应用三角换元法解高考最值问题
例谈换元法在求解最值问题中的应用
最值问题是高考数学中的热点之一，经常会以选择题、填空题、解答题的形式出现.最值问题属于一类综合性问题，解答的方法有很多，如函数法、图象法、导数法、换元法等.本文重点介绍一下换元法在求解最值问题中的应用.一、整体换元法整体换元法常用于解答含有根式、绝对值、分式的最值问题.运用整体换元法求最值，需要用新的变量把代数式进行整体替换，使其变为只含有单变量的方程、函数、不等式，然后利用函数的图象、方程的根的判别式、不等式的性质等求得最值.例1.已知x ,y 为正数，满足2x +y =1，则x +x 2+y 2的最小值是_____.解：令x +x 2+y 2=t ，∴()x -t 2=x 2+y 2，∵2x +y =1，∴y =1-2x ，x 2+y 2=x 2+()1-2x 2，∴()x -t 2=x 2+()1-2x 2，整理可得4x 2+()2t -4x +1-t 2=0，∴Δ=()2t -42-16()1-t 2≥0，即20t 2-16t ≥0，∴t ≥45或t ≤0(舍去)，当t =45时，x =310,y =25满足条件，∴x +x 2+y 2的最小值是45.在解答本题的过程中，我们将目标式看作一个整体，将问题转化为关于新变量t 的一元二次方程来解，利用一元二次方程的根的判别式建立关系式，求得t 的取值范围，进而得到目标式的最值.二、常量代换法常量代换法是指用常量“1”“90°”等进行代换的方法.运用常量代换法求最值，要用变量把代数式中的常量替换出来，将问题转化为关于变量的函数问题、三角函数问题、不等式问题来进行求解.常见的常量代换形式有1=sin 2α+cos 2α、1=-()x +1()x -1+x 2等.只要运用好常量代换法，就会有出人意料的效果.例2.已知正实数x ,y 满足1x +1y =1，则3x x -1+4yy -1的最小值为_____．解：正实数x ，y 满足1x +1y=1，则x +y =xy ，则3x x -1+4y y -1=7xy -3x -4y xy -x -y +1=4x +3y ，所以(4x +3y )æèçöø÷1x +1y =4+4x y +3y x +3≥7+7+43，故3x x -1+4yy -1的最小值为7+43．解答本题，我们可借助1x +1y =1将目标式中的常量“1”进行替换，利用基本不等式求得最值.可见，运用常量换元法能使解题过程变得更加简洁.三、三角换元法用三角换元法求最值的基本思路是，利用三角函数关系将问题中的变量替换，通过三角恒等变换，将目标函数式转化为只含一种三角函数的式子，然后利用三角函数的有界性求得最值.以例1为例.解：令x =r cos θ，y =r sin θ，θ∈æèöø0，π2，∴2r cos θ+r sin θ=1，r =12cos θ+sin θ，∴x +x 2+y 2=r ()cos θ+1=cos θ+12cos θ+sin θ，令cos θ+12cos θ+sin θ=t ，∴cos θ+1=t ()2cos θ+sin θ，∴1=t sin θ+()2t -1cos θ=t 2+()2t -12∙sin ()θ-ϕ，∴t 2+()2t -12≥1,即5t 2-4t ≥0，t ≥45，∴x +x 2+y 2的最小值是45.在运用三角换元法解题时，要注意根据所给条件确定三角函数变量的取值范围.整体换元、常量代换、三角换元都是常用的换元方法.无论运用哪种方法进行换元，同学们都要注意两点：1.首先要考虑换元前后的定义域，确保它们是等价的；2.换元的目的是简化代数式，因此选择合适的部分进行换元是运用换元法解题的关键.（作者单位：山东省邹平市第一中学）思路探寻46。
三角函数的最值求法
三角函数的最值求法掌握三角函数的单调性和有界性，能够利用三角函数的单调性及有界性来求得一些三角函数的最大值和最小值，是近年高考的热点内容之一.三角函数的最值问题，其本质上是对含有三角函数的复合函数求最值，因此，求函数最值得方法都能适用.当然还其他特殊的方法.三角函数的最值都是在限定区间上取得的，因而要特别注意题设中所给的区间.求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件、弦函数的有界性及变换的等价性.选择适当的方法是解题的关键.下面就例谈几种解决三角函数最值的方法.题型一：用换元法求函数的最值例1:若，求函数的最小值.思路:注意到函数的特征，若用万能公式，能将它化为关于的有理函数,从而不难用判别式方法求解.解析：令=t，，，则，当t=-1时，y=0;当y 0时，由于t为实数，从而有或.由于，故函数的最小值为.点评：展开函数式，得到一个含有、的对称式，运用变换“”同样可解得上一题.题型二：用均值不等式法求函数的最值例2：已知，且，求的最大值.思路：在三角函数关系的条件下，要求得角的最值，一般应设法转化为求该角的某一三角函数的最值.依题意，本题可以优先求y的正切的最值.解析：，且，当且仅当，即时，，又函数在上单调递增，.