初中数学北师大版八年级上册《12一定是直角三角形吗》同步练习
1.2 一定是直角三角形吗 北师大版数学八年级上册同步练习(含解析)
1.2 一定是直角三角形吗一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本题共8个小题）1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．B．C．D．2．在三角形中，，，的对边分别为，，，且满足，则这个三角形中互余的一对角是（）A．与B．与C．与D．以上都不正确3．在中，若，，，则（）A．B．C．D．4．在△ABC中，AB﹦12，BC﹦16，AC﹦20，则△ABC的面积是（ ）A．120B．160C．216D．965．三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2mC．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D．△ABC不是直角三角形8．如图所示，在的正方形网格中，的顶点，，均在格点上，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二、填空题9．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为______．10．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是____．10题图 11题图 14题图11．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．12．若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=____时,这个三角形是直角三角形.13．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．14．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH组成的．已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD的面积是________．15．小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______________．16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，，.根据你的发现，与之间的关系是_______，_______.三、解答题17．如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．18．在中，D是边上的点，，，，．（1）求证：是直角三角形；（2）求的长．19．如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．求：△ABD的面积．20．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.21．星期天，两组同学从学校出发去郊游.分组后，第一组同学以1.8千米/时的速度向正北方向直线前进，第二组同学以2.4千米/时的速度向另一个方向直线前进半小时后，两组同学同时停了下来，此时他们相距1.5千米，试回答下面的问题：（1）第二组同学行走的方向如何?（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后相遇?22．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值.参考答案1．C【思路点拨】运用勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详细解答】∵,,,∴4,6,8不能组成直角三角形．,故A不符合题意;∵,,,∴6,8,9不能组成直角三角形,故B不符合题意;∵,,,∴5,12,13能组成直角三角形,故C符合题意;∵,,,∴5,11,12不能组成直角三角形,故D不符合题意;故选:C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理,熟记勾股定理的逆定理是解决本题的关键．2．B【思路点拨】先由勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详细解答】解：∵b2-a2=c2，∴b2=a2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴∠C与∠A互余．故选：B．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角是直角．同时考查了直角三角形两锐角互余的性质．3．C【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可求解．【详细解答】解：∵在△ABC中，BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠C=90°．故选：C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定理．【详细解答】.①，故不是成为直角三角形的必要条件，故=58°，∠C=180°－∠A－【思路点拨】首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值；接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.【详细解答】∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，∴BC2 +AB2= AC2，∴△ABC是直角三角形.故选B.【方法总结】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理. 9．4【思路点拨】根据勾股定理的逆定理，可以判断题目中三角形的形状，然后即可得到这个三角形中最短边上的高的长度，本题得意解决．【详细解答】解：，三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，这个三角形中最短边上的高为4，故答案为：4．【方法总结】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．10．如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可判断．【详细解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【方法总结】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．11．2【详细解答】试题分析：根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形．共2个．考点：勾股定理的逆定理，化简得：，m=2,，或（舍去）．【思路点拨】设这个三角形的三边长分别为，再根据周长可求出边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可【详细解答】由题意，设这个三角形的三边长分别为则解得则这个三角形的三边长分别为又这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为则它的面积是故答案为：．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理的应用等知识点，依据勾股定理的逆定理判定出这个三角形为【详细解答】因为大正方形ABCD中4个直角三角形全等,根据全等三角形的性质可得:BE=AH=DG=CF=3,又因为小正方形的边长是1,所以BF=AE=DH=CG=3+1=4,根据勾股定理可得:AB=AD=CD=BC==5,所以大正方形ABCD的面积是25,故答案为25.15．