全国中学生物理竞赛——相对运动
2020年高中物理竞赛(力学篇)01运动的描述：相对运动(共13张PPT)
t t
绝对速度 相对速度
牵连速度
3、加速度的变换关系
a a'a0
绝对
相对
牵连
加速度 加速度 加速度
例 1.河水自西向东流动，速度为10 km/h,一轮船在 题 水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30o,航速
为20km/h。此时风向为正西，风速为10km/h。试 求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设 烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）
vcs
v fd 10 正西
v cs 20 北偏西30o
vfd vsd
vcd vcs v sd
vcd 10 3 km / h 方向正北
v fd v fc vcd v fc v fd vcd v fd v sd v fc vcs 20km / h
方向为南偏西30o。
vcs vcd vfd vsd
其加速度为a，他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球 时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他
在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的
夹角应为多大？
解：抛出后车的位移：
x1
v0t
1 2
at 2
a
球的位移：
x2 (v0 v0' sin )t
V0
y2
(v0'
cos
)t
1 2
gt 2
小孩接住球的条件为：x1=x2; y=0
2020全国高中奥林匹克竞赛 物理
力学篇 （基础版）
1-3 相对运动
一、运动描述具有参考系、运动参考系也是相对的
二、绝对运动、牵连运动、相对运动
三者应具有如下变换关系y y’
绝对位矢
r r r0
2018初中物理竞赛教程(基础篇)：第6讲 运动图像 相对运动(附强化训练题及答案)
第6讲运动图像相对运动6.1 学习提要6.1.1 正比例函数及图像1. 正比例函数一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的形式，那么y就叫做x 的正比例函数。
2. 正比例函数图像在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k>0）的图像是一条过原点O的倾斜直线，这条直线直观地反映了函数y与自变量x的正比关系，如图6-1所示。
6.1.2 匀速直线运动图像根据数学知识可知，匀速直线运动的路程s跟时间t之间的关系为s=vt，式中的路程s相当于正比例函数y=kx中的y，时间t相当于x，保持不变的速度v相当于比例系数k，因此，匀速直线运动的路程-时间图像是一条过原点的倾斜直线。
物体运动的规律不但可以用公式来表示，还可以用图像来表示。
表示路程和时间关系的图像，叫路程-时间图像（s-t图像）。
表示速度和时间关系的图像，叫速度-时间图像（v-t图像）。
图像通常是根据实验测定的数据作出的。
例如，我们要研究一辆汽车在一段公路上运动的情况，可以在公路旁每隔100m站一名拿着停表的观测者，记下汽车到达每个观测者的时间，如图6-2所示。
测量的结果记入表6-1.在平面直角坐标系中，以纵轴表示路程s的值，横轴表示时间t，标出表示（4.9，100）、（10.0，200）、（15.1，300）、（19.9，400）的点，每个点代表一对数据。
可以看出各点几乎都在一条通过原点的直线上，如图6-3中的直线l，有的点略微偏离这条直线，这是由于测量误差引起的。
画出这条直线，就得到了汽车的路程-时间图像。
从图6-3可以看出，匀速直线运动的路程-时间图像是过原点的一条倾斜的直线，这样一条过原点的直线表示正比例函数，即时间t增大几倍，路程s也增大几倍，或者说s/t=恒量。
而s/t=v，v是恒量，表示汽车是做匀速运动，根据图像中s、t的数值，可以求出汽车的速度为v=20.0m/s。
图6-3中的直线2是一辆匀速运动的自行车的路程-时间图像，它的速度为5.0m/s。
初中物理竞赛 第四讲 运动学
第四讲 运动学一、相对运动问题如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地v （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。
有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火v ，那么很明显，汽车相对地面的速度为： 火地汽火汽地v v v += （注意：汽火v 和火地v 不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽v 的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是火地汽火狗汽狗地v v v v ++=从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。
合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。