点评：选函数来求的角的最值时，必须注意选定函数的单调性，若选定的函数与角的最值取得时刻相同时，解题较为方便.题型三：利用三角函数的有界性来求函数的最值例3：求函数的最小值，并求出取得最小值时x的值.思路：先化简函数，再由正、余弦函数的有界性来思考，同时应注意角度的限定范围.解析：由降幂公式和倍角公式，得== .的最小值是，此时.点评：形如（a、b、c、d为常数）的式子，都能仿照上例变形为形如的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解.另外，求最值时不能忽视对定义域的思考.例4：已知圆的半径为R，其内接三角形ABC有成立，求的面积S的最大值.解析：由已知式可得，.==当时，点评：利用三角函数的性质来求三角函数的最值问题，是最常见的基本方法.因此，在解题时要认真解题，看该题结构特点是否能化为一个三角函数式，若能，要充分利用所有三角函数公式化为一个三角函数式，从而利用三角函数性质，求出最值.望大家在解题时注意.题型四:转化为二次函数求函数的最值例5:是否存在实数，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值，若不存在，试说明理由.解析：=当时，若，即，则当时，（舍去）若即，则当时，即或（舍去）,若，即，则当时，（舍去）综上所述，存在符合题设.点评：求包含参数的三角函数最值时，应根据三角函数或本身的取值范围来进行分类讨论.题型五：轮换对偶求函数的最值例6：已知、、为锐角，且，求函数的最小值.解析：由= ，令，结合，得+ -得，所以当且仅当时，等号成立.故.题型六：利用判别式法求函数的最值例7：求函数的最值.解析：原式化为即当时，得到当时，代入原方程综上.点评：求分式形式的含正、余切三角函数的最值时，应考虑到用判别式法来求得.题型七：利用斜率求函数的最值例8：求函数的最值.解析：设平面上两点的坐标为，，则AB的斜率为.又A为定点，B在单位圆上，故直线AB：是圆的切线时得k值为函数y的最值，此时点评：求分式形式含正、余弦的三角函数的最值时，应考虑巧用斜率来求得.求三角函数最值的方法有：配方法、化为一个角的三角函数、换元法、基本不等式法等.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而要加更注意题设中所给出的区间.求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性.在求包含参数函数的最值时，解题要注意参数的作用和影响.（陕西洋县城关中学）。
对一道求最值题的五种解法
对一道求最值题的五种解法题目：已知， ,，求的最大值。
解法一：基本不等式法转化为关于的不等关系，通过解不等式进而求出分析：借助基本不等式可将条件中的的取值范围。
解：∵∴∵∴当且仅当时，等号成立∴∴∴当且仅当时，等号成立由可得或，当时，取最大值 .∴评注：基本不等式是高中求最值的基本方法之一，能够灵活的将与联系起来，是求解最值问题最优选择。
解法二：解三角形法分析：将题中所给条件放在三角形ABC中，利用余弦定理求出角C,然后利用正弦定理将边化为角，进而将问题转化为三角函数求最值问题。
解：在中，，，分别是内角A、B、C的对边，不妨设，则即在中，由余弦定理及可得∵∴∴ ,∴在中，由正弦定理可得即∴,∴∵∴∴∴∴当，即时，取最大值 .评注:本解法将所给条件巧妙的放在三角形中，利用正余弦定理，实现边角互化，将问题转化为三角函数求最值问题。
解法三：三角换元法分析：通过变形已知条件，根据变形的结构特征，引进三角代换，利用三角函数知识解决此题。
解：由可得设则∴∵∴即最大值为 .∴评注:通过变形，构造平方和关系，引入三角代换，利用三角函数知识解决问题。
解法四：判别式法分析：通过代数换元法，将问题转化为关于的一元二次方程有解来处理。
解：设，则，代入将可得整理可得∵关于的一元二次方程有解，∴即，解得，∴，∴的最大值为，即的最大值为.评注:通过换元法将问题转化成关于的一元二次方程，利用判别式△求解。
解法五：齐次消元法分析：由可知分子分母具有齐次结构，分子分母同除以，令，则，问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。
解：设 ,则，设，则当时.当时，有∴，即，解得且∴的最大值为∴的最大值为∴的最大值为.评注：通过对的等价转化，将问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。
这道题可以使用多种求最值方法求解，关键在于能够根据题目特点做适当变形，巧妙地和所学知识及相应解题方法结合起来。
化难为易，找到解决问题的途径，需要平时学习中勤于思考，多加积累。
三角换元巧应用，高考问题妙破解
一、代数式的最值
例１ （２０２０年江苏卷第１２题）已知５狓２狔２＋狔４＝
１（狓，狔 ∈ 犚），则狓２ ＋狔２ 的最小值是
．
分析：利用条件中代数关系式的平方和为１的形
式，直 接 联 想 到 三 角 函 数 中 的 平 方 关 系，借 助 三 角 换