【详细解答】由题意得：小白兔第一次跳12米，第二次跳5米，第三次跳13米；∵米，而13 ²=169，刚好符合直角三角形中勾股定理的逆定理，且第一次和第二次跳的距离为直角边．故小白兔第一次左拐的角度是90°.16．【解析】【思路点拨】仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得.【详细解答】观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c−b=1；通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得52-42=32,132-122=52,252-242=72，即可得到.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.17．四边形ABCD的面积是36【思路点拨】根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形ABCD的面积的面积+的面积，列式进行计算即可得解．【详细解答】解：连接，∵AB=3，BC=4，，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC===5．=AB+AC =×3×4+×5×12=36ABCD的面积是36==9【方法总结】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出BC===16=×7×12=42勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.所以a－5=0，得a=5；b－12=0，得b=12；c－13=0，得c=13.又因为132=52+122，即a2+b2=c2所以△ABC是直角三角形.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，非负数的性质点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.21．（1）正东或正西；（2）小时.【解析】【思路点拨】对于（1），先分别求出两个小组走的路程，再根据勾股定理的逆定理即可作出判断；对于（2），根据“路程和÷速度和=相遇的时间”列式计算即可求解.【详细解答】（1）因为，所以两组同学行走的方向成直角.因此，第二组同学行走的方向为正东或正西.（2）根据题意，得（小时）.即两组同学经过小时后相遇.【方法总结】此题考查勾股定理的逆定理的运用，牢记定理是解题的关键.22．，.【思路点拨】n=3时，a=2×3=6，b=32-1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42-1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2-1，c=n2+1（n≥3，n为正整数），满足勾股数．【详细解答】∵n=3时,a=2×3=6,b=32−1=8,c=32+1=10，n=4时,a=2×4=8,b=42−1=15,c=42+1=17，故答案为，.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，由题意得到规律。
数学八年级上北师大版1.2一定是直角三角形吗同步练习
一定是直角三角形吗班级：___________姓名：___________得分：__________一．选择题（每小题7分，28分）1.下列三角形中,是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a+b=cB.三角形的三边长分别为32,42,52C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边长为7,24,252.如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形3.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A.42B.52C.7D.52或74.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )A.72+242=625=252，152+242=791≠202;B.72+242=625=252，152+202=625≠242;C.72+242=625=252，152+202=625=252;D.152+242=791≠252，72+202=449≠252.5.下列命题中的假命题是( )A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，则△ABC是直角三角形B.在△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5∶2∶3，则△ABC是直角三角形D.在△ABC中，若三边长a∶b∶c=2∶2∶3，则△ABC是直角三角形6.将直角三角形三边扩大同样的倍数,得到的三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形二、解答题（每小题12分，72分）1、已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.2. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？3.如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）4.如图1，一个梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图2，测得BD 长为0.5m ，求梯子顶端A 下落了多少米．图2图1A BCEDCBA参考答案一．选择题1. D【解析】要满足勾股定理逆定理,D中72+242=252.所以选D.2． B【解析】由半圆的面积公式及勾股定理的逆定理，判断出这个三角形为直角三角形．解：设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，∴化简得，a2+b2=c2，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．3. D【解析】注意有两种情况(ⅰ)32+42=52，(ⅱ)32+7=42)4 C【解析】因为是两个直角三角形，就是要验证是否满足勾股定理.5．D【解析】A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，则∠A+∠B=∠C,又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°.则△ABC是直角三角形.B.在△ABC中，若a2+b2=c2，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形.C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5∶2∶3，可设∠A=5x,则∠B=2x，∠C=3x，∠A+∠B+∠C=180°,即5x+2x+3x=180°.解得x=18°，故∠A=5x=5×18°=90°,则△ABC 是直角三角形. D.在△ABC 中，若三边长a∶b∶c=2∶2∶3，可设a=2x ，则b=2x ，c=3x ，(2x)2+(2x)2=8x 2≠(3x)2,即a 2+b 2≠c 2.由勾股定理逆定理知△ABC 不是直角三角形. 6．B【解析】将直角三角形三边扩大相同倍数后,仍满足勾股定理,所以仍是直角三角形. 