数列新定义选择题(1)
初二新定义类型数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个数是3的倍数？A. 24B. 35C. 42D. 582. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为6cm，那么这个三角形的周长是多少cm？A. 20B. 22C. 24D. 263. 一个数列的前三项分别是2，4，8，那么这个数列的第四项是多少？A. 12B. 16C. 18D. 204. 小明从家出发，向东走了5公里，然后向北走了3公里，最后又向东走了2公里。
请问小明现在距离家的位置在什么方向？A. 东B. 南C. 西D. 北5. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 梯形二、填空题（每题5分，共25分）6. 若a、b、c是等差数列，且a=2，b=4，则c=______。
7. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是______。
8. 一个圆的半径为5cm，那么它的直径是______cm。
9. 若一个长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、4cm，那么它的体积是______cm³。
10. 下列哪个数是正数？A. -3B. 0C. 1.5D. -1三、解答题（每题15分，共45分）11. （10分）已知数列{an}的前三项分别是1，3，5，且满足an+2=an+an+1，求这个数列的第四项。
12. （15分）一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为8cm，求这个三角形的面积。
13. （15分）一个长方形的长为6cm，宽为4cm，求这个长方形的对角线长度。
四、附加题（20分）14. （10分）已知函数f(x)=2x+3，求函数f(x)在x=2时的函数值。
15. （10分）一个质数p，若p+2和p+4都是质数，求p的值。
答案：一、选择题：1. C2. B3. B4. A5. B二、填空题：6. 67. （2，-3）8. 109. 2410. C三、解答题：11. a4=912. 面积=40cm²13. 对角线长度=8cm四、附加题：14. f(2)=2×2+3=715. p=3（因为p=3时，p+2=5，p+4=7都是质数）。
高中等差数列知识点和相关练习试题(1)
一、等差数列选择题1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．143．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ）A ．11B ．12C ．23D ．245．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．96．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．857．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．2408．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +9．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．310．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．211．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ）A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项12．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．1913．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46514．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．915．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）A ．7B ．9C ．21D ．4216．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7217．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．918．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 19．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（ ）A ．10B C ．64D ．420．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 二、多选题21．题目文件丢失！22．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =-B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =23．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．324．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1225．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202226．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 28．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列29．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 2．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 3．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 4．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 5．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 6．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 7．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 8．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 9．A利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 10．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得． 【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=， 故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 11．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ． 13．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 14．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 15．C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =，所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.16．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 17．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 18．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 19．D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=，所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D. 20．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D.二、多选题 21．无22．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解． 23．BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题． 24．ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 25．BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 26．ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 27．AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 28．AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 29．ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题． 30．CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
新高考数学数列经典题型专题提升-第23讲 数列的新定义问题(解析版)
第23讲 数列的新定义问题一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）A ．99B ．131C ．139D ．141【答案】D 【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D2．（2021·北京·东直门中学高二月考）在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列.是等积数列，且，公积为，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据等积数列定义可推导得到数列的奇数项为，偶数项为，由此可求得结果.【详解】由等积数列定义可知：，x 341295y x y -=⎧⎨-=⎩14146x y =⎧⎨=⎩{}n a 62a =615920052009a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5022502350325033{}n a 32122334455616n n a a a a a a a a a a a a -=====⋅⋅⋅==又，，由此推导可得：数列的奇数项为，偶数项为；设等差数列的首项为，，由得：，共有项，.故选：D.3．（2021·江苏苏州·高三月考）若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，且，数列的前项和，若，则的值为（ ）A ．9B ．11C ．12D ．14【答案】B 【分析】根据生成数列的定义，先求出，然后分为偶数和奇数讨论即可求解.【详解】解：由题意可知，当为偶数时，可得，则；当为奇数时，可得，则，所以，则当为偶数时，，则，因为，所以无解；当为奇数时，，所以，因为，所以，故选：B.4．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））对于正项数列，定义为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的等于（）62a =572a a ∴=={}n a 32{}n b 11b =4d =()1412009n +-=503n =1592009,,,,a a a a ∴⋅⋅⋅503503159200520093a a a a a ∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅={}n a ()f m m b ()*m N ∈{}m b {}n a ()f m {}n a {}m b 2n a n =()f m m ={}m b m m S 30m S =m ()()121222m m m k b m m k -⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()*k N ∈m m 2n m ≤2m m b =m 21n m ≤-12m m b -=()()121222m m m k b m m k -⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()*k N ∈m ()21211122224m m m mS b b b m =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-⨯=2304m =*m N ∈m ()221211111424m m m m m m m S b b b S b ++++-=++⋅⋅⋅+=-==-=21304m -=*m N ∈11m ={}n a 12323nn a a a na G n++++={}n a {}n a 2n G n =+9aA ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由已知得，由此推导出，从而能求出.【详解】解：，数列的“匀称值”为，，①时，，②①②，得，，，当时，满足上式，，．故选：D5．（2021·湖北黄石·高三开学考试）普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生．以1为首项的“外观数列”记作，其中为1，11，21，1211，111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得其它项，例如为3，13，1113，3113，132113，…若的第n 项记作，的第n 项记作，其中i ，，若，则的前n 项和为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】列出、的前四项，观察规律，即得.【详解】83125211019912323(2)n a a a na n n +++⋯+=+21n n a n+=9a 12323nn a a a na G n+++⋯+={}n a 2n G n =+12323(2)n a a a na n n ∴+++⋯+=+2n ∴…123123(1)(1)(1)n a a a n a n n -+++⋯+-=-+-21n na n =+21n n a n+∴=2n …1n =113a G ==21n n a n +∴=∴9199a =1A 1A 1A 3A i A n a j A n b []2,9j ∈n n n c a b =-{}n c 2||n i j -()n i j +||n i j -1||2i j -i A j A由题得，，由递推可知，随着的增大，和每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同，所以，∴的前n 项和为.故选：C.6．（2021·贵州威宁·高一期末）对于数列，定义为数列的“美值”，现在已知某数列的“美值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由，可得进而求得，所以可得是等差数列，由可得，，即可求解【详解】由可得，当时，当时，又因为，两式相减可得：，所以，显然满足时，，所以，所以，可得数列是等差数列，由对任意的恒成立，1234,1,111,311,,,n a i a i a i a i a i ===== 1234,1,111,311,,n b j b j b j b j b j ===== n n a n b n n n c a b i j =-=-{}n c n i j -{}n a 11222n nn a a a Y n-+++= {}n a {}n a 12n n Y +={}n a tn -n n S 10n S S ≤*n N ∈t 1112,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦1112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭2411,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦1811,115⎛⎫ ⎪⎝⎭1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅22n a n =+()22n a tn t n -=-+{}n a tn -10n S S ≤10100a t -≥11110a t -≤1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅1n =14a =2n ≥()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+22n a n =+1n =14a =22n a n =+*n N ∈()22n a tn t n -=-+{}n a tn -10n S S ≤*n N ∈可得：，，即可求解，即且，解得：，所以实数的取值范围是，故选：C7．（2021·全国·高三专题练习（文））对任一实数列，定义，若，，则（）A ．1000B ．2000C ．2003D ．4006【答案】D 【分析】根据定义，可求出的通项，从而可得，利用累加法可得，再由求出及，即可求出.【详解】由题意知，，所以是公差为的等差数列， 所以，所以，当时，，，，……,将以上各式两边对应相加，得，所以，由，得，解得，，所以.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握“”的定义.10100a t -≥11110a t -≤()21020t -⨯+≥()21120t -⨯+≤2411115t ≤≤t 2411,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦{}n a 1Δn n n a a a +=-()ΔΔ1n a =1820170a a ==2021a =1Δn n n a a a +=-Δn a 1211n n a a a a n +-=-+-n a 1820170a a ==21a a -1a 2021a ()1ΔΔ1n n n a a a +=∆-∆=Δn a 11ΔΔ1n a a n =+-1211n n a a a a n +-=-+-2n ≥2121a a a a -=-32211a a a a -=-+43212a a a a -=-+1212n n a a a a n --=-+-121(1)(1)(1)(2)2n a a n a n a n n -=-----+21(1)(2)(1)(2)2n a n a a n n n =--+---1820170a a ==212117161360201620152016201502a a a a -+=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩2=16120a 117136a =20212020201920201612020191713640062a ⨯=⨯-⨯+=Δn a8．（2021·江苏·高二单元测试）对于数列若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列.记是数列的前项和，下列说法错误的是（）A ．首项为1，公比为的等比数列是有界数列B ．若数列是有界数列，则数列是有界数列C ．若数列是有界数列，则数列是有界数列D ．若数列、都是有界数列，则数列也是有界数列【答案】B 【分析】根据有界数列的定义，利用不等式放缩，可判断A 、C 正确；设，可判断B 错误；根据数列和数列的有界性，用和来控制，即可选项D.【详解】解：对A:设满足题设的等比数列为，则，当时，，所以，即，所以首项为1，公比为的等比数列是有界数列，故A 正确；对B: 事实上，设，则，易知数列是有界数列，而此时，所以，由的任意性，知数列不是有界数列，故B 错误；对C ：因为数列是有界数列，所以存正数，对任意有，即，于是，所以数列是有界数列，故C 正确；对D ：若数列、都是有界数列，则存在正数，，使得对任意，有{}n x 0M >*n ∈N 1121n n n n x x x x x x M +--+-++-≤ {}n x n S {}n x n (||1)q q <{}n x {}n S {}n S {}n x {}n a {}n b {}n n a b *1,n x n =∈N {}n a {}n b 1||n n a a +-1||n n b b +-11n n n n a b a b ++-{}n a 1(||1)n n a q q -=<2n ≥1221|||||||1|n n n n n a a qq q q -----=-=-1121||||||n n n n a a a a a a +--+-++- 1|1|(1||||)n q q q -=-+++ 1|||1||1|1||1||n q q q q q --=-<--1121|1|||||||1||n n n n q a a a a a a q +---+-++-<- (||1)q q <*1,n x n =∈N 10n n x x +-={}n x n S n =1121n n n n S S S S S S n +--+-++-= n {}n S {}n S M *n ∈N 1121n n n n S S S S S S M +--+-++-≤ 11n n x x x M ++++≤ 11211121222n n n n n n n x x x x x x x x x x x +-+--+-++-≤+++++ 12M x ≤+{}n x {}n a {}n b 1M 2M *n ∈N；，又因为同理，可得，所以，所以，数列也是有界数列，故D 正确.故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握“有界数列”的定义.9．（2021·湖南·长郡中学高二期中）对任一实数序列，定义序列，它的第项为.假定序列的所有项都为1，且，则（ ）A ．1000B ．2000C ．2003D ．4006【答案】D 【分析】是公差为的等差数列，可先设出的首项，然后表示出的通项，再用累加法表示出序列的通项，再结合求出的首项和的首项，从而求出序列的通项公式，进而获解.【详解】依题意知是公差为的等差数列,设其首项为,通项为，则，于是由于,11211n n n n a a a a a a M +--+-++-≤ 11212n n n n b b b b b b M +--+-++-≤ 112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 11221111n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+ 21n b M b ≤+111111n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b ++++++-=-+-()()111211111+n n n n n n n n n n b b a a a b a b M a a M b b +++++≤+--++-≤-11112211n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++---+-++- ()()()()211211111121++n n n n n n n n M a a a a a a M b b b b b b b a +-+---++-+≤++--++- ()()211211M M M M b a +≤++{}n n a b ()123,,,A a a a = ()213243,,,A a a a a a a ∆=--- n 1n n a a +-()A ∆∆1820170a a ==2021a =A ∆1A ∆A ∆A 1820170a a ==A ∆A A A ∆1a n b ()111n b a n n a =+-⨯=+-()()()()()()1111111111221122n n n k k k k k n a n a n n a a a a a b a a n a --+==⎡⎤-++---⎣⎦=+-=+=+=+-+∑∑1820170aa ==即,解得.