计量经济学讲义第九讲(共十讲)

第九讲 协整与误差修正模型

一、协整的定义

假设时间序列12,,...,t t kt

x

x x 都属于d 阶单整序列I(d)，即各时间序列在差分d 次后

将变为平稳序列。如果一非零的常数向量12)(,,...,k a a a '使得：

1212(),0...t t kt k x x x I d b b d a a a -<≤+++

则称12,,...,t t kt

x

x x 之间存在阶数为（d,b ）的协整关系，i a 是协整参数。经济变量的单

整阶数往往不会超过2。在实践中经常出现的情况是，12,,...,t t kt

x x x 都是一阶单整的，

因此，如果12,,...,t t kt

x

x x 协整，则：

1212(0)...t t kt k x x x I a a a +++

二、关于协整的经济学含义

当很多变量都含有单位根时，除非有一种机制把这些变量联系在一起，否则这些变量会不受约束的各自漫游。问题是存在这种机制吗？经济学理论经常表明变量间存在某种长期均衡关系。如果情况确实如此，那么各变量对这种长期均衡关系的偏离不会持久。因此，经济学理论所表明的长期均衡关系往往暗示了一种把各变量联系在一起的内在机制。这种机制就是变量间的协整关系。

例一：期货价格是对未来现货价格的预期。在理性预期假设下，期货价格不会系统性地偏离未来现货价格，因此，期货价格与未来现货价格是协整的。

例二：购买力平价理论认为，本国物价p 与外国物价p *之比决定了名义汇率的均衡值。名义汇率不应该长期偏离其均衡值，因此，e 与p/p *是协整的。

例三：按照定义，名义利率=实际利率+预期通胀率。在长期均衡中，按照理性预期假设，预期通胀率将等于通胀率；按照费雪假设（Fisher hypothesis ），实际利率等于自然利率。假定自然利率为一常数，则名义利率与通胀率的长期均衡关系是名义利率=常数+通胀率。因此，名义利率与通胀率是协整的。

三、协整检验

（一）协整参数已知

例如，如果(1),(1)t

t x I y I ，现在假设两变量协整，且协整参数为θ。为了检验上述假设，可以对

t t y x θ-进行单位根检验。如果拒绝t t y x θ-具有单位根的原假设，

则不拒绝y t 与x t 具有协整关系的原假设。 （二）协整参数未知：EG 两步法

经常的情况是协整参数未知，例如在上例中θ未知。按照Engle & Granger(1987)提出的EG 两步法，我们首先利用OLS 法估计模型

t t t y x αβε=++并得到残差ˆt ε

；接下来

对残差序列进行单位根检验：

1

1ˆˆˆp

i

t

i t t i t γνε

εβε=--=++∆∆∑

应该注意到，由于残差均值为零，因此对残差序列进行单位根检验时我们并没有加入截距项。 在进行上述检验时特别值得注意的是，由于我们利用

ˆt ε

来近似t ε（误差项观测不到），故单位根检验所用的临界值表不同于通常的单位根检验临界值。事实上，此时的临界值还取

决于第一步回归方程的形式。Hamilton(1994,p.766)给出了临界值表：

问题是我们在第一步如何选择回归模型呢？一般的准则是，如果各变量并没有表现出明显的确定性趋势，则选择回归模型（2）；如果有变量表现出明显的确定性趋势，则选择回归模型（3）；一般不选择模型（1）。

前面的例子是两变量情形，如果涉及到多变量，我们仍然可以利用EG 两步法，但要参照不同的临界值表，可参见Stock & Watson(Second Edition,p659-651)。然而在多变量情形下一个问题是，可能存在多个协整关系，但EG 两步法并没有考虑到这一点，因此，利用EG 两步法检验多变量协整检验是有缺陷的，而此时标准的检验方法是Johansen(1995)法，可参见较高级的教科书。 笔记：

如果有m 个I(1)变量，那么最多可能有m-1个独立的协整关系。为了理解这一点，我们假设m 个I(1)变量有m 个独立的协整关系，则这m 个I(1)变量必定分别可以表示成m 个平稳误差项的线性函数。显然m 个平稳误差项的线性函数是平稳的，而这将使m 个变量都是I(1)变量的前提条件不成立。

四、协整参数估计与推断

对于两变量情形，当变量间具有协整关系时，建立模型：

t t t y x αβε=++并利用

OLS 法进行估计获得协整参数估计ˆβ

。ˆβ随着样本容量的增加会比通常的收敛速度更快地收敛于

β，此即所谓的ˆβ

估计量具有超一致性。问题是，获得ˆβ仅仅是一方面，我们还需要对ˆβ

进行假设检验。然而，棘手之处在于，ˆβ的分布是非标准的。因此，通常的t 检验在这里是不适用的。事实上，我们在利用EG 两步法时甚至不给出参数估计量的标准误，

因为给出标准误也没有多大用处！

我们能不能既获得协整向量的估计同时又能够利用通常的t 检验或者F 检验？回答是肯

定的。按照动态OLS （DOLS ）法，我们可以对模型：

p

t t t j t j j p

x y x u λαβ-=-∆+=++∑

进行OLS 估计。我们不但获得ˆβ

，而且此时对任意系数参数的假设检验都可以利用t 检验或者F 检验。关于p 值的选择，标准的实践是p=2。关于DOLS 参见Stock & Watson(Second

Edition,p660)。关于多变量协整系数的估计与推断，标准的方法是Johansen(1995)法，可参见较高级的教科书。

五、误差修正模型 （一）一个故事

一个喝醉了酒的女孩从酒吧出来随意行走。女孩的男朋友一直在她身边照顾她。因此，如果单独观察男孩子的行走路线，我们将发现他也是在随意行走。然而，男孩与女孩各自的行走路线显然具有稳定的关系。男孩喜欢抽烟，但不幸的是他没有打火机。因此，在行走过程中，男孩不时离开女孩去向其他人借打火机。不过在点好香烟后，男孩会跟上女孩。 （二）Granger 表示定理：当变量间存在协整关系，必存在误差修正机制。

回到刚才的故事。女孩的位移与男孩的位移都是随机游走过程，但两者存在协整关系。当男孩的位移偏离了女孩的位移，则均衡误差出现了，接下来男孩的位移将作出调整，试图继续维持均衡关系。应该注意到，当均衡误差出现时，女孩由于喝醉了，她不会作出调整，作出调整的是男孩；然而，如果女孩半醉半醒，她或许也将作出调整。但无论如何，总是存在一种调整机制。

（三）误差修正模型（ECM ）

以两变量为例。假设

,t t y x 都是一阶单整的，但两者具有协整关系：y x θ=。根

据Granger 表示定理，此时应该存在误差修正模型：

11112112()()t t t t t t t t y y x x y x λθελθε⎧⎪⎨

⎪⎩

----∆=-+∆=-+ 其中

12t t εε、为白噪声。

思考题：

（1）

1λ、2λ被称为调整速度。1λ与2λ会同时为零吗？

（2）当1λ不为零时，其符号是正还是负？当2λ不为零时，其符号是正还是负？

（3）1λ与2λ其绝对值会大于1吗？