常微分课后答案第一章
常微分方程第三版课后答案(00001)
常微分方程第三版课后答案常微分方程 2.11.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社
= v0 + at.
dh dt |t=T
=0
2.一个湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1 立方米/时，流入湖泊内不含污
0 不得超过 m 5 。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？
解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得 V P (t) + P (t)(V1 + V2 ) = P (0) = 5m
w
ω )e−s ds = y (x)。
4.考虑方程
w
.k
w
其中p(x)和q (x)都是以ω 为周期的连续函数，试证：
(1)若q (x) ≡ 0，则方程(2.4.23)的任一非零解以ω 为周期当且仅当函数p(x)的平均值 p ¯= 1 ω
ω
hd aw
答
dy + a(x)y ≤ 0, (x ≥ 0). dx
−
x 2y
= 0, y (0) = 1;
−2 ，令z = y 2 ，方程两边再乘以因子e−2x ，得到 (1)显然y ≡ 0是方程的解，当y = 0时，方程两边乘以 1 2y
方程的通解为 y = (Ce2x − x 1 2 − ) 4 8
hd aw
1 1
案 网
1.试求下列微分方程的通解或特解： √ dy − 4xy = x2 y ; (1) x dx
w
w
(3) y =
dy dx
1 1−x2 y = 1 + x, x ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
(4)
=
(5) 2xydy − (2y 2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy ;
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常微分课后答案第一章培训讲学
常微分课后答案第一章第一章 绪论§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型§1.2 基本概念习题1.21．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：（1）y x dxdy-=24； （2）012222=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d ；（3）0322=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy ；（4）x xy dx dydxy d x sin 3522=+-；（5）02cos =++x y dxdy； （6）x e dx y d y=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程．2．试验证下面函数均为方程0222=+y dxyd ω的解，这里0>ω是常数．（1）x y ωcos =；（2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =；（4）22(sin C x C y ω=是任意常数)；（5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．解 （1）y x dx y d x dxdy2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωcos =为方程的解．（2）y x C y x C y 2211cos ,sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωcos 1=为方程的解．（3）y x dx y d x dxdy2222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωsin =为方程的解．（4）y x C y x C y 2222sin ,cos ωωωωω-=-=''='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωsin 2=为方程的解．（5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxyd ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2=+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y y y ；（6）x y 1-=，1222++='xy y x y x ；（7）12+=x y ，x y x y y 2)1(22++-='； （8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos x xx x y -='，所以x xxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．（2）由于21xCx y --='，故x x C x x Cx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于x Ce y ='，x Ce y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ． （4）由x e y ='，因此x x x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--． （5）因为x y cos ='，所以0cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ．（6）从21x y ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到x y x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='． 4．给定一阶微分方程x dxdy2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解； （3）求出与直线32+=x y 相切的解； （4）求出满足条件210=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 C x xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=x y ． （3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=x y ．（4）由231)31()(1310210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=x y ． （5）如图1-1所示．图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x y y -+='； （2）2422y y x x x y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则BAy -='，代入原方程有02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或0)(22=-++B A B C x B A B A ，所以， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C BAB A ，得到 ⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==．所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ．7．微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是0),(=--y x F ．由于0),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xy y y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代y x ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y y x -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由ο100C 冷至ο60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到ο30C ？假设空气的温度为ο20C ．解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=a u ，微分方程为)(a u u k dtdu--=，解得kt a Ce u u -+= ，根据初始条件10000===u u t ，得800=-=a u u C ，因此kt a a e u u u u --+=)(0，根据60,201===u u t ，得到k a a e u u u u 2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t e u 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到ο30C ． 9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： （1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； （3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分； （5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项； （7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-y y x 和y x y '-）． 解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y y x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有 2y x y y '-=，或0=+'y y x ． （5）由（2），2x y x y ='-． （6）同样由（2），2yx y x y +='-，或x y x y ='-2． （7）易得kx y =' （k 为常数且0>k ）．。
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
常微分答案方程.doc
第一章初等积分法§1.1 微分方程和解习题简单，略。
§1.2 变量可分离方程(P14)1.求下列可分离变量方程的通解：(1)ydy = xclx : (2) y = y\n y : (3) y = e x~y : (4) tan ydx—colxdy = Q o解：(1)通解为/ =^2 + Co (2)通解为lny = C0L(3)通解为，=e'+C。
(4)通解为sinycosx = C。
2.求下列方程满足给定初始条件的解：(1))/ =)，(、—1),)，(0) = 1； (2)(疽―i)y +2勺，2 =(),贝())=1 ；(3) / = y(2) = 0; (4) (y2 + xy2)dx-(x2 + yr2)dy = 0,y(l) = -1«解:(1)y=1;(2) y(ln|x2 -1|+1) =1: (3) y, =0,y2 =(x-2)3; (4)-= -厂；。
- y3 .利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程：⑴ y r = f(ax+by^c): (2)孚=二，(封);⑶牛="(易；ax x ax⑷ f(xy)y + g(xy)xy f = 0, /(w)丰 g("), /(w), g(")连续。