故.故选：D 【点睛】本小题主要考查新定义数列的性质,考查等差数列的前项和公式以及通项公式.题目定义的数列为二阶等差数列.高阶等差数列的定义是这样的：对于对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列，如果常数，则为二阶等差数列，可用累加法求得数列的通项公式.10．（2020·江苏省梁丰高级中学高二期中）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A ．95B ．105C ．115D ．125【答案】A 【分析】将数列按行排列，第行和为，前和为，把第N 个数转化为，前N 和则为，进而可得结果.【详解】将数列排成行的形式11，21，2，41，2，4，8第行为： ，第行和为，111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩11016,17136a a =-=()202120192020171362020101640062a ⨯=+⨯-+=n 1n a +n a 1n n a a +-n b n b 1n n n c b b +=-=n a ⋯020*********N 55N >N n 1(12)2112⨯-==--n nn a n 12(12)2212+⨯-=-=---nn n S n n (1)=2++n n N m 1=2221+=+--+-n m N n m T S a n n 011222，，，-L n n 1(12)2112⨯-==--n n n a前行共有行个数，前和为第行第个数共有N 个数，则前N 和为，若和为2的整数幂，则有，且为奇数，当时，无整数解当时，，此时故选：A 【点睛】关键点点睛：将数列按行排列，把第N 个数转化为，前N 和则为，进而问题变得简单.本题考查了运算求解和转化的数学思想，逻辑推理能力，属于难题.11．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.【详解】依题意，记，则，又，两式相加可得，则.n (1)2n n +n 12(12)2212+⨯-=-=---nn n S n n1n +(11)≤≤+m m n (1)=2++n n N m 1=2221+=+--+-n mN n m T S a n 221+=-m n 55,10>∴>Q N n n =11n m =13n 4m =1314=+4=952⨯N (1)=2++n n N m 1=2221+=+--+-n m N n m T S a n 123100++++L {}n a 24042n na m =+(,*)n m ∈N 122020m a a a ++++= 5052m+5054m+505m +2505m +202022m S +=122020m S a a a +=+++ 1220192020...24042240422404224042m m S m m m m ++=++++++++2020201921...24042240422404224042m m S m m m m ++=++++++++202120212021202120202 (240422404224042240422)m m m m m S m m m m +++++=++++=++++202050544m mS +==+故选：B ．二、多选题12．（2021·全国·高二课时练习）在数列中，若（，，p 为常数），则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）A ．若是等方差数列，则是等差数列B ．若是等方差数列，则是等方差数列C ．数列是等方差数列D ．若是等方差数列，则（，k 为常数）也是等方差数列【答案】ACD 【分析】利用等方差的定义和等差数列的定义依次判断即得．【详解】对于A ，是等方差数列，可得（，，p 为常数），即有是首项为，公差为p 的等差数列，故A 正确.对于B ，例如：数列是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以B 不正确.对于C ，数列中，，（，），所以数列是等方差数列，故C 正确对于D ，数列中的项列举出来是，数列中的项列举出来是，因为，所以，即，所以数列是等方差数列，故D 正确.故选：ACD.13．（2021·江苏·苏州中学高二月考）已知数列中的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，下列结论，正确的有（ ）{}n a 221n n a a p --=2n ≥*n ∈N {}n a {}n a {}2n a {}na (){}1n-{}n a {}kn a *k ∈N {}n a 221n n a a b --=2n ≥*n ∈N {}2n a 21a 14n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(){}1n-()()2122211][10nn n n a a --⎡⎤-=---=⎣⎦2n ≥*n ∈N (){}1n-{}n a 122,,,,,,k k a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅{}kn a 23,,,k k k a a a ⋅⋅⋅2222221121kn k kn k kn k kn k kn kn a a a a a a p ++-+-+-+-=-=⋅⋅⋅=-=()()()222222221121kn k kn kn k kn k kn k kn k kn kn a a a a a a a a kp +++-+-+-+-=-+-+⋅⋅⋅+-=()221kn k n a a kp +-={}n a {}n a n n S n 1n n a S +≤{}n aA ．常数数列为“和谐数列”B ．为“和谐数列”C ．为“和谐数列”D ．若公差为的等差数列满足：为“和谐数列”，则的最小值为-2【答案】BD 【分析】根据给定“和谐数列”的定义，对各选项中的数列逐一分析计算即可判断作答.【详解】对于A ，数列中，令(c 为常数)，，当c <0时，，此时的常数数列不为“和谐数列”，A 不正确；对于B ，数列中，令，则，，即成立，B 正确；对于C ，数列中，令，，，不是“和谐数列”，C 不正确；对于D ，令，则，数列是首项为，公差为的等差数列，其前n 项和为，则，因是“和谐数列”，于是有，，即有，，从而得，又，即对恒成立，若，则有对恒成立，必有，即，，因此，，若，则对应的是开口向下的抛物线在x 取正整数时的函数值，由二次函数性质知，当正整数n 足够大时，的值是负数，12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}21n +d {}n a {}n a n +1a d +{}n a n a c =n S nc =322a c c S =>={}n a 12n n a =112n n S =-111113110222n n n n n S a +++-=--=->1n n a S +≤{}n a 21n a n =+3(21)(2)2n n n S n n ++=⋅=+2153a S =>={}21n +n n b a n =+11(1)()1n n n n b b a n a n d ++-=++-+=+{}n b 11a +1d +n T 1(1)(1)(1)n b a n d =++-+{}n b n *∈N 1n n b T +≤21b T ≤1121a d a ++≤+1d ≤-111(1)1(1)(1)(1)2n n n n b a n d T n a d +-=+++≤=+++211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥n *∈N 1d =-1(1)(1)0a n +-≥n *∈N 110a +≥11a ≥-12a d +≥-1min ()2a d +=-1d <-211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+211(1)(213)(22)y d x a d x a =++---+211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+不成立，从而只有，且，的最小值为-2，D 正确.故选：BD14．（2021·全国·高二单元测试）设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”．则以下数列为“数列”的是（ ）A ．是等差数列，且，公差B ．是等比数列，且公比满足C ．D ．，【答案】BC 【分析】求出数列的前项和，然后判断对，有无正实数，使得成立.【详解】A 中，若是等差数列，，公差，则，是关于的二次函数，当时，，对于任意的，不存在实数，使得恒成立，所以数列不是“数列”．B 中，若是等比数列，且公比满足，则，所以数列是“数列”．C 中，，所以211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥1d =-11a ≥-1a d +{}n a n n S A *n N ∈n S A <{}n a T {}n a T {}n a 10a >0d <{}n a q 1q <()1212n n n a n n ++=+11a =()210nn n a a ++-=n n S n S A n S A <{}n a 10a >0d <2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭n n →+∞n S →+∞*n N ∈A n S A <{}n a T {}n a q 1q <()11111112111111n n n n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-≤+<------{}n a T ()()1121112212n n nn n a n n n n +++==-+⋅+⋅()1223111111112222232212n n n S n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⋅+⋅，则数列是“数列”．D 中，在数列中，，，当是奇数时，，数列中奇数项构成常数列，且各项均为1；当是偶数时，，即任意两个连续偶数项和为0，则对于任意的，，不存在实数，使得恒成立．所以数列不是“数列”．故选：BC ．15．（2021·全国·高二课时练习）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．下列说法正确的是（）A ．若数列是等差数列，且公差，则数列是“和有界数列”B ．若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差C ．若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列”D ．若数列是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足【答案】BC 【分析】利用给定定义结合等差数列前n 项和对选项A ，B 并借助一次、二次函数性质分析判断；结合等比数列前n 项和对选项C 并借助即可推理判断，举特例判断选项D 作答.【详解】若数列是公差为d 的等差数列，则，当时，若，则，是的一次函数，不存在符合题意的，A 错误；数列是“和有界数列”，当时，是的二次函数，不存在符合题意的，当，()11112122n n +=-<+⋅{}n a T {}n a 11a =()210nn n a a ++-=n 20n n a a +-={}n a n 20n n a a ++=*n N ∈42n S n =A n S A <{}n a T {}n a n n S H *n ∈N n S H <{}n a {}n a 0d ={}n a {}n a {}n a 0d ={}n a q 1q <{}n a {}n a {}n a q 1q <||1n q <{}n a 211(1)(222n n n d d dS na n a n -=+=+-0d =10a ≠1n S a n =⋅n S n H {}n a 0d ≠n S n H 0d =10a =时，存在符合题意的，B 正确；若数列是公比为的等比数列，则，因满足，则，即，，则存在符合题意的实数，即数列是“和有界数列”，C 正确；若等比数列是“和有界数列”，当时，若为偶数，则，若为奇数，则，即，从而存在符合题意的实数，D 错误.故选：BC16．（2021·广东天河·高三月考）在数列（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（）A ．是开方差数列B ．若是开方差数列，则是等差数列C ．若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数）D ．若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列【答案】CD 【分析】、是否为常数即可判断A 、B 正误；C 由，即可知正误；D 令，m 为常数，易得，结合开方差数列定义求证是否为常数列.【详解】A，故不是开方差数列，错误；B ：不一定为常数，错误；C，所以为常数，即H{}n a (1)≠q q 1(1)1-=-n n aq S qq 1q <||1n q <|1|2n q -<11|||||1|2||11n n a aS q q q=⋅-<--H {}na {}n a1q =-n 0n S =n1n S a=1=n S a H{}nap =2n ≥*n N ∈p {}n a {}23n{}n a {}n a {}n a {}kn a *k N ∈k {}n a 1n n a a --...p ====kp =1n n a a m --=m p ={}n a 113323n n n --=-=⋅{}23n1n n a a p --=+=...p ====...kp ++++==为开方差数列，正确；D ：且，m 为常数，则，所以为常数，则为常数列，当时，，则也为常数列，正确.故选：CD17．（2021·江苏·高二专题练习）在数列中，对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断正确的是（ ）A ．不可能为0；B ．等差数列一定是等差比数列；C ．等比数列一定是等差比数列；D ．通项公式为的数列一定是等差比数列【答案】AD 【分析】A 选项利用反正法即可判断，B 、C 选项举出反例即可判断，D 选项按照新定义证明即可判断.【详解】A 选项：若，则数列是常数列，所以分母为0，因为不可能为0，故A 正确；B 选项：当等差数列是常数列时，分母等于0，不成立，故B 错误；C 选项：当等比数列是常数列时，分母等于0，不成立，故C 错误；D 选项：因为，所以，为常数，是等差比数列，故D 正确，故选：AD.18．（2021·江苏·高三专题练习）在数列{a n }中，若为常数），则{a n }称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）A ．若{a n }是等方差数列，则{a n 2}是等差数列B ．若{a n }是等方差数列，则{a n 2}是等方差数列C ．{（﹣1）n }是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }（k ∈N *，k 为常数）也是等方差数列kp =p =1n n a a m --=m p =,0m p ≠{}n a ,0m p =1n n a a -={}n a {}n a *n N ∈211n n n na a k a a +++-=-k {}n a k (0,0,1)nn a a b c a b =⋅+≠≠0k ={}n a k (0,0,1)nn a a b c a b =⋅+≠≠()()()()211211111n n n n n n n n n n a b c a b c a b b a b a b b a b a b a b b a b c a b c +++++++⋅+-⋅+⋅-⋅-⋅===⋅-⋅⋅-⋅+-⋅+221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈【答案】ACD 【分析】利用等方差的定义和等差数列的定义逐个进行演算，能够推出B 不正确，其余的都正确．【详解】对于A 中，数列{a n }是等方差数列，可得为常数），即有是首项为，公差为d 的等差数列，故A 正确；对于B 中，例如：数列是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以B 不正确；对于C 中，数列中，，所以数列是等方差数列，故C 正确；对于D 中，数列{a n }中的项列举出来是：，数列中的项列举出来是，因为（a k +12﹣a k 2）＝（a k +22﹣a k +12）＝…＝a 2k 2﹣a 2k ﹣12＝p 所以（a k +12﹣a k 2）+（a k +22﹣a k +12）+…+（a 2k 2﹣a 2k ﹣12）＝kp 所以a kn +12﹣a kn 2＝kp ，所以，数列{a kn }是等方差数列，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.三、双空题19．（2021·全国·模拟预测）定义：记满足下列两个条件的有穷数列为n 阶“期待数列”.①；②.试写出一个3阶“期待数列”___________；若2021221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈{}2n a 21a {}n {}(1)n -222121[(1)][(1)]0,(2,)n n n n a a n n N -*--=---=≥∈{}(1)n-122,,,,,,k k a a a a {}kn a 23,,,k k k a a a L ()12,,,2,3,4,n a a a n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=阶“期待数列”是递增的等差数列，则___________.【答案】，0，（答案不唯一）【分析】（1）根据新定义直接写出答案即可；（2）设出等差数列的公差，结合新定义得到数列的通项公式，然后求解即可.【详解】（1）写出一个满足条件的数列即可，如，0，或，，（答案不唯一）；（2）解法一：设等差数列为阶“期待数列”，公差为d （），∵，∴，∴，即，∴（等差数列通项公式的应用）， ∵，，∴（根据数列递增及而得）， ∴，即，由得，即，∴，令，解得，∴，故.解法二：设等差数列的公差为d ，则，即，即.由等差数列的性质，得.因为数列为递增数列，，所以，即，将代入，解得，{}n a 2021a =1212-11011{}n a 2021a 12312301a a a a a a ++=⎧⎨++=⎩1212-1214-14-()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥21k +0d >123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+=()()1212102k k dk a +++=10a kd +=10k a +=2k a d +=0d >10k a +=232112k k k a a a +++++⋅⋅⋅+=10k a +=()1122k k d kd -+=()11d k k =+10k a +=()101ka k k +=+111a k =-+()()()1111111n n a n k k k k k k=-+-=-+++212021k +=1010k =1101010111010n n a =-⨯202120211202110111101010111010101010111011a -=-==⨯⨯{}n a 1232021120212020202102a a a a a d ⨯+++⋅⋅⋅+=+=110100a d +=10110a =12021220201011022a a a a a ++==⋅⋅⋅=={}n a 12320211a a a a +++⋅⋅⋅+=123101012a a a a +++⋅⋅⋅+=-1101010091101022a d ⨯+=-110100a d +=110111010d =⨯所以.故答案为：，0，（答案不唯一）；20．（2021·全国·高二课时练习）对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则的最大值为______；（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是______．【答案】6【分析】（1）设，可得对任意 恒成立，即是单调递增数列，由恒成立可求；（2）由题得恒成立，即可求出.【详解】（1）由题可得对任意恒成立．不妨令，则，即对任意恒成立．令，则对任意恒成立，∴，即的最大值为6．（2）由题得对任意恒成立，即，故的取值范围为．故答案为：6；.21．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在()20211011112021101101010101110101011a a d =+-=+⨯=⨯1212-11011{}n a ()*,n n m m ∈≠N m na a t m n-≥-t {}n a ()p t {}n a 3nn a =()p t t {}n a n a an n=-()9p a [)16,+∞m n >33m n tm tn -≥-*,N m n ∈()m n >3nn b tn =-10n n b b +-≥19m n a a am n mn-=+≥-33m n t m n-≥-()*,n n m m ∈≠N m n >33m n tm tn -≥-33m n tm tn -≥-()*,m n m n ∈>N 3nn b tn =-1230nn n b b t +=⨯-≥-*n ∈N ()min236nt ≤⨯=t 19m na a m n a a a m n m nm n mn⎛⎫--- ⎪-⎝⎭==+≥--()*,n n m m ∈≠N 882116a mn ≥≥⨯⨯=a [)16,+∞[)16,+∞17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值．一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的次近似值为_____；设，数列的前项积为．若任意恒成立，则整数的最小值为_____．【答案】【分析】（1）对函数求导，依次求出切点、斜率、斜线方程，即可得出结果.（2）由（1）可得，进而可得，，即可得出结果.【详解】（1），所以当，所以当（2）因为所以，为整数， 故答案为：；2【点睛】r ()y f x ＝0x r ()()00,x f x ()y f x ＝1l 1l x 1x 1x r 1()()11x f x ，()y f x ＝2l 2l x 2x 2x r 2()()(),n n x f x n N ∈()y f x ＝1n l +1n l +x 1n x +1n x +r 1n +()31f x x x =+-(0)x ≥r 00x ＝r 233321n n n n x x a x +=+*,n N ∈{}n a n n T *,n n N T λ∈＜λ3423122131n n n x x x ++=+11n n n x x a +=11nn T x +=<λ32()1,'()31f x x x f x x =+-=+000,()1,'(0)1x f x f ==-=1:(1)1l y x y x --=⇒=-101,(1)1,'(1)4y x f f =⇒===2:14(1)43l y x y x -=-⇒=-2304y x =⇒=32()1,'()31n n n n n f x x x f x x =+-=+33211221:(1)(3+1)()31n n n n n n n x l y x x x x x x x ++-+-=-⇒=+2132113n n n n n nx x x x x a ++∴==+1211113211·······n n n n n n n n x x x x T a a a x x x x x λ--++∴===< 11111()0,(1)011222n n f f x x ++<>⇒<<⇒<<λmin 2λ=34关键点点睛：由和，观察得出是本题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.22．（2021·全国·高二课时练习）数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则_____，_____．【答案】 【分析】根据列出等式，以代得到另一个等式，两式作差可求得时的，再验证即可；利用等差数列的前项和公式求解出即可.【详解】因为，所以，所以，当时，，两式作差可得：，所以，当时，，所以，符合的情况，所以；因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故答案为：；.四、填空题23．