2017年江专转本高等数学真题及答案
2017年江苏省专转本高数不定积分模拟试题练习(含答案)
专转本数学不定积分模拟试题练习一、填空题：1. 设)(x f '连续，则='⎰dx x f )(___________。
2. ='⎰-][2dx e x _________；=-⎰)sin 1(x d _________。
3. 设)(x f ''连续, 则=''⎰dx x f x )(___________。
4. 设x x f 22cos )(sin ='连续, 则=)(x f ___________。
5. 若c x xdx x f ++=⎰22sin2)(,则=)(x f _________。
6. 若c x dx x f +=⎰sin )(,则=⎰dx x f x)(1_________。
7. 设)(x f '连续，则='⎰dx x f x f )()(2_________；='⎰dx x f x f )](sin[)(_________。
8. 若)()(x g x f '=',则)(x f 与)(x g 满足关系_____________。
二、选择题： 1. 设)(x f '连续，则=+'⎰dx x f x f )(1)(2 ( )。
(A ) c x f +)(arctan 21(B )c x f +)(arctan (C ) c x f ++|)(1|ln 212(D ) c x f ++|)(1|ln 22. 若c e x dx x f x +=⎰22)(,则=)(x f ( )。
(A ) xxe 22 (B ) xe x 222(C ) )1(22x xe x+ (D ) )1(222x e x x+3. =+⎰dx ee xx12 ( )。
(A ) c e e xx++-)1ln( (B ) c e x x++-)1ln((C ) c e e xx+++)1ln( (D ) c e x ++)1ln(214. 若c x dx x f +=⎰2)(,则=-⎰dx x xf )1(2( )。
2017年专升本高等数学真题试卷
高等数学请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项 :1.答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号用黑色笔迹的署名笔或钢笔填写在答题纸规定的地点上。
2. 每题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
不可以答在试题卷上。
一、选择题 :本大题共5小题,每题4分,共20分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
11．已知函数 f ( x) e x，则 x=0 是函数 f(x) 的（）．（A ）可去中断点（ B）连续点（ C）跳跃中断点（ D）第二类中断点2.设函数 f(x) 在[a,b] 上连续，则以下说法正确的选项是（A ）必存在bf ( x)dx f ()(b a)（ a,b ） , 使得a（B ）必存在（ a,b ） , 使得 f(b)-f(a)= f '()(b a)（C）必存在（ a,b ） , 使得 f ()0（D ）必存在（ a,b ） , 使得 f '()03以下等式中，正确的选项是（ A ） f '( x)dx f (x) （B）df (x) f ( x) （C）df ( x)dx f (x) （D）dxd f ( x)dx f ( x)4.以下广义积散发散的是+111+ ln x+x（A ）1+x2 dx（B）0 1x2dx （C）0x dx（ D ）0e dx5．微分方程y -3 y 2 y e x sin x, 则其特解形式为（A ）ae x sin x（B ）xe x( acosx b sin x)（C）xae x sin x（D）e x(a cosx b sin x)非选择题部分注意事项 :1.用黑色笔迹的署名笔或钢笔将答案写在答题纸上，不可以答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确立后一定使用黑色笔迹的署名笔或钢笔描黑。
二．填空题 :本大题共10小题，每题 4 分，共 40 分。
江苏省年专转本高等数学试卷及解答教学内容
x x
▲
． a 1
lim( x 1)x lim(1 1 )x e1 ， a exdx ex a ea ，所以 a 1．
x x
x
x
8．设函数 y f (x) 的微分为 dy e2xdx ，则 f (x)
▲
． f (x) 2e2x
f (x) e2x ， f (x) 2e2x ．
18．
求通过点 (1, 1 , 1) 且与直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
及直线
4 x
x 3y 2z yz5
1 0
0
都垂直的直线方程．
解
依题意直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
的方向向量
s1
(1,
2,
1)
，直线
4x 3y 2z
x
y
z
5
1 0
0
的方向向量
i jk
i jk
s2
4
3
2
(5, 2, 7)
解 设 u y2 ， v xy ，则 z yf (u ，v) ，于是有
z x
y
f x
y
f v
v x
y2
f2 ，
2z xy
2 yf2
y2
f2 y
2 yf2
y2 ( f2 u
u y
f2 v
v ) y
ux f
vy
2 yf2 y2 (2 yf21 xf22 ) 2 yf2 2 y3 f21 xy2 f22 ．
9．设
y
y(x)
是由参数方程
x y
t3 3t 1 sin
1 t
确定的函数，则
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=cos α=易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++ ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，． 【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． 【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． （2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）111,AB AC =-= ，则1111111,1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅-⋅===-． 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以sin θ==．因此二面角B -A 1D -A． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析． 试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m nn p m n -+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++- 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++- 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++- 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。
2017年浙江3+2专升本高数真题--答案解析(知乎内部资料)
10. 1 dx 解析: 方程 ey xy e 0 两边同时对 x 求导，即： ey y y xy 0 ， e
把 x 0 代入原方程，可得 y 1 ，再把 x 0 ， y 1 代入 ey y y xy 0 可得：
y
x0
1 e
，故
dy
x0
1 e
dx
11.