二、解答题1. 解：由已知得(a 2－10a +25)+(b 2－24b +144)+(c 2－26c +169)=0 (a －5)2+(b －12)2+(c －13)2=0由于(a －5)2≥0，(b －12)2≥0，(c －13)2≥0. 所以a －5=0，得a =5；b －12=0，得b =12；c －13=0，得c =13.又因为132=52+122，即a 2+b 2=c 2所以△ABC 是直角三角形.2、解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA=12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 走了5千米，即OB=5．在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB=13，因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系3、解：由题意可知：∠ACP ＝ ∠BCP ＝ 90°，∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°在Rt △BPC 中，∵∠BCP ＝90°，∠BPC ＝45°，∴60==PC BC 在Rt △ACP 中，∵∠ACP ＝90°，∠APC ＝30°，∴320=AC∴32060+=+=BC AC AB ≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)答：教学楼A 与办公楼B 之间的距离大约为94．6米．4. 解：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2∴2.52＝AC 2＋1.52，∴AC ＝2（m ）．在Rt △EDC 中，DE 2＝CE 2＋CD 2，∴2.52＝CE 2＋22∴CE 2＝2.25，∴CE ＝1.5（m ）， ∴AE ＝AC －CE ＝2－1.5＝0.5（m ） 答：梯子顶端A 下落了0.5m ．。
数学北师大版八年级上册12《一定是直角三角形吗》同步训练有答案
数学北师大版八年级上册1.2《一定是直角三角形吗》同步训练一、选择题：（共5题；）1. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A.a=1.5，b=2，c=3B.a=7，b=24，c=25C.a=6，b=8，c=10D.a=3，b=4，c=52. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1，1，√2C.6，8，11D.5，12，233. ⊿ABC中，如果三边满足关系BC2=AB2+AC2，则⊿ABC的直角是（）A.∠CB.∠AC.∠BD.不能确定4. 三角形的三边长a、b、c满足(a+b)2−c2=2ab，则此三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是A.b2=c2−a2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A−∠BD.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15二、填空题（共5题；）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90∘，AB=26，BC=24，该图形的面积等于________．有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是________cm，________cm，________cm．若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m=________，它是直角三角形。
在⊿ABC中，若a2+b2=25,a2b2=7,c=5，则最大边上的高为________.我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，________，________；…三、解答题：（共5题；）如图，点A、D、B在同一直线上，BC=15，CD=12，AC=13，AD=5.求AB的长.小明画了一个如图所示的四边形，其中AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，∠A= 90∘，你能求出四边形ABCD的面积吗？如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90∘，求∠DAB的度数．在⊿ABC中，AB=17cm，BC=16cm，，BC边上的中线AD=15cm，问⊿ABC是什么形状的三角形？并说明你的理由.如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90∘，求这块地的面积．参考答案与试题解析数学北师大版八年级上册1.2《一定是直角三角形吗》同步训练一、选择题：（共5题；）1.【答案】A【考点】勾股定理的逆定理【解析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵ 1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．故选：A．2.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理【解析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12=√22，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选B.3.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理【解析】由题意和勾股定理的逆定理可知4ABC是直角三角形，且BC是斜边，即∠A=90∘【解答】·BC2=AB2+AC2∴ ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90∘故答案为：B．4.【答案】A【考点】勾股定理的逆定理【解析】已知(a+b)2−c2=2ab，运用完全平方公式展开整理可得a2+b2=c2由勾股定理的逆定理可得三角形是直角三角形．【解答】：(a+b)2−c2=2ab∴a2+2ab+b2−c2=2ab.∵a2+b2=c2.：此三角形是直角三角形．故答案为：A．5.【答案】D【考点】三角形内角和定理勾股定理的逆定理勾股定理【解析】试题解析：A．由b2=c2−a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．B．由a:b:c=3:4:5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．C．由三角形内角和是180∘，及∠C=∠A−∠B解得∠A=90∘，是直角三角形．D．由∠A:∠B:∠C=12:13:15及∠A+∠B+∠C=180∘．得∠A=54′,∠B=58.5∘,∠C= 67.5不是直角三角形．故选D．【解答】此题暂无解答二、填空题（共5题；）【答案】96【考点】勾股定理的逆定理勾股定理【解析】先连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，可求出AC；在△ABC中，由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，∴AC=√AD2+CD2=√82+62=10，在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，∴△ABC为直角三角形；∴图形面积为：S△ABC−S△ACD=12×10×24−12×6×8=96．