（2020·江苏·江阴市成化高级中学高二月考）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为_________.【答案】【分析】3122131n n n x x x ++=+33321n nnn x x a x +=+11n n n x x a +={}n a n n S {}n a 11222n n n a a a H n -+++= {}n a 2nn H =n a =n S =1n +()32n n +2nn H =1n -n 2n ≥n a 1n =n n S 2nn H =112222n n n a a a n-+++= 112222n nn a a a n -+++=⋅ 2n ≥()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅ ()11212n n n a n --=+1n a n =+1n =1121a H ==12a =2n ≥1n a n =+1n a n =+{}n a 21()()21322n n n n n S +++==1n +()32n n +{}n a {}n a ∆{}n a ()*1n n n a a a n N +∆=-∈()2k k ≥{}kn a ∆{}n a k 111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆11a =()2*12n n n n a a a n N +∆-∆+=-∈{}n a n a =12n n -⋅根据阶差分数列的定义，结合已知条件等式可得，写出的通项，进而可得的通项公式.【详解】由题设，知：，∴，即为首项为1，公差为1的等差数列，∴，即.故答案为：.24．（2021·河南三门峡·高三月考（理））在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列结论：①等比数列一定是比等差数列；②等差数列一定不是比等差数列；③若，则是比等差数列，且比公差为；④若数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，则数列一定不是比等差数列.其中正确的有_____________.（填序号）【答案】①③④【分析】根据数列的新定义，由比等差数列的定义：对任意，都有（为常数），对各个命题逐一分析判断即可得出答案.【详解】解：对于①，设等比数列的公比为，则，所以，所以等比数列一定是比等差数列，故①正确；对于②，若，则数列是等差数列，则，则此等差数列为比等差数列，故②错误；对于③，，则，所以，所以是比等差数列，且比公差为，故③正确；k 11122n n nn a a +--=1{}2nn a-{}n a 111()22nn n n n n n a a a a a a +++∆-∆-∆+=-=-11122n n n n a a +--=1{}2nn a -11(1)2nn a n n -=+-=()1*2n n a n n N -=⋅∈12n n -⋅{}n p ()2n n *≥∈N 11n n n n p pk p p +--=k {}n p k !n a n ={}n a 1{}n a {}n b {}n n a b ⋅()2n n *≥∈N 11n n n n p pk p p +--=k {}n a ,0q q ≠11,n n n n a a q q a a +-==110n n n n a aa a +--=1n a ={}n a 110n nn n a a a a +--=!n a n =111,n n n n a an n a a +-=+=1111n nn n a a n n a a +--=+-={}n a 1对于④，设数列的公差为，数列的公比为，则，则因为不是定值，所以数列一定不是比等差数列，故④正确.故答案为：①③④.25．（2021·江苏·高二单元测试）取出数列的任意连续四项，若其中奇数项之和，偶数项之和均为同一个常数（如连续四项，，，，满足），则称数列为错位等和数列，其中常数是公和.若表示的前项和，有如下命题：（1）若一个等差数列是错位等和数列，则；（2）若一个等比数列是错位等和数列，则；（3）若，则错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列；（4）在错位等和数列中，，且，若是偶数，则；其中，真命题的序号是________【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】在（1）（2）中根据等差、等比数列的性质即可知为常数数列，即可判断正误；由有，结合已知即可判断正误；由（3）的结论及已知得、即可得，进而可知正误.【详解】{}n a ,0d d ≠{}n b ,0q q ≠()1111,n n n a a n d b b q -=+-=⋅()()()()11111111112n n n n n n n n a n d q a nd q a b a b a b a b a n d a n d++--+-⎡⎤+⋅⋅⎣⎦-=-⋅⋅+-+-()()()1111112a n d a nd q a n d a n d ⎡⎤+-+=-⎢⎥+-+-⎣⎦()()21112qd a n d a n d -=+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦21n n qd a a --=⋅21n n qd a a --⋅{}n n a b ⋅{},(4)n a n ≥h 1a 2a 3a 4a 1324a a a a h +=+={},(4)n a n ≥h n S {}n a n 1n a a =2n nhS =12a a ≠{}n a 5h =201320146a a +=n 104,4210,4n k n k S k n k -=-⎧=⎨=⎩{}n a 43414244141n n n n n n a a a a a a ----++=+=+4242n n a a -+=126a a +=123410a a a a +++=n S（1）由得，即为常数数列，所以正确；（2）由得，所以为常数数列，，所以，正确；（3）任取四项，则，且，即有，同理，又，所以错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列，正确；（4）由（3）及，得，又，即，所以，且，而错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列，所以.故答案为：（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查了数列新定义，综合应用了等差、等比数列的性质，以及数列的周期性，属于中档题.26．（2021·广东·东莞市光明中学高三开学考试）若有穷数列，，…，（m 为正整数）满足条件：，，…，，则称其为“对称”数列．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列中，，，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，则____________．【答案】19【分析】根据“对称”数列可知，再利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】根据题意可得，，，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.故答案为：19【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列的新定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.五、解答题1324a a a a h +=+=0d ={}n a 1n a a =1324a a a a h +=+=1q ={}n a 12n a h =2n nh S =4341424n n n n a a a a h ---+=+=4244141n n n n a a a a h --++=+=4341n n a a -+=4242n n a a -+=12a a ≠201320146a a +=126a a +=5h =13245a a a a +=+=344a a +=123410a a a a +++=104,4210,4n k n k S k n k -=-⎧=⎨=⎩1a 2a m a 1m a a =21m a a =-1m a a ={}n c 11c 12c 21c 2c =220c c =220c c =11c 12c 21c ()22012011219c c ==+-⨯=27．（2021·江苏·高二单元测试）对于数列，定义为数列的差分数列，其中．如果对任意的，都有，则称数列为差分增数列．（1）已知数列为差分增数列，求实数的取值范围；（2）已知数列为差分增数列，且，．若，求非零自然数k 的最大值；（3）已知项数为2k 的数列（）是差分增数列，且所有项的和等于k ，证明：．【答案】（1）；（2）65；（3）证明见解析．【分析】（1）利用差分增数列的定义可得关于的不等式组，即可求解；（2）根据△△，，，可得△△，△，△，，△，，从而可得，即可求解；（3）利用反证法推出矛盾，即可得证．【详解】（1）数列1，2，4，，16，24的差分数列为1，2，，，8，由题意可得，解得，故实数的取值范围是．（2）由题意，△，△，因为数列为差分增数列，所以对任意的，都有△△，所以△△，△，同理，△，，△，，所以当时，△△△，所以，解得，所以非零自然数的最大值为65．（3）证明：假设，由题意知，2，3，，，{}n a {}n a V {}n a 1,*n n n a a a n +=-∈N V *n ∈N 1n n a a +>V V {}n a 1,2,4,,16,24x x {}n a 121a a ==*n a ∈N 2021k a ={}3log n a 1,2,3,,2n k =L 13k k a a +<810x <<x 1n a +>n a 121a a ==*n a N ∈2a >10a =21a …32a …⋯1k a k -…*k N ∈(2)(1)202112k k --+…x 4x -16x -4162282432x x x +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩810x <<x (8,10)10a =n a N ∈{}n a *n N ∈1n a +>n a 2a >10a =21a …32a …⋯1k a k -…*k N ∈2k …1k a a =+1a +2a +⋯+1(2)(1)112(2)12k k k a k ---+++⋯+-=+…(2)(1)202112k k --+…65k …k 13k k a a +…0(1n a n >=⋯2)k因为项数为的数列所有项的和等于，所以，即，所以，因为数列，2，3，，是差分增数列，所以，所以，因此，所以对任意的，，都有，即，所以，所以与矛盾，故假设不成立，所以．【点睛】关键点睛：对于数列的新定义的题，解题的关键是理解清楚题意，熟练掌握数列中常见的解题方法.28．（2020·江苏·模拟预测）对数列{a n }，规定{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中△a n ＝a n +1﹣a n （n ∈N *），规定{△2a n }为{a n }的二阶差分数列，其中△2a n ＝△a n +1﹣△a n （n ∈N *）.（1）数列{a n }的通项公式（n ∈N *），试判断{△a n }，{△2a n }是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，且q ≥2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得△2b n ＝b m ，求q 所有可能的取值构成的集合；（3）各项均为正数的数列{c n }的前n 项和为S n ，且△2c n ＝0，对满足m +n ＝2k ，m ≠n 的任意正整数m 、n 、k ，都有c m ≠c n ，且不等式S m +S n ＞tS k 恒成立，求实数t 的最大值.【答案】（1）是，是；理由见解析；（2）；（3）2.【分析】（1）推导出，从而△△，由此得到△是首项为3，公差为2的等差数列，由△△△，得到△是首项为2，公差为0的等差数列．（2）推导出，，，根据，，，进行分类讨论，能求出所有可能的取值构成的集合．2k 3{log }n a k 31323332log log log log k a a a a k +++⋯+=31232log k a a a a k ⋯=12323kk a a a a ⋯={}3log (1n a n =⋯2)k 3133231log log log log n n n n a a a a +++-<-121n n n n a a a a +++<322412321k k a a a a a a a a -<<<⋯<1m k -…*m N ∈1212m k mm k ma a a a ++--<1221m k m m k m a a a a +-+-<1222132213k k k k k a a a a a a a a --+>>>⋯>…12323k k a a a a ⋯>12323kk a a a a ⋯=13k k a a +<2n a n ={2221(1)21n n n a a a n n n +=-=+-=+V 1n a +-2n a ={}n a 2n a =1n a +-2n a ={2}n a 11n n b b q -=2(1)m n q q --=0m n -…0-=m n 1m n -=2m n -…q（3）推导出，从而是等差数列，设的公差为，则，由等差数列前项和公式可得，从而，推导出，则当时，不等式都成立；当时，令，，，，则，，进而得到，由此推导出的最大值为2【详解】（1），，△△，△，△是首项为3，公差为2的等差数列，△△△，△是首项为2，公差为0的等差数列．（2）数列是公比为的正项等比数列，，△△△，且对任意的，都存在，使得，，，，．若，则，解得（舍，或，即当时，对任意的，都有△．．若，则，解得，或即当，都有△．．若，则，对任意的，不存在，使得△．综上所述，所有可能的取值构成的集合为．（3）△，△△△，，是等差数列，设的公差为，则，，，211n n n n c c c c +++-=-{}n c {}n c d 1(1)n c c n d =+-n 21()22n d d S n c n =+-221()()()22n m d d S S n m c m n +=++-+22211()()()()()()22222n m k d d d m n S S n m c m n c d m n S ++=++-+>+-+=g 2t …m n k S S tS +>2t >1m k =+1n k =-*(k N ∈2)k …21(22)2()22m n d d S S k k c +=++-21()22k d d S k c k =+-m n k S S tS +<t 2n a n =∴221(1)21n n n a a a n n n +=-=+-=+V ∴1n a +-2n a = 13a ={∴}n a 2n a =1n a +-2n a ={∴2}n a {}n b q ∴11n n b b q -= 2n b =1n b +-21121()2n n n n n n n n b b b b b b b b +++++=---=-+*n N ∈*m N ∈11111112n n n n b q b q b q b q +---+=2(1)m n q q -∴-=2q …0m n ∴-…1︒0-=m n 2211q q -+=0q =)2q =2q =*n N ∈2n m b b =2︒1m n -=2310q q -+=q =)q =q =*n N ∈21n n b b +=3︒2m n -…22(1)m n q q q ->-…∴*n N ∈*m N ∈2n n b b =q {2 20n c =∴2n c =1n c +-21121()20n n n n n n n n c c c c c c c c +++++=---=-+=211n n n n c c c c +++∴-=-{}n c ∴{}n c d 1(1)n c c n d =+-0d = m n c c ∴=，当时，，与数列的各项均为正数矛盾，故，由等差数列前项和公式可得，，，，，，则当时，不等式都成立，另一方面，当时，令，，，，则，，则，，，，当时，，即，综上，的最大值为2．【点睛】本题考查等差数列的判断，考查实数的取值范围、实数的最大值求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．29．（2020·黑龙江·哈师大附中高二开学考试（理））若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值．0d < ∴11c n d>-0n c <{}n c 0d >n 21()22n d d S n c n =+-2222111()()()()()222222n m d d d d d dS S n c n m c m n m c m n ∴+=+-++-=++-+21()()(2222k d m n d m n S c ++=+-m n ≠ 222()24m n m n ++>22211()()()()()()22222n m k d d d m n S S n m c m n c d m n S +∴+=++-+>+-+=g 2t ...m n k S S tS +>2t >1m k =+1n k =-*(k N ∈2)k (222)11[(1)(1)]()2(22)2(2222m n d d d d S S k k c k k k c +=++-+-⨯=++-21()22k d dS k c k =+-2211()((22)2()2222k m n dd d d tS S S tk c tk k k c -+=+--+--21()()(2)2dt d k k t c k d =--+--02dt d ->20k k -…∴1(2)d k t c >-()0k n m tS S S -+>m n k S S tS +<t {}n A 21n n A A +={}n A {}n a 19a =1(,)n n a a +2()2f x x x =+n {}1n a +{}lg(1)n a +n n T 12(1)(1)(1)n n T a a a =+++ lg n T lg lg(1)nn n T b a =+{}n b n n S 4026n S >n。
高考数学一轮复习《数列新定义》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《数列新定义》练习题（含答案）一、单选题1．定义：在数列{}n a 中，若满足(*211,n n n na a d n d a a +++-=∈N 为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20192017a a 等于（ ） A ．2420171⨯-B ．2420181⨯-C ．2420191⨯-D ．2420201⨯-2．若数列{an }满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<……，则称数列{an }为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn }的前n 项和Sn 满足*221()n n S c t n N +=-∈，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1(,)2-∞B ．（-∞，1）C ．1(,)2+∞D ．（1， +∞）3．对任意正整数n 定义运算*，其运算规则如下：①1*22=；②()()1*2*22n n +=⨯.则*2n =（ ） A ．()21n -B ．2nC ．12n -D ．2n4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ） A ．99B ．131C ．139D ．1415．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第8项为（ ） A ．95B ．101C ．141D ．2016．若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ） A ．123n -⨯B ．12n -C ．12n +D ．2n7．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”．在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，则数列{}n a 的“谷值点”为（ ） A ．2B ．7C ．2，7D ．2，5，78．在数列{}n a 中，如果对任意*n ∈N 都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比，则下列选项中错误的是（ ） A ．等差比数列的公差比一定不为0 B ．等差数列一定是等差比数列C ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比D ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第15项为（ ） A ．94B ．108C ．123D ．13910．已知n a的正整数，其中*n ∈N .若12370m a a a a +++⋅⋅⋅+≥，则正整数m 的最小值为（ ） A ．23B ．24C ．25D ．2611．若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数．已知2n n a =，()f m m =，则63b =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．812．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球()11a =，第二层有3个球()23a =，第三层有6个球()36a =，第四层有10个球()410a =，第五层有15个球()515a =，…，各层球数之差{}1n n a a +-：21a a -，32a a -，43a a -，54a a -，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（ ）． A ．51B ．68C ．106D ．157二、填空题13．任取一个正整数，若为奇数，就将该数乘3再加上1；若为偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称为“角谷猜想”等)．如取正整数6m =，根据上述运算法则得到6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递进关系如下：已知数列{n a }满足1a m =(m 为正整数)，,231,nn n n n a a a a a ⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，当9m =时，试确定使得1n a =需要雹程步数为_____________．14．对一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，若,N 10n n a n *⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则20092010S =_______ 15．斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，*n ∈N ），则称数列{}n a 为斐波那契数列，则222123303012a a a a a +++=___________．16．已知有穷数列{}n a 各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n b ，称数列{}n b 为数列{}n a 的“序数列”.例如数列1a ，2a ，3a 满足132a a a >>，则其序数列{}n b 为1，3，2.若有穷数列{}n d 满足11d =，()114nn n d d +-=（n 为正整数），且数列{}21n d -的序数列单调递减，数列{}2n d 的序数列单调递增，则123420212022d d d d d d -+-+⋅⋅⋅+-=___________.三、解答题17．记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且333212n n a a a S +++=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)记数列2{}nna S 的前n 项积为n T ，证明：数列{}n T 是递增数列．18．已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对于集合A 、B ，定义集合{A B x x A -=∈且}x B ∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A 、B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．