

++'=+=>-++ 令2()22g x x x a =++,其对称轴为1

2

x =-.由题意知12x x 、是方程

()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根,其充要条件为

480(1)0a g a ?=->??

-=>?

,得1

02a << ⑴当1(1,)x x ∈-时,()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；

⑶当2,()x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （II ）由（I ）21(0)0,02

g a x =>∴-<<,222(2)a x x =-+2

()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2

设()()221(22)1()2

h x x x x ln x x =-++>-,

则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2

x ∈-时,()0,()h x h x '>∴在1[,0)2

-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时,()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.

()1112ln 2

(,0),()224

x h x h -∴∈->-=

当时 故()22122

()4

In f x h x -=>．