故答案为：96．【答案】6,8,10【考点】勾股定理的逆定理【解析】如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，设三边为3x，4x，5x，得出3x+4x+5x=24，求出即可．【解答】解：设三边为3x，4x，5x，则3x+4x+5x=24，x=2，即三角形三边是6，8，10，根据勾股定理的逆定理，故答案为：6，8，10．【答案】2【考点】勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】(m+1)²+(m+2)²=(m+3)²，解得：m=±2，当m=−2时，m+1<0，不合题意舍去，则m=2.故答案为：2.【答案】2.4【考点】勾股定理的逆定理【解析】用换元法解方程组可求得a2=16,b2=9；由题意可得a=4,b=3，根据勾股定理的逆定理可判断三角形ABC的形状，再用面积法即可求解．【解答】将a2和b2看作整体，由a2+b2=25,a2−b2=7可得a2=16,b2=9由a和b为边长，故a和b都为正数，所以a=4,b=3.由a2+b2=c2，可知△ABC为直角三角形，故最长边为斜边，设斜边上的高为ℎ，故12ab=12cℎ代入数据，解得ℎ=2.4故答案为：2.4.【答案】60,61【考点】勾股数【解析】通过观察，得这组勾股数用n表示为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，据此求解．【解答】解：先用计算机验证是勾股数；通过观察得到：这组勾股数用n表示为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，11是第5组勾股数的第一个小数，所以其它2个数为：2×52+2×5=60，2×52+2×5+1=61，故答案为：60、61．三、解答题：（共5题；）【答案】解：∵CD=12，AC=13，AD=5,∴CD²+AD²=AC²,∴△ACD是直角三角形，∴CD⊥AD,∵BC=15，∴BD=√BC2−CD2=√152−122=9，∴AB=AD+DB=5+9=14.【考点】勾股定理的应用勾股定理的逆定理【解析】由勾股定理的逆定理易证eACD是直角三角形，则|∠BDC=90∘，在直角三角形BDC 中．用勾股定理可求得BD的长，所以AB=AD+BD即可求解．【解答】此题暂无解答【答案】解：∵∠DAB=90∘，∴AB2+AD2=BD2.∵AB=4，AD=3，∴BD=5.∵BC=12，CD=13，BD=5，∴BD2+BC2=CD2.∴△BCD为直角三角形.∵×AB×AD=6.∵△BCD为直角三角∠DAB=90∘，AB=4，AD=3，∴S△ABD=12形，BC=12，BD=5，∴S△BCD=12×BC×BD=30.∵S四边形ABCD=S△ABD+ S△BCD，S△ABD=6，S△BCD=30，∴S=36.四边形ABCD【考点】勾股定理的应用勾股定理的逆定理【解析】连接BD，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长；计算BD2+BC214和CD2的值，用勾股定理的逆定理可判断∠DBC=90∘，于是S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=1 2AB⋅AD+12BD⋅B(C即可求解．【解答】此题暂无解答【答案】解：连接AC，∵ ∠B=90∘,AB=BC=2∴ AC=√AB2+BC2=2√2,∠BAC=45∘又∵ CD=3,DA=1∴ AC2+DA2=8+1=9,CD2=9∴ AC2+DA2=CD2∴ △ACD是直角三角形∴ ∠CAD=90∘∴ ∠DAB=45∘+90∘=135∘【考点】勾股定理的应用勾股定理的逆定理【解析】连接AC，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的长；在三角形ACD中，计算AC2+AD2和CD2的值，根据勾股定理的逆定理即可判断eACD是直角三角形，则∠BAD=∠BAC+∠CAD即可求解．【解答】此题暂无解答【答案】等腰直角三角形，理由见解析．【考点】勾股定理勾股定理的逆定理【解析】试题分析：先根据AD是BD上的中线求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，进而可得出∠ADC=90∘，根据勾股定理即可求出AC的长，进而得出结论．试题解析：△ABC是等腰三角形，∵ AD是BC边的中线，BC=16cmBD=DC=8cm∵ AD2+BD2=152+82=172=AB2∠ADB=90∘EADC=90∘在:t△ADC中，AC=√AD2+CD2=17cmAC=AB即△ABC是等腰三角形．【解答】此题暂无解答【答案】如图，连接AC，∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90∘，∴AC=√32+42=5，∴S△ACD＝6，在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90∘，∴Rt△ABC的面积＝30，∴四边形ABCD的面积＝30−6＝24．【考点】勾股定理勾股定理的逆定理【解析】连接AC，根据解直角△ADC求AC，求证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝△ABC面积−△ACD面积即可计算．【解答】如图，连接AC，∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90∘，∴AC=√32+42=5，∴S△ACD＝6，在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90∘，∴Rt△ABC的面积＝30，∴四边形ABCD的面积＝30−6＝24．。
八年级数学上册1.2一定是直角三角形吗同步练习1(含解析)北师大版
一定是直角三角形吗一、选择题1。
下列各命题的逆命题不成立的是( ） A 。
两直线平行，同位角相等 B.若丨a 丨=丨b 丨,则a 2=b 2C.等腰三角形的两底角相等 D 。
对顶角相等2．下列线段不能组成直角三角形的是( )． A 。
a ＝6，b ＝8,c ＝10B.3,2,1===c b a C 。
43,1,45===c b aD 。
6,3,2===c b a3．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1),则此三角形（ )． A 。
一定是等边三角形 B 。
一定是等腰三角形 C.一定是直角三角形D.形状无法确定4。
下列四组线段中,能组成直角三角形的是（ ） A 。
a=1，b=2，c=3 B. a=2，b=3,c=4 C 。
a=2，b=4，c=5D 。
a=3，b=4，c=5二、填空题 5.（教材习题变式)将勾股数3，4，5扩大到原来的2 倍,3倍，4倍,…，可以得到勾股数6,8,10； 9，12， 15； 12，16,20;…。
则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出其他的两组基本勾股数： , .6．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2,那么这个三角形是______三角形,我们把这个定理叫做勾股定理的______．7．分别以下列四组数为一个三角形的边长:（1)6、8、10，(2)5、12、13，(3）8、15、17,（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有___________．（填序号）8．若△ABC 中，(b －a )（b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；9．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形．10.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为 80 cm,宽为60 cm,对角线的长为100 cm ，则从这个桌面的形状来判断，这个桌面。
