直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
《直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题》xx年xx月xx日•直线与椭圆的位置关系•弦长公式•弦中点问题•应用实例目录01直线与椭圆的位置关系直线与椭圆在平面上有三种位置关系：相离、相切和相交。
定义椭圆的离心率e决定了直线与椭圆的位置关系。
e越大，直线与椭圆越远离；e越小，直线与椭圆越接近。
当e=0时，直线与椭圆相切；当0<e<1时，直线与椭圆相离；当e=1时，直线与椭圆相交。
性质定义与性质分类根据直线与椭圆的交点个数，可以分为三类：无交点、一个交点和两个交点。
判定使用代数方法（如解方程）或几何方法（如画图）来判断直线与椭圆的交点个数。
分类与判定方法解决直线与椭圆的问题主要采用代入法、坐标法、参数法等。
技巧根据题目条件选择合适的方法，注意数形结合，转化已知条件为数学方程，通过解方程得到结果。
解题方法与技巧02弦长公式定义与性质弦长公式定义弦长公式是指连接椭圆上两点的线段的长度。
在直角坐标系中，设椭圆上两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，则弦AB的长度为$|AB|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$。
性质弦长公式具有普遍性，可以用于计算任何连接椭圆上两点的线段的长度。
直线与椭圆的三种位置关系：相交、相切、相离。
判定方法：利用直线方程和椭圆方程联立，消去其中一个变量，得到关于另一个变量的二次方程，通过判断二次方程的根的情况来确定直线与椭圆的位置关系。
分类与判定解题方法利用弦长公式直接计算。
解题技巧对于较复杂的题目，可能需要先化简，再代入数值进行计算。
解题方法与技巧03弦中点问题定义弦中点问题是指关于直线与椭圆交汇点以及中点的问题。
性质弦中点问题涉及直线与椭圆的相交、平行、中点等性质，以及弦长、中点坐标等计算。
定义与性质根据直线与椭圆的位置关系，弦中点问题可分为相交型、平行型和中点型三种类型。
分类判定弦中点问题主要依据直线与椭圆的交点坐标、中点坐标计算公式以及相关的几何性质。
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式一、知识点1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式引例：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．分析：左焦点(1,0)F -，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆设1122(,),(,)A x y B x y ，则||AB ===122||||x x a -= 一般：若直线l 上两点111222(,),(,)P x y Px y，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：1） 计算12||x x -，可以通过12||x x -=但通常利用12||||x x a -=计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想2） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又112||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可知，121212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题例1 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B两点，若||7AB =l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：22220x y +-=，得到2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+则||7AB ===所以k =又当k 不存在时，||AB =所以，直线l 的方程1)y x =+配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），则||AB ==，所以，λ= 当λ不存在，即0y =时，||AB =所以直线l 的方程为1x y =- 例2 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 法1：||AB ==O l d -，所以1||2AOBO l S AB d ∆-=⋅=2112t t t=≤++（t 当0λ=时，取到 法2：11||||122AOBA B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：21||)2AB λ=-∈+当λ不存在时，||AB =||AB ∈ 配套练习2：1、经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若32||||9AB CD ⋅=，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21:(1)l y x k=-+，则可知||AB =，同理知22221))||221k k CD k k++==++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+例3（备用）已知椭圆22:14x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB∆面积的最大值．解：设直线l ： x y n λ=+1=，所以221n λ=+代入椭圆方程：22440x y +-=，得到：222(4)240y n y n λλ+++-=，则222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-则211||11223AOB S AB t ∆=⋅==≤+t =）当λ= 配套练习：1、已知椭圆：22143x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值参考解答：可知S =≤。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
1. 直线必须经过椭圆的中心。 3. 切点必须在椭圆的边界上。
02
弦长公式
弦长的定义
弦长
直线与椭圆相交形成的线段称为 弦，弦的长度即为弦长。
焦点与弦长
椭圆的两焦点与弦长所形成的两 个夹角称为焦点弦角，焦点弦角 的大小会影响弦的长度。
弦长公式的推导
1 2
基于椭圆的参数方程
椭圆的一般方程可表达为x=a×cosθ,y=b×sinθ ，其中a为长半轴，b为短半轴。
判断直线与椭圆的位置关系
通过比较弦长与长短轴的大小关系，可以判断直线与椭圆的位置关系，即相交 、相切或相离。
03
弦中点问题
中点的定义
定义
如果一个点平分一条线段，那么这个 点叫做这条线段的中点。
数学定义
如果点$P$将线段$AB$分成两条相等 的线段$AP$和$BP$，则称$P$为线段 $AB$的中点。
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弦长公式的应用实例
描述
已知椭圆的方程为$\frac{x^{3}}{9} + \frac{y^{3}}{4} = 1$，求该椭圆上一点P到直线l：3x - y - 7 = 0的距离最 短点的坐标。
分析
首先设出平行线方程为$3x - y + m = 0$，利用点到直线的距离公式和平行线之间的距离公式找到距离最短的点 。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦 中点问题
汇报人： • 弦长公式 • 弦中点问题 • 实例分析
01
直线与椭圆的位置关系
定义与性质
01
02
03
椭圆
一个椭圆是一个二维曲线 ，它是由所有点组成，这 些点到两个固定点的距离 之和等于常数。
直线
直线是二维空间中的一个 几何对象，它通过连接两 个点并延伸至无限而形成 。
直线与椭圆的位置关系的判断
，若过左焦点，则 AB = 2a + e ( x1 + x2 ) 若过左焦点， 若过右焦点， 若过右焦点，则 AB = 2a − e ( x1 + x2 )
x2 y2 + = 1 的右焦点 已知斜率为2 例3、已知斜率为2的直线经过椭圆 5 4
；
F2 ，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长。 与椭圆相交于 ， 两点，求弦 的长。 两点 的长