元处理，把 对 应 的 参 数 都 转 化 为 三 角 函 数 形 式，通 过
等式的性 质、函 数 的 单 调 性 等 来 分 析 与 处 理，分 类 讨
论，从而得以判断对应的不等式成立问题．
解 析：因为犪＞０，犫＞０，且犪＋犫＝１，设犪＝ｃｏｓ２θ，
（ ） 犫＝ｓｉｎ２θ，θ ∈ ０，２π ．
对于选项 Ａ，犪２ ＋犫２ ＝ｃｏｓ４θ ＋ｓｉｎ４θ ＝ （ｃｏｓ２θ ＋
ｓｉｎ２θ）２ －２ｃｏｓ２θｓｉｎ２θ＝１－
式，借助三角换元法的应用，结合犪＝－犫－犮的转化与
辅助角公式的应用，利用三角函数的图像与性质建立
不等式，并利用不等式的求解来证明相应的不等式成
立．
解析：不失一般性，不妨设 ｍａｘ｛犪，犫，犮｝＝犪，由犪
＋犫＋犮＝０，犪犫犮＝１可知，犪 ＞０，犫＜０，犮＜０，且犪＝
－犫－犮，犫犮＝ 犪１，则有犪２＝ （－犫－犮）２＝犫２＋犮２＋２犫犮，即
槡 犫２＋犮２＝犪２－２犫犮＝犪２－犪２．设－犫＝
犪２
－
２ 犪
·ｃｏｓθ，
槡 （ ） －犮＝
犪２
－
２ 犪
·ｓｉｎθ，θ
∈
０，２π
，所以犪＝－犫－犮
槡 槡 槡 ＝
犪２
－
２ 犪
·ｃｏｓθ＋
犪２
－
２ 犪
·ｓｉｎθ
＝
犪２
巧用三角换元 妙解二元最值问题
2020年第9期欽学款学9-31巧用三角换元妙解二元最值问题蒋宝童邹峰（安徽省和县第一中学，安徽和县238200；武汉职业技术学院商学院，湖北武汉430074）在中学数学中常常会遇到与二元二次有关的最值问题.1条件为二元二次方程的最值问题先看一个例题.例1（2017年全国高中数学联赛河南省预赛题）已知实数％、y满足4/-5巧+4y2= 5,若S=/+犷,记s的最大值为卩,记S的最小*****r^j, 5可以进一步思考和探索的问题至此,我们可以结束对抛物线中过对称轴上的定点弦问题的讨论了.然而，还有一个问题值得思考：椭圆或双曲线中有类似的结论吗？这是一个可以继续讨论和研究的问题.显然,与抛物线类比，椭圆和双曲线没有与命题2相似的性质，所以后继的讨论也就无法继续了.然而，对于椭圆或双曲线的一些特殊的弦，还是有一些类似的性质可以研究的.回到沪教版高中数学教材（高三年级拓展n）第一册的专题2中，就有这样的例题：22椭圆冷+警=l（a>b>0）任意一点a bM（除短轴端点外）与短轴两端点艮、％的连线交％轴于点N和K,求证:I ON\-I OK\=a2.该题选取的是椭圆的特殊弦短轴,求证的结论本质上是心%k=a.如果选取长轴作为特殊弦,也会有结论y N y K=尸，另外，这个结论可以类比到双曲线中•6探究过程给教学的启发我们对抛物线考题的分析、思考和探究过程可以给数学教学和高考复习带来一些启发.在数学教学和高考复习中要有寻根求原的探究意识和思维习惯，寻根就是学习数学知识或解决数学问题时要有追根求源的探究意识，要思考知识的联结点或生长点在哪里，弄清楚知值为g,求丄+丄的值.p q在这个例子中，有个二元二次方程的条件，即4子-5矽+4y2=5,它的一般形式是ax2+2hxy+by2+2gx+2/y+c=0（a2+b2+ FMO）.对于这样的二元二次的条件往往不好直接处理，可以考虑利用换元，转化为一元问/识的来龙去脉；问题从何而来，问题的根或根源是什么•求原即寻找原因、原理与本原，学习数学不能仅仅局限于掌握结果和方法，而要弄清楚结果和方法从哪里来，理由是什么，蕴含了怎样的原理，学习知识要追求理解知识的本原，强调对知识本质的理解，解决问题要寻求问题的本原，弄清楚是什么，为什么，还有什么，这是学好数学的关键.在求解这道抛物线考题的过程中，如果我们不去追问直线I是怎么被发现的，也就不会发现命题3与命题4了.在对抛物线考题的寻根和求原的过程中，我们发现最终都回到了教材•所以，回归教材,立足教材应该是我们在数学教学和高考复习中应该遵守的原则.教材的知识体系是精心组织的，例题与习题都是精心设置的，很多例题与习题有都着深刻的数学背景.如前文提到的习题和例题，我们在引导和组织教学时不能仅仅满足于一个问题的解决，而要有进一步探究的意识，解决好问题后，再多想一步，例如：问题的条件和结论能否作进一步推广？命题的逆命题是否依然成立？该问题还能作怎样的类比和联想？解决这个问题的方法还能解决哪些问题？用研究性的思维来面对每一个例题和习题，做到举一反三，才是提高学生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力的有效方法.9-322020年第9期题进行处理.当人# 0时，利用坐标旋转变换” "cos — y ，sin &,得到让,2y = % sin 0 + y cos 0,2h':x'y +b'y'2 + 2g'x' + 2fy'+c = 0. 一定可以选择适当的0,消去交叉项，即使h'=0,若a' =0或6'=0时，可以直接利用代入消元法消去y 或％，从而使问题转化为一元函数最值问题;若a'b' # 0,x ,r - X通过平移变换<y" = y f +呂，：,使方程变为a'x"2 ++ r,b'y"2 = c".