②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。
③所有分速度都用向量合成法相加。
④速度的前后脚标对调，改变符号。
相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化1、一列火车在雨中自东向西行驶，车内乘客观察到雨滴以一定速度垂直下落，那么车外站在站台上的人看到雨滴是（ ）A 沿偏东方向落下，速度比车内乘客观察到的大。
B 沿偏东方向落下，速度比车内乘客观察到的小。
C 沿偏西方向落下，速度比车内乘客观察到的大。
D 沿偏西方向落下，速度比车内乘客观察到的小。
2、甲乙两车在同一平直路上行驶，方向相同，乙在前，早在后，在射程以内，车上两人同时发出相同的演示子弹，子弹对枪口的速度都是u 。
在两车速度分别为1v =2v ,1v >2v ,1v <2v 三种情况下，正确的判断应该是（ ）（A ）甲车上的人选被射中 （B ）乙车上的人选被射中（C ）两人同时被射中 （D ）无法确定3、有A 、B 两艘船在大海中航行,A 船航向正东,船速15km/h,B 船航向正北,船速20km/h. A 船正午通过某一灯塔, B 船下午二点也通过同一灯塔.问:什么时候A 、B 两船相距最近?最近距离是多少?4、如图所示，某人站在离公路距离为60m 的A 处，他发现公路上有一汽车从B 处以10m/s 的速度沿公路匀速前进。
高二物理竞赛课件：相对运动
v
vet
ds dt
et
et v
P
s
en
O
自然坐标系下的加速度
a
dv dt
dv dt
et
v
det dt
det ? dt
大小： det d ds d v
dt dt dt ds
方向：en
det dt
1
ds dt
en
v
en
et
et
P
ds P
d
en en
s O
det
et
d et
结论：
a
at et
anen
dv dt
et
v2
en
at
dv dt
: 切向加速度
an
v2
:
法向加速度
a
an2 at2
tan
an at
et
at
a
P
an
en
圆周运动的加速度
dv v2 a atet anen dt et R en
a
an2 at2
tan
an at
et v
at P
a
an
s
OR en
P0 x
圆周运动的角量描述
角位置：= (t)
lim 角速度: d
t0 t dt
lim 角加速度:
d
t0 t dt
角量和线量的关系
v R
an at
R R
2
P
OR
s P0 x
例 有一质点沿半径为 R=2(m)圆轨道作圆周运
动，t 时刻的角位置 t 2（弧度），求 t=1(s)
高中物理竞赛——运动学基本知识
高中物理竞赛——运动学基本知识一． 基本概念 1． 质点 2． 参照物3． 参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点）4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v 绝=v 相+v 牵 二．运动的描述 1．位置：r=r(t)2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t) 3．速度：v=lim Δt→0Δr/Δt.在大学教材中表述为：v =d r/dt, 表示r 对t 求导数４．加速度a =a n +a τ。
a n :法向加速度，速度方向的改变率，且a n =v 2/ρ,ρ叫做曲率半径，（这是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法）a τ: 切向加速度，速度大小的改变率。
a =d v /dt5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。
可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。
（a 对t 的导数叫“急动度”。
）6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较好三．等加速运动v(t)=v 0+at r(t)=r 0+v 0t+1/2 at 2一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v 0沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线。
此抛物线为在大炮上方h=v 2/2g 处，以v 0平抛物体的轨迹。
）练习题：一盏灯挂在离地板高l 2,天花板下面l 1处。
灯泡爆裂，所有碎片以同样大小的速度v 朝各个方向飞去。
求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。
）四．刚体的平动和定轴转动1． 我们讲过的圆周运动是平动而不是转动2． 角位移φ=φ（t ）, 角速度ω=d φ/dt , 角加速度ε=d ω/dt 3． 有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量 4． 同一刚体上两点的相对速度和相对加速度两点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧，VA =VB +V AB ,在AB 连线上投影：[V A ]AB =[V B ]AB ,a A =a B +a AB,a AB =,a n AB +,a τAB , ,a τAB 垂直于AB,,a n AB =V AB 2/AB例：A ，B ，C 三质点速度分别V A ，V B ，V C 求G 的速度。