19．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足14a =，12b =，2221a b =-，332a b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前60项和60S .20．已知a 为实数，数列{}n a 满足：①1a a =；②()*13,34,3n n n n n a a a n a a +->⎧=∈⎨-≤⎩N ． (1)当3a =时，求1234a a a a +++的值；(2)求证：存在正整数0n ，使得003n a ≤≤；(3)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求a 的取值范围，使数列{}n a 为周期数列且方程*2(N )n S n n =∈有解（若数列{}n a 满足：存在N T ∈且0T >，对任意N n ∈且0n >，成立n T n a a +=，则称数列{}n a 为以T 为周期的周期数列）．21．已知数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥满足：①11a =；②()121,2,,1k ka k n a +==-.记()12n n S A a a a =+++.（1）直接写出()3S A 的所有可能值； （2）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （3）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.22．对于项数为m 的有穷数列{}n a ，设n b 为()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅中的最大值，称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.(1)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的{}n a ； (2)设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1n m n a b C -++=（C 为常数，1,2,,n m =⋅⋅⋅）.证明：()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅.(3)考虑正整数1,2,,m ⋅⋅⋅的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c .是否存在数列{}n c ，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由.23．若无穷数列{n a }满足如下两个条件，则称{n a }为无界数列： ①0n a >（n =1，2，3......）②对任意的正数δ，都存在正整数N ，使得n a δ>.(1)若21n a n =+，2cos()n b n =+（n =1，2，3......），判断数列{n a }，{n b }是否是无界数列； (2)若21n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，都有12231...1n n a a a n a a a ++++<-成立？若存在，求出k 的范围；若不存在说明理由；(3)若数列{n a }是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m ，使得12231...1m m a a a m a a a ++++<-参考答案1．A2．A3．D4．D5．C6．D7．C8．B9．B10．B11．A12．C 13．19 14．100 15．12##0.5 16．2022411154⎛⎫-- ⎪⎝⎭17．（1）由333212n n a a a S +++=可得：当1n =时，有3211a S =，即()21110a a -=.因为0n a >，所以11a =.当2n ≥时，有33321211n n a a a S --+++=，所以3221n n n a S S -=-，即212n n n n n a S S S a -=+=-，即22n n n a a S +=所以有21112n n n a a S ---+=.所以()()2211112n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+-+⎣⎦，即2211n n n n a a a a ---=+.因为0n a >，所以11n n a a --=.所以{}n a 为11a =，公差1d =的等差数列. 所以()11n a a n d n =+-=.（2）由（1）可得：()12n n n S +=，所以()222112n n a n nn n S n ==++.因为数列2{}n n a S 的前n 项积为n T ，所以()()21212223221121311111nn n n T n n n ⨯-⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=+++-+++.因为201nn T n =>+， 所以111221221111222221n n n nn n T n n nn T n n n n +++++++==⨯==+>++++，所以1n n T T +>， 即数列{}n T 是递增数列．18．(1)解：设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 212n n n b b b ++=+，22q q ∴=+，解得2q或10q =-<（舍去）.又12b =，所以1222n nn b -=⨯=.所以33210a b =+=，311043312a a d --===-， 所以，()()33103331n a a n d n n =+-=+-=+. (2)解：3091a =，33100a =，又6764121128b b =<<=， 所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项，数列{}n b 的前6项分别为2、4、8、16、32、64， 其中4、16、64三项是数列{}n a 和数列{}n b 的公共项，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成.()()()()3012332463341004166416322S a a a b b b ⨯+=+++-++=-++=.19．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由2242214542221d q d q d q d q +=⋅-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=⋅+=-⎩⎩， ∴2q，3d =，∴31n a n =+，2nn b =.（2）当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前6项时，令71273121283n n +<=⇒<， 此时至多有41748+=项（不符）.当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项时，令831225685n n +<=⇒<，且22，42，62是{}n a 和{}n b 的公共项，则{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 的前56项，再减去公共的三项.∴35760565556432222484417050142S ⨯⎛⎫=⨯+⨯++++=+= ⎪⎝⎭. 20．（1）当3a =时，即13a =，则2341,3,1a a a ===，故12348a a a a +++=.（2）先证：若存在正整数k ，使得3k a >，则存在正整数0n ，使得003n a ≤≤.证明：若3k a >时，则13k k a a +=-，即从第k 项起到最后一个大于3的项的下一项为止，数列{}n a 为递减数列，设数列{}n a 中满足3n a >的最小项为01n a -，则(]013,6n a -∈，∴(]00130,3n n a a -=-∈，故存在正整数0n ，使得003n a ≤≤.当3a >，即13a >，则存在正整数0n ，使得003n a ≤≤；当03a ≤≤，即103a ≤≤，则存在正整数0n ，使得003n a ≤≤；当0a <，即10a <，∴2144a a =->，则存在正整数0n ，使得003n a ≤≤；综上所述：故存在正整数0n ，使得003n a ≤≤.（3）由（2）可知：存在正整数0n ，使得003n a ≤≤，若00n a =，则0144n n a a +=-=，02131n n a a ++=-=，03243n n a a ++=-=，004341n n a a ++=-=，依次类推可得：当0n n ≥时，数列{}n a 不是周期数列，不合题意； 若001n a <<，则()0143,4n n a a +=-∈，()021310,1n n n a a a ++=-=-∈，()00032433,4n n n a a a ++=-=+∈，()0004330,1n n n a a a ++=-=∈，依次类推可得：当0n n ≥时，()0,1n a ∈或()3,4n a ∈，数列{}n a 是以4为周期的周期数列，且循环依次为0,4,1,3n n n n a a a a --+，∵数列{}n a 为周期数列，则()0,1n a ∈或()3,4n a ∈， 故()()0,13,4a ∈，此时()()()4443218Sa a a a ==-+-+=+⨯+，即*2(N )n S n n =∈有解，∴()()0,13,4a ∈符合题意；若013n a ≤≤，则[]0141,3n n a a +=-∈，[]02141,3n n n a a a ++=-=∈，依次类推可得：当0n n ≥时，[]1,3n a ∈，当0n n ≥时，数列{}n a 是以2为周期的周期数列，且循环依次为0,4n n a a -，∵数列{}n a 为周期数列，则[]1,3n a ∈，故[]1,3a ∈，此时()24422S a a =-=+=⨯，即*2(N )n S n n =∈有解，∴[]1,3a ∈符合题意； 综上所述：()0,4a ∈.21．解：（1）()3S A 的所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7.（2）充分性：若0n a >，即12n n a -=.所以满足12n n a -=，且前n 项和最小的数列是1-，2-，4-，…，22n --，12n -.所以()211212422n n n a a a --++⋅⋅⋅+≥-+++⋅⋅⋅++211222112n n ---⋅=-+=-.所以()0n S A >.必要性：若()0n S A >，即120n a a a ++⋅⋅⋅+>.假设0n a <，即12n n a -=-.所以()()21121242210n n n n S A a a a --=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+-=-<，与已知()0n S A >矛盾. 所以()0n S A >.综上所述，()0n S A >的充要条件是0n a >.（3）由（2）知，()0n S A >可得0n a >.所以12n n a -=.因为数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥中1a 有1-，1两种，2a 有2-，2两种，3a 有4-，4两种，…，1n a -有22n --，22n -两种，n a 有12n -一种，所以数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥有12n -个，且在这12n -个数列中，每一个数列都可以找到前n 1-项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前n 项和是122n -⨯. 所以这12n -个数列的前n 项和是1122122222n n n ---⨯⨯⨯=. 所以()n S A 的所有可能值的和是222n -. 22．（1）由题意12a =，23a =，34a =，46a =，56a ≤，所以数列{}n a 有六种可能：2,3,4,6,1；2,3,4,6,2；2,3,4,6,3；2,3,4,6,4；2,3,4,6,5；2,3,4,6,6． （2）因为12max{,,,}n n b a a a =，1121max{,,,,}n n n b a a a a ++=，所以1n n b b +≥，所以控制数列{}n b 是不减的数列，{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1n m n a b C -++=，C 是常数，所以1n n a a +≥，即数列{}n a 也是不减的数列，123m a a a a ≤≤≤≤，那么若n k ≤时都有n n b a =，则1121max{,,,,}k k k b a a a a ++=， 若1k k a a +>，则11k k b a ++=，若11k k a b ++=，则11k k k k b b a a ++===， 又11b a =，由数学归纳法思想可得对1,2,,n m =，都有n n b a =； （3）设{}n c 的控制数列是{}n b ，由（2）知{}n b 是不减的数列，{}n b 必有一项等于m ， 当m 是数列{}n b 中间某项时，{}n b 不可能是等差数列， 所以1b m =或m b m =，若1b m =，则n b m =（1,2,,n m =），{}n b 是等差数列， 此时只要1c m =，23,,,m c c c 是1,2,3,,1m -的任意排列均可．共(1)!m -个， m b m =，而1b m ≠时，数列{}n b 中必有n b n =，否则不可能是等差数列， 由此有n c n =，即{}n c 就是1,2,3,,m ，只有一种排列， 综上，{}n c 的个数是(1)!1m -+． 23．（1）{n a }是无界数列，理由如下： 对任意的正整数δ，取N 为大于2δ的一个偶数，有21212N a N δδ=+>⋅+>，所以{n a }是无界数列.{n b }不是无界数列，理由如下： 取=3δ，显然2cos()3n b n =+≤，不存在正整数N ，满足3N b >，所以{n b }不是无界数列. （2）存在满足题意的正整数k ，且4k ≥. 当=1n 时，122=05a a <，不成立. 当=2n 时，231235+157a a a a =+<，不成立 当=3n 时，323124357+++2579a a a a a a =+<，不成立当4n ≥时，将12231...1n n a a a n a a a ++++<-变形为：3211221231231n n n n n a a a a a a a a a n a a a a a a +++⎛⎫----+++=+++ ⎪⎝⎭ 22222221572357911n =++≥+++>+. 即取4k =，对于一切n k ≥，有122311n n a a a n a a a ++++<-成立. （3）因为数列{n a }是单调递增的无界数列，所以0n a >，121n n a a a a +<<<<< 所以3211221231231n n n n n a a a a a a a a a n a a a a a a +++⎛⎫----+++=+++ ⎪⎝⎭ 32111211111111n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++++++---->+++==-. 即12123111n n n a a a a n a a a a +++++<-+ 因为{n a }是无界数列，取12a δ=，由定义知存在正整数1N ，使1112N a a +>所以111212311N N a a a N a a a ++++<-.由定义可知{n a }是无穷数列，考察数列11N a +，12N a +，13N a +…，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数2N ，使得 ()1111221221231+11N N N N N N a a a N N a a a ++++++++<--.故存在正整数2N ，使得 ()()1111221112121212312311+11+N N N N N N N N a a a a a a N N N a a a a a a ++++++++++++<-+--21N =-. 故存在正整数2m N =，使得122111m m a a a m a a a ++++<-成立。
初二上数学新定义试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = 7，则a的值为：A. 3B. 2C. 4D. 6答案：A. 3解析：将a代入函数f(x) = 2x + 1，得到f(a) = 2a + 1 = 7，解得a = 3。
2. 若一个等差数列的首项为2，公差为3，则第10项的值为：A. 29B. 30C. 31D. 32答案：A. 29解析：等差数列的第n项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
将a1 = 2，d = 3，n = 10代入公式，得到第10项的值为29。
3. 若一个等比数列的首项为3，公比为2，则第5项的值为：A. 48B. 96C. 192D. 384答案：D. 384解析：等比数列的第n项公式为an = a1 r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比。
将a1 = 3，r = 2，n = 5代入公式，得到第5项的值为384。
4. 若一个梯形的上底为5，下底为10，高为4，则该梯形的面积为：A. 20B. 30C. 40D. 50答案：B. 30解析：梯形的面积公式为S = (a + b) h / 2，其中a和b为上底和下底的长度，h为高。
将a = 5，b = 10，h = 4代入公式，得到该梯形的面积为30。
5. 若一个圆的半径为r，则其周长的平方与面积的关系为：A. 周长的平方 = 4 面积B. 周长的平方 = 16 面积C. 周长的平方 = 9 面积D. 周长的平方 = 25 面积答案：A. 周长的平方 = 4 面积解析：圆的周长公式为C = 2πr，面积公式为S = πr^2。
将C和S代入公式，得到周长的平方= (2πr)^2 = 4π^2r^2，面积= πr^2。
所以周长的平方 = 4 面积。
二、填空题（每题5分，共50分）1. 若一个正方形的边长为a，则其周长为______，面积为______。
答案：周长为4a，面积为a^2。
(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（ ）3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩A ．44B ．45C ．46D ．472．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 3．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-4．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ5．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（n N +∈，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。
已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===则20152013a a =（ ） A ．2420151⨯- B ．2420141⨯- C ．2420131⨯-D ．242013⨯6．数列{}n a 是等差数列，51260a a =>，数列{}n b 满足123n n n n b a a a +++=，*n N ∈，设n S 为{}n b 的前n 项和，则当n S 取得最大值时，n 的值等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127．数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++的取值范围是（ ） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．81,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（ ）A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91- D ．()n1314- 9．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D ．[﹣2，2]10．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 11．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞12．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+．若()*+11()1n n b n n N a λ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ<二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和是11,1,0,31n n n n n S a a S a a +=≠=+，若2020k a =，则k =______.14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．15．已知{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，且233n n S n T n -=+，则55a b ＝________.16．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________. 18．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =.若存在常数λ，使得2n n a a λ=()*N n ∈恒成立，则910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，n =________. 19．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____. 20．若数列{}n a 满足11a =，且()*1111n nn a a N +∈-=，则 ①数列{}na e是等比数列；②满足不等式：1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________三、解答题21．直线:2l x =与x 轴交于点M ，过动点P 作直线l 的垂线交l 于点N ，若OM 、OP 、PN 成等比数列，其中O 为坐标原点.（1）求动点P 的轨迹方程. （2）求OP PN -的最大值.22．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）.（1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值； （ii ）求{}n a 的通顶公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：48411114n S S S ++⋅⋅⋅+< 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =.数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c +++<.24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥.25．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +1－t ，求证：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3． 26．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =． （1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式； （2）若()11n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项． 