1
xx
(
1 x2
ln
x 3
x 1
x5
三、计算题：本题共有 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-
23 小题每小题 8 分，共 60 分。计算题必须写出必要的计算过程，
只写答案的不给分。
16. 解:
lim ln(1 x3 ) x0 x sin x
lim x0
x3
洛
lim
3x2
x sin x x0 1 cos x
0x
1
x
1
2 dx
2
0
x |10 2 ；所以
1 0
1 x
dx 收敛，故选项 A 错误。
1
0
1 1 x2
dx
arcsin
x
|10
2
；所以
1 0
1 dx 收敛，故选项 B 错误。 1 x2
1
1 x2
dx
(
1 x
)
|1
lim
x
1 x
1 1；所以
1
1 x2
dx 收敛，故选项 C 错误。
1 1
a
，因为在
x
1
处可导，所
以 a 2 ，联立后可得： a 2 ， b 1
即当 a 2 ， b 1时，函数 f (x) 在 x 1 处连续且可导
2017年普通高等学校招生全国统一考试-数学(浙江卷)解析(参考版)
选择题部分(共40分)、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1 .已知P {x |1 x 1} , Q {2 x 0}，则 P QA • ( 2,1)B • ( 1,0)C • (0,1)D • ( 2, 1)【答案】A【解析】取P,Q 所有元素，得P Q ( 2,1).绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共 4页，选择题部分1至2页，非选择题部分 3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意： 1 •答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。
2 •答题时，请按照答题纸上 注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式： 球的表面积公式 锥体的体积公式S 4 R 2 球的体积公式 1 V -Sh3其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高1 ------------------ V §h(S a S a S £)其中S a , $分别表示台体的上、下底面积 h 学%科网表示台体的高2 2x 2 .椭圆一9 y1的离心率是4A .远3 【答案】B【解析】e .9 433 .某几何体的三视图如图所示(单位: cm3)是nF+1【答案】【解析】n 12(_2~ 1)4 .若x, y满足约束条件y2yA. [0,6] B . [0,4] 【答案】Dcm)，则该几何体的体积(单位:正视图Q俯视圈C.3n彳T+1D.弓+31，选A.0，则z=x+2y的取值范围是C. [6, +8]D. [4,+ 8【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4, 无最大值，选D.5.若函数f(x)=x2+ ax+b在区间［0,1］上的最大值是M，最小值是m,则A .与a有关，且与b有关B .与a有关，但与b无关C.与a无关, 且与b无关D.与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在f (0) b, f(1) 12a aa b, f ( )b 中取，所以最值之差2 4b无关，选B.6.已知等差数列［a n ］的公差为d ,前n 项和为3,贝U d>0”是S 4 + S” >S 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D •既不充分也不必要条件【答案】C【解析】S 4 S 6 2S 5 d ，所以为充要条件，选 C.