高二物理竞赛相对运动课件
解：设t时刻桌上链条长为x， 则由牛二律得
mg l x mg 2ma l
a gx 2l
m(l-x)g/l
gx a dv dv dx v dv vdv gx dx
2l
dt dx dt dx
2l
v
l gx
vdv 0
l 2
dx 2l
v 1.21m / s
相对运动
y′y SS′u
两个相对平动参照系
t=0 时刻
•伽里略位移变换
r r r0
长度测量的绝对性
oy′ooSr0yor′′同S′样u可r以t 时得刻到加x′速度两之v•伽边间x′里除的v略关t速，系度取u时变极a间换限xx测量a的 绝对a性0
描述质点运动的三个物理量:
r (t ),v(t ),a(t )
r1
t1
y1
t1
z2
t2
dz vzdt
z1
t1
•角加速度 d
dt
(注：角加速度亦常以表示)
a
at tˆ
annˆ
at R at tˆ
a
a
2 t
a
2 n
tan1 an
at
a
a n nˆ
R
常用公式见P30 （1.36）式
5、曲线运动
R
R为曲率半径
•1.3 牛顿运动定律
一. 牛顿第一定律（惯性定律）和惯性系
m dv dt
nˆ tˆ
列方程 g cos dv dv d v dv
mg
dt d dt L d
v
gLcosd vdv
0
gL sin
1 v2 0
2
法向：
T
高中物理竞赛_话题9：相对运动的问题
话题9：相对运动的问题一、坐标系转换法相对运动的问题是运动学中一种比较难处理的类型，一般来说，选择不同的参考系物体的运动状态不同，但采用坐标转换法也可以改变物体的运动情况特别是可以把直觉看来是曲线运动的物体转换成直线运动的情况却很少学生了解，解题时采用这样的方法可以使问题简化很多。
例1、由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小，所以其最大加速度不能超过20.5/a m s =．根据要求，驾驶员必须在最短时间内从A 点到达B 点，直线AB 垂直于汽车的初始速度v ，如图所示．如果点A 、B 之间的距离375AB m =，而初速度10/v m s =，那么这个最短时间为多少？其运动轨迹是什么？分析和解：本题是一个典型的相对运动问题，而且用常规的方法是很难解出此题的，然而如果用坐标系转换法解此题，其难度却可以大大降低。
坐标系转换：汽车在A 点不动，而让B 点以恒速v 向汽车运动的相反方向运动．在此坐标系内汽车为了尽快与B 点相遇，必须沿直线以恒加速度a 向B 点驶去．假设它们在D 点相遇，如图所示．设AB b =，我们可以列出：22221()()2b vt at += (1)由(1)式可得：t =(2) 将数据代人(2)式得50t s =。
在地球坐标系内，它的运动是两个不同方向上的匀速直线运动和匀加速直线运动的合运动，因而它的运动轨迹是一条抛物线．例2、从离地面同一高度h 、相距L 的两处同时各抛出一个石块，一个以速度1v 竖直上抛，另一个石块以速度2v 向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．vAB分析和解：以竖直上抛的石块为参考系，另一石块以相对速度21v 做匀速直线运动，速度矢量关系如图，由图知21v =两石块最短距离sin d L L θ⎛⎫=⋅=， 这个最短距离适用于另一石块落地之前，即在()()()22212cos //L Lv v v θ=+≤二、矢量的加减运算（矢量图）法处理相对运动等复杂运动时，涉及速度、位移或加速度等矢量的加减运算，若用矢量图助解常会收到奇效．位移合成定理：=A A B S S S +对B 对地对地速度合成定理： =A A B v v v +对B 对地对地 即 =v v v +绝对相对牵连 加速度合成定理：=A A B a a a +对B 对地对地 即 =a a a +绝对相对牵连例3、假定某日刮正北风，风速为u ，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v ，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？ 分析与解设风相对于人的速度（即运动员感到的风速）为V ，根据题给条件，有u V v =+．三个速度矢量中，u 大小、方向均确定，v 大小一定，V 与v 两矢量互相垂直（所谓正右侧），故可断定三个矢量所构成的满足题意要求的关系三角形应为直角三角形.如图()a ，取一点O ，先作矢量u ，以其矢端为圆心，表示u 大小的线段长为半径作一圆，自O 点向圆引切线OA ，则矢量三角形OO A '∆,即为符合题意要求的u 、V 、v 关系．由图显见，当运动员朝南偏西arccos vuθ=方向以速率v 奔跑时会感觉风从自己右侧吹来，并且在v u <时才可能有这种感觉．若v u >，绝对风速、风相对人的速度及人奔跑速度关系如图()b ，在OO A ''∆中运用北正弦定理有sin sin v u βα=，可知当2πβ=时，arcsin uvα=为最大，即在运动员向西偏南arcsin uv方向奔跑时感觉风与自己跑的方向所成夹角最大．