【详解】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，212017n += ，得1008n =， 所以2017是从3开始的第1008个奇数，当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共474410342⨯=个， 当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共46439892⨯=个， 所以45m =， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．2．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =， 所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.3．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯，4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.4．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】 依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 5．C解析：C 【分析】 利用定义，可得1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而121n na n a +=-，利用201520152014201320142013a a a a a a =⋅，可得结论． 【详解】121a a ==，33a =，32212a a a a ∴-=， 1n n a a +⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， 121n na n a +∴=-， ()()20152015201420132014201322014122013140274025a a a a a a ∴=⋅=⨯-⨯-=⨯ 22(40261)(40261)40261420131=+-=-=⨯-．故选：C. 【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．6．D解析：D 【分析】由51260a a =>，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断,n n a b 的正负，再利用通项与前n 项和关系求解.【详解】设数列{}n a 的公差为d ， 因为51260a a =>，所以()1104116a a d d +=>+，即1625a d =-， 因为512a a >， 所以0d <，所以167(1)5n a n d n d a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭， 当113n ≤≤时，0n a >，当14n ≥时，0n a <， 所以12101314...0...b b b b b >>>>>>>， 又因为()111213141215131405db b a a a a a a +=+=>， 所以1210S S >，故n S 中12S 最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n 项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由题意计算出{}n a 的公比q ，由等比数列的性质可得{}1n n a a +也为等比数列，由等比数列前n 项和计算即可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，21a =，518a =，所以35218a q a ==，即12q =，所以12a =，由等比数列的性质知{}1n n a a +是以2为首项，以14为公比的等比数列. 所以12122311214881813343142n n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭≤==-< ⎪⎝⎭=+++-， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和的计算，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案． 【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1． ∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列， ∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--． 故选B ． 【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题．9．A解析：A 【分析】根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立求解. 【详解】由6S n ＝a n 2+3a n +2，当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2， 当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1）， 整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0，由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3， 所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2，所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11n +＜3，因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立， 即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立， 设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩，解得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 故选：A ． 【点睛】本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】 解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.11．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<，()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】 数列{a n }满足()*12nn n a a n N a +=∈+，两边取倒数可得1121n na a +=+，从而得到11=2n n a +，于是b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，由于数列{b n }是单调递增数列，可得b n +1＞b n ，解出即可． 【详解】∵数列{a n }满足：a 1＝1，()*12nn n a a n N a +=∈+， ∴1121n n a a +=+，化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11a +1＝2，公比为2的等比数列，∴11=2n na +， ∴b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴b n +1＞b n ，∴n ≥2时，（n ﹣λ）•2n ＞（n ﹣1﹣λ）•2n ﹣1，化为λ＜n +1， ∵数列{n +1}为单调递增数列，∴λ＜3．当n ＝1时，b 2＝（1﹣λ）×2＞﹣λ＝b 1，解得λ＜2． 综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2． 故选：C ． 【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项公式、考查由数列的单调性求解参数问题，考查等比数列的通项公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．1347【分析】当时则两式相减得到得到代入数据计算得到答案【详解】解：当时当时由则两式相减得到因为故数列的奇数项为以为首项3为公差的等差数列；偶数项为以为首项3为公差的等差数列；所以当为奇数时成立；解析：1347 【分析】当2n ≥时131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到113n n a a +--=，得到31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，代入数据计算得到答案.【详解】解：当1n =时，2112312S a a a =+∴=当2n ≥时，由131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到()113n n n n a a a a +-=- 因为0n a ≠113n n a a +-∴-=，故数列的奇数项为以1为首项，3为公差的等差数列；偶数项为以2为首项，3为公差的等差数列；所以31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数 当k 为奇数时，202013473122k a k k ==-=∴，成立； 当k 为偶数时，404220203312k a k k ∴==-=，不成立； 故答案为：1347 【点睛】本题考查了数列的通项公式，灵活运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩是解题的关键.14．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了 解析：101031-【分析】 先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解.【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k kkkf f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.15．【分析】根据等差数列的前n 项和公式有结合已知条件令即可得进而求【详解】∵均为等差数列令公差分别为则有∴令则有∴故答案为：【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式结合等差数列通项公式的特点合理假设解析：54【分析】根据等差数列的前n 项和公式有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，结合已知条件，令122,1d d ==即可得11,a b ，进而求55a b .【详解】∵{}{},n n a b 均为等差数列，令公差分别为12,d d ，则有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+， ∴11121222323n n S nd a d n T nd b d n +--==+-+，令122,1d d ==，则有111,22a b =-=， ∴5115124544a a db b d +==+， 故答案为：54【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列通项公式的特点合理假设即可得到数列的基本量11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，则有11121222n n S nd a d T nd b d +-=+-.结合已知233n n S n T n -=+，假设122,1d d ==，即可求11,a b . 16．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形解析：50 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2n n S a =，代入求出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为n S ，设第n 个正方形的边长为n a ,则第nn ， 所以第n +1个正方形的边长为12n n a a +=，12n n a a +∴=， 即数列{n a }是首项为15a =，公比为2的等比数列，15n n a -∴=⋅， 数列{n S }是首项为125S =，公比为12的等比数列， 123125(1)1250(1)1212nn nS S S S -+++⋯+==⋅-∴-，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：5017．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题解析：1-【分析】由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】由题意知21n n a S =+， 当2n ≥时，1121n n a S --=+， 两式相减，得12n n n a a a --=， 即1n n a a -=-， 当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列， 则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.18．或19【分析】利用等差数列的通项公式求出再利用等差数列的前项和公式求出记利用作商法判断出数列的单调性即可求解【详解】设等差数列的公差为由题意当时当时所以解得或（舍去）所以记所以当时此时当时时此时所以解析：18或19 【分析】利用等差数列的通项公式求出λ、d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，记910nn n T S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用作商法判断出数列的单调性即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意， 当1n =时，21a a λ=， 当2n =时，42a a λ=，所以()22232d d d λλ+=⎧⎨+=+⎩，解得22d λ=⎧⎨=⎩ 或10d λ=⎧⎨=⎩（舍去），所以()2112n n n dS na n n -=+=+， 记()2991010nnn n n T S n =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以()()()12129119210110910n n nnn n T T n n n ++⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎣⎦⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当118n ≤≤，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，此时1n n T T +≥， 当10n >时，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，此时1n n T T +<， 所以910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，18n =或19 故答案为：18或19 【点睛】本题考查了差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性求数列中的最大项，属于中档题.19．【分析】先计算第一列形成的数列再计算第20行形成的数列得到答案【详解】设第一列形成的数列为则是首项为公差为的等差数列故设第20行形成的数列为是首项为公比为的等比数列故即故答案为：【点睛】本题考查了等 解析：1952 【分析】先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列201952c =，得到答案. 【详解】设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为14，公差为14的等差数列，故4n n b =，205b =.设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为12的等比数列，故201952c =. 即(20,20)201952a c ==. 故答案为：1952. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以解析：②④⑤ 【分析】利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由3212b b b b ≠证明数列{}n a e 不是等比数列，根据1111(1)1n n a n a n +++=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确. 【详解】()*1111n n a a n N +-=∈且111a ，∴数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1nn n N a =∈， ()*1n a n N n∴=∈. ①设1n n na b e e ==，则1132123,,b e b e b e ===，因为11326212,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}na e 不是等比数列；②1111(1)1n n a n a n +++=+++，因为1(1)1y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115(1)2122n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}nf a 是单调递增数列；④234111,,234a a a ===即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111(1)1n n n n a n a n +==-++，所以1223111112111231n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+++，⑤正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.三、解答题21．（1）22(1)5x y ++=；（2）4-. 【分析】（1）本题首先可设(,)P x y ，然后根据OM 、OP 、PN 成等比数列得出2222x y x +=⋅-，最后分为2x >、2x <两种情况进行讨论，即可得出结果；（2）本题首先可根据动点P的轨迹方程得出1x ⎡⎤∈⎣⎦，然后将OP PN -转2x +，最后令()2f x x =+，根据导函数性质即可求出最值.【详解】（1）设(,)P x y ，则(2,)N y ，(2,0)M ， 因为OM 、OP 、PN 成等比数列，所以2OP P O N M =⋅，即2222x y x +=⋅-，2x ≠， 当2x >时，2224x y x +=-，即22(1)3x y -+=-（舍去）；当2x <时，2242x y x +=-，即22(1)5x y ++=，故动点P 的轨迹方程为22(1)5x y ++=.（2）因为动点P 的轨迹方程为22(1)5x y ++=，所以1x ⎡⎤∈⎣⎦，则(2)2OP PN x x -=-=+，令()2f x x =+，则()1f x '=因为当1x ⎡⎤∈⎣⎦时()0f x '>，所以)max ()121134f x f===+=，故OP PN -的最大值为4. 【点睛】关键点点睛：本题考查动点的轨迹方程的求法以及利用导函数求最值，考查等比中项的性质的应用，利用导函数求最值时，可先通过导函数求出函数单调性，然后根据函数单调性求出最值，考查计算能力，体现了综合性，是中档题.22．（1）（i ）8；（ii ）()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩；（2）证明见解析. 【分析】（1）（i ）推导出当n 为正偶数时，24n n a a n ++=，可得出+4248n n a a n ++=+，两式作差可得出结论成立；（ii ）推导出当n 为正奇数时，4n n a a +=，求出2a 、3a 、4a ，对任意的k *∈N ，分43n k =-，42n k =-，41n k =-，4n k =四种情况讨论，结合等差数列的通项公式以及周期数列的定义可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算出4342414n n n n a a a a ---+++，可求得2482n S n n =+，利用放缩法得出4111142121n S n n ⎛⎫<- ⎪-+⎝⎭，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）（i ）当n 为正偶数时，121n n a a n ++=-，2121n n a a n ++-=+， 两式相加得24n n a a n ++=，① 可得+4248n n a a n ++=+，② ②-①得48n n a a +-=；（ii ）当n 为正奇数时，121n n a a n +-=-，2121n n a a n +++=+， 两式作差得22n n a a ++=，所以，422n n a a +++=， 上述两个等式作差得4n n a a +=， 又211a a -=，则2111a a a =+=+，323a a +=，则3232a a a =-=-， 435a a -=，则4357a a a =+=-.对任意的k *∈N ，当43n k =-，则1n a a a ==； 当42n k =-时，()()()422811818722723n k a a a k a k a k a n a n -==+-=++-=+-=++-=+-；当41n k =-时，32n a a a ==-；当4n k =时，()()44817818121n k a a a k a k k a n a ==+-=-+-=--=--.综上所述，()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩； （2）()434241424232241166n n n n a a a a a n a a n a n ---+++=+-+-+-+⨯--=-，()2410166822n n n S n n +-∴==+，()()2241111114212124241n S n n n n n ⎛⎫∴=<=- ⎪-++-⎝⎭， 所以，48411111111111111433521214214n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用放缩法，常用的放缩公式如下： （1）()()21111211n n n n n n<=-≥--； （2）()()()211111211211n n n n n n ⎛⎫<=-≥ ⎪-+-+⎝⎭； （3）()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-； （4()22n =<=≥. 23．（1）22n a n =-，(1)n b n n =+；（2）证明见解析.【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差d 可得n a ，根据等差数列的求和公式可得n S ，根据n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列可得(1)n b n n =+；（2）将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解可证不等式成立.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得31413124333a a d a a d S a d =+=⎧⎨=+==+⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩， 从而22n a n =-，2(1)(1)2n n n S n n -==-. 