【答案】D8.【答案】9 .如图，已知正四面体 D-\BC (所有棱长均相等的三棱锥)，PQR 分别为AB , BC , CA 上的点,C . a < B <Y【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选 8.已知随机变量A . E( J<E( C . E(1)>E( 1满足P(1 =1) =P)i, P (1=0) =1 —|：)i , i = 12) , D( 1)<D( 2)B.E( 1)<E( 2), D( 1)<D( 2) D.E( 1)>E(1 小,2.若 0<p 1<p 2< ，则22) , D( 1)>D( 2)2) , D(1)>D( 2)【解析】 Q E( i )P i ,E( 2) p 2 , E( 1)E( 2) Q D( 1)P 1(1 pj, D( 2) P 2(1 P 2),D( 1) D( 2) (P 1P 2)(1 P 1 P 2)0,选 A.AP=PB ,BQ QCCR RA2，分别记二面角 D -PR-Q , D -PQ-R , D -QR-P 的平面较为 a B, Y 则7.函数y=f(x)的导函数y f (x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是D.【答案】B【解析】设0为三角形ABC 中心，贝U O 到PQ 距离最小，0到PR 距离最大，0到RQ 距离居中，而高相 等，因此所以选BLLW iun10.如图，已知平面四边形 ABCD , AB 丄BC, AB = BC = AD = 2, CD = 3, AC 与BD 交于点O ,记Ii = OAOB ,uur Lur LLLT Lur I 2=OB OC , I 3=OC OD ，贝U/）A. I 1 <I 2 < I 3 nB . I 1<I 3 <I 2C . c I 3<I 1 < I 2D . I 2<I 1<I 3【答案】CLUL LILT LLTT L ILT LLL T LLLT【解析】因为 AOBCOD 90°，所以 OB OC 0 OA OB OCOD(QOA OC,OB OD)非选择题部分（共110分）7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分。
[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(二)真题2017年
A．
B．
C．
D．
答案:B[考点] 本题考查了不定积分的知识点．
[解析]
问题:7.
A．ln2
B．2ln2
C．
D．
答案:C[考点] 本题考查了定积分的知识点．
[解析]
问题:8. 设二元函数z=ex2+y，则下列各式中正确的是______
A．
B．
C．
D．
答案:D[考点] 本题考查了二元函数的偏导数的知识点．
问题:5.
答案:[考点] 本题考查了定积分的知识点．
[解析]
问题:6.
答案:1[考点] 本题考查了反常积分的知识点．
[解析]
问题:7. 若tanx是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx=______．
答案:tanx+C[考点] 本题考查了原函数的知识点．
[解析] 因为tanx是f(x)的一个原函数，所以∫f(x)dx=tanx+C．
问题:5. 曲线y=e2x-4x在点(0，1)处的切线方程是______
A.2x-y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
D.2x+y+1=0
答案:B[考点] 本题考查了曲线的切线方程的知识点．
[解析] 切线的斜率k=y'|x=0=(2e2x-4)|x=0=-2.即切线方程为y-1=-2x，y+2x-1=0.