例4、一只木筏离开河岸，初速度为v ，方向垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间T ，木筏划到路线上A 处，河水速度恒定为u ，且木筏在水中划行方向不变．用作图法找到2T 、3T 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅时刻此木筏在航线上的确切位置．分析与解设木筏相对于水的速度为V ，则离岸时，V v u =-，其矢量关系如图()a 所示，该图同时给出了此后木筏复合运动的速度情况：木筏相对于水的速度V 方向不变、大小是变化的；木筏的绝对速度v 大小、方向均有变化．故而我们看到木筏的运动轨迹为一曲线．现如图中()b 所示，连接OA 的有向线段是时间T 内木筏的绝对位移S 木，而=+S S S 木水对木水，其中S 水沿x 正方向，S 木对水平行于V 方向．现作满足上式关系的位移矢量三角形，在x 轴上得到B 点，有向线段OB 即为S 水．由于水速u 恒定，则各T 时间内S 水恒定，故可在x 轴上得2OB S '=水，3OB S ''=水，过B '、B ''点⋅⋅⋅⋅⋅⋅作平行于V 的直线交木筏轨迹于A '、A ''⋅⋅⋅⋅⋅⋅各点，即得2T 、3T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅时刻此木筏的确切位置．质点做变速运动时，若初速度为0v ，末速度为t v ，则速度增量0t v v v ∆=-，这是一个矢量相减运算，其图解关系如图()c ，利用这种矢量关系图解速度增量问题有其独到之处．例5某一恒力作用在以恒定速度v 运动的物体上，经过时间t ，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了3t 时间后，物体的速度3t v 之大小．北)yv)y水()b 0v v()a uV ()c RA BR A B=-分析与解由于物体受恒力作用，故在相同时间内，速度增量相同即232t t t t t v v v v v v v ∆=-=-=-．现作满足题给条件的矢量图如图所示，图中有向线段AB BC CD v ===∆，t OB v =，2t vv =，2t OC v =，24t vv =，OD 为待求量3t v ．设恒力方向与v 方向成πα-角，由图给几何关系，在OAB ∆、OAC ∆、OAD ∆中运用余弦定理，得222()()2cos 2vv v v v α=+∆-⋅∆⋅ 2()4vv =223t v v =例6、从 分析与解物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h 高度的时间小为gt 落地时速度v ∆积即可．由于01sin()2t S v v θα∆=⋅+，而0v 、t v 大小确定，则当090θα+=，即θ=时，S ∆有最大值：01122t gx v v =⋅，亦即物体飞行的水平位移将达到最大，其值为maxx =． 例7网球以速度0v 落到一重球拍上后弹性地射回．为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度P v 运动？如果速度0v 和球拍面的法线的夹角是α，速度P v 和此法线的夹角ϕ是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的．分析与解本题求解的关键是作满足题给条件的矢量关系图，而矢量图的完成又有赖于准确地把握各矢量间的关系，题中给出了三个重要的关于矢量间关系的隐含条件：第一，重球拍的“重”告诉我们，可以认为拍的速度P v 在碰球前后保持不变；第二，网球是弹性地射回，则告诉我们在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；第三，由于球和拍都是作平动的，故球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量．现取球拍面之法线为x 轴，使y 轴沿拍面，O 为网球入射点，如图所示，从O 点沿与x 轴成α角方向作有向线段0OA v =，作射线OP OA ⊥，从A 点作x 轴平行线交OP 于B ，取AB 中点C ，则有向线段OB 即是球离拍时的速度t v ，有向线段OC 则是球拍速度P v ，而有向线段CA 、CB 则是射入时球对拍速度0P v v -和弹回时球对球拍速度t P v v -，前面已经分析到，它们是等值、反向且沿球拍法向的．根据所作的矢量图，在直角三角形OAB ∆中，斜边上的中线2AB OC =，cos OAAB α=．故02cos P v v θ=，而球拍速度与球拍法线方向夹角为2()22πϕαπα=-=-．三、方法演练1、甲、乙两船在静水中航行速度分别为v 甲和v 乙，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比=t t 甲乙：_____________．解.甲、乙船速度矢量关系如图，两船航程相同，由图得22=t v t v 甲乙乙甲．2、骑自行车的人以20/km h 的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40/km h 的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．