(填“合格”或“不合格”）11。
八年级数学上册 1.2 一定是直角三角形吗同步练习北师大版 试题
轧东卡州北占业市传业学校一定是直角三角形吗1.三角形三边长分别是6，8，10，那么此三角形的面积为________ .2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到米的墙上，那么梯脚与墙角的距离应为米．在△ABC中，假设其三条边的长度分别为9、12、15，那么以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是_________ .5.满足222cba=+的三个正整数，称为________ ,举一组这样的数_________.6.甲往东走了8km，乙往南走了6km，这时甲、乙俩人相距_______一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，那么这个三角形的面积为 _________ .※课后作业★根底稳固1.以下各组数中，不能构成直角三角形的一组是( ).A.1，2，5B.1，2，3C.3，4，5D.6，8，122.三角形的三边长之比为1∶1∶2，那么此三角形一定是( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，假设较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形是( ).A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形4.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，A.如果∠C－∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形B.如果c2=b2－a2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C.如果(c+a)( c－a)=b2，那么△ABC是直角三角形D.如果∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3，那么△ABC是直角三角形5.以下条件：①三角形的一个外角与相邻内角相等②∠A=21∠B=31∠C ③ AC∶BC∶AB=1∶3∶2 ④ AC=n2－1，BC=2n，AB=n2+1(n>1)能判定△ABC是直角三角形的条件个数为〔〕.A.1B.2C.3D.46.如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积,那么以下结论正确的是( ) .A. a2 + b2=c2B. ab=cC. a+b=cD. a+ b=c2☆能力提高7.将直角三角形的三条边长同时扩一倍数，得到的三角形是( ).A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形8.如果以下各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ).A.321，421，521B.7，24，25C.3，4，5D.4，721，821一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,那么这部电视机大小规格〔实际测量误差忽略不计〕〔〕.A.34英寸〔87厘米〕B.29英寸〔74厘米〕C.25英寸〔64厘米〕D.21英寸〔54厘米〕10.一块木板如下列图，AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为( ).A.60B.30C.24D.1211.小明想知道旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，那么旗杆的高为〔〕.A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm12.适合以下条件的△ABC中, 直角三角形的个数为( ).①51,41,31===cba. ②,6=a∠A=450 .③∠A=320, ∠B=580.④.4,2,2===cba⑤.25,24,7===cbaA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个●中考在线13.如图，直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图 中阴影局部的面积． 14.新中源陶瓷厂某车间的人字形屋架为等腰ABC ，AC ＝BC ＝13米，AB ＝24米. 求AB 边上的高CD 的长度？ 86C。
1 2一定是直角三角形吗课后练习题 北师大版八年级数学上册
1.2 一定是直角三角形吗一．选择题1．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，6．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A 和C ，甲船先由A 岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B 岛，然后再从B 岛走了6海里到达C 岛，此时甲船位于B 岛的（ ）A ．北偏东20°方向上B ．北偏西20°方向上C ．北偏西30°方向上D ．北偏西40°方向上二．填空题 1．如图，将一根有弹性的皮筋AB 自然伸直固定在水平面上，然后把皮筋中点C 竖直向上拉升5cm 到点D ，如果皮筋自然长度为24cm （即24cm AB =），则此时AD = cm ．2．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD 的方法证明了勾股定理（如图）．连结CE ，若5CE =，4BE =，则正方形ABCD 的边长为 ．3若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的中线为 ．4．如图，已知圆柱底面圆的周长为10cm ，高为12cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则爬行的最短路程是______．三．解答题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．2．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2．3．2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成以下图形）．试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a，b，c之间的数量关系．（1）三边a，b，c之间的数量关系为．（2）理由：4．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC 于点F．关于△ABC的形状，小明和小亮展开以下讨论：小明：如果△ABC是直角三角形，那么我可以求出AE的长．我的思路是这样的：如图，连接CE，设AE＝x，则BE＝4﹣x，因为DE是BC的垂直平分线，所以CE＝BE＝4﹣x…小亮：如果DF的长为，此时△ABC是直角三角形．（1）请补充完整小明的求解过程；（2）请判断小亮的说法是否正确？并说明理由．。
北师大版数学八年级上册 1 2一定是直角三角形吗 同步练习(Word版含答案)