7. 求D的面积S；
答案:
8. 求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．
答案:
问题:9. 设其中u=x2y，v=x+y2，求及dz．
答案:
A.0.98
B.0.9
C.0.8
2017浙江专升本高等数学真题答案
3
1 0
f ( x 2)dx f (t )dt f (t )dt f (t )dt f ( x)dx f ( x)dx
1 1 0 1 0 1 0
1
0
1
0
1
(1 x 2 )dx e x dx
1
(x
1 3 x ) 3
0 1
18、解：原式 x arcsin x x
1 1 x2
dx
x arcsin x
1 1 d (1 x 2 ) 2 1 x2
x arcsin x 1 x 2 C
19、解：令 t x 2, 则 x t 2 当 x 1 时， t 1 ，当 x 3 时， t 1 则
2 a 2 ................................................ ○ 1 ○ 2 可知： a 2, b 1 则联立○ 21、解： lim n
an 1 n 1 lim Fra bibliotek n an n
收敛半径 R 1 ，收敛区间 (1,1)
0,
1 ，无极小值. 2
则 f ( x ) 的单调增区间 ,0 ，单调减区间 0, ，极大值 f (0)
1 2 又 f ' ' ( x) ○ 2
x x e 2 xe 2 ( x)
2 2
1 2 e (1 x 2 ) 2
即微分方程： xy ' y x 即 y '
1 y 1 x
y e
1 dx x
( 1 e
专升本试题及解答（四川理工2017）
专升本试题及解答（四川理工2017）2017年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（理工类）一、单项选择题（每题3分，共15分）1、当0→x 时，下列选项中是x 的高阶无穷小的是（ C ）（A ）x 2sin （B ）11--x （C ）1cos -x （D ）)51ln(x + 【知识点】无穷小的比较。
解析：021lim 1cos lim 200=-=-→→xxx x x x ，由定义知，1cos -x 是x 的高阶无穷小。
2、已知c x F dx x f +=?)()(，则=+?dx xf )12(（ D ）（A ）C x F +)(2 （B ）C x F +)2( （C ）C x F ++)12( （D ）C xF ++)12(2【知识点】第一类换元积分法（凑微分法）。
解析：C xF x d x f dx x f ++=++=+??)12(2)12()12(2)12(。
3、可设方程xxe y y y 396-=+'+''特解的待定系数形式为（ B ）（A ）xeb ax 3)(-+ （B ）xeb ax x 32)(-+ （C ）xaxe3- （D ）xe3-【知识点】二阶非齐次方程的特解形式)(*x Q e x y n xk λ=。
解析：特征方程0962=++r r ，321-==r r （重根），3-=λ 故，特解形式可设为：xeb ax x y 32)(*-+=。
4、下列级数中，条件收敛的是（ C ）（A ）n n n )32()1(11∑∞=-- （B ）∑∞=--11)1(n n n （C ）12)1(11+-∑∞=-n n n n （D ）31151)1(nn n ∑∞=-- 【知识点】条件收敛的概念。
解析：对级数12)1(11+-∑∞=-n nn n ：∑∑∞=∞=+=1112n n n n n u ，02112lim ≠=+∞→n n n ，由级数收敛的必要条件知，级数∑∞=1n n u 发散；由交错级数的审敛法知，12)1(11+-∑∞=-n nn n 收敛，即∑∞=1n n u 收敛，故，级数12)1(11+-∑∞=-n nn n 条件收敛。
2017年江苏专转本考试高等数学真题(含解析)
......江苏省 2017 年普通高校专转本选拔考试高数 试题卷一、单项选择题（本大题共 6 小题，没小题 4 分，共 24 分。
在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1.设)(x f 为连续函数，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件2.当0→x 时，下列无穷小中与x 等价的是( )A.x x sin tan -B.x x --+11C.11-+xD.x cos 1-3.0=x 为函数)(x f =000,1sin ,2,1>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-x x x x x e x的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点4.曲线xx x x y 48622++-=的渐近线共有（ ）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条5.设函数)(x f 在 点0=x 处可导，则有（ ） A.)0(')()(limf x x f x f x =--→ B.)0(')3()2(lim 0f xx f x f x =-→C.)0(')0()(limf x f x f x =--→ D.)0(')()2(lim 0f xx f x f x =-→6.若级数∑∞-1-n n1pn ）（条件收敛，则常数P 的取值范围（ ）A. [)∞+，1B.()∞+，1C.(]1,0D.()1,0二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）7.设dx e xx a x xx ⎰∞-∞→=-)1(lim ，则常数a= .8.设函数)(x f y =的微分为dx e dy x2=，则='')(x f .9.设)(x f y =是由参数方程 {13sin 13++=+=t t x ty 确定的函数,则)1,1(dxdy = .10.设x x cos )(F =是函数)(x f 的一个原函数，则⎰dx x xf )(= .11.