解、速度矢量=+v v v 风风对人人的关系如图，由图易得28/v k h ≈风．3、如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D ，船速为0v ，一艘速率为0()v v v <的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．（1）证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的D ⋅处．（2）如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？ 解、(1)艇相对船的速度方向不会超过θ，如图所示，cot θ=，A 点、港口间的连线与岸的夹角即两者相对位移方向不超过θ，则A 点在港口后面cot S D D θ=⋅=．(小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A 之前出发,意思是艇出发时与A点船的的距离水1v 人2v 人v 风1v 风对人2v 风对人港口最短，v 的大小一定方向可变，而0v 的大小、方向都不变，确定艇相对船的速度方向如图。
物理竞赛2相对运动 - 教师版
2、相对运动我们首先以运动中的速度合成来说明质点相对运动之间的关系。
设有两个相对运动的参考系S 系和S ′系。
既然运动和静止是相对的，设S 系为不动的，而S ′系为运动的。
质点P 相对S 系的运动称为绝对运动。
而相对S ′系的运动称为相对运动。
相应地，P 点相对S 系的速度称为绝对速度，而相对S ′系的速度称为相对速度。
再引人牵连速度概念，它是运动参考系S ′系相对不动参考系S 系的速度。
质点P 在不同参考系的位矢关系如图所示。
由图中的位矢关系，我们容易得到，在任何时刻,绝对速度绝对v 为相对速度相对v 与牵连速度牵连v 之矢量和：牵连相对绝对v v v +=这就是速度合成原则，即S ′系相对于S 系运动时，质点相对于S 系的速度是质点相对于S ′系的速度与S ′系相对于S 系的速度的叠加。
由速度之间的关联，我们也很快可以得到加速度之间的关联： 牵连相对绝对a a a += 两点说明:（1）只有在S ′系平动（不转动）情况下，S ′参考系所有点相对S 系的速度（牵连速度）才是唯—的；（2）这三个速度之间的关系为运动学关系，与S 系和S ′系是否是惯性系还是非惯性系无关。
位矢加速度的关系亦如此。
1、一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进行一段给定的路程。
木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。
设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。
下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是：（BD ）A.雨点下落的速度B.单位体积中的雨点数C.车行进的速度D.木板的面积 解：以板为系（雨滴落在板上）地板雨地雨板v v v +=画出矢量图形。
n 为数密度：单位体积内的个数 总量=SLn2、某汽车前方的挡风玻璃与水平方向成角度37°，当汽车以30m/s 在水平地面上开行时，汽车司机看到雨滴垂直打在挡风玻璃上，实际虽然下雨但是没有风，计算雨滴下落的速度。
解：相对运动速度关系地车雨地雨车v v v +=画出矢量图形。
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2014级高一物理竞赛培训第 讲相对运动任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。
通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。
物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。
绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。
牵连相对绝对v v v +=这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。
当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：牵连相对绝对a a a+=位移合成定理：S A 对地=S A 对B +S B 对地 如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地v （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。
有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火v ，那么很明显，汽车相对地面的速度为：火地汽火汽地v v v+=（注意：汽火v 和火地v 不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽v 的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是火地汽火狗汽狗地v v v v ++=从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则： ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。