因此，只需要考虑条件为匕+ I =m nl(mn 0)的情形.① m > 0, n > 0时，利用三角换元，令兀=y^ncos (p , y =施sin (p ；② m > 0, n < 0时,利用三角换元，令先=x/rnsec <p , y = J - ntan <p ；③ m < 0, n > 0时，利用三角换元，令兀=J - th tan (p , y =伍sec cp.x + y,同样可以消去 x - y y =— ,x' + y'X ~ ~~2',，问题转化为:x — y已知3*2 + 13/2 = 20, S=%'-；儿的最大值为P ，最小值为g,求丄+丄的值•此时，利用三角p q换元,令％' = J^cos (p , y'以解决问题.再看两道改编题.改编1已知实数％、y 满足/ - 5矽+4/ =5,求S = Z 的取值范围.Xx - x + y ,x - y r 贝!]9y'2 - x ,2 - 10,再令 “十，-于0时，使用变换交叉项•在前例中，令■'20—sin<p,同样可解：令下面具体解决一下前面的例题.设[X =先'cos 0 - y'sin 0, / /< ,. , Iff e 10,[y = x sin 0 + y cos 0 \ \4%2 一 5xy + 4y 2 = 5,得(4 一 5sin 0cos 0)x ,2 +孙代入——sec (p , x r = ^/f0 tan (p ( cos <p H 0),得(4 + 5sin 0cos 0)y ，2 一 5cos TTcos 20 = 0,得& =—则令<4y 题转化为：已知3先'2 + 13/2的最大值为p ,最小值为g ,求丄+丄的值•利用p q/ - + -,兀， S &22 经210.2 二 - - 5.=2Z V +72一272一2,问y 三角换元,令力二10 .—sin 133 w 13 13、3 "10 1013' 3，即P譽，则丄+丄=13 p g§7实际上，消去交叉项的过程也不是必须要严格采用前面的坐标旋转变换，在a 和b 都大X y3sin 0 e (-3,3),所以 S =匸X t (x- y 23 +y')—1y2件+1\ye8，f) U(1 , + 8 ).改编24y2 - %_2y + 5= 0,求 S=x+y 的取值范围.■x = x + y f ,x r — y'代入 x 2 — 4xy + 4y~ —5所以S=x+y =31 9 1 15+ y/' = 3y ，+ —y f +y e例2已知实数沢y 满足3* + 3，『+9),27” +27y求E 的最值已知实数％、了满足/ - 4xy +解：令x - 2y + 5 二 0,得％'辺，+8).48 丿102020年第9期欽学救学9-33解:不妨设a=3”，b二歹，则a_T)可设Q=—(cos02b,a、b>0,即a2+(T+62=a+2丄"T+sin0+1),b/+庆+ab+1出亠ff—矿页一的最小值为〒.例4已知实数a、6满足b2+2ab-2b-b2*(cos&-sin&+1),&G(-P苏则2T+21r_a+b3_31+3y~a+b~a2-ab+b21 =-—I cos0-^-2\2,229 +—.8又因为cos0e(0,1],当cos0=1,a=b=1,2T+27，即x=y=0时JIJ---oy取最小值为1;3+3rM,“13±73,3+V3Rn当cos0=亍a=一-—,b=―-—,即,3±73,3+A n,271+27' %=吸3-4，y=log3—4一时，则亍+亍4(a2+1)=0,求P=子一的取值范围.a+1分析：本题是《数学通讯》的征解题，文［1］给出了一个精妙解法，但并没有从条件的二元二次方程入手，而是将待求式进行转化,再进行三角换元，有兴趣的读者可参看文［1］•下面从条件的二元二次方程入手，对本题分析求解.如果采用坐标旋转变换消去交叉项，计算量很大，这里采用配方法消去交叉项.解：令b+a=x,a-y,代入条件得x2-5y2-2x+2y-4=0.再令u=x-1,v=y2/F得5u2~25i>2—24.二角换兀令u=-----sec<p,A2^6ntv=tan<p,贝」9取最大值为£.o2待求式与二元二次有关的函数最值问题例3(文［1］的例1改编)已知a>0, b>0,求P=必土丁?+ 1的最小值.P=a^l,4\{u-V+—I2+24a+5b分析：分子是二元二次函数，借鉴前面二元二次方程的处理方法，先换元消去交叉项，再进行三角换元.解：先令a=x 3x2+卡+］--------L----.再令％= 9x-y V0)侧+y,b=x-y,则P=r C os®73,y=/fsin(p(R>1(2^/30-2^6sin cp+4cos(p)(2^6sin<p+cos<(2^/30+2(2cos(P)+25cos伽i(p_^/6sin<p))30-(2cos(p-v^sin(p)K2+1令m=2cos(p-v^sin<p,则m e[—,P=--------------------------=--------------------3s/37?cos(p-Rsin(p2/7cos@+0)其中cos6=琴,sin0=亠\•2/72/7/3/7等号成立条件：R=\,(P=-e,即％=帀~,y=-愛，也即a=弓，b=字.