设 →a 与 →b 均为单位向量， →a 与→b 的夹角为3π，则→a +→b = .12.幂级数的收敛半径为 .三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）13.求极限xx dte xt x --⎰→tan )1(lim2.14.设),(y x z z =是由方程0ln =-+xy z z 确定的二元函数，求22zx∂∂ .nnx ∑∞1-n 4n.优秀范文15.求不定积分 dx x x ⎰+32.16.计算定积分⎰210arcsin xdx x .17.设),(2xy y yf z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求yx ∂∂∂z218.求通过点（1,1,1）且与直线112111-+=-=-+z y x 及直线{12z 3y 4x 05=+++=-+-z y x 都垂直的直线方程.19.求微分方程x y y y 332=+'-''是通解.20.计算二重积分dxdy y x⎰⎰D 2，其中 D 是由曲线 1-=y x 与两直线1,3==+y y x 围成的平面闭区域.四．证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21.证明：当π≤<x 0时，2cos 2sin <+x x x .22.设函数)(x f 在闭区间[]a a ,-上连续，且)(x f 为奇函数，证明： （1）⎰⎰--=0)()(aadx x f dx x f（2）⎰-=aadx x f 0)(五、综合题（本大题共 2 题，每小题 10 分，共 20 分）23.设平面图形 D 由曲线 xe y = 与其过原点的切线及 y 轴所围成，试求；（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.24.已知曲线)(x f y =通过点（-1,5），且)(x f 满足方程3512)(8)(3x x f x f x =-'，试求：（1）函数)(x f 的表达式；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点.江苏省 2017 年普通高校专转本选拔考试高数 试题卷答案一、单项选择题 1-6 DBACD 解析： 二、填空题 7.-1 8.xe 229.31 10.c x x x +-sin cos 11.3 12.4.优秀范文三、计算题 13.114.32)1(z zy15.C x x x ++++-+39)3(25)3(·23516.4833π- 17.222212222f xy f y f y ''+''+' 18.213141-=-=-z y x 19.32)2sin 2cos (21+++=x x c x c e y x20.211ln 102-.优秀范文四、证明题21.证：令2cos 1sin )(-+=x x x x f 则x x x x x f sin 2cos sin )(-+=' x x x x x x f cos 2sin cos cos )(--+='' x x sin -= 因为 π≤<x 0 所以 0)(<''x f因为 ↓')(x f 所以 0)0()(='<'f x f 所以 ↓)(x f因为 0)0()(=<f x f 所以得出.优秀范文22.证（1）⎰⎰--=--0)()()(aadt t f t d t f⎰-=adt t f 0)( ⎰-=adx x f 0)(（2）dx x f dx x f dx x f a aaa ⎰⎰⎰+=--0)()()(⎰⎰+-=adx x f dx x f 0a)()( = 0 五、综合题23.（1）⎰⎰⎰-=-=1210102)(S x e e dx ex e x x（2）ππ21612-e 24.（1）35384)(x x x f -=拐点：（0,0）（1,3） 凹 ：（-∞，0）,（1，+∞） 凸 ：（0,1）t x -=. 优秀范文。
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江苏省2017年普通高校专转本选拔考试
高数试题卷
一、单项选择题（本大题共 6 小题，没小题 4 分，共 24 分。
在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）
1.设)(x f 为连续函数，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x
处取得极值的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.非充分非必要条件
2.当0→x 时，下列无穷小中与x 等价的是( )
A.x x sin tan -
B.x x --+11
C.11-+x
D.x cos 1-
3. 0=x 为函数)(x f =0
0,1sin ,
2,1>=<⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-x x x x x e x
的（ ）
A.可去间断点
B.跳跃间断点
C.无穷间断点
D.连续点
4.曲线
x x x x y 48622++-=
的渐近线共有（ ）
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
5.设函数)(x f 在 点0=x 处可导，则有（ ）
A.)0(')()(lim
f x x f x f x =--→ B.)
0(')
3()2(lim 0f x x f x f x =-→ C.)0(')0()(lim
0f x f x f x =--→ D.)
0(')
()2(lim 0f x x f x f x =-→
6.若级数∑∞
-1-n n
1p
n ）（条件收敛，则常数P 的取值范围（ ）
A. [)∞+，
1 B.()∞+，
1 C.(]1,0 D.()1,0
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
7.设dx
e x x a x x
x ⎰∞
-∞→=-)1(lim ，则常数a= .