合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。
②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。
③所有分速度都用矢量合成法相加。
④速度的前后脚标对调，改变符号。
以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。
相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化，以下举两个例子。
例1 如图2-2-1所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以s m v s m v B A /20/10==、的初速度抛出A 、B 两个质点，问1s 后A 、B 相距多远？这道题可以取一个初速度为零，当A 、B 抛出时开始以加速度g 向下运动的参考系。
在这个参考系中，A 、B 二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离()()4.2251022==+=m t v t v s B A AB m例2在空间某一点O ，向三维空间的各个方向以相同的速度οv 射出很多个小球，球ts 之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设ts 之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况。
但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O 点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O 点为球心的球面上，球的半径是t v 0，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2t v 0。
同步练习1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1=30°，另一次安装成倾角为β2=15°。
问汽车两次速度之比21v v 为多少时，司机都是看见冰雹都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。
答案为：3。
2、模型飞机以相对空气v = 39km/h的速度绕一个边长2km 的等边三角形飞图2-2-1行，设风速u = 21km/h ，方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同，试求：飞机绕三角形一周需多少时间？提示：三角形各边的方向为飞机合速度的方向（而非机头的指向）；第二段和第三段合v 大小相同。
参见右图，显然： v 2 =2v 合+ u 2 － 2v 合ucos120°可解出 v 合 = 24km/h 。
答案：0.2hour （或12min.）。
3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片（俯视）。
两列车沿直轨道分别以速度v1=50km/h 和v2=70km/h 行驶，行驶方向如箭头所示，求风速。
提示：方法与练习一类似。
答案为：34、细杆AB 长L ，两端分别约束在x 、 y 轴上运动，（1）试求杆上与A 点相距aL （0＜ a ＜1)的P 点运动轨迹；（2）如果v A 为已知，试求P 点的x 、 y 向分速度v Px 和v Py 对杆方位角θ的函数。
提示：（1）写成参数方程⎩⎨⎧θ-=θ=cos L )a 1(y sin aL x 后消参数θ。
（2）解法有讲究：以A 端为参照， 则杆上各点只绕A 转动。
但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有v 牵 = v A cos θ，v 转 = v Aθθsin cos 2，可知B 端相．对．A ．的．转动线速度为：v 转 + v A sin θ= θsin v A 。
P 点的线速度必为 θsin av A= v 相所以 v Px = v 相cos θ+ v Ax ，v Py = v Ay － v 相sin θv 1v 2答案：（1）22)aL (x +222L )a 1(y - = 1 ，为椭圆；（2）v Px = av A ctg θ ，v Py =（1 －a ）v A 。
一般来说，选择不同的参考系物体的运动状态不同，但采用坐标转换法也可以改变物体的运动情况特别是可以把直觉看来是曲线运动的物体转换成直线运动的情况却很少学生了解，解题时采用这样的方法可以使问题简化很多。
例3. 由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小，所以其最大加速度不能超过a=0.5m/s 2．根据要求，驾驶员必须在最短时间内从A 点到达B 点，直线AB 垂直于汽车的初始速度υ，如图2一1所示．如果A 、B 之间的距离AB=375 m ，而初速度υ=10 m/s ，那么这个最短时间为多少？其运动轨迹是什么？分析和解：本题是一个典型的相对运动问题，而且用常规的方法是很 难解出此题的，然而如果才坐标系转换法解此题，其难度却可以大大 降低。