故P=/To],P=1e[8-4屁8+4点].(2屈 +30-m24(^/30+zn)y/30—m小结：对二元二次的处理，本文的主要思路是：无论是条件中的二元二次方程，还是待求式中含有二元二次的结构，都可以考虑先消去交叉项,然后对平方和或平方差利用三角公9-342020年第9期几个含有二次根式的三元不等式宿晓阳（四川省成都实验外国语学校，四川成都611731）众所周知，不等式在数学中有重要的地位，无论是国际数学奥林匹克竞赛（IMO）、世界各国（地区）数学奥林匹克竞赛，还是国内各大高校自主招生数学考试，与不等式有关的试题频频出现，原因是不等式有各种难度，具有较强的挑战性，不仅可以很好地区分考生的水平,还可以反映考生的数学功底和创新水平.本文将给出几个新颖的含有二次根式的三元不等式，供参考与欣赏，同时为我们的英才教育提供一点新鲜血液.命题1设％、y、z是正实数，则TT-B2(4,B,C)7T-C2TT~A2于是有in扌+2zsin=.竺+竺+Zm2xsin£+2ysix y z2B2a—）（其中。
应用三角换元法求解最大(小)值难题
应用三角换元法求解最大(小)值难题于志洪【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)017【总页数】3页(P7-9)【作者】于志洪【作者单位】江苏省泰州中学附属初级中学【正文语种】中文用三角函数代替问题中的参数,再利用三角函数之间的关系使问题得以简化的方法,我们称之为三角换元法．这种换元法应用极其广泛,本文仅以部分高中数学竞赛题为例,介绍三角换元法在求最大值和最小值问题中的应用,供师生教与学时参考．例1 已知实数x,y满足3x2-4xy+3y2=4,若s=x2+y2,求s的最大值和最小值．因为s=x2+y2,故可设将其代入条件3x2-4xy+3y2=4中,可得3scos2θ-4ssin θcos θ+3ssin2θ=4.所以3s(sin2θ+cos2θ)-4s·sin θcos θ=4,从而可得3s-2ssin 2θ=4,因此由于-1≤sin 2θ≤1, 且当sin 2θ=-1时,当sin 2θ=1时,s=4,故s的取值范围是即s的最大值是4,最小值是上述解法是从结论入手,利用三角换元,通过代入已知条件,将题设代数等式转变为三角函数问题来处理,巧妙结合二倍角正弦公式和平方和公式sin2θ+cos2θ=1,最后根据正弦函数的有界性,求得最大值和最小值．这种解法,不仅减少了计算量,而且丰富了学生的解题思路,其构思巧妙,令人耳目一新．例2 已知实数为x,y满足x2+y2+xy=3,求x2+y2的最大值和最小值．设x2+y2=z(z>0),令代入x2+y2+xy=3,得z+zsin θcos θ=3,即得因为θ∈[0,2π),所以-1≤sin 2θ≤1,不等式两边同时加上2,得1≤2+sin 2θ≤3,所以故x2+y2的最大值是6,最小值是2.这是一道二元函数最值问题,本题借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角换元,结合正弦函数的有界性求得结果．例3 已知实数x,y满足x2+y2-6x+4y+4=0,记u=x2+y2+2x-4y的最大值为M,最小值为m,计算M+m．由已知得u+5=(x+1)2+(y-2)2,设则将其代入已知条件式得整理得所以即u2-72u+144≤0.易知u的最大值和最小值就是一元方程u2-72u+144=0的两个根,故由根与系数的关系可求得M+m=72．上述解法从已知条件入手,先将题设式进行配方,再结合三角换元,将条件转化为三角函数代入目标函数,从而沟通了题设与结论的关系,实现了将代数最值问题化归为三角函数最值问题来求解,最后根据根与系数的关系巧妙地求得最大值和最小值之和．上述解法,减少了计算量,提高了学生的解题速度和正确率．例4 求的最大值和最小值．因为故令则这里则有所以当时,取得最大值，其最大值为当α=0时,取得最小值，其最小值为利用三角换元的一个目的是去根号．本题中,巧妙地使用特定的三角函数进行换元，消除了两个根号,其解法更加简捷流畅．例5 已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值( ).根据题意所以可设也就是其中从而因为所以故由正弦函数的图象可知所以则故选D．本题是一道求无理函数最大值和最小值的竞赛题,用常规方法求解较为烦琐,然而根据题设,通过巧妙凑配系数使其出现了平方和为常数的关系,从而利用三角换元,将无理函数的最值问题转化为三角函数化简求最值的问题,方法较为新颖．例6 求函数的最大值和最小值．解法1 由待求函数可设将两边平方后,可得3x-6=y2cos4θ,①3-x=y2sin4θ,②②×3得 9-3x=3y2sin4θ.