8.设函数)(x f y =的微分为
dx e dy x
2=，则='')(x f .
9.设)(x f y =是由参数方程 {
13sin 13++=+=t t x t
y 确定的函数,则)
1,1(dx
dy
= .
10.设x x cos )(F =是函数)(x f 的一个原函数，则⎰
dx
x xf )(= .
11.设 →
a 与 →
b 均为单位向量， →
a 与→
b 的夹角为3π，则→a +→
b = .
12.幂级数 的收敛半径为 .
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
13.求极限x x dt
e x
t x --⎰
→tan )1(lim
02
.
14.设),(y x z z =是由方程0ln =-+xy z z 确定的二元函数，求2
2z x ∂∂ .
15.求不定积分 dx x x ⎰
+32
.
n n x ∑∞
1-n 4n
16.计算定积分⎰
210
arcsin xdx
x .
17.设
),(2
xy y yf z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x ∂∂∂z
2
18.求通过点（1,1,1）且与直线
11
2111-+=-=-+z y x 及直线{
12z 3y 4x 0
5=+++=-+-z y x 都垂直的直线方程.
19.求微分方程x y y y 332=+'-''是通解.
20.计算二重积分dxdy y x ⎰⎰D 2，其中 D 是由曲线
1-=y x 与两直线1,3==+y y x 围成
的平面闭区域.
四．证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21.证明：当π≤<x 0时，2cos 2sin <+x x x .
22.设函数)(x f 在闭区间[]a a ,-上连续，且)(x f 为奇函数，证明： （1）⎰⎰--=0
)()(a
a
dx
x f dx x f
（2）⎰
-=a
a
dx x f 0
)(
五、综合题（本大题共 2 题，每小题 10 分，共 20 分）
23.设平面图形 D 由曲线 x
e y = 与其过原点的切线及 y 轴所围成，试求； （1）平面图形D 的面积；
（2）平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
24.已知曲线
)
(x
f
y=通过点（-1,5），且)
(x
f满足方程3
5
12
)
(
8
)
(
3x
x
f
x
f x=
-
'
，试求：
（1）函数
)
(x
f的表达式；
（2）曲线
)
(x
f
y=的凹凸区间与拐点.
高数试题卷答案
一、单项选择题1-6 DBACD
解析：
二、填空题
7. -1
8.
x
e2
2
9. 3
1
10.
c
x x x +-sin cos
11.
3
12. 4
三、计算题 13. 1
14.
3
2)1(z zy +
15.
C
x x x ++++-+39)3(25
)3(·235
16.
48
33π-
17.
22221
2222f xy f y f y ''+''+'
18.
2
1
3141-=-=-z y x
19.
3
2
)2s i n 2c o s (21+
++=x x c x c e y x
20.
211ln 102-
四、证明题
21.证：令2cos 1sin )(-+=x x x x f
则x x x x x f s i n 2c o s s i n
)(-+=' x x x x x x f c o s 2s i n c o s c o s
)(--+='' x x s i n
-= 因为 π≤<x 0
所以 0)(<''x f
因为 ↓')(x f 所以 0)0()(='<'f x f
所以 ↓)(x f
因为 0)0()(=<f x f 所以得出
22.证（1）
⎰⎰
--=--0
)()()(a
a
dt
t f t d t f
⎰-=a
dt
t f 0)( ⎰-=a dx
x f 0
)(
（2）
dx
x f dx x f dx x f a
a
a
a
⎰⎰
⎰+=--0
0)()()(
t x -=
⎰⎰+-=a
dx
x f dx x f 0
a 0
)()(
= 0 五、综合题
23.（1）
⎰⎰⎰-=-=1
0210102)(S x e e dx ex e x x （2）π
π216
12-e
24.（1）3
53
84)(x x x f -=
拐点：（0,0）（1,3） 凹 ：（-∞，0）,（1，+∞） 凸 ：（0,1）。