坐标系转换：汽车在A 点不动，而让B 点以恒速υ向汽车运动的 相 反方向运动．在此坐标系内汽车为了尽快与B 点相遇，必 须沿直线以恒加速度a 向B 点驶去．假设它们在D 点相遇，如 图2—2所示．设AB=b ，我们可以列出：22221()()2b t at υ+= ①由①式可得：2222222224()b t a a aυυ=++ ② 将数据代人②式得t ＝50s 。
在地球坐标系内，它的运动是两个不同方向上的匀 速直线运动和匀加速直线运动的合运动，因而它的 运动轨迹是一条抛物线．用相对运动观点处理追及和相遇问题例 4. 航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度是a=5.0m/s 2,相对地面速度须达到v m =50m/s 。
航空母舰以一定的速度航行，该其甲板长度L=160m 。
设飞机起飞时可看作匀加速运动，且对航母的状态没有影响。
为使飞机能安全起飞，则航母的速度不得小于多少？【解析】：相对航母，飞机起飞时加速度a /= a=5.0m/s 2,最大位移s /=L=160m,所能达到的最大速度s a u ''=2=40m/s 。
为使飞机能安全起飞，航母的速度v ≥v m -u=10m/s 。
例5. 如图，A 船从赶港口P 出发去拦截正以速度v 0沿直线航行的船B ，P 与B 所在航线的垂直距离为a ，A 船启航时，B 与P 的距离为b （b ＞a ），若忽略A 启动的时间，并认为A 一起航就匀速运动，为使A 船能以最小速率拦截到B 船，下列说法正确的是：BCA ．A 船应以PC 方向运动B ．A 船应以PD 方向运动C ．A 船的最小速率为ba v 0D ．A 船的最小速率为ba b v 220-【解析】：A 要从P 出发拦能截到B ，则A 相对B 的运动方向应取开始时的PB 向。
而A 相对海面的速度，应等于A 相对B 的速度与B 相对海面速度的矢量和，如图所示，可见只有A 相对海面速度v A 对地垂直PB 时为最小。
例6. 物体A 在地面上足够高的空中以速度v 1平抛，与此同时，物体B 在A 正下方距离h 处以速度v 2竖直上抛，不计空气阻力，则二者在空中运动时的最近距离为A ．21v v hB ．12v vh C ．22211vv v h + D ．22212vv v h+答：Dv 2Bv 21AB 对地【解析】：由于二者加速度相同，则二者相对匀速。
以A 为参考系，则B 相对A 匀速运动的速度为2221v v +，方向如图, 二者间的最近距离即为图中AC 。
例7. 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做同绕向的匀速圆周运动，地球半径为，卫星离地面的高度等于，卫星离地面高度为，则：（1）、两卫星运行周期之比是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则至少经过多少个周期与相距最远？【解析】：（1）对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式可得：所以（2）由可知：，即转动得更快。
则a 相对b 的角速度大小为ba b a T T ππωωω22-=-=∆ 设经过时间两卫星相距最远，则由图可得： （、2、3……）其中时对应的时间最短。
所以，得【点评】：圆周运动中的追及和相遇问题也可“利用相对（角）位移关系列方程”。
当然，如果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系，运算过程更简洁，但不如利用相对角位移关系容易理解，而且可以和直线运动中同类问题的解法统一起来，记忆比较方便。
练习1 A 、B 两棒长均为L=1m ，接近在同一竖直线上，A 的下端与B 的上端相距s=20m ，A 、B 同时开始运动，A 做自由落体，B 做竖直上抛，初速度0v =40m/s ，不计空气阻力，则到两棒相遇时间t 1和从相遇开始到分离所需时间t 2分别为 ＣA ．t 1=0.5s ，t 2=0.5sB ．t 1=0.05s ，t 2=0.5sC ．t 1=0.5s ，t 2=0.05sD ．t 1=0.05s ，t 2=0.05s由于二者加速度相同，则二者相对匀速。
以A 为参考，B 相对A 匀速。
2．内空高h 的升降机正以加速度a （＜g ）匀加速上升中，顶部突然一颗螺钉松脱，至落到底板上需要时间 AA ．2h a g +B 2hg a- C 2h a D ．以上答案都不对3.如图，物体甲从高H 处以速度1v 平抛，同时乙从乙距甲水平方向s 处由地面以初速度2v竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是 ABDA ．从抛出到相遇的时间为2Hv B ．若要在物体乙上升中遇甲，必须212,s Hv v v =＞H 1v2v甲乙ＡＢgHC ．若要在物体乙下降中遇甲，必须212,s Hv v v =＞2gHD ．若相遇点离地高度为2H，则2v gH = 由于二者加速度相同，则二者相对匀速，相遇时间为1v s 或2v H 。