③因此，由①+③得y2cos4θ+3y2sin4θ=3,所以而cos4θ+3sin4θ=3sin4θ+(1-sin2θ)2=因而故所以1≤y2≤4,而f(x)=ycos2θ+ysin2θ=y,因此函数f(x)的最大值为2,最小值为1.解法2 因为3x-6≥0,3-x≥0,所以2≤x≤3.故可设因此而这时所以1≤f(x)≤2,从而可知f(x)的最大值为2,最小值为1．解答本题的关键是通过三角换元将形如的无理函数转化为三角函数．解法自然流畅、简捷明快，充分体现了三角换元法在解题中的重要性．例7 若实数a,b,c满足a2+b2≤c≤1,求a+b+c的最小值.根据题意，可设则a+b+c=rcos θ+rsin θ+c=因为故可知当且仅当时,等号成立．因此,a+b+c的最小值为此题设计精巧,可以从多角度研究,解法也较多．然而,根据题目中条件的结构特征,利用三角换元思想解题较为便捷．例8 若实数x,y满足求x的最大值和最小值．由条件可得故知x≥0,又所以可令则条件变为①易知当x=0时,式①成立．当x>0时,式①可变为即其中即所以当sin(θ+φ)=1时,取得最大值此时x取得最大值20;当时,取得最小值2,此时x取得最小值4．综上所述,x的最大值是20,最小值是0．本题含有两个根式,直接进行代数变形相当困难．注意到很自然联想到利用三角换元法进行求解,不仅降低了解题难度而且简捷明快,充分体现了三角换元法在解题中的重要作用．例9 若实数x,y,z满足:x+y+z=12,x2+y2+z2=54,分别求xy,yz,zx的最大值和最小值．设代入x+y+z=12,可得则54-z2+54-z2≥(12-z)2，解得2≤z≤6.又因为z2-12z+45=(z-6)2+9,从而有9≤xy≤25,同理9≤yz≤25,9≤zx≤25．即xy,yz,zx的最大值均为25,最小值均为9.本题妙用了三角换元法,提高了解题效率,降低了题目的难度．例10 已知实数x,y满足x2-xy+2y2=8,试求x2+xy+2y2的最大值和最小值．因为x2-xy+2y2=8,故配方可得设则①②将式①和式②同时代入x2+xy+2y2中,得其中故依据正弦函数的有界性,易知当sin(2θ-φ)=1时,x2+xy+2y2取得最大值当sin(2θ-φ)=-1时，x2+xy+2y2取得最小值上述解法从已知条件入手,先将x2-xy+2y2=8进行配方,再利用三角换元,将代数最值问题化归为三角函数最值问题,最后根据正弦函数的有界性,巧妙求得最大值和最小值．综上所述，例1、例2、例5、例6的解法1、例7、例9和例10都是利用两个变量sin θ,cos θ或sin2θ,cos2θ进行换元,而例4和例6的解法2则是利用一个变量进行换元．将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数,这样就便于运用熟知的三角函数公式进行化简,利于迅速求得其解．上述几道高中数学竞赛题都是比较典型的三角代换题目,考题结构看似平常,其实构思精巧,有着良好的检测功能，值得我们一同来鉴赏与探寻．这种解法的优点在于可以将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.这种代换思想符合新课程改革的理念,利于学生融会贯通课本知识,激发学生学习的积极性,发展学生的数学才能,同时利于拓宽学生视野，启迪思维,利于提高教学质量,提高学生分析问题和解决实际问题的能力．故笔者认为在今后的教学过程中,教师应注重引导学生对这类最值问题的结构特征认真分析,发展学生的认知力,培养学生的创造力,这对学生的全面发展大有益处．。
解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】
专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一） 余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 （3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一 三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数， 故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】 （I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤． 由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解． 热点二 三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+， 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【答案】(1)π6；(2)425． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-． 