因为n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列所以()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++，从而()211222n n n n n n n n S S b S S b S S +++++=++， 所以2221221(1)(1)(1)(2)2(1)(1)2(1)(1)(2)2(1)2n n n nn n n S S Sn n n n n n n n b n nS S S n n nn n n ++++-+--+++====++--+++-+. （2）证明：因为n c ===<=， 所以122(10211)2n c c c n n n +++<-+-++--=【点睛】关键点点睛：将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解是解题关键.24．（1）2n a n =，2n n b =；（2）①存在，5k =；②{}1,2,3,4.【分析】（1）由等差数列以及等比数列的性质以及通项公式得出答案；（2）①11k k k b T T ++-=结合数列{}n b 的通项公式得出k 的值；②由()1n S n n =+将不等式化为()210n n n -+≤，令()()21nf n n n =-+并得出其单调性，再由单调性确定解集. 【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，所以510a =. 设等差数列{}n a 的公差是d ，所以51251a a d -==- 所以()112n a a n d n =+-=.设等比数列{}n b 的公比是q ，因为2316b b a =所以2331432b q q ==，所以2q ，所以112n n n b b q -==. （2）①若存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立，则132k k b b +=+ 所以12232k k +=+，即232k =，解得5k =.存在正整数5k =满足条件.②()()112n n n a a S n n +==+ 所以()12n n n +≥，即()210n n n -+≤令()()21nf n n n =-+， 因为()()()()()()11121221221n n n f n f n n n n n n +-⎡⎤+-=-++-++=-+⎣⎦ 所以当4n ≥时，(){}f n 单调递增.又()()210f f -<，()()320f f -<，()()430f f -=所以()()()()()1234f f f f f n >>=<<<因为()10f =，()44f =-，()52f =，所以1n =，2，3，4时，()0f n ≤，5n ≥时，()0f n >，所以不等式n n S b ≥，的解集为{}1,2,3,4.【点睛】解决本题的关键是构造新函数，通过作出确定函数的单调性，从而求得()0f n ≤的解集. 25．证明见解析.【分析】由定义法分别结合n a 和n S 的关系分别证明充分性和必要性成立即可.【详解】当n ＝1时，S 1＝32－t ＝9－t ，当n ≥2时，由S n ＝3n +1－t 得S n -1＝3n －t ，两式相减得a n ＝3n +1－3n ＝2·3n （n ≥2）， （1）充分性已知t ＝3，此时S 1＝32－t ＝9－3＝6，令n ＝1，得a 1＝2·31＝6＝S 1，所以a n ＝2·3n （n ∈N *） 所以13n na a +=，所以数列{a n }是等比数列． （2）必要性因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝2·31＝6， 又因为S 1＝9－t ，所以9－t ＝6，所以t ＝3，综上所述：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3．【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的判断和证明，解题的关键是利用n a 和n S 的关系得出()232n n a n =⋅≥，再根据充分必要的定义证明.26．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.（2）首先求出()13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可. 【详解】（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+，两式相减得()132n n a a n +=≥，当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =，∴1n ≥时都有13n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ．（2）解：()()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-， ∴()()()()()122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ()()()()()12131323133n n n T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ∴()()()()111413333n n n T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-，∴()()()131********nn n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭∴()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.。
考点1.3 数列的新定义问题(解析版)
考点1.3 数列的新定义问题数列是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的数列问题在高考中逐步成为热点。
通过具体的问题背景或新的定义，考察数列在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。
解决数列的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。
研究模型时需注意：(1) 量(多个量) ；(2) 量之间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律——由特殊到一般进行归纳总结；(3) 与数列通项公式有关或与前n 项和有关等．基础知识1．等差数列与等差中项 (1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．a n －a n -1＝d (n 2≥ n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项．即A=2a b+． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ．(3)若k ＋l ＝2m (k ，l ，m ∈N *),则a k ＋a l ＝2a m ． 4．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数且常数项为0. 5．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．1n n a q a-=(n 2≥ n ∈N *，d 为常数)．(2)等比中项：如果a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．即A＝6．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1． (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.7．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； 8．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.9．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．数列的新定义问题 （1） 单选题1．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155C ．141D ．139【答案】B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩. 故选：B.2．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =- 【答案】B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.3．（2016•新课标Ⅲ，理12）定义“规范01数列” {}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ，1a ，2a ，⋯，k a 中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“规范01数列”共有( ) A ．18个 B ．16个C ．14个D ．12个【答案】C【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若4m =，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个，故选C ．4．（2020全国Ⅱ理12）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足()()0,11,2,i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足),2,1(⋯==+i a a i m i 的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，()11()1,2,,1mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足()()11,2,3,45C k k ≤=的序列是 （ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C【解析】由i mi a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑．对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C5．（2017•新课标Ⅰ，理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．440B ．330C ．220D ．110【解析】设该数列为{}n a ，设1(1)(1)12221n n n n n n b a a +-++=+⋯+=-，()n N +∈，则(1)211n n ni i i i b a +===∑∑，由题意可设数列{}n a 的前N 项和为N S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则121121212122n n n T n ++=-+-+⋯+-=--，可知当N 为(1)2n n +时()n N +∈，数列{}n a 的前N 项和为数列{}n b 的前n 项和，即为122n n +--，容易得到100N >时，14≥n ，A 项，由29304352⨯=，4404355=+，可知305304402952292212S T b =+=--+-=，故A 项符合题意． B 项，仿上可知25263252⨯=，可知2652633025522522124S T b =+=--+-=+，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意．C 项，仿上可知20212102⨯=，可知2110211022020102202212223S T b =+=--+-=+-，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意．D 项，仿上可知14151052⨯=，可知15515110145214221215S T b =+=--+-=+，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．（2） 多选题6．若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，{}1n n a a +-为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”.给出下列数列{}()*n a n N ∈，其中是“差递减数列”的有（ ）A ．3n a n =B ．21n a n =+C ．n aD ．ln1n n a n =+ 【答案】CD 【分析】分别求出四个选项中数列{}()*n a n N ∈对应的{}1n n a a +-，再进行判断.【详解】对A ，若3n a n =，则13(1)33n n a a n n +-=+-=，所以{}1n n a a +-不为递减数列，故A 错误； 对B ，若21n a n =+，则221(1)21n n a a n n n +-=+-=+，所以{}1n n a a +-为递增数列，故B 错误；对C ，若n a =1n n a a +-=={}1n n a a +-为递减数列，故C 正确；对D ，若ln1n n a n =+，则121111lnln ln ln(1)2122n n n n n n a a n n n n n n++++-=-=⋅=+++++，由函数21ln(1)2y x x=++在(0,)+∞递减，所以数{}1n n a a +-为递减数列，故D 正确.故选：CD . 【点睛】本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.7．在数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话题.然而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差、等比数列之外，其它数列涉及很少.下面向大家介绍一种有趣的数列，叫语言数列.例如第一项1123a =，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一个1，一个2和一个3，你再把它用数字表示出来，就得到了第二项2111213a =.再从左向右看2a ，它里面又是含有四个1，一个2和一个3，再把它用数字表示出来，就得到了第三项3411213a =，同样可得第四项414311213a =.按此规则重复下去，可以得到一个无穷数列{}n a ，你会惊奇地发现，无论11a =、12a =、13a =，还是1123a =，都有这样的结论：*0n N ∃∈，()*0n n n N ∀≥∈，都有2n n a a +=.则0n a 的可能值为（ ）A ．23322114B ．32142321C ．32232114D ．24312213【答案】AC 【分析】对各选项中0n a 的可能取值进行验证，结合题意可求出02n a +，并验证02n a +与0n a 是否相等，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，若023322114n a =，从左往右看，有3个2，2个3，2个1，1个4， 则0132232114n a +=，从左往右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则00223312114n n a a +==，合乎题意；对于B 选项，若032142321n a =，从左往右看，有2个3，3个2，2个1，1个4， 则0123322114n a +=，从左往右看，有3个2，2个3，2个1，1个4， 则00232232114n n a a +=≠，不合乎题意；对于C 选项，若032232114n a =，从左往右看，有2个3，3个2，2个1，1个4， 则0123322114n a +=，有3个2，2个3，2个1，1个4， 则00232232114n n a a +==，合乎题意；对于D 选项，若024312213n a =，从左往右看，有3个2，1个4，2个3，2个1， 则0132142321n a +=，从左往右看，有2个3，3个2，2个1，1个4， 则00223322114n n a a +=≠，不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，结合的关键就是充分利用题中定义，由0n a 的值逐步推导02n a +的值. 8．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x = B ．()2xf x = C ．()f x =D ．()ln f x x =【答案】AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故A 是“保等比数列函数”；对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a qq f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 9．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列【答案】AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.10．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列 【答案】BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时，取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r +->1112222da ra dr r n N d dr -+-+⇒>==.对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，11n n x x q-=，若1q >，则对任意正数r ，当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q rN x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦， 当n N >时，11110n n rx x qx r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n N>=时，110n n r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题.（3） 填空题11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即(1)(2)1F F ==，*()(1)(2)(3,)F n F n F n n n N =-+-≥∈，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则2020b =_________．【答案】0【分析】由题设描述可得被3整除后的余数构成一个新数列{}n b，观察可知是周期数列，结合目标项下标即可求值.【详解】由题意知：“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，∴此数列被3整除后的余数：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，观察可知新数列是以1，1，2，0，2，2，1，0为一个周期的循环，而20208的余数为4，∴20200b=故答案为：0【点睛】本题考查了数列新定义，应用观察法找规律求项，属于简单题.12．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，设“宫”的频率为1，则“角”的频率为________.【答案】81 64【分析】根据已知条件经过一次“损”频率变为原来的32，经过一次“益”，频率变为原来的34，依次损益交替变化求概率即可.【详解】由“宫”的频率为1，“宫”经过一次“损”得到“徵”的频率变为32，“徵”经过一次“益”，得到商的频率为339 248⨯=，“商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为9327 8216⨯=，“羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为27381 16464⨯=，所以“角”的频率为81 64，故答案为：8164【点睛】本题主要考查了数列与文化知识结合，关键是读懂题意求出概率，属于基础题. 13．已知数列{}n a 满足：152a =，()2*1122n n n a a a n N +=-+∈，若上取整函数⎡⎤⎢⎥x 表示不小于x 的最小整数（例如：1.22=⎡⎤⎢⎥，33=⎡⎤⎢⎥），则122020111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥______． 【答案】2 【分析】已知等式变形为111122n n n a a a +=---，由此可求得122020120212*********2222a a a a a a +++=-=----， 再证明{}n a 是递增数列，并通过前几项，估计出20213a >，这样再根据新定义可得． 【详解】由已知得111122n n n a a a +=---，即111122n n n a a a +=---，1220201202120211111112222a a a a a a +++=-=----， 因为21112(2)222n n n n n a a a a a +=-+=-+，且1522a =>，所以12n a +>，即数列{}n a 各项均大于2， 又()22111222022n n n n n a a a a a +-=-+=->，故{}n a 单调递增，152a =，可得2218a =，3 2.82a ≈，4 3.16a ≈，故当4n ≥时，3n a >，所以20213a >，故12202011112a a a <+++<，1220201112a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥. 故答案为：2． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查数列的单调性与裂项相消求和法．解题关键是求得和式122020111a a a +++，通过已知式变形后可用裂项相消法求和，然后问题转化为估计数列中各项的取值范围，结合新定义只要考察数列的前几项即可得出结论．14．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且120202,8a a =-=，则这个数列的前2020项的和为____. 【答案】6060 【分析】设等和数列的公和为m ．根据12a =-，利用等和数列的定义求得通项公式，然后利用并项求和法求解. 【详解】设等和数列的公和为m ． 因为12a =-，所以23452,2,2,2,...a m a a m a =+=-=+=-，所以2n 2,n a m n -⎧=⎨+⎩，为奇数为偶数，又202028a m =+=， 所以6m =，所以()()()()202012345620192020...S a a a a a a a a =++++++++，101066060=⨯=，故答案为：6060 【点睛】本题主要考查数列的新定义以及通项公式的求法和并项求和法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n N ∈，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12201920190b b b ++⋯+=，则22018b b 的最大值是________． 【答案】100 【分析】本题首先可根据调和数列的性质得出1n n d b b +=-，从而判断出数列{}n b 是等差数列，然后根据()1220122018920192b b b b b +=++⋯+得出2201820b b +=，最后根据基本不等式求最值，即可得出结果. 【详解】 因为正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，所以1n n d b b +=-，数列{}n b 是等差数列， 则()221018220192012019209b b b b b ++==⋯++，解得2201820b b +=，故2201820b b ≤+=，即22018100b b ≤，当且仅当2201810b b ==时等号成立， 故22018b b 的最大值是100， 故答案为：100. 