l : y = kx + b 与椭圆相交于两点A( x1, y1 ), B ( x2 , y2 )
弦长公式： ，则 弦长公式：
AB = ( x1 − x2 ) +( y1 − y2 )
2
2
( x1 + x2 )2 − 4x1x2 = 1+ k2 x1 − x2 = (1+ k )
2
1 2 = 1+ 1 y1 − y2 = 1+ k2 ∆ = 1+ 1 ∆ = (1+ 2 ) ( y1 + y2 ) − 4y1y2 k k2 a k2 a′
所以，求直线和椭圆相交所得的弦长， 所以，求直线和椭圆相交所得的弦长， 只需将直线方程与椭圆方程联立， 只需将直线方程与椭圆方程联立，转化为关于
x
或 y
的一元二次方程形式， 的一元二次方程形式，通过韦达定理求得 x1 + x2 , x1 ⋅ x2 ，代入弦长公式计算即可。注意弦长公式中一定要 代入弦长公式计算即可。 书写两点间距离公式。 书写两点间距离公式。
例2、已知直线 l : y = 2 x + m ，椭圆 。试问当
x2 y2 C : + =1 4 2
m
取何值时， 取何值时，
第40讲 直线和椭圆的位置关系学生
第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。
双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系)
例2. 直线 y=kx+1与双曲线3x2- y2 =1相交于A、B两点． 且以AB为直径的圆经过坐标原点，求该圆的面积. 解： y kx 1
2 2 3 k x 2kx 2 0 2 2 3 x y 1
设 A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) ，则由以AB为直径的圆经过坐标原点，
2
x1 x2
2
4 x1 x2
2 2 1 k 2 k
2 2k 1 k 2 4 2 2 1 k 1 k
2
1 k
2 2
依题意得 2
4
2 2 1 k 2 k
1 k
2 2
6 3
2 1 － 3 k ≠0， Δ＝361－k2>0，
6 2k 3 xA＋xB＝1－3k2<0，解得 3 <k<1. xAxB＝ －9 2>0， 1－3k
3 ∴当 3 <k<1 时，l 与双曲线左支有两个交点．
(3)由(2)得：xA＋xB＝
6 2k ， 1－3k2
∴yA＋yB＝(kxA＋ 2)＋(kxB＋ 2) ＝k(xA＋xB)＋2 2＝ 2 2 . 1－3k2
x2 y2 解析：(1)设双曲线 C 的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． 由已知得：a＝ 3，c＝2，再由 a2＋b2＝c2， x2 2 得 b ＝1，∴双曲线 C 的方程为 3 －y ＝1.
2
(2)设 A(xA，yA)、B(xB，yB)， x2 2 将 y＝kx＋ 2代入 3 －y ＝1， 得，(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0. 由题意知
a＝2， c 2 解析： (1)由题意得 ＝ ， a 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c ， 解得 b＝ 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1. y＝kx－1， 2 2 (2)由x y ＋ 2 ＝1 4 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
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直线与椭圆的位置关系之弦长公式
一、知识点
1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式
引例：经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．
分析：左焦点(1,0)F -
，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2
212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆
设1122(,),(,)A x y B x y ，则
||AB ==
=122||||
x x a -
= 一般：
若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P
x y
，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：
1） 计算12||x x -
，可以通过12||x x -=
但通常利用12||||
x x a -=
计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想
2
） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又
1
12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则
可知
，12
1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题
例1 经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B
两点，若||7
AB =
l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2
2
220x y +-=，得到
2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+
则
||7
AB ==
=
所以k =
又当k 不存在时，||AB =
所以，直线l 的方程1)y x =+
配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程2
2
220x y +-=，得到：
22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），
则||AB ==
，
所以，λ= 当λ不存在，即0
y =时，||AB =
所以直线
l 的方程为1x y =
- 例2 经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．
解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2
2
220x y +-=，得到：
22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）
， 法1
：||AB ==
O l d -，所以1||2AOB
O l S AB d ∆-=⋅
=2112t t t
=≤++
（t 当0λ=时，取到 法2
：11
||||122AOB
A B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：
21
||)2
AB λ=-∈+
当λ
不存在时，||AB =
||AB ∈ 配套练习2：
1、经过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若
32
||||9
AB CD ⋅=
，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21
:(1)l y x k
=-+
，则可知||AB =，同理知
2
22
21
))||221k k CD k k
++=
=++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+
例3（备用）
已知椭圆2
2:14
x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB
∆
面积的最大值．
解：设直线l ： x y n λ=+
1=，所以221n λ=+
代入椭圆方程：2
2
440x y +-=，得到：2
2
2
(4)240y n y n λλ+++-=，则
222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-
则211||11223
AOB S AB t ∆=
⋅==≤+t =）
当λ= 配套练习：
1、已知椭圆：22
143
x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值
参考解答：可知S =≤。