1.2一定是直角三角形吗 同步精练一、单选题1．如图所示，在正方形ABCD 中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为c 的正方形，则下列等式成立的是（ ）A ．a b c +=B ．222+=a b cC ．()()2c a b a b =+-D ．()224c a b ab =+- 2．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它也是数学定理中证明方法最多的定理之一．美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法如下：()22211()222ABCD S a b a ab b =+=++梯形， 12ABD EBC CED ABCD S S S S ab ∆∆∆=++=梯形()221112222ba c ab c ++=+，∴比较上二式可得222c a b =+.此证明方法体现的数学思想是（ ）A ．整体思想B ．转化思想C ．数形结合思想D ．分类讨论思想 3．如图，圆柱的高为4cm ，底面半径为3πcm ，在圆柱下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 处的食物，已知四边形ADBC 的边AD 、BC 恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm ．A ．5B ．5πC ．3+4πD ．3+8π4．如图，数轴上的点A 对应的实数是-1，点B 对应的实数是1，过点B 作BC AB ⊥，使1BC =，连接AC ，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 对应的实数是（ ）A 1B 1CD ．545．如图，小明和小华同时从P 处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m /s 和4m /s ，则20s 后他们之间的距离为（ ）A ．80mB ．100mC ．120mD ．140m6．如图，是我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”，由四个全等的直角三角形拼成大的正方形ABCD 和中间小的正方形EFGH ．若直角ABF 的面积是27.5cm ，且32EF AE =，则小正方形EFGH 的面积是( )A ．26cmB ．25.5cmC ．24.5cmD ．24cm7．下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7B．2，2，2C．2，2，4D．13，12，58．在△ABC中，11a b c=∶∶，那么△ABC是（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能．．用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．10=根据“三角形三边关系”.小亮的这一做法体现的数学思想是() A．分类讨论思想B．方程思想C．类比思想D．数形结合思想11．在△ABC中，AB﹦12，BC﹦16，AC﹦20，则△ABC的面积是（）A．120B．160C．216D．9612．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题13，则这个直角三角形的周长为____ . 14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了_____步路．（假设2步为1米）15．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图△所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图△由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT 的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝_____．16．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=，56BC=，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是___．17．如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则第5个三角形的面积为_______，第n 个三角形的面积为___________．三、解答题18．有一块土地，如图所示，已知AB=8,90B ∠=︒,BC=6,CD=24,AD=26,求这块土地的面积.19．勾股定理在全世界有超过400种证法，下面介绍欧几里得的证法：（不得直接运用勾股定理结论进行证明）在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒分别以AB ，BC ，AC 为边向Rt ABC 外侧做正方形，求正方形，分别得到正方形ACDE ，正方形BCJK ，正方形ABGF ．(1)如图1，连接CF ，BE ，试证明线段CF 和线段BE 的数量关系．(2)如图2，过点C 作直线l AB ⊥交正方形ABGF 中AB 边于点H ，FG 边于点I ，求证：ACDE AHIF S S =正方形长方形．(3)设BC a =，AC b =，AB c =，运用此图合勾股定理的学习经验证明结论：222+=a b c ．（不得直接运用勾股定理结论证明）20．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：△测得BD的长度为24米；△根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；△牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．（1）求风筝的高度CE；CM 米），则他往回收线多少米？（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即821．在Rt△ABC中，△ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？参考答案1--10BCAAB DDDAD 11--12DC13．14．815．4816．7617．18．解：连接AC，△AB=8，△B=90°，BC=6，10=．△CD=24，AD=26，△CD2=242=576，AD2=262=676，AC2=1002=100，△AC2+CD2=AD2，△△ACD是直角三角形，△S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC=1 2AC•CD-12AB•BC=1 2×10×24-12×8×6=120-24=96．答：这块土地的面积是96．19．(1)解：如图，连接BE，CF△ACDE，BCJK为正方形△AC＝AE，AB＝AF，△EAC＝90°，△BAF＝90°EAB CAF ∠=∠△EAB CAF SAS （）△≌△ △EB ＝CF ．(2)证明：过B 作BR EA ⊥于点R ，·ACDE S EA AC =正方形．1·2EAB S EA BR =． △BR ＝AC △12ACDE S 正方形＝EAB S （同底等高三角形面积是长方形的一半） ·AHIF S AF AH =长方形．1·2FAC S AF SC =． △AH ＝SC △12FAC AHIF S S =长方形又△EAB CAF △≌△△EAB FAC S S =△ACDE AHIF S S =正方形长方形．(3)证明：如图，已知ACDE AHIF S S =正方形长方形同理可证BCJK BGHI S S =正方形长方形 △ACDE BCJK AHIF BGHI S S S S +=+正方形正方形长方形长方形． 