【点睛】关键点点睛：本题考查学生对新定义的理解与转化，能否根据“调和数列”的定义和等差数列的定义得出数列{}n b 是等差数列是解决本题的关键，若数列{}n b 是等差数列，且c d e f ，则c d e f b b b b ，考查计算能力，是中档题.（4） 解答题16．（2020山东18）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间(]0,m ()m *∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【答案】（1）2n n a =；（2）100480S =．【思路导引】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得数列{}n a 的通项公式；（2）通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S ．【解析】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得12,2a q ==，所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =．（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2； 8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15，则89153b b b ====，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ====，即有42个4； 323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ====，即有52个5； 6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100，则64651006b b b ====，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（2016•新课标Ⅱ，理17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =．可得44a =，则公差1d =．n a n =，[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==，11[11]1b lg ==，101[101]2b lg ==． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==．1001011021039992b b b b b ====⋯==，10,003b =．数列{}n b 的前1000项和为：90901900231893⨯+⨯+⨯+=．18．（2020江苏20）已知数列*{}()n a n N ∈的首项11a =，前n 项和为n S ．设λ与k 是常数．若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“k λ-”数列．（1）若等差数列是“1λ-”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2-”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ≥？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）1k =时，111n n n n a S S a λ+++=-=，∴1λ=．（2=11n n n a S S ++=-=，==11144()33n n n n S a S S +++==-．从而14n n S S +=． 又111S a ==，14n n S -=，2134n n n n a S S --=-=⋅，2n ≥．综上，21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩． （3）若存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，则11133311n n n S S aλ++-=， 则21123333331111133()n n nn nn n n n SS S S S S a S S λλ+++++-+-==-，由11a =，0n a ≥则0n S >，令113()0n n nS p S +=>，则3323(1)33(1)0n n n p p p λλ--+--=， 1λ=时，2n n p p =，由0n p >可得1n p =，则1n n S S +=，即10n a +=，此时{}n a 唯一，不存在三个不同的数列{}n a ；1λ≠时，令331t λ=-，则3210n n n p tp tp -+-=，则2(1)[(1)1]0n n n p p t p -+-+=， ①1t ≤时2(1)10n n p t p +-+>，则1n p =同理不存在三个不同的数列{}n a ；②13t <<时，2(1)40t ∆=--<，2(1)10n n p t p +-+=无解，则1n p =，同理不存在三个不同的数列{}n a ； ③3t =时，3(1)0n p -=，则1n p =，同理不存在三个不同的数列{}n a ；④3t >即01λ<<时，2(1)40t ∆=-->，2(1)10n n p t p +-+=有两解α，β，设αβ<，12t αβ+=->，10αβ=>，则01αβ<<<，则对任意*n N ∈，11n n S S +=或31n n S S α+=或31n nSS β+=，此时1n S =，31,1,2n n S n β=⎧=⎨≥⎩，31,1,2,3n n S n β=⎧=⎨≥⎩均符合条件，对应1,10,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，31,11,20,3n n a n n β=⎧⎪=-=⎨⎪≥⎩，31,10,21,30,4n n n a n n β=⎧⎪=⎪=⎨-=⎪⎪≥⎩，则存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ≥，综上，01λ<<． 19．（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．（1）已知等比数列{a n }满足：，求证：数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足：，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有成立，求m 的最大值．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0．由，得，解得．因此数列为“M —数列”．（2）①因为，所以． 由，得，则． 由，得， 当时，由，得，整理得．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ．②由①知，b k =k ，．*()n ∈N 245324,440a a a a a a =-+=*()n ∈N 111221,n n n b S b b +==-*()n ∈N 1k k k c b c +245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩112a q =⎧⎨=⎩{}n a 1122n n n S b b +=-0n b ≠1111,b S b ==212211b =-22b =1122n n n S b b +=-112()n n n n n b b S b b ++=-2n ≥1n n n b S S -=-()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---112n n n b b b +-+=()*n ∈N *k ∈N因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0． 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以，其中k =1，2，3，…，m ． 当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有． 设f （x ）=，则． 令，得x =e ．列表如下：因为，所以． 取k =1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6． 综上，所求m 的最大值为5．20．(2014江苏)设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H 数列”．（Ⅰ）若数列的前n 项和(N )，证明: 是“H 数列”；（Ⅱ）设 是等差数列，其首项，公差．若 是“H 数列”，求的值；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H 数列”和，使得(N )成立．【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-= 当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．1k k q k q -≤≤ln ln ln 1k kq k k ≤≤-ln (1)x x x >21ln ()xf 'x x-=()0f 'x =ln 2ln 82663=<=max ln ()(3)3f k f ==q =ln ln kq kk k q ≤1k q k -≤}{n a n n S n m m n a S =}{n a }{n a n n S 2=∈n *}{n a }{n a 11=a 0<d }{n a d }{n a }{n b }{n c n n n c b a +=∈n *（Ⅱ）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-． （Ⅲ）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．。
数列新定义问题 (解析版)--2025年新高考数学一轮复习
数列新定义问题1(2024·甘肃定西·一模)在n个数码1,2,⋯,n n∈N,n≥2构成的一个排列j1j2⋯j n中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如j2>j5，则j2与j5构成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为T j1j2⋯j n，例如，T312=2，(1)计算T(51243)；(2)设数列a n满足a n+1=a n⋅T51243-T3412,a1=2，求a n的通项公式；(3)设排列j1j2⋯j n n∈N,n≥2满足j i=n+1-i i=1,2,⋯,n,b n=T j1j2⋯j n,S n=1b2+1b3+⋯+1b n+1，求S n，【答案】(1)5(2)a n=5n-1+1(3)S n=2nn+1【分析】(1)利用逆序数的定义，依次分析排列51243中的逆序个数，从而得解；(2)利用逆序数的定义得到a n+1=5a n-4，从而利用构造法推得a n-1是等比数列，从而得解；(3)利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到b n，再利用裂项相消法即可得解.【详解】(1)在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以T(51243)=4+0+0+1+0=5.(2)由(1)中的方法，同理可得T(3412)=4，又T(51243)=5，所以a n+1=5a n-4，设a n+1+λ=5a n+λ，得a n+1=5a n+4λ，所以4λ=-4，解得λ=-1，则a n+1-1=5a n-1，因为a1-1=1≠0，所以数列a n-1是首项为1，公比为5的等比数列，所以a n-1=5n-1，则a n=5n-1+1.(3)因为j i=n+1-i(i=1,2,⋯,n)，所以b n=T j1j2⋯j n=n-1+n-2+⋯+1+0=n-1n2，所以1b n+1=2(n+1)n=21n-1n+1，所以S n=21-12+12-13+⋯+1n-1n+1=21-1n+1=2n n+1.2(2024高三下·全国·专题练习)若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1)已知数列{a n}为4，3，1，2，数列{b n}为1，2，6，24，分别判断{a n},{b n}是否为“等比源数列”，并说明理由；(2)已知数列{c n}的通项公式为c n=2n-1+1，判断{c n}是否为“等比源数列”，并说明理由；【答案】(1){a n}是“等比源数列”，{b n}不是“等比源数列”，理由见解析(2){c n}不是“等比源数列”，理由见解析【分析】(1)根据等比中项，结合列举法即可求解，(2)假设是“等比源数列”得c2n=c m c k，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，即可求解.【详解】(1){a n }是“等比源数列”，{b n }不是“等比源数列”．{a n }中“1，2，4”构成等比数列，所以{a n }是“等比源数列”；{b n }中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，且这四者的其他次序也不构成等比数列，所以{b n }不是“等比源数列”．(2){c n }不是“等比源数列”．假设{c n }是“等比源数列”，因为{c n }是单调递增数列，即{c n }中存在的c m ，c n ，c k (m <n <k )三项成等比数列，也就是c 2n =c m c k ，即(2n -1+1)2=(2m -1+1)(2k -1+1)，22n -2+2n =2m +k -2+2m -1+2k -1，两边时除以2m -1得22n -m -1+2n -m +1=2k -1+1+2k -m ，等式左边22n -m -1+2n -m +1为偶数，等式右边2k -1+1+2k -m 为奇数．所以数列{c n }中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得{c n }不是“等比源数列”．3(23-24高二下·吉林四平·阶段练习)在数列a n 中，若存在常数t ，使得a n +1=a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +t (n ∈N *)恒成立，则称数列a n 为“H t 数列”．(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“H 1 数列”；(2)若c n =1+1n，试判断数列c n 是否为“H t 数列”，请说明理由；(3)若数列a n 为“H t 数列”，且a 1=2，数列b n 为等比数列，满足∑ni =1a 2i =a n +1+log 2b n -t 求数列b n 的通项公式和t 的值．【答案】(1)是(2)不是，理由见解析(3)b n =2n +1，t =-1【分析】(1)根据H t 数列的定义判断(2)根据已知条件求出c n +1-c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n 即可判断；(3)根据数列a n 为“H t 数列”，化∑i =1n a 2i =a n +1+log 2b n -t 为∑i =1na 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n ，进而求得∑i =1n +1a 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n a n +1+log 2b n +1，作差有a 2n +1=a n +1-1 a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n +1b n，根据已知条件化为t +1 a n +1-t +log 2q =0，解得t =-1q =2，由此求出b 1=4，即可求出数列b n 的通项公式.【详解】(1)由题意可得2=1+1，3=1×2+1，7=1×2×3+1，43=2×3×7+1，所以1，2，3，7，43是“H 1 数列”；(2)数列c n 不是“H t 数列”，理由如下：c n =1+1n =n +1n (n ∈N *)，则c n +1=n +2n +1(n ∈N *)，又c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n =21⋅32⋅43⋅⋅⋅n +1n=n +1(n ∈N *)，所以c n +1-c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n =n +2n +1-n +1 =1n +1-n (n ∈N *)，因为1n +1-n 不是常数，所以数列c n 不是“H t 数列”．(3)因为数列a n 为“H t 数列”，由∑i =1na 2i =a n +1+log 2b n -t (n ∈N *)，有∑i =1na 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n (n ∈N *)①，所以∑i =1n +1a 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n a n +1+log 2b n +1(n ∈N *)②，两式作差得a 2n +1=a n +1-1 a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n +1b n(n ∈N *)，又因为数列a n 为“H t 数列”，所以a n +1-t =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n (n ∈N *)，设数列b n 的公比为q ，所以a 2n +1=a n +1-1 a n +1-t +log 2q (n ∈N *)，即t +1 a n +1-t +log 2q =0对∀n ∈N *成立，则t +1=0t +log 2q =0⇒t =-1q =2，又a 1=2，a 21=a 1+log 2b 1，得b 1=4，所以b n =4×2n -1=2n +1，t =-1．4(23-24高二下·四川南充·阶段练习)给定数列a n ，称a n +1-a n 为a n 的差数列(或一阶差数列)，称数列a n +1-a n 的差数列为a n 的二阶差数列，若a n =3n .(1)设a n 的二阶差数列为b n ，求b n 的通项公式.(2)在(1)的条件下，设c n =log 3b n 4+b n ，求c n 的前n 项和为T n 【答案】(1)b n =4⋅3n (2)T n =2⋅3n +1+n 22+n2-6【分析】(1)借助定义计算即可得；(2)借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.【详解】(1)a n +1-a n =3n +1-3n =2⋅3n ，则b n =2⋅3n +1-2⋅3n =4⋅3n ；(2)c n =log 3b n 4+b n =log 34⋅3n 4+4⋅3n =n +4⋅3n ，则T n =121-3n1-3+n n +1 2=2⋅3n +1+n 22+n 2-6.5(2024·安徽池州·模拟预测)定义：若对∀k ∈N *,k ≥2,a k -1+a k +1≤2a k 恒成立，则称数列a n 为“上凸数列”．(1)若a n =n 2-1，判断a n 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若a n 为“上凸数列”，则当m ≥n +2m ,n ∈N * 时，a m +a n ≤a m -1+a n +1．(ⅰ)若数列S n 为a n 的前n 项和，证明：S n ≥n2a 1+a n ；(ⅱ)对于任意正整数序列x 1,x 2,x 3,⋯,x i ,⋯,x n (n 为常数且n ≥2,n ∈N *)，若ni =1x 2i-1 ≥ni =1x i-λ 2-1恒成立，求λ的最小值．【答案】(1)是，证明见解析(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)n -1【分析】(1)构造函数f x =(x +1)2-1-x 2-1,x ≥1，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；(2)(ⅰ)利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令a n =n 2-1，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.【详解】(1)a n 是“上凸数列”，理由如下：因为a n =n 2-1,a n +1-a n =(n +1)2-1-n 2-1，令f x =(x +1)2-1-x 2-1,x ≥1，则fx =x +1(x +1)2-1-xx 2-1=(x +1)3x -1 -x 3x +2(x +1)2-1⋅x 2-1．当x ≥1时，(x +1)3x -1 -x 3x +2 =-2x -1<0，所以(x +1)3x -1 <x 3x +2 ，所以f x <0,f x 在区间1,+∞ 上单调递减，所以f n >f n +1 ,a n +1-a n >a n +2-a n +1，所以a n +2+a n ≤2a n +1，所以a n 是“上凸数列”．(2)(ⅰ)证明：因为a n 是“上凸数列”，由题意可得对任意1≤i ≤n i ∈N * ，a i +a n -i +1≥a i -1+a n -i +2≥a i -2+a n -i +3⋅⋅⋅≥a 2+a n -1≥a 1+a n ，所以2S n =a 1+a n +a 2+a n -1 +⋅⋅⋅+a n -1+a 2 +a n +a 1 ≥n a 1+a n ，所以S n ≥n2a 1+a n ．(ⅱ)解：令a n =n 2-1，由(1)可得当a n =n 2-1时，a n 是“上凸数列”，由题意可知，当m ≥n +2m ,n ∈N * 时，a m +a n ≤a m -1+a n +1．因为ni =1x 2i -1 =x 21-1+x 22-1+x 23-1+⋅⋅⋅+x 2n -1，即∑ni =1x 2i -1=x 21-1+x 22-1+x 23-1+⋅⋅⋅+∑ni =1x i -x 1-x 2-⋯-x n -1 2-1．所以∑n i =1x 2i -1≥x 1-x 1+12-1+x 22-1+⋅⋅⋅+∑n i =1x i-x 1-x 2-⋅⋅⋅-xn -1+x 1-1 2-1≥12-1+x 2-x 2+12+⋯+∑ni =1x i-1-x 2-⋅⋅⋅-xn -1+x 2-1 2-1⋯≥0+0+0+⋯+∑ni =1x i -n +1 2-1≥∑ni =1x i -λ 2-1，当且仅当x 1=x 2=⋅⋅⋅=x n -1时等号成立，所以λ≥n -1．综上所述，λ的最小值为n -1．6(2024·江西南昌·一模)对于各项均不为零的数列c n ，我们定义：数列c n +kc n为数列c n 的“k -比分数列”.已知数列a n ,b n 满足a 1=b 1=1，且a n 的“1-比分数列”与b n 的“2-比分数列”是同一个数列.(1)若b n 是公比为2的等比数列，求数列a n 的前n 项和S n ；(2)若b n 是公差为2的等差数列，求a n .【答案】(1)S n =13×4n -1 ；(2)a n =13×4n 2-1 .【分析】(1)利用已知求出通项公式，再求前n 项和即可.(2)利用累乘法求通项公式即可.【详解】(1)由题意知an +1a n =b n +2b n，因为b 1=1，且b n 是公比为2的等比数列，所以a n +1a n=4，因为a 1=1，所以数列a n 首项为1，公比为4的等比数列，所以S n =1×1-4n 1-4=13×4n -1 ；(2)因为b 1=1，且b n 是公差为2的等差数列，所以b n =2n -1，所以a n +1a n =b n +2b n=2n +32n -1，所以a n a n -1=2n +12n -3,a n -1a n -2=2n -12n -5,⋯⋯,a 2a 1=51，所以a n a 1=2n +1 2n -1 3×1，因为a 1=1，所以a n =13×4n 2-1 .7(2024·黑龙江·二模)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“G 型数列”．(1)若数列a n 满足2a n =S n +1，判断a n 是否为“G 型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列a n 为“G 型数列”，a 1=1，数列b n 满足b n =a n +2，n ∈N *，b n 是等比数列，公比为正整数，且不是“G 型数列”，求数列a n 的通项公式．