考研数学线性代数常用公式

考研数学线性代数常用公式
数学考研考前必背常考公式集锦。

希望对考生在暑期的复习中有所帮助。

本文内容为线性代数的常考公式汇总。

1、行列式的展开定理
行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
C 的
3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E .
设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A
4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：
第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也
可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
E .
第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如
2100(5)050001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭
E .
第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如
3,2100(2)012001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭
E .
注：
1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.
2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错.
5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A .
1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ；
2）()1r ≠⇔≥A O A ；
3）()1r =⇔≠A A O 且A 各行元素成比例；
4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =⇔≠A A .
6、线性表出
设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合.
设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组
12,,...,m ααα的一个线性组合，则称向量β可以由向量组12,,...,m ααα线性表出.
线性相关
设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，如果存在不全为零的实数12,,...,m k k k ，使得1122...0m m k k k ααα+++=，则称向量组12,,...,m ααα线性相关.
如果向量组12,,...,m ααα不是线性相关的，则称该向量组线性无关.
与线性表出与线性相关性有关的基本定理
定理1：向量组12,,...m ααα线性相关当且仅当12,,...m ααα中至少有一个是其余1m -个向量的线性组合.
定理2：若向量组12,,...m ααα线性相关，则向量组121,,...,,m m αααα+也线性相关.
注：本定理也可以概括为“部分相关⇒整体相关”
或等价地“整体无关⇒部分无关”.
定理3：若向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...m ααα的延伸组
1212,,...,m m αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
也线性无关.
定理4：已知向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...,m αααβ线性相关当且仅当β可以由向量组12,,...m ααα线性表出.
定理5：阶梯型向量组线性无关.
定理6：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且12,,...,s ααα线性无关，则有s t ≤.
注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且s t >，则12,,...,s ααα线性相关.
对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”
定理7：1n +个n 维向量必然线性相关.
7、线性方程组解的存在性
设()12,,...,n A ααα=，
其中12,,...,n ααα为A 的列向量，则线性方程组Ax b =有解
⇔向量b 能由向量组12,,...,n ααα线性表出；
⇔()()1212,,...,,,...,,n n r r b αααααα=；
⇔()()
,r A r A b =线性方程组解的唯一性
当线性方程组Ax b =有解时，Ax b =的解不唯一（有无穷多解）
⇔线性方程组的导出组0Ax =有非零解；
⇔向量组12,,...,n ααα线性相关；
⇔()12,,...,n r n ααα<；
⇔()r A n <.
注：
1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知()r A n <是不能得到Ax b =有无穷多解的，也有可能无解.
2）定理2是按照Ax b =有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出Ax b =有唯一解的条件.
8、特征值和特征向量：设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，若存在一个n 维的非零列向量α使得关系式A αλα=成立.则称λ是矩阵A 的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.
设E 为n 阶单位矩阵，则行列式E A λ-称为矩阵A 的特征多项式.
注：
1）要注意：特征向量必须是非零向量；
2）等式A αλα=也可以写成()0A E λα-=，因此α是齐次线性方程组()0A E x λ-=的解，由于0α≠，可知()0A E x λ-=是有非零解的，故
0A E λ-=；反之，若0A E λ-=，那么齐次线性方程组()0A E x λ-=有非零解，可知存在0α≠使得()0A E λα-=，也即A αλα=.
由上述讨论过程可知：λ是矩阵A 的特征值的充要条件是0A E λ-=（或0E A λ-=），而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组()0A E x λ-=的非零解.3）由于E A λ-是n 次多项式，可知0A E λ-=有n 个根（包括虚根），也即n 阶矩阵有n 个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量
9、矩阵的相似对角化
定理1：n 阶矩阵A 可相似对角化的充要条件是矩阵A 存在n 个线性无关的特征向量.同时，在等式1A P P -=Λ中，对角矩阵Λ的元素为A 的n 个特征值，可逆矩阵P 的列向量为矩阵A 的n 个线性无关的特征向量，并且P 中特征向量的排列顺序与Λ中特征值的排列顺序一致.
推论：设矩阵A 有n 个互不相同的特征值，则矩阵A 可相似对角化.
定理2：n 阶矩阵A 可相似对角化的充要条件是对任意特征值λ，λ线性无关的特征向量个数都等于λ的重数.
推论：n 阶矩阵A 可相似对角化的充要条件是对任意特征值λ，()n r E A λ--=λ的重数.
10、设A 为实对称矩阵（T A A =），则关于A 的特征值与特征向量，我们有如下的结论：
定理1：A 的所有特征值均为实数，且A 的的所有特征向量均为实数.定理2：A 属于不同特征值的特征向量必正交.
定理3：A 一定有n 个线性无关的特征向量，即A 可以对角化.且存在正交矩阵Q ，使得112(,,...,)T n Q AQ Q AQ diag λλλ-==，其中12,,...,n λλλ为矩阵A 的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.
11、如果二次型11n n
ij i j i j a x x ==∑∑中，只含有平方项，所有混合项()i j x x i j ≠的系
数全为零，也即形如2221122...n n
d x d x d x +++，则称该二次型为标准形。

如果二次型T f x Ax =合同于标准形2221122...n n
d x d x d x +++，则称2221122...n n
d x d x d x +++为二次型T f x Ax =的合同标准形。

利用正交变换法求二次型的合同标准形
由于实对称矩阵是可以正交相似对角化的，也即存在正交矩阵Q 及对角矩阵Λ，使得1T Q AQ Q AQ -==Λ。

而求二次型的合同标准形就是求可逆矩阵C 以及对角矩阵1Λ，使得1T C AC =Λ，对比可知，我们可以将可逆矩阵C 取成Q ，此时1Λ就等于Λ。

正交矩阵Q 及对角矩阵Λ的求法我们在上一章有详细的介绍，这里不再赘述。

正交变换法是求二次型合同标准形的主要方法，考生要熟练掌握。

需要注意的是，二次型的合同标准形是不唯一的，但通过正交变换法求得的标准形是唯一的（不考虑排列次序的话），标准形中平方项的系数均为矩阵A 的特征值，同时正交矩阵Q 的列向量都是矩阵A 对应的特征向量。

可见，正交变换法是联系二次型与上一章内容的纽带，结合特征值特征向量的考题是本章的重要考点。

12、设A 为实对称矩阵，n 元实二次型12(,,...,)T n f x x x x Ax =正定
⇔对任意非零的n 维列向量x ，0T x Ax >；
⇔A 的正惯性指数为n ；
⇔A 的特征值全大于零；
⇔A 的合同规范形为E ；
⇔存在可逆矩阵P 使得T A P P
=⇔A 的所有顺序主子式全大于零；。