即ACDE BCJK ABGF S S S +=正方形正方形正方形又△2ACDE S b =正方形，2BCJK S a =正方形，2ABGF S c =正方形△222+=a b c ．20．解：（1）在Rt CBD △中， 由勾股定理得，222222302418CD BC BD =-=-=， △18CD =（取正），△18 1.6819.68CE CD DE CD AB =+=+=+=（米)， △风筝的高度CE 为19.68米． （2）如图示，连接MB△8CM =，18CD =△18810MD CD CM =-=-=，在Rt MBD 中，由勾股定理得，22222=+=+==，102467626MB MD BD△26MB=（取正），△往回收线的长度是：30264-=-=（米）BC MB21．解：（1）因为边长为c的正方形面积为c2，它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为（a– b）的小正方形组成的，ab＋(a– b)2＝a2＋b2，它的面积为4×12所以c2＝a2＋b2．（2）△(a– b)2≥0，△a2＋b2–2ab≥0，△a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．（3）依题意得2(x＋y)＝8，△x＋y＝4，长方形的面积为xy，由（2）的结论知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2–2xy，△4xy≤(x＋y)2，△xy≤4，当且仅当x＝y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．。
数学八年级上北师大版1.2一定是直角三角形吗同步训练A
一定是直角三角形吗（A）一、选择题1.在△ABC中，AC2-AB2=BC2，那么（）A.∠A=90°B.∠B=90°C.∠C=90°D.不能确定2.以下列各组数作为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.6，8，10C.8，15，17D.1，2，23.三根木棒的长分别是3cm、4cm和5cm，将他们首尾相接钉成一个三角形.则这个三角形的类型大致是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形4.△ABC中，a=5，b=12，c=13.则S△ABC=（）A.60B.30C.78D.5.若△ABC的两边长为4和5，则能使△ABC是直角三角形的第三边的平方是（）A.9B.41C.3D.9或416.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2-c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形7.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（）A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形8.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，下列说法中错误的（）A.如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°B.如果c2=a2-b2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C.如果（c+a）（c-a）=b2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°D.如果∠A：∠B：∠C=3：2：5，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°二、填空题9.将长度分别为1cm，2cm，5cm的三条小木棒首相一三角形，三角形是________三形.10.现有两根木棒的长度分别为40cm和50cm，若要钉成一个直角三角形木架，则所需木棒长度为________.11.小玲要求△ABC最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则最长边上的高为__________cm.12.如图，以△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=9，S3=25，当S2=______时∠ACB=90°.三、解答题(本大题13.已知a，b，c为三角形的三边且满足a2+b2+c2=6b+8b+10c-50，试判断三角形的形状.14.已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13.求证：△AC D是直角三角形.15.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=.（1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由.16.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？参考答案一、选择题1.B 解析：∵AC2-AB2=BC2，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠B=90°.2.D 解析：A、12+12=2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；B、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；D、12+22=≠22，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意.3.A 解析：∵32+42=52，∴能够成直角三角形.4.B 解析：∵a2+b2=c2∴a，b为两直角边∴S△ABC=×5×12=30.5.D 解析：当一直角边、斜边为4和5时，第三边的平方=52-42=9；当两直角边长为4和5时，第三边的平方=52+42=41.6.C 解析：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形.7.C 解析：根据题意，新三角形与原三角形对应边成比例，所以两个三角形相似，所以得到的三角形仍然是直角三角形.8.B 解析：A 、因为∠C -∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°，所以2∠C=180°，即∠C=90°，故选项正确；B 、因为c 2=a 2-b 2，所以如果a 2=b 2+c 2，则△ABC 是直角三角形，且∠A=90，不是∠C=90°，故该选项错误；C 、因为（c+a ）（c-a ）=b 2，所以C 2=a 2+b 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，故选项正确；D 、因为∠A：∠B：∠C=3：2：5，所以∠A=54°，∠B=36°，∠C=90°，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，故选项正确. 二、填空题9.直角三角形 解析：∵12+22=（5）2， ∴该三角形是直角三角形.10.1041cm 或30cm 解析：此题要分两种情况： （1）当50是直角边时，所需木棒的长是=10（cm ）；（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30（cm ）.11.4.8 解析：∵AB 2+AC 2=62+82=100，BC 2=102=100， ∴三角形是直角三角形. 