所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解． 热点三 求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等， 因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等， 所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠， 所以tan 3B =. 又因为0πB <<， 所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ， 所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ， 所以sin sin ∠=∠DBC ABD ， 即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =， 所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ， 又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=， 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=， 又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=， 由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+， 又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥， 当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值． 【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立． 则ABC 面积的最大值为6． 故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=， 当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号， 故选：B ． 二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值 【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =， 又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭， 所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+， 所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+， 因此C ，D 错误 故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确， 故选：AD ． 三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________． 【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+． 所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=， 当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23． 因为()0,A π∈， 所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号， 故sin A 的最大值为53． 此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角， 所以6cos 6B =． 故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=， 由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+， 设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<， 所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27． 四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==， 则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=， 即34355b c bc +=， 即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论； （2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+， 故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=， 当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立， 所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围． 【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--， 即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得． （1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=， 整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为0A π<<， 所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立， 所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=； 方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin b B c C ==， 所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=， 又因为23B C π+=， 所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值， 【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=， 所以14OC =， 因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===， 所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等， 所以14OP OQ OM OC ====， 因为P ，Q 关于OM 对称， 所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=， 当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874， 所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值． 【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠． 即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =， 所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-， 在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-． 在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值． 【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， 若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=， 即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值 法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-， 由重要不等式得162ac ac ac ≥-=， 当且仅当a c =时取等， 所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==， 利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［ ， ），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋ ）在［ ，1）上单调递减，
2
3
所以 的取值范围为（
2，
6＋ 2
］.
2
＝
高中总复习·数学
2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝ ＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0， ］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值