解：(1)令〃 = or + ” + c,则u f = a + by =a + hf\u)变量分离。
(2)令a = xy ,则/ = y +板=■ +『鼻f(u) = 〃 + '(")变量分离。
x x~ x(3)令〃 = 则_/= "/+ 2心=对*("), / = ~ 变量分离。
r x(4)令u = xy^ ,则 # = y + w，= y-虫少~ = )变量分离。
g(“) x g(u)4.求解方程xjl -y2dx + y\j\ - x2 dy = 0 o解:通解：Jl —b + Jl —y」=C(C>0)。
常微分习题解答1
dy = − y / x ln y + ln x = c ； xy = C , C = 2 dx
7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。 1）如果过 4 小时的细菌数既为原细菌数的 2 倍，那么经过 12 小时应有多少？ 2）如在 3 小时的时候，有细菌 104 个，那么在开始时有多少个 细菌？ 解：1）
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
1、指出下列微分方程的阶数： （1）
dy = y 2 + x 3 ；一阶二次 dx
d2 y d3 = x + 3 arcsin x ；二阶一次； dx 2 dx
3
（2）
（3） y
d2 y + 1 = 0 ；二阶四次； dx 2
1
⎛ dx ⎞ （4） ⎜ ⎟ = 4 ；一阶二次； ⎝ dy ⎠
2 2
10
( x −2 + x −1 )dx − ( y −2 + y −1 )dy = 0 ln | x | − x −1 − ln | y | + y −1 = C 得 C = −2
3、利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程： （1）
dy = f (ax + by + c) ； dx
解： u = ax + by + c ， u ' = a + by ' = a + bf (u ) （2）
2） ( y − 2 xy )dx + x dy = 0
2 2
解： x = 0 或 y ′ = 2 y / x + ( y / x) ；
2
z + xz ′ = 2 z − z 2 ⇒ xz ′ = z (1 − z )
常微分方程第四版课后练习题含答案
常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。
代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。
进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。
第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。
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第一章 绪论§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型§1.2 基本概念习题1.21．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：（1）y x dxdy-=24； （2）012222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy dx dy dx y d ； （3）0322=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d xsin 3522=+-； （5）02cos =++x y dxdy； （6）x e dx y d y=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程；（2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程．2．试验证下面函数均为方程0222=+y dxy d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =；（2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =；（4）22(sin C x C y ω=是任意常数)；（5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．解 （1）y x dx y d x dxdy2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωcos =为方程的解．（2）y x C y x C y 2211cos ,sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωcos 1=为方程的解．（3）y x dx y d x dxdy2222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωsin =为方程的解．（4）y x C y x C y 2222sin ,cos ωωωωω-=-=''='，所以0222=+y dxy d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解．（5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxy d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2=+'-（C 是任意常数）； （3）xCe y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）xe y =，x x xe ye y ey 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y y y ； （6）xy 1-=，1222++='xy y x y x ； （7）12+=x y ，x y x y y 2)1(22++-='；（8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos xx x x y -='，所以x x xx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'． （2）由于21xCx y --='，故x x C x x Cx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于xCe y ='，xCe y =''，于是022=+-=+'-''xxxCe Ce Ce y y y ． （4）由xe y ='，因此x x x x x x x xe e e e e e ye y ey 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--．（5）因为x y cos ='，所以0cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ．（6）从21x y ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到x y x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='． 4．给定一阶微分方程x dxdy2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解；（3）求出与直线32+=x y 相切的解； （4）求出满足条件21=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 C x xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=x y ．（3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=x y ．（4）由231)31()(1310210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=x y ． （5）如图1-1所示．图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x y y -+='； （2）2422y y x x x y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则BAy -='，代入原方程有 02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或0)(22=-++B A B C x B A B A ，所以， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C BAB A ，得到⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==． 所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ．7．微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是0),(=--y x F ．由于0),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xy y y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代y x ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y y x -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由100C 冷至 60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到 30C ？假设空气的温度为20C ．解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=a u ，微分方程为)(a u u k dtdu--=，解得kta Ce u u -+= ，根据初始条件10000===u u t ，得800=-=a u u C ，因此kt a a e u u u u --+=)(0，根据60,201===u u t ，得到ka a e u u u u 2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t eu 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到30C ． 9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：（1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ；（3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ； （4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分； （5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项； （7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-y y x 和y x y '-）．解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y y x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有 2y x y y '-=，或0=+'y y x ． （5）由（2），2x y x y ='-． （6）同样由（2），2yx y x y +='-，或x y x y ='-2． （7）易得kx y =' （k 为常数且0>k ）．。