根据面积法求解：S △ABC =AB•AC=BC•AD（AD 为斜边BC 上的高）， 即AD=AB ·AC BC==4.8（cm ）.12.16 解析：设Rt△ABC 的三边分别为a 、b 、c ， ∴S 1=a 2=9，S 2=b 2，S 3=c 2=25，∵△ABC是直角三角形，∴a2+b2=c2，即S1+S2=S3，∴S2=S3-S1=16.三、解答题13.解：△ABC是直角三角形理由：∵a2+b2+c2=6b+8b+10c-50，∴a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0，∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，即（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，∴a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形.14.证明：∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，∴AC==12，∵52+122=132，∴AD2+AC2=CD2，∴∠DAC=90°，∴△ACD是直角三角形.15.解：（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=，故△CDB为直角三角形，∴在Rt△CDB中，CD=，在Rt△CAD中，AD=.（2）△ABC为直角三角形.理由：∵AD=，BD=，∴AB=AD+BD=+=5，∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形.16.解：∵42+32=52，52+122=132，即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，同理，∠ACD=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36.。
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1.2 一定是直角三角形吗同步练习
一．选择题（共10小题）
1．下列各组数据是勾股数的是（）
A．5，12，13B．6，9，12C．12，15，18D．12，35，36
2．下列四组数据中是勾股数的有（）
①5、7、8②、3
③9、12、15④n2+1，n2﹣12n（n＞1）
A．1组B．2组C．3组D．4组
3．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）
A．1，2，B．1，2，C．3，4，5D．6，8，12
4．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）
A．B．C．D．
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．2，3，4D．1，，3
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A．b2﹣c2=a2B．a：b：c=3：4：5
C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B
7．下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（）
A．a2﹣c2=b2B．（a﹣b）（a+b）+c2=0C．∠A=∠B=∠C D．∠A=2∠B=2∠C 8．给出下列几组数：①4，5，6；②8，15，16；③n2﹣1，2n，n2+1；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0）．其中一定能组成直角三角形三边长的是（）
A．①②B．③④C．①③④D．④
9．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（）
A．8B．9C．D．10
二．填空题（共10小题）
11．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．12．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD=．
13．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：①；②．14．观察下列式子：
当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5
n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10
n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a=，b=，c=．
15．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．
16．在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则S△ABC=．
17．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．
18．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．
19．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．
20．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC的形状为．
三．解答题（共4小题）
21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
22．如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD 的面积．
23．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．
（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；
（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个．
24．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）1．A．2．A．3．D．4．C．5．A．6．C．7．C．8．B．9．A．10．C．二．填空题（共10小题）
11．直角．12．513．3，4，5；6，8，10．14．2n，n2﹣1，n2+1．15．24．16．10.5．17．直角．18.60 13
19．11、60、61．20．是等腰直角三角形．
三．解答题（共4小题）
21．解：（1）11，60，61；
（2）后两个数表示为和，
∵，，
∴．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．
22．解：连接BD．
∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，
∴根据勾股定理可得BD=3，
又∵CD=5，BC=4，
∴CD2=BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．
23．解：（1）（2）如图所示：
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．
故答案是：4．
24．
解：（1）△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5．故△ABC的面积为5；
（2）∵小方格边长为1，
∴AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形．。