【答案】(1)不是“G 型数列”，理由见解析；(2)a n =3n -2【分析】(1)计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；(2)利用a n 为“G 型数列”和b n 是等比数列，且不是“G 型数列”可求得b n 的公比为3，即可求出数列a n 的通项公式为a n =3n-2.【详解】(1)易知当n =1时，可得2a 1=S 1+1=a 1+1，即a 1=1；而当n =2时，2a 2=S 2+1=a 1+a 2+1，可得a 2=2；此时a 2a 1=21=2<3，不满足“G 型数列”定义，猜想：数列a n 不是“G 型数列”，证明如下：由2a n =S n +1可得，当n ≥2时，2a n -1=S n -1+1，两式相减可得2a n -2a n -1=S n -S n -1=a n ，可得a n =2a n -1，此时从第二项起，每一项与它前一项的比为an a n -1=2<3，因此a n 不是“G 型数列”；(2)设数列b n 的公比为q ，易知q ∈N *，又因为数列b n 不是“G 型数列”，可得q ≤3可得b n +1b n=a n +1+2a n +2=q ，即得a n +1=qa n +2q -2；又数列a n 为“G 型数列”，可得an +1a n =q +2q -2a n>3；易知“G 型数列”为递增数列，因此当n 趋近于正无穷大时，q +2q -2a n趋近于q ，即可得q ≥3；综上可得q =3，即a n +1=3a n +4，可得a n +1+2=3a n +2 ；所以数列a n +2 是以a 1+2=3为首项，公比为3的等比数列；即可得a n +2=3×3n -1=3n ，可得a n =3n -2；所以数列a n 的通项公式为a n =3n -2.8(2015高二·全国·竞赛)设数列a n 满足：①a 1=1；②所有项a n ∈N ∗；③1=a 1<a 2<⋅⋅⋅<a n <a n +1<⋅⋅⋅.设集合A m =n |a n ≤m ,m ∈N ∗ ，将集合A m 中的元素的最大值记为b m .换句话说，b m 是数列a n 中满足不等式a n ≤m 的所有项的项数的最大值.我们称数列b n 为数列a n 的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；(2)设a n =3n -1，求数列a n 的伴随数列b n 的前20之和；(3)若数列a n 的前n 项和S n =n 2+c (其中c 常数)，求数列a n 的伴随数列b m 的前m 项和T m .【答案】(1)1，1，1，2，2，2，3(2)50(3)T m =m +124，m =2t -1,t ∈N * m m+24，m =2t ,t ∈N *【分析】(1)由数列的新定义直接写出即可；(2)由数列的新定义结合对数的运算求出即可；(3)先由S n 求出a n ，再由数列新定义求出b m ，再分m 为奇数和偶数时分别求出T m .【详解】(1)数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，(后面加3算对)(2)由a n =3n -1≤m ，得n ≤1+log 3m m ∈N * ∴当1≤m ≤2,m ∈N *时，b 1=b 2=1 当3≤m ≤8,m ∈N *时，b 3=b 4=⋅⋅⋅=b 8=2 当9≤m ≤20,m ∈N *时，b 9=b 28=⋅⋅⋅=b 20=3 ∴b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 20=1×2+2×6+3×12=50(3)∵a 1=S 1=1+c =1 ∴c =0 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -1∴ a n =2n -1n ∈N *由a n =2n -1≤m 得：n ≤m +12m ∈N *因为使得a n ≤m 成立的n 的最大值为b m ，所以 b 1=b 2=1,b 3=b 4=2,⋅⋅⋅，b 2t -1=b 2t =t ，t ∈N * 当m =2t -1t ∈N * 时：T m =2⋅1+(t -1)2⋅(t -1)+t =t 2=14(m +1)2当m =2t t ∈N * 时：T m =2⋅1+t 2⋅t =t 2+t =14m (m +2)所以T m =m +124，m =2t -1,t ∈N * m m+24，m =2t ,t ∈N *9(23-24高二下·上海闵行·阶段练习)若有穷数列a 1，a 2,⋯,a n ,(n 是正整数)，满足a 1=a n ，a 2=a n -1,⋯,a n =a 1即a i =a n -i +1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.(1)已知数列{b n }是项数为7的对称数列，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1=2，b 4=11，试写出{b n }的每一项；(2)对于确定的正整数m >1，写出所有项数不超过2m 的“对称数列”，使得1,2,22,⋯,2m -1依次是该数列中连续的项；当m =10时，求其中一个“对称数列”前19项的和S 19【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2(2)答案见解析【分析】(1)由等差数列基本量的计算结合对称数列的定义即可求解；(2)由该特殊对称数列的定义结合等边数列求和公式即可求解.【详解】(1)设{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d =2+3d =11，解得d =3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2．(2)若1,2,22,⋯,2m -1依次是该数列中连续的项，且是对称数列，则至少有1+2m -1 =2m -1项，从而所有项数不超过2m 的“对称数列”有：1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1，2m -1,2m -2,⋯,22,2,1,1,2,22,⋯,2m -2,2m -1，1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1，2m -1,2m -2,⋯,22,2,1,2,22,⋯,2m -2,2m -1，共有4个这样的数列(2个2m 项的，2个2m -1项的)；当m =10时，求数列1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1的前19项，则S 19=1+2+22+⋯+28+29+28+⋯+22+2+1=1-2101-2+1-291-2=210-1+29-1=1534.10(23-24高二下·江西·阶段练习)将数列a n 按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为a n 的一个分群数列，a n 称为这个分群数列的原数列．如a 1,a 2,⋯,a r ，a r +1,a r +2,⋯,a t ，a t +1,a t +2,⋯,a s ⋯，a m +1,a m +2,⋯,a n 是a n 的一个分群数列，其中第k 个括号称为第k 群．已知a n 的通项公式为a n =2n -1．(1)若a n 的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k 群的中间一项为b k ，求数列b n 的通项公式；(2)若a n 的一个分群数列满足第k 群含有k 项，A k 为该分群数列的第k 群所有项构成的数集，设M =m a m ∈A k ,a m +7∈A k +2 ，求集合M 中所有元素的和．【答案】(1)b n =6n -3(2)54【分析】(1)由给定的数列新定义推导通项公式求解即可.(2)根据该数列第k 群含有k 项，求出该分群数列的前7群，从而得到集合M 中的所有元素，求和即可.【详解】(1)由题意知该分群数列第k 群的中间一项为b k =a 3k -1．因为a n =2n -1，所以b k =a 3k -1=23k -1 -1=6k -3，即b n =6n -3．(2)由题意知该分群数列第k 群含有k 项，所以该分群数列前7群为a 1 ，a 2,a 3 ，a 4,a 5,a 6 ，a7,a 8,a 9,a 10 ，a 11,a 12,a 13,a 14,a 15 ，a 16,a 17,a 18,a 19,a 20,a 21 ，a 22,a 23,a 24,a 25,a 26,a 27,a 28 ．又a m∈A k，a m+7∈A k+2，所以k≤5．当k=5时，m=15，当k=4时，m=10或9，当k=3时，m=6或5或4，当k=2时，m=3或2，所以M=2,3,4,5,6,9,10,15，故集合M中所有元素的各为2+3+4+5+6+9+10+15=54．。
初中数学新定义题型试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个选项不是新定义运算？A. 两个数a和b的“和差”定义为a + bB. 两个数a和b的“积商”定义为a bC. 两个数a和b的“和差”定义为a - bD. 两个数a和b的“积商”定义为a / b2. 以下哪个新定义符合“初、高中知识衔接新知识”的特点？A. 定义新运算：两个数a和b的“和差”定义为a + bB. 定义新概念：定义“奇数”为不能被2整除的整数C. 定义新运算：定义“数列”为一系列有规律的数D. 定义新概念：定义“对数”为y = log_a(x)3. 下列哪个新定义不属于“定义新概念”的类型？A. 定义“偶数”为能被2整除的整数B. 定义“质数”为除了1和它本身外，没有其他因数的自然数C. 定义“平行四边形”为对边平行且相等的四边形D. 定义“正方体”为所有面都是正方形的立体图形4. 在解决“新定义”题型时，以下哪个步骤最为关键？A. 理解新定义的含义B. 分析题目背景和条件C. 运用已学知识进行运算和推理D. 总结解题方法和技巧5. 下列哪个选项不属于新定义题型？A. 定义“函数”为一种映射关系B. 定义“极限”为当自变量趋于无穷大时，函数值趋于一个固定值C. 定义“几何体”为具有一定形状和尺寸的立体图形D. 定义“复数”为形如a + bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位二、填空题（每题5分，共25分）6. 若定义“数字a的奇偶性质”为：若a为偶数，则值为1；若a为奇数，则值为-1，则“数字5的奇偶性质”为______。
7. 下列数列中，若定义“数列的“和”为所有项之和，则数列1, 2, 3, ... 的“和”为______。
8. 已知定义“平行四边形的对角线”为连接非相邻顶点的线段，则平行四边形ABCD中，对角线AC的长度为______。
9. 若定义“三角形的“面积”为底边乘以高的一半，则三角形ABC的底边BC长度为3，高为4，则其面积为______。
数列新定义压轴大题
数列新定义压轴大题一、题目①若数列{a_n}满足a_1=1，a_2 = 2，a_3=4，则该数列是“比等差数列”，且“比公差”λ=1；②若数列{a_n}是“比等差数列”，且“比公差”λ = 0，则数列{a_n}是等比数列；③等比数列一定是“比等差数列”，等差数列一定不是“比等差数列”；④若{a_n}是“比等差数列”，{b_n}是等比数列，则数列{a_nb_n}是“比等差数列”。
其中正确命题的序号是____。
二、解析1. 对于命题①- 已知a_1=1,a_2=2,a_3=4。
- 计算frac{a_3}{a_2}-frac{a_2}{a_1}，其中frac{a_3}{a_2}=(4)/(2) = 2，frac{a_2}{a_1}=(2)/(1)=2。
- 则frac{a_3}{a_2}-frac{a_2}{a_1}=2 - 2=0≠1，所以命题①错误。
2. 对于命题②- 因为数列{a_n}是“比等差数列”，且“比公差”λ = 0。
- 即frac{a_n + 2}{a_n+1}-frac{a_n + 1}{a_n}=0，所以frac{a_n+2}{a_n + 1}=frac{a_n+1}{a_n}。
- 根据等比数列的定义，可知数列{a_n}是等比数列，所以命题②正确。
3. 对于命题③- 设等比数列{a_n}的公比为q，则frac{a_n+2}{a_n+1} = q，frac{a_n+1}{a_n}=q。
- 所以frac{a_n+2}{a_n+1}-frac{a_n+1}{a_n}=q - q = 0，等比数列是“比等差数列”。
- 设等差数列{a_n}的公差为d，frac{a_n+2}{a_n+1}=frac{a_n+2d}{a_n+d}=1+(d)/(a_n)+d，frac{a_n+1}{a_n}=frac{a_n+d}{a_n} = 1+(d)/(a_n)。
- frac{a_n+2}{a_n+1}-frac{a_n+1}{a_n}≠常数，所以等差数列不是“比等差数列”，命题③正确。
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考点：数列新定义 难度：1 一、选择题1．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A.18个B.16个C.14个D.12个 答案： C解答：由题意必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：2．如果正整数a 的各位数字之和等于8，那么称a 为 “幸运数”（如：8，26，2015等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列1a ，2a ，3a ，……，若2015n a =，则=n （ ） A ．80 B ．81 C ．82 D ．83 答案： D ． 解答：分析题意可知，1位的幸运数只有1个8；2位的幸运数：17，26，……71，80，共8个； 3位的幸运数：第1位为1：107，116，……170，共8个，第1位为2：206，215，……260，共7个，以此类推，从而可知3位的幸运数共有876136+++⋅⋅⋅+=个；4位的幸运数：第1位是1：1007，1016，……1070，有8个，1106，1115，1160，有7个，以此类推，从而可知第1位是1的4为幸运数共有876136+++⋅⋅⋅+=个，第2位是2的幸运数：2006，2015，∴183636283n =++++=，故选D ．3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...,由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A ．189B ．1024C ．1225D ．1378 答案：C 解答：正方形数的通项公式是2n an=，所以两个通项都满足的是1225，三角形数是，正方形数是35=n ．4．删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2015项是（ ） A ．2058 B ．2059 C ．2060 D ．2061 答案： C解答：由题意可得，这些数可以写为：21，2，3，22，5，6，7，8，23… 第k 个平方数与第k +1个平方数之间有2k 个正整数， 而数列21，2，3，22，5，6，7，8，23…245共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余1980个数 所以去掉平方数后第2015项应在2025后的第35个数，即是原来数列的第2060项，即为2060．5．1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：()123n n n F F F n --=+≥，其中n F 表示第n 个月的兔子的总对数，121F F ==，则8F 的值为（ ） A.13. . .91. . .10631B.21C.34D.55 答案：B解答：∵，∴3122F F F=+=，∴4323F FF=+=，5345F FF=+=，6458F FF=+=，75613FF F=+=，∴86721F FF=+=，故选B6．项数为n的数列123,,,,na a a a的前k项和为(1,2,3,,)kS k n==，定义nS++为该项数列的“凯森和”，如果项系数为99项的数列12399,,,,a a a a的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，12399,,,,a a a a的“凯森和”为（）A．991B．1001C．1090D．1100答案：C解答：129912991001001000,109099100S S S S S S+++⨯++++=∴=，故选C.7．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即20125a-=（）A. 2018×2012B. 2018×2011C. 1009×2012D. 1009×2011答案：D解答：由题意可得12323,234,2+3+4+5a a a=+=++=，423456a=++++121==FF数列{}n a 的第n 项n a 是通项为1n b n =+的数列的前n +1项的和。
2012201320125201325201310085100920112a ⨯∴-=⨯+-=⨯-=⨯，故选D.8．定义运算“*”满足：①2*20101=，②22*2010[32*2010]n n n N +=⋅∈+（）（）（），则2010*2010等于（ ）A ．31004B ．31005C ．32009D ．32010 答案： A解答：依题意可得，22010*2010(20082)*20123(2008*2010)3(2006*2010)=+==100410043(2*2010)3===， 故选A.9．定义：若数列{}n a 为任意的正整数n 为常数)，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3，则其前2009项的和2009S 的最小值为（ ） A ．-2009 B ．-3010 C ．-3014D ．3028 答案： B解答：依题意可得，当1n >时，0n a <，此时2009S 取到最小值.因为1||||3n n a a ++=， 所以有3254200920083a a a a a a --=--==--=，即3254200920083a a a a a a +=+==+=-，所以2009S 的最小值为200932(1)(3)30102-++⨯-=-，故选B 10．已知(1)log (2),()n n a n n N *+=+∈，我们把使乘积123n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数n 叫做“劣数”，则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为( ) A.1024 B.2003C.2026D.2048 答案： C解答：12323(1)ln 3ln 4ln(2)log 3log 4log (2)ln 2ln 3ln(1)n n n a a a a n n ++⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+2ln(2)log (2)ln 2n n +==+，要使得123n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数，则22(*,4)mn m N m +=∈≥，因为12004n <<，所以322006n <+<，从而322006m <<，则2,3,4,5,6,7,8,9,10m =， 从而可得在区间(1,2004)内的所以劣数的和为29231023102(12)2222222222918202612--+-+-=++-⨯=-=-，故选C.11．某个QQ 群中有n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1 2 3 n ，，，，.在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对( )()p q p q <，表示，规则如下：若编号为k 的同学看到像为( )p q ，，则编号为1k +的同学看到像为( )q r ，，且*( )q p k p q r N -=∈，，.已知编号为1的同学看到的像为(5 6)，.请根据以上规律，编号为3和n 的同学看到的像分别是 ( )A.(7 10) (4 24)n n ++，；，答案：D解答：设编号n 的同学看到的像为(,)n n a b ，则编号1n +的同学看到的像为11(,)n n a b ++， 且1,n n n n a b b a n +=-=，所以112121n n n n a b a n a n n ---==+-=+-+-=121215(1)0221n a n n n n =++++-=-=-++⨯，22101022n n n n n n b a n n -+++∴=+=+=，所以编号n 的同学看到的像为221010(,)22n n n n -+++， 则编号为3的同学看到的像为(8,11)，故选D.12．黑白两种颜色的六方边形地砖按图示的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中白色地砖的块数是（ ）A ．43+nB ．24+nC ．15-nD ．n 6 答案： B解答：每增加1个图形，就增加4块白色地砖， 即：664624++⨯，，，是一个首项为6，公差为4的等差数列， 它们的第n 项为：4n +2． 故选：B13．下图是一系列有机物的结构简图，图中“小黑点”表示原子，两黑点之间的“短线”表示化学键，按图中结构第10个图中有化学键的个数是( )A.60B.51C.49D.42 答案： B解答：由所给的图形可以看出：第一个有6个化学键，第二个图形由6+5个化学键，第三个有6+5+5个化学键，可以看出每增加一组，则化学键要增加5，∴每一个图形的化学键组成一个等差数列，首项是6，公差是5，∴通项是1065151510151n a n n a =+-=+∴=⨯+=（）， ， 故选B ．14．一位同学画出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……．如果将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是 A.12 B.13 C.14 D.15 答案：C 解答：把这些圈看作是数列：1，1，2，1，3，1，4，1…求前n 项和小于等于120时的最大的整数项数，()1123120,3240,142n n S n n n n n n +=+++++=+≤∴+≤∴=（）（）. 3na n n a log =（(21232k log k log a a a a log log ∴=⨯⨯3n a a 为整数，∴必须是2的5]01 内所有的1021++-）（答案： 解答：31212321132{}n na aa a a a a a a +===∴-=∴，，，是以1为首项，2为公差的等差数列， ()()2120142014201320122013201221220141220131420121n n a a a an a a a a +∴=-∴=⋅=⋅-⋅-=⨯-，． 故选：A ． 18. 若称12na a na +++为n 个正数12,,,n a a a ⋯的“均倒数”，数列{}n a 的各项均为正，但其前n 项的“均倒数”为121n - ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．2n-1 B ．4n-3 C ．4n-1 D ．4n-5 答案：B解答：数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为21221nn n n=--， 22122 2n n a a a n n S n n ∴+++=-∴=-,，21121143n n n n S n n a S S n --∴=---∴=-=-（）（）,，而n =1时，11,43n n a S a n ==∴=-，故选B ．19. 在数学拓展课上，老师定义了一种运算“※”：对于n ∈N ，满足以下运算性质：①221=※；②222223n n +=+（）※（※），则1024※2的数值为（ ） A ．1532 B ．1533 C ．1534 D ．1536 解答：221,22222321[223]2n n n n =+=+∴+-=※（）※（※），（）※（※），∴{22}n （※）是以1为首项，3为公差的等差数列，221313210242351221534n n n ∴=+-=-∴=⨯-=（※）（）※．故选C ． 20. 如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，则这个数列的第21项的值为（ ）A ．66B ．220C ．78D ．286 答案： A解答：设“锯齿形”数列的奇数项构成数列{}n b ，21324354312633106415105b b b b b b b b -=-=-=-=-=-=-=-=，，，，1n n b b n -∴-= ，()()2121=,,22nnn n n n b b b+-++=又因为“锯齿形”数列的第21项即为数列{}n